高三數學人教版A版數學（理）高考一輪復習教案：9.2 排列與組合 Word版含答案

1、淘寶店鋪：漫兮教育第二節(jié)排列與組合排列與組合(1)理解排列、組合的概念(2)能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式(3)能解決簡單的實際問題知識點一排列與排列數1排列從n個不同元素中取出m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫作從n個不同元素中任意取出m個元素的一個排列2排列數從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同排列的個數，叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數，記作a.3排列數公式及性質(1)排列數公式an(n1)(n2)(nm1)(m，nn*且mn)(2)性質an?。?！1.易誤提醒(1)計算a時易錯算為n(n1)(n2)(nm)(2)易混淆排列與排列數，排列是一個具體的

2、排法，不是數是一件事，而排列數是所有排列的個數，是一個正整數自測練習1a、b、c、d、e五人并排站成一排，如果b必須站在a的右邊(a、b可以不相鄰)，那么不同的排法共有()a24種b60種c90種 d120種解析：可先排c、d、e三人，共a種排法，剩余a，b兩人只有一種排法，由分步乘法計數原理滿足條件的排法共a60(種)答案：b2方程3a2a6a的解為_解析：由排列數公式可知3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)，x3且xn*，3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，即3x217x100，解得x5或(舍去)，x5.答案：5知識點二組合與組合數1組合從n個不同元素中任取m(mn)個元素為一

3、組，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合2組合數從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數，叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數，記作c.3組合數公式及性質(1)組合數公式c.(2)性質c1.c.ccc.易誤提醒易混淆排列與組合問題，區(qū)分的關鍵是看選出的元素是否與順序有關，排列問題與順序有關，組合問題與順序無關必備方法排列問題與組合問題的識別方法：識別方法排列若交換某兩個元素的位置對結果產生影響，則是排列問題，即排列問題與選取元素順序有關組合若交換某兩個元素的位置對結果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取元素順序無關自測練習3若a6c，則n的值為_解析：因為a6c，

4、所以6×，所以n34，所以n7.答案：74現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數為_解析：第一類，含有1張紅色卡片，不同的取法cc264種第二類，不含有紅色卡片，不同的取法c3c22012208種由分類加法計數原理知，不同的取法共有264208472種答案：472考點一排列問題|1室內體育課上王老師為了豐富課堂內容，調動同學們的積極性，他把第四排的8名同學請出座位并且編號為1,2,3,4,5,6,7,8.通過觀察這8名同學的身體特征，王老師決定，按照1,2號相鄰，3,4號相鄰，5,6號

5、相鄰，而7號與8號不相鄰的要求站成一排做一種游戲，則有_種排法(用數字作答)解析：把編號相鄰的3組同學每兩名同學捆成一捆，這3捆之間有a6(種)排序方法，并且形成4個空當，再將7號與8號插進空當中，有a12(種)插法，而捆好的3捆中每相鄰的兩名同學都有a2(種)排法所以不同的排法種數為23×6×12576.答案：57626名同學排成1排照相，要求同學甲既不站在最左邊又不站在最右邊，共有_種不同站法解析：法一：(位置分析法)先從其他5人中安排2人站在最左邊和最右邊，再安排余下4人的位置，分為兩步：第1步，從除甲外的5人中選2人站在最左邊和最右邊，有a種站法；第2步，余下4人(

6、含甲)站在剩下的4個位置上，有a種站法由分步乘法計數原理可知，共有aa480(種)不同的站法法二：(元素分析法)先安排甲的位置(既不站在最左邊又不站在最右邊)，再安排其他5人的位置，分為兩步：第1步，將甲排在除最左邊、最右邊外的任意位置上，有a種站法；第2步，余下5人站在剩下的5個位置上，有a種站法由分步乘法計數原理可知，共有aa480(種)不同的站法法三：(間接法)6人無限制條件排隊有a種站法，甲站在最左邊或最右邊時6人排隊有2a種站法，因此符合條件的不同站法共有a2a480(種)答案：4803(2016·甘肅模擬)用0到9這10個數字，可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為_解析

7、：首先應考慮“0”，當0排在個位時，有a9×872(個)，當0不排在個位時，有aa4×832(個)當不含0時，有a·a4×7×8224(個)，由分類加法計數原理，得符合題意的偶數共有7232224328(個)答案：328求解排列問題的常用方法(1)直接法：把符合條件的排列數直接列式計算(2)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置(3)捆綁法：相鄰問題捆綁處理的方法，即可以把相鄰元素看作一個整體參與其他元素排列，同時注意捆綁元素的內部排列(4)插空法：不相鄰問題插空處理的方法，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在

8、前面元素排列的空當中(5)分排問題直排處理的方法(6)“小集團”排列問題中先集體后局部的處理方法(7)定序問題除法處理的方法，即可以先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列考點二組合問題|(1)某學校為了迎接市春季運動會，從5名男生和4名女生組成的田徑運動隊中選出4人參加比賽，要求男、女生都有，則男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數為()a85b86c91 d90(2)在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質期從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過保質期飲料的概率為_(結果用最簡分數表示)解析(1)法一：(直接法)由題意，可分三類考慮：第1類，男生甲入選，女生乙不入選，則方法種數為ccc

9、cc31；第2類，男生甲不入選，女生乙入選，則方法種數為ccccc34；第3類，男生甲入選，女生乙入選，則方法種數為cccc21.所以男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數為31342186.法二：(間接法)從5名男生和4名女生中任意選出4人，男、女生都有的選法有ccc120(種)；男、女生都有，且男生甲與女生乙都沒有入選的方法有cc34(種)所以男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數為1203486.(2)所取的2瓶都是不過保質期的飲料的概率為，則至少取到1瓶已過保質期飲料的概率為1.答案(1)b(2)組合問題的常見題型(1)“含”與“不含”的問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補

10、足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取(2)“至少”“最多”的問題：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解用直接法或間接法都可以求解，通常用直接法分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理1現(xiàn)有10個優(yōu)秀指標分配給6個班級，每個班至少一個，共有_種不同的分配方法？解析：從結果入手，理解相同元素的分堆問題，設計“隔板法分堆”，將一種分配方法和一個組合建立一一對應關系，實際問題化歸為組合數求解該事件的實質為將10個相同的元素分成6堆，每一堆至少一個元素，利用“隔板法分堆”，即在10個相同元素構成的9個空中插入5個隔板，其不同的分配方案有c126(種)答

11、案：126考點三分組分配問題|按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本； (5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本解(1)無序不均勻分組問題先選1本，有c種選法；再從余下的5本中選2本，有c種選法；最后余下3本全選，有c種選法故共有ccc60(種)(2)有序不均勻分組問題由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)題的基

12、礎上，還應考慮再分配，共有ccca360(種)(3)無序均勻分組問題先分三步，則應是ccc種方法，但是這里出現(xiàn)了重復不妨記六本書為a，b，c，d，e，f，若第一步取了ab，第二步取了cd，第三步取了ef，記該種分法為(ab，cd，ef)，則ccc種分法中還有(ab，ef，cd)，(cd，ab，ef)，(cd，ef，ab)，(ef，cd，ab)，(ef，ab，cd)，共有a種情況，而這a種情況僅是ab，cd，ef的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有15(種)(4)有序均勻分組問題在(3)的基礎上再分配給3個人，共有分配方式·accc90(種)(5)無序部分均勻分組問題共有15

13、(種)(6)有序部分均勻分組問題在(5)的基礎上再分配給3個人，共有分配方式·a90(種)(7)直接分配問題，甲選1本有c種方法，乙從余下5本中選1本有c種方法，余下4本留給兩種c種方法，共有c·cc30(種)解決分組分配問題的策略(1)對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以a(n為均分的組數)、避免重復計數(2)對于部分均分，解題時注意重復的次數是均勻分組的階乘數，即若有m組元素個數相等，則分組時應除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組

14、中元素的個數都不相等，所以不需要除以全排列數2(2016·內江模擬)某科室派出4名調研員到3個學校，調研該校高三復習備考近況，要求每個學校至少一名，則不同的分配方案種數為()a144b72c36 d48解析：分兩步完成：第一步將4名調研員按2,1,1分成三組，其分法有；第二步將分好的三組分配到3個學校，其分法有a種，所以滿足條件的分配方案有·a36種答案：c29.模型法巧解排列組合問題【典例】把20個相同的球全部裝入編號分別為1,2,3的三個盒子中，要求每個盒子中的球數不小于其編號數，則共有_種不同的放法思路點撥本題可先向1,2,3號三個盒子中分別裝入0,1,2個球，再將剩

15、下的17個球隨意分成三份裝入盒子中即可解析題目有限制條件，不能直接運用隔板法，但可轉化為隔板問題，向1,2,3號三個盒子中分別裝入0,1,2個球后，還剩余17個球，然后再把這17個球分成3份，每份至少一球，運用隔板法，共有c120(種)不同的放法答案120方法點評排列與組合的根本區(qū)別在于是“有序”還是“無序”，對于將若干個相同小球放入幾個不同的盒子中這類問題可利用“隔板法”求解，實質上是最終轉化為組合問題根據問題的特點，把握問題的本質，通過聯(lián)想、類比構建模型是求解排列、組合問題的關鍵跟蹤練習(2015·浙江金華質檢)4個不同的小球放入編號為1,2,3,4的4個盒中，則恰有1個空盒的放

16、法共有_種(用數字作答)解析：把4個球分成3組，每組至少1個，即分成小球個數分別為2,1,1的3組，有種最后將3組球放入4個盒中的3個，分配方法有a種，因此，放法共有×a144種答案：144a組考點能力演練1(2016·大連模擬)某校開設a類選修課2門，b類選修課3門，一位同學從中選3門若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有()a3種b6種c9種 d18種解析：由題知有2門a類選修課，3門b類選修課，從里邊選出3門的選法有c10種兩類課程都有的對立事件是選了3門b類選修課，這種情況只有1種滿足題意的選法有1019種所以選c.答案：c2某校從8名教師中選派4名教師同時

17、去4個邊遠地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案種數是()a150 b300c600 d900解析：若甲去，則乙不去，丙去，再從剩余的5名教師中選2名，有c×a240種方法；若甲不去，則丙不去，乙可去可不去，從6名教師中選4名，共有c×a360種方法因此共有600種不同的選派方案答案：c3如果小明在某一周的第一天和第七天分別吃了3個水果，且從這周的第二天開始，每天所吃水果的個數與前一天相比，僅存在三種可能：或“多一個”或“持平”或“少一個”，那么，小明在這一周中每天所吃水果個數的不同選擇方案共有()a50種 b51種c140種 d1

18、41種解析：因為第一天和第七天吃的水果數相同，所以中間“多一個”或“少一個”的天數必須相同，都是0,1,2,3，共4種情況，所以共有ccccccc141種，故選d.答案：d4某班班會準備從甲、乙等7名學生中選派4名學生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學至少有一人參加，且若甲、乙同時參加，則他們發(fā)言時不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的種數為()a360 b520c600 d720解析：依題意進行分類計數：第一類，甲、乙兩名同學中恰有一人參加，滿足題意的不同發(fā)言順序有c·c·a480種，第二類，甲、乙兩名同學均參加，滿足題意的不同發(fā)言順序有c·c·a·a120種

19、因此，滿足題意的不同發(fā)言順序有480120600種，故選c.答案：c5(2016·昆明調研)航空母艦“遼寧艦”將進行一次編隊配置科學試驗，要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，3艘驅逐艦和3艘護衛(wèi)艦分列左右，每側3艘，同側不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法數為()a72 b324c648 d1 296解析：核潛艇排列數為a，6艘艦艇任意排列的排列數為a，同側均是同種艦艇的排列數為aa×2，則艦艇分配方案的方法數為a(aaa×2)1 296.答案：d65名同學站成一排，其中甲同學不站排頭，則不同的排法種數是_(用數字作答)解析：依題意，滿足題意的不同的排法種數是c

20、83;a96.答案：9674位同學參加某種形式的競賽，競賽規(guī)則規(guī)定：選甲題答對得100分，答錯得100分，選乙題答對得90分，答錯得90分，若4位同學的總分為0分，則這4位同學不同得分情況的種數是_解析：由于4位同學的總分為0分，故4位同學選甲、乙題的人數有且只有三種情況：甲：4人，乙：0人；甲：2人，乙：2人；甲：0人，乙：4人對于，須2人答對，2人答錯，共有c6種情況；對于，有ccc24種情況；對于，與相同，有6種情況，故共有624636種不同的情況答案：368(2016·濟南模擬)航天員擬在太空授課，準備進行標號為0,1,2,3,4,5的六項實驗，向全世界人民普及太空知識，其中

21、0號實驗不能放在第一項，最后一項的標號小于它前面相鄰一項的標號，則實驗順序的編排方法種數為_(用數字作答)解析：本題考查排列組合，難度中等優(yōu)先安排第一項實驗，再利用定序問題相除法求解由于0號實驗不能放在第一項，所以第一項實驗有5種選擇最后兩項實驗的順序確定，所以共有300種不同的編排方法答案：3009將7個相同的小球放入4個不同的盒子中(1)不出現(xiàn)空盒時的放入方式共有多少種？(2)可出現(xiàn)空盒時的放入方式共有多少種？解：(1)將7個相同的小球排成一排，在中間形成的6個空當中插入無區(qū)別的3個“隔板”將球分成4份，一種插入隔板的方式對應一種球的放入方式，則共有c20種不同的放入方式(2)每種放入方式

22、對應于將7個相同的小球與3個相同的“隔板”進行一次排列，即從10個位置中選3個位置安排隔板，故共有c120種放入方式10從1到9的9個數字中取3個偶數4個奇數，試問：(1)能組成多少個沒有重復數字的七位數？(2)上述七位數中，3個偶數排在一起的有幾個？(3)(1)中的七位數中，偶數排在一起，奇數也排在一起的有幾個？解：(1)分三步完成：第一步，在4個偶數中取3個，有c種情況；第二步，在5個奇數中取4個，有c種情況；第三步，3個偶數，4個奇數進行排列，有a種情況所以符合題意的七位數有cca100 800個(2)上述七位數中，3個偶數排在一起的有ccaa14 400個(3)上述七位數中，3個偶數排在一起，4個奇數也排在一起的有ccaaa5 760個b組高考題型專練1(2014·高考四川卷)六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()a192種 b216種c240種 d288種解析：