電動力學復習總結第三章_穩(wěn)恒磁場

1、第三章 穩(wěn)恒磁場一、 填空題1、 已知半徑為圓柱形空間的磁矢勢(柱坐標),該區(qū)域的磁感應強度為（ ）.2、 穩(wěn)恒磁場的能量可用矢勢表示為（ ）. 3、 分析穩(wěn)恒磁場時,能夠中引如磁標勢的條件是（ ）.在經典物理中矢勢的環(huán)流表示（ ）.4、 無界空間充滿均勻介質,該區(qū)域分布有電流,密度為,空間矢勢的解析表達式（ ）5、 磁偶極子的矢勢等于（ ）；標勢等于（ ）.6、 磁偶極子在外磁場中受的力為（ ）,受的力矩（ ）.7、 電流體系的磁矩等于（ ）.8、 無界空間充滿磁導率為均勻介質,該區(qū)域分布有電流,密度為,空間矢勢的解析表達式（ ）. 二、 選擇題1、 線性介質中磁場的能量密度為A. B. C

2、. D. 2、 穩(wěn)恒磁場的泊松方程成立的條件是A介質分區(qū)均勻 B.任意介質 C.各向同性線性介質 D.介質分區(qū)均勻且3、 引入磁場的矢勢的依據是A.; B.; C. ; D. 4、 電流處于電流產生的外磁場中, 外磁場的矢勢為,則它們的相互作用能為A. B. C. D. 5、 對于一個穩(wěn)恒磁場，矢勢有多種選擇性是因為A.的旋度的散度始終為零; B.在定義時只確定了其旋度而沒有定義散度; C. 的散度始終為零; 6、 磁偶極子的矢勢和標勢分別等于A. B. C. D. 7、 用磁標勢解決靜磁場問題的前提是A.該區(qū)域沒有自由電流分布 B. 該區(qū)域是沒有自由電流分布的單連通區(qū)域 C. 該區(qū)域每一點滿

3、足 D. 該區(qū)域每一點滿足. 三、 問答題1、 在穩(wěn)恒電流情況下，導電介質中電荷的分布有什么特點？2、 判定下述說法的正確性，并說明理由：（1） 不同的矢勢，描述不同的磁場；（2） 不同的矢勢，可以描述同一磁場；（3） 的區(qū)域，也為零。3、 在空間充滿介質與無介質兩種情況下，若電流分布相同，它們的磁場強度是否相同？4、 由，,有人認為靜磁場的能量密度是，有人認為是，你怎么認為，為什么？。5、 試比較靜電場和靜磁場。6、 描述磁場B的、滿足的矢勢，是什么性質的矢量場？它是否是唯一的？理由是什么？7、 我們知道，在J=0的區(qū)域，磁場強度滿足，如果我們把它表示成，此方程仍能成立。試述這樣引入所存在的

4、問題。8、 磁標勢微分方程是否說明存在真正的磁荷?9、 對于直長導線的磁場，在什么樣的區(qū)域可以引入磁標勢？10、 試用磁荷觀點與分子電流觀點求一個磁化矢量為的永磁體在空間激發(fā)的磁場，并證明所得結果是一致的。答：依磁荷觀點：整個空間中由引入，即可表為，其中依分子電流觀點：，而依照題意有：，即：且比較知，所得結果是一致的。11、 試說明：分布于有限區(qū)域的電流系，在時，其矢勢，其磁感應強度。解：因有限區(qū)域的電流系可以分成許多閉合流管，時，其失勢場主要由閉合流管的磁偶極勢和場決定即： =12、 我們知道，對于閉合電流圈，在場點離其很遠的情況下，其矢勢和場由其磁偶極勢和場所決定。因此，在上述條件下，人們

5、常說小閉合電流圈與一磁偶極子等效。試問，當場點離電流圈不是很遠時，閉合電流能否與某種分布的磁偶極子等效？I3-12圖解：設電流線圈電流為I.當場點離電流圈不是很遠時，閉合電流的場不能等效為一個磁偶極子的場，但閉合電流的磁場可看作線圈所圍的一個曲面上許多載電流I的無限小線圈組合而成,如圖,磁場就是許多無限小線圈的磁場矢量和.如圖3-1213、 有一很長的柱面，表面有均勻分布的電流沿軸向流動，有人為了求柱面內長度為的一段柱體之中的磁場能量，使用了如下的公式：按此公式，由于柱內，因此磁場能。試問這樣做對否？為什么？解：這樣做顯然是不對的，因為磁場能量應為， 僅對總能量有意義，并非能量密度。14、 如

6、何對小電流圈在遠處的矢勢作多極展開？試證明展開式的第一項，第二項可表為，其中。解：對小電流圈在遠處的矢勢，時，則又: 所以 對于一個閉合流管，有：式中，與積分變量無關，且為線圈上各點坐標，則又由（全微分繞閉合回路的線積分為零）得所以，其中。15、 磁場矢勢的展開中，這說明什么？試與電多極距比較.答: 電勢多極展開:矢勢多極展開: 可見,磁場和電場不同，展開式中不含磁單極項。這是磁單極不存在的必然結果.16、 簡述阿哈羅諾夫玻姆效應的結果答:在不存在磁場的區(qū)域, 矢勢,矢勢可以對電子發(fā)生作用, 哈羅諾夫玻姆效應表明矢勢和具有可觀測的物理效應。哈羅諾夫玻姆效應是量子力學現象.17、 試證明在似穩(wěn)條

7、件下，每個瞬時有：（1）對無分支交流電路，電路各處的電流強度是相等的；（2）對有分支的交流電路，在分支點處基爾霍夫第一定律仍然成立。解：在似穩(wěn)條件滿足時，電磁場的波動性可以忽略，推遲效應可以忽略，場與場源的關系近似地看作瞬時關系，位移電流,所以場方程變?yōu)?對兩邊取散度得:：無分支電路，任選兩處A，B.AB段電路可由S1截面，表面，S2截面圍成一閉合曲面，則由似穩(wěn)條件有由A，B任意性知：電路各處電流強度相同。多分支電路，設匯集于節(jié)點處的各支路橫截面為S1, S2. Sn, 總表面為同理則有：即:即分支點處基爾霍夫第一定律仍然成立。四、 計算和證明1、 試用表示一個沿z方向的均勻恒定磁場，寫出的兩

8、種不同表示式，證明二者之差為無旋場。解：是沿 z 方向的均勻恒定磁場，即 ，由矢勢定義得；三個方程組成的方程組有無數多解，如：， 即：；， 即：解與解之差為則這說明兩者之差是無旋場2、 均勻無窮長直圓柱形螺線管，每單位長度線圈匝數為n，電流強度I，試用唯一性定理求管內外磁感應強度。解：根據題意，取螺線管的中軸線為 z 軸。本題給定了空間中的電流分布，故可由 求解磁場分布，又 J 只分布于導線上，所以 dl1)螺線管內部：由于螺線管是無限長 r理想螺線管，所以其內部磁場是 O z均勻強磁場，故只須求出其中軸線上的磁感應強度，即可知道管內磁場。由其無限長的特性，不 I妨取場點為坐標原點建立柱坐標系

9、。， 取的一小段，此段上分布有電流2)螺線管外部：由于螺線管無限長，不妨就在過原點而垂直于軸線的平面上任取一點為場點，其中。 3、 設有無限長的線電流I沿z軸流動，在z<0空間充滿磁導率為的均勻介質，z>0區(qū)域為真空，試用唯一性定理求磁感應強度，然后求出磁化電流分布。解：設z>0區(qū)域磁感應強度和磁場強度為，；z<0區(qū)域為，由對稱性可知 和均沿方向。由于的切向分量連續(xù)，所以。由此得到，滿足邊值關系，由唯一性定理可知，該結果為唯一正確的解。 以 z 軸上任意一點為圓心，以 r 為半徑作一圓周，則圓周上各點的大小相等。根據安培環(huán)路定理得：，即， ，(z>0)；，(z&l

10、t;0)。在介質中 所以，介質界面上的磁化電流密度為：總的感應電流：，電流在 z<0 區(qū)域內，沿 z 軸流向介質分界面。4、 設x<0半空間充滿磁導率為的均勻介質，x>0空間為真空，今有線電流I沿z軸流動，求磁感應強度和磁化電流分布。解：假設本題中的磁場分布仍呈軸對稱，則可寫作 它滿足邊界條件：及。由此可得介質中：由 得： 在x<0 的介質中 ，則： 再由 可得，所以， （沿 z 軸）5、 某空間區(qū)域內有軸對稱磁場。在柱坐標原點附近已知，其中為常量。試求該處的。提示：用，并驗證所得結果滿足。解：由于B具有對稱性，設， 其中 ，即：，（常數）。當時，為有限，所以 ；，即：

11、 （1）因為，所以 ，即 （2）直接驗證可知，（1）式能使（2）式成立，所以，(c為常數)6、 兩個半徑為a的同軸圓形線圈，位于面上。每個線圈上載有同方向的電流I。（1）求軸線上的磁感應強度。（2）求在中心區(qū)域產生最接近于均勻常常時的L和a的關系。提示：用條件解：1） 由畢薩定律，L 處線圈在軸線上 z 處產生的磁感應強度為， 同理，-L 處線圈在軸線上 z 處產生的磁感應強度為：，。所以，軸線上的磁感應強度： （1）2）因為 ，所以 ；又因為，所以 ，。代入（1）式并化簡得： 將 z=0 帶入上式得：， 7、 半徑為a的無限長圓柱導體上有恒定電流均勻分布于截面上，試解矢勢的微分方程。設導體的

12、磁導率為，導體外的磁導率為。解：矢勢所滿足的方程為： 自然邊界條件：時，有限。邊值關系：；選取柱坐標系，該問題具有軸對稱性，且解與 z 無關。令，代入微分方程得：；解得：；由自然邊界條件得，由 得：，由 并令其為零，得：，。；8、 假設存在磁單極子，其磁荷為，它的磁場強度為。給出它的矢勢的一個可能的表示式，并討論它的奇異性。解： 由 得： (1) 令 ,得: , (2)顯然 滿足(1) 式，所以磁單極子產生的矢勢討論： 當時，；當時，；當時，故的表達式在具有奇異性，此時不合理。9、 將一磁導率為，半徑為的球體，放入均勻磁場內，求總磁感應強度和誘導磁矩m。解：根據題意，以球心為原點建立球坐標，取

13、H0的方向為，此球體被外加磁場磁化后，產生一個附加磁場，并與外加均勻場相互作用，最后達到平衡，呈現軸對稱。本題所滿足的微分方程為： （1）自然邊界條件：為有限；。銜接條件：在處滿足 及 由自然邊界條件可確定方程組（1）的解為：； 由兩個銜接條件，有：比較的系數，解得：； ，即：，（），（）在R<R0區(qū)域內，10、 有一個內外半徑為和的空心球，位于均勻外磁場內，球的磁導率為，求空腔內的場，討論時的磁屏蔽作用。解：根據題意，以球心為原點，取球坐標，選取H0的方向為，在外場H0的作用下，空心球被磁化，產生一個附加磁場，并與原場相互作用，最后達到平衡，B的分布呈現軸對稱。磁標勢的微分方程為： ；

14、 ； 自然邊界條件：為有限；。銜接條件： ； ； 由軸對稱性及兩個自然邊界條件，可寫出三個泛定方程的解的形式為：； ； 因為泛定方程的解是把產生磁場的源H0做頻譜分解而得出的，分解所選取的基本函數系是其本征函數系。在本題中源的表示是：所以上面的解中， ，解的形式簡化為： ； ； 代入銜接條件得：， ， 。解方程組得：，。從而，空間各點磁標勢均可確定?？涨粌龋寒敃r，所以。即空腔中無磁場，類似于靜電場中的靜電屏蔽。11、 設理想鐵磁體的磁化規(guī)律為，其中是恒定的與無關的量。今將一個理想鐵磁體做成的均勻磁化球（為常值）浸入磁導率為的無限介質中，求磁感應強度和磁化電流分布。解：根據題意，取球心為原點，建

15、立球坐標系，以M0的方向為，本題具有軸對稱的磁場分布，磁標勢的微分方程為： ； 自然邊界條件：為有限；。銜接條件： ； 由軸對稱性及兩個自然邊界條件，可寫出拉普拉斯方程通解的形式為：； ； 代入銜接條件，比較各項的系數，得：，；， ，由此 又 ，（其中）將B的表達式代入，得：12、 將上題的永磁球置入均勻外磁場中，結果如何？解：根據題意假設均勻外場的方向與M0的方向相同，定為坐標 z 軸方向。磁標勢的微分方程為： ； 自然邊界條件：為有限；。銜接條件： ； 解得滿足自然邊界條件的解是：，代入銜接條件，得：解得： ，其中 ，13、 有一個均勻帶電的薄導體殼其半徑為，總電荷為，今使球殼繞自身某一直徑以角速度轉動，求球內外的磁場。提示：本題通過解或的方程都可以解決，也可以比較本題與§5例2的電流分布得到結果。解：根據題意，取球體自轉軸為 z 軸，建立球坐標系。磁標勢的微分方程為： ； 自然邊界條件：為有限；。銜接條件： ； 其中 是球殼表面自由面電流密度。解得滿足自然邊界條件的解是：，代入銜接條件