八年級(jí)競(jìng)賽數(shù)學(xué)培優(yōu)正方形含解析

1、正方形【思維入門】1.四邊形 ABCD是平行四邊形，再?gòu)?AB= BC,/ ABC = 90°,AC= BD,AC丄BD四個(gè)條件中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形 ABCD是正方形，現(xiàn)有 以下四種選法，其中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A BCD 2.如圖8-26- 1,在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形那么/ BFC為ADE, AC, BE相交于點(diǎn)F,A. 45°C. 60°B.55°75°3.如圖8-26-2,正方形 ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D 在 CG 上, BC= 1, CE= 3,H是AF的中點(diǎn)，那么CH的長(zhǎng)是A. 2.5D. 2C.；,24

2、.如圖8-26-3,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點(diǎn)，且 AE= 3,點(diǎn)Q為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，那么 BEQ周長(zhǎng)的最小值為.圖 8 -26- 35. 如圖8- 26-4,在正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連結(jié)BP, DP，延長(zhǎng)BC至U E,使 PB= PE.求證：/ PDC =圖 8 -26 - 4【思維拓展】6. 如圖8-26-5,將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，0是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為1,3,那么點(diǎn)C的坐標(biāo)為圖 8 -26- 5A. ( . 3, 1)C. ( .3, 1)B . (- 1,3)D . (- 3,- 1)7. 如圖8-26-6,正方形 ABCD中，

3、AB = 6,點(diǎn)E在邊CD上，且CD = 3DE.將厶ADE沿AE對(duì)折至 AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G,連結(jié)AG, CF.那么以下結(jié)論：© ABGA AFG ; ® BG= CG; AG/ CF;S“GC= Saafe;/ AGB+Z AED = 145° .DEC其中正確的個(gè)數(shù)是圖 8 -26 - 6B. 3C. 48. 如圖8-26- 7,將n個(gè)邊長(zhǎng)都為2的正方形按照如下圖擺放，點(diǎn) Ai, A2,，An 分別是正方形的中心，那么這n個(gè)正方形重疊局部的面積之和是C.1D4n9. 如圖8-26- 8,在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E, F分

4、別在BC和CD上.以下結(jié)論：CE= CF;/ AEB= 75°BE+ DF = EF;S正方形abcd = 2+茹.其中正確的序號(hào)是 把你認(rèn)為正確的都填上.圖 8 -26- 810. 在平面內(nèi)正方形 ABCD與正方形CEFH如圖8-26- 9放置，連DE, BH，兩線交于M.求證：(1)BH = DE; (2)BH 丄 DE.圖 8 -26- 911. 如圖8-26- 10，在正方形ABCD中，E, F分別是邊 AD, DC上的點(diǎn)，且AF丄BE.(1) 求證：AF = BE;(2) 如圖8-26- 10，在正方形 ABCD中，M , N, P, Q分別是邊 AB, BC, CD,DA

5、上的點(diǎn)，且MP丄NQ.MP與NQ是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由.C12. 如圖8-26- 11，正方形ABCD的邊AB, AD分別在等腰直角厶AEF的腰AE, AF上，點(diǎn)C在厶AEF內(nèi)，那么有DF = BE(不必證明).將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度«0°< *90° )后，連結(jié)BE, DF.請(qǐng)?jiān)趫D8-26- 11中用實(shí)線補(bǔ)全圖形, 這時(shí)DF = BE還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由. 圖 8- 26- 1113. (1)如圖8-26- 12， ABC, 以 AB, AC為邊向 ABC外作等邊厶ABD和等 邊厶ACE.連結(jié)BE, CD.請(qǐng)你完成圖形，并證明：BE = C

6、D ;(尺規(guī)作圖，不寫做法， 保存作圖痕跡)圖 8- 26- 12(2)如圖8-26- 12， ABC,以AB,AC為邊向外做正方形 ABFD和正方形ACGE.連結(jié)BE, CD.BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？簡(jiǎn)單說(shuō)明理由；運(yùn)用(1)(2)解答中積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖8- 26- 12，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn) B,E的距離，已經(jīng)測(cè)得/ ABC= 45°, / CAE= 90°, AB= BC= 100 m, AC = AE, 求 BE 的長(zhǎng).【思維升華】14. 如圖8-26- 13,正方形ABCD,點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連結(jié)BP,過(guò)P作PQ丄BP,PQ交CD于Q,假

7、設(shè)AP = CQ = 2,那么正方形ABCD的面積為 圖 8 -26- 13A . 6 + 4 2B. 16D. 32C. 12+ 8 2F分別為MN , QR的中點(diǎn)，連結(jié)EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為D時(shí)，點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為15. 如圖8-26- 14,四邊形 ABHK是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn) C, D在邊AB上，且AC =DB = 1,點(diǎn)P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP, PB為邊在線段AB的同側(cè)作正方 形AMNP和正方形BRQP, E,G,那么當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A CPD*VMXQF8- 26- 14C. 316.如圖8-26- 15,正方形 ABCDAE是A點(diǎn)關(guān)于線段EF的對(duì)稱點(diǎn)，那么AD的邊長(zhǎng)

8、為等于MBF C 圖 8 -26 - 154, M點(diǎn)為CD邊上的中點(diǎn)，假設(shè)M占八、B.|1D.2A.f17.如圖8-26- 16,正方形 ABCD中，點(diǎn)M在邊CD上，且DM = 3, MC= 1,C. 2線段AM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)M落在BC所在的直線上的點(diǎn)N處，那么N , C兩點(diǎn) 的距離為第17題答圖圖 8-26 - 16 AEP為等腰直角三角形，/18.如圖8-26- 17,四邊形 ABCD為正方形,EAP= 90°，且 D, P, E 三點(diǎn)共線，假設(shè) EA= AP= 1, PB= , 5,貝U DP =DC圖 8 -26- 1719.如圖8-26- 18,四邊形 ABCD是正

9、方形，/ 1 = / 2=/ 3./ 1 = 30°, DG = .3,求正方形 ABCD的邊長(zhǎng)；(2)求證：AG-GF = GE.E圖 8 -26- 18正方形【思維入門】1.四邊形 ABCD是平行四邊形，再?gòu)?AB= BC,/ ABC = 90°, AC= BD,AC丄BD四個(gè)條件中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形 ABCD是正方形，現(xiàn)有 以下四種選法，其中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是B A B.C.D 2如圖8-26- 1,在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形 ADE，AC，BE相交于點(diǎn)F，那么/ BFC為BA(C )7CD圖 8 -26- 1A. 45°B. 55

10、76;C. 60°D. 75°3. 如圖8-26-2,正方形 ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG 上, BC= 1，CE= 3,H是AF的中點(diǎn)，那么CH的長(zhǎng)是B 圖 8 -26- 2A. 2.5B. 5C.； .2D. 2【解析】 如答圖，連結(jié)AC, CF,第3題答圖正方形ABCD和正方形CEFG中，BC= 1, CE = 3, AC= 2, CF = 3 2,/ ACD =/ GCF = 45°,:丄 ACF = 90°,由勾股定理得，AF= AC2 + CF2= ' ( .2) 2+( 3,2) 2 = 2 5. H是AF的中點(diǎn)，1 1二

11、 CH =，AF= 2X 2 5= 5.4. 如圖8-26-3,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點(diǎn)，且 AE= 3,點(diǎn)Q為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，那么 BEQ周長(zhǎng)的最小值為 6.圖 8 -26- 35. 如圖8- 26-4,在正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連結(jié)BP, DP，延長(zhǎng)BC至U E, 使 PB= PE.求證：/ PDC圖 8 -26 - 4證明：在正方形 ABCD 中，BC= DC,/ PCB= Z PCD ,又 PC= PC, PCBAPCD(SAS),Z PBC=Z PDC. PB= PE,/ PBC=Z PEC./ PDC =/ PEC.【思維拓展】6. 如圖

12、8-26-5,將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，0是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為1,3,那么點(diǎn)C的坐標(biāo)為(A )A7A. (- 3, 1)C. ( 3, 1)圖 8 -26- 5B . (- 1, .3)D . (- 3,- 1)7. 如圖8-26-6,正方形 ABCD中，AB = 6,點(diǎn)E在邊CD上，且CD = 3DE.將厶ADE沿AE對(duì)折至 AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G,連結(jié)AG, CF.那么以下結(jié)論：© ABGA AFG ; ® BG= CG; AG/ CF;SGC= Saafe;/ AGB+Z AED = 145° .其中正確的個(gè)數(shù)是C A . 2B. 3C.

13、4D. 5【解析】 根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證RtAABG也Rt AFG ;在直角 ECG中，根據(jù)勾股定理可證 BG = GC;通過(guò)證明Z AGB=Z AGF =Z GFC =Z GCF, 由平行線的判定可得 AG / CF;分別求出Saegc與Saafe的面積比擬即可；求得Z GAE =45°,Z AGB+ Z AED = 180°- Z GAE= 135° .8. 如圖8-26- 7,將n個(gè)邊長(zhǎng)都為2的正方形按照如下圖擺放，點(diǎn) A1, A2,，An分別是正方形的中心，那么這n個(gè)正方形重疊局部的面積之和是 B 4圖 8 -26- 7A. nB. n-

14、1D.n1 1【解析】 由題意可得一個(gè)陰影局部面積等于正方形面積的 4,即4X 4= 1,5個(gè)這樣的正方形重疊局部陰影局部的面積和為1X4, n個(gè)這樣的正方形重疊局部 陰影局部的面積和為1 x n -1 = n -1.9. 如圖8-26- 8,在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E, F分別 在BC和CD上.以下結(jié)論：CE= CF;/ AEB= 75°BE+ DF = EF;S正方形abcd = 2+萌.其中正確的序號(hào)是_把你認(rèn)為正確的都填上.圖 8 -26- 810. 在平面內(nèi)正方形 ABCD與正方形CEFH如圖8-26- 9放置，連DE, BH，兩線交于M.求證：

15、1BH = DE; 2BH 丄 DE.圖 8 -26- 9證明：四邊形ABCD和四邊形CEFH都是正方形,A第10題答圖CB = CD, CE = CH，/ BCD=/ECH= 90° ./ BCH = 90°+/ DCH，/ DCE= 90°+/ DCH./ BCH = / DCE.在厶BCH和厶DCE中，TCB = CD, / BCH = / DCE, CH= CE, BCH DCE(SAS). BH = DE.如答圖，連結(jié)BD.四邊形ABCD是正方形，/ DBC + / BDC = 90° . BCHDCE，/ CBH =/ CDE./ DBM +

16、 / BDM = / DBM + / CDE+ / BDC=/ DBM + / CBH+ / BDC =/ DBC + / BDC = 90° ./BMD = 180° (/ DBM + / BDM) = 180° 90°= 90° . BH 丄 DE.11. 如圖8 26 10，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊 AD，DC上的點(diǎn)，且AF丄BE.(1) 求證：AF = BE;(2) 如圖8 26 10，在正方形 ABCD中，M， N, P，Q分別是邊 AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且MP丄NQ.MP與NQ是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由.BC圖 8- 2

17、6- 10解：證明：如答圖，設(shè)AF與BE交于點(diǎn)G,四邊形ABCD是正方形， AB = AD，/ BAD = /D = 90°,/ FAD +Z AFD = 90° . AF 丄 BE,/ AGE = 90°,/ FAD +Z AEG = 90° ./ AFD = / AEG. DAF ABE.第11題答圖 AF = BE.(2)如答圖，過(guò)點(diǎn)A作AF / MP交CD于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)BE / NQ 交 AD 于 E.得到？ BEQN 和？ AFPM， AF = MP，BE= NQ,由(1)得 AF = BE, MP = NQ.第11題答圖B12. 如圖8-26-

18、 11，正方形 ABCD的邊AB, AD分別在等腰直角 AEF的腰AE, AF上，點(diǎn)C在厶AEF內(nèi)，那么有DF = BE不必證明.將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度 «0°< av 90° 后，連結(jié)BE, DF.請(qǐng)?jiān)趫D8-26-11中用實(shí)線補(bǔ)全圖形，這時(shí) DF = BE還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：補(bǔ)全圖形如答圖所示.圖 8- 26- 11DF第12題答圖理由：四邊形ABCD是正方形， AEF是等腰直角三角形，二AD= AB, AF=AE,/ FAE=/ DAB= 90°/ FAD =/ EAB. 在厶ADF和厶ABE中,AD = AB,/ F

19、AD=/ EAB,AF = AE. ADF ABE(SAS DF = BE.13. (1)如圖8-26- 12， ABC,以AB, AC為邊向 ABC外作等邊厶ABD和等 邊厶ACE.連結(jié)BE, CD.請(qǐng)你完成圖形，并證明：BE = CD ;(尺規(guī)作圖，不寫做法， 保存作圖痕跡)圖 8- 26- 12(2)如圖8-26- 12， ABC,以AB,AC為邊向外做正方形 ABFD和正方形ACGE.連結(jié)BE, CD.BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？簡(jiǎn)單說(shuō)明理由；運(yùn)用(1)(2)解答中積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖8- 26- 12，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn) B, E的距離，已經(jīng)測(cè)得/ ABC= 45 /

20、 CAE= 90°, AB= BC= 100 m, AC = AE, 求 BE 的長(zhǎng).解：(1)如答圖，完成作圖，字母標(biāo)注正確. ABD和厶ACE都是等邊三角形， AD = AB, AC = AE,Z BAD =/ CAE = 60/ BAD + / BAC= / CAE+ / BAC, 即 / CAD = / EAB. CADEAB. BE = CD.(2)BE = CD.理由同(1):四邊形ABFD和ACGE均為正方形，第13題答圖 AD = AB, AC = AE,/ BAD =/ CAE= 90 BE = CD.由(1),(2)的解題經(jīng)驗(yàn)可知，如答圖，過(guò)AB作等腰直角三角形A

21、BD, Z BAD= 90°那么 AD = AB= 100 m, Z ABD = 45°.二 BD= 100 2 由可知BE= CD.vZ ABC = 45°在 Rt DBC 中，BC= 100 m, BD = 100 2 m.CD = ,1002+( 100,2) 2= 100,3(m). BE 的長(zhǎng)為 100 3 m.【思維升華】14. 如圖8-26- 13,正方形ABCD,點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連結(jié)BP,過(guò)P作PQ丄BP,PQ交CD于Q,假設(shè)AP = CQ = 2,那么正方形 ABCD的面積為圖 8- 26- 13第14題答圖A . 6 + 4 2C. 1

22、2+ 8 2B. 16D. 32【解析】如答圖，過(guò)P分別作PE,PF, PG垂直于AB, CD , AD，垂足分別為E,F,G.易證 Rt EPBRtAFQPRt FDP，所以 FQ= FD= EP= , 2,因此正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為2 + 2 .2,所以面積為(2 + 2.2)2 = 12 + 8 2.15. 如圖8-26- 14,四邊形 ABHK是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn) C, D在邊AB上，且AC =DB = 1,點(diǎn)P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，分別以AP, PB為邊在線段AB的同側(cè)作正方 形AMNP和正方形BRQP, E, F分別為MN , QR的中點(diǎn)，連結(jié)EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為 G,那么當(dāng)點(diǎn)P

23、從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為(B ).-VN圖 8- 26- 14C. 3【解析】 如答圖，設(shè)KH中點(diǎn)為S,連結(jié)PE, 為平行四邊形，ES, SF, PF, PS,可證明四邊形PESFN、第15題答圖 G為PS的中點(diǎn)，即在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，G始終為PS的中點(diǎn)，所以G的運(yùn)行軌跡CSD的中位線，v CD = AB- AC- BD = 6- 1- 1= 4, 點(diǎn)G移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為2.16. 如圖8-26- 15,正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為4, M點(diǎn)為CD邊上的中點(diǎn)，假設(shè) 是A點(diǎn)關(guān)于線段EF的對(duì)稱點(diǎn)，那么AE等于圖 8-26- 15MBF C第16題答圖A.f【解析】 如答圖，連結(jié)EM , v M, A關(guān)于EF對(duì)稱， EA= EM，設(shè) AE= x,貝U ED = 4-x, EM = x,而 DM = 2,在直角 DEM 中, 股定理得(4-x)2 + 22=x2，解得 x=4-x= |, Ed = 3.B.C. 2D.1由勾17. 如圖8-26- 16,正方形 ABCD中，點(diǎn)M在邊CD上，且DM = 3, MC= 1,把 線段AM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)M落在BC所在的直線上的點(diǎn)N處，那么N , C兩點(diǎn)的距離為_1或7.圖8-26- 16第17題答圖【解析】 如答圖，把線段AM繞點(diǎn)A畫弧，可見N, C兩點(diǎn)的距離存在兩種情況： 點(diǎn)N在邊BC上，