(word完整版)(自己整理)圓錐曲線常考題型總結——配有大題和練習(2),推薦文檔

1、圓錐曲線大綜合第一部分 圓錐曲線?？碱}型和熱點問題- ?？碱}型題型一：數(shù)形結合確定直線和圓錐曲線的位置關系題型二：弦的垂直平分線問題題型三：動弦過定點問題題型四：過已知曲線上定點的弦的問題題型五：共線向量問題題型六：面積問題題型七：弦或弦長為定值的問題題型八：角度問題題型九：四點共線問題題型十：范圍為題（本質是函數(shù)問題）題型一:存在性問題（存在點，存在直線y kx m，存在實數(shù)，三角形（等邊、等腰、直角），四邊形（矩形，菱形、正方形），圓） 二熱點問題1.定義與軌跡方程問題2. 交點與中點弦問題3. 弦長及面積問題4. 對稱冋題5. 范圍問題6. 存在性問題7. 最值問題8. 定值，定點，定直

2、線問題第二部分知識儲備1.判別式:2.韋達定理:兒二次方程 ax2b24ac若一兀二次方程bx2axc 0(a0） 相關的知識（三個“二次”問題）bx c0（a 0）有兩個不等的實數(shù)根Xl,X2，則x-ix2bc,x!X2aa3.求根公式:若一兀二次方程2axbx c0（a 0）有兩個不等的實數(shù)根xX2，則bxi,2.b24ac2a二與直線相關的知識1.直線方程的五種形式：點斜式，斜截式，截距式，兩點式，一般式點到直線的距離公式：d AX0A2ByB2CI或d kX：i2y0k2b（斜截式）3.弦長公式：直線y kx b上兩點B（X2, y2）間的距離:5.中點坐標公式：已知兩點人（為，）弋區(qū)

3、2），若點M x, y線段 AB 的中點，則XiXiyiy2x1-,y122 2三圓錐曲線的重要知識考綱要求：對它們的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質，文理要求有所不同。文科：掌握橢圓，了解雙曲線；理科：掌握橢圓及拋物線，了解雙曲線1.圓錐曲線的定義及幾何圖形：橢圓、雙曲線及拋物線的定義及幾何性質。2.圓錐曲線的標準方程：橢圓的標準方程2雙曲線的標準方程3拋物線的標準方程3.圓錐曲線的基本性質：特別是離心率，參數(shù)a,b,c三者的關系，p的幾何意義等2 b2o b2絲，雙曲線絲，拋物線a焦點三角形的面積：p在橢圓上時 SVF-PF2b2tan 22p在雙曲線上時SvFiPF2b2/ tan -

4、四常結合其他知識進行綜合考查1.圓的相關知識：兩種方程，特別是直線與圓，兩圓的位置關系2.導數(shù)的相關知識：求導公式及運算法則，特別是與切線方程相關的知識3.向量的相關知識：向量的數(shù)量積的定義及坐標運算，兩向量的平行與垂直的判斷條件等4.三角函數(shù)的相關知識：各類公式及圖像與性質5.不等式的相關知識：不等式的基本性質，不等式的證明方法，均值定理等五.不同類型的大題（I）圓錐曲線與圓例 I.（本小題共 I4 分）2.與直線相關的重要內容：傾斜角與斜率:y tan,0,）;ABk2|x,x2. （廠k2） （人X2）24XiX2】（或AB4.兩直線li: yi匕為bj2：y2k2X2b2的位置關系:l

5、iI2kik21li/I2kik2且 bib24.圓錐曲線的其他知識：通徑：橢圓2p則x x24x03x：4 公必8 2x23xo4Tcos AOB-ttu-uuOAOB，且uuu uuuOA OB mx2y1y2mx2X0X2,y0(I)求雙曲線C的方程；(n)設直線|是圓o：x2y22上動點P(x0, y0)(x0y00)處的切線，I與雙曲線C交于不同的兩點A, B，證明AOB的大小為定值【解法 1】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程 的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力.a23(I)由題意，得c 3，解得a 1,c -.3,C運a2 b2c

6、2a22 ,所求雙曲線C的方程為x2 1.22 2(n)點P X0,yxy00在圓x y 2上，圓在點P x0, y0處的切線方程為y y00 x x0,y?；喌肵0X2.2由x2y_212 2 2 2 2及X0y2得3x04 x4x0 x 8 2x00,x)x yy22切線I與雙曲線 C 交于不同的兩點 A、B,且0 X。2,2 2 2 2- 3x4 0,且16x24 3x24 8 2x；0,設 A、B 兩點的坐標分別為 捲1, X2,y2,2 2已知雙曲線C:篤爲a b1(a 0,b 0)的離心率為、3，右準線方程為x,33uuuOA OB圓C相交于E,F兩點，與X軸相交于點B.且當m

7、o時，XjX24 2x0 x-ix2Xo2XoXi【解法 2】（I）同解法 1.28 2xp3xo48 2 富3x：48 2xoAOB的大小為90.(n)點PXoyo0在圓x2程為yyo魚xyox0，化簡得XoXyoy3XOx24x0 x8 2xf3x：48yoX 82xo 0切線I與雙曲線 C 交于不同的兩點2yo_8x|3XT0.2上,A、B,23Xo40,設 A、B 兩點的坐標分別為2則8 2xo則X1X22；，Y1Y2uuu uuu-OA OB X1X22且Xoyo2Xo方程的判別式均大于零）練習 1:已知點A是橢圓2C:x-92 2Xo8 2xo3xo圓在點PX2XoXXi,yiXo

8、, yo處的切線方2y_2yoy 21及Xoyo2x22,X2, y2,22xo 82，3xo42,oAOB的大小為9o.2yo2，從而當?shù)淖箜旤c，直線23xo40時，方程和I:Xmy 1(m R)與橢（I）求橢圓C的方程;AEF的面積為.(n)設直線AE,AF與直線x 3分別交于M,N兩點，試判斷以MN為直徑的 圓是否經過點B?并請說明理由.(2)圓錐曲線與圖形形狀問題x2例 2.1已知 A, B, C 是橢圓 W:+ y2= 1 上的三個點，0 是坐標原點.4當點 B 是 W 的右頂點，且四邊形 OABC 為菱形時，求此菱形的面積；(2)當點 B 不是 W 的頂點時，判斷四邊形 OABC

9、是否可能為菱形，并說明理由.2x解：橢圓 W 一 +y2= 1 的右頂點B的坐標為(2,0).4因為四邊形OABC菱形，所以AC與0B相互垂直平分.12所以可設A(1 ,m)，代入橢圓方程得Fm=1，即m=4所以菱形OABC勺面積是 丄|OBAC=-x2X2|m= 3.2 2(2)假設四邊形OABC為菱形.因為點B不是W勺頂點，且直線AC不過原點，所以可設AC的方程為y=kx+mjk0, 0).消y并整理得(1 + 4k2)x2+ 8kmx+ 4nn- 4= 0.設A(X1,y1) , Qx2,y2),4y24,kx m則x1x224kmy1y22,1 4k22m1 4k2所以AC的中點為M4

10、km m1 4k2,1 4k21因為M為AC和OB的交點，所以直線OB的斜率為 4k1因為k工一 1，所以AC與OB不垂直.4k所以OAB(不是菱形，與假設矛盾.所以當點B不是W勺頂點時，四邊形OAB(不可能是菱形.練習1:已知橢圓 C:x22占1(a b 0)過點C 2,1)，且以橢圓短軸的兩個端點和b2一個焦點為頂點的三角形是等腰直角三角形.(I)求橢圓的標準方程；值時點M的坐標.MP的最小值及取最小(3)圓錐曲線與直線問題例 3.1已知橢圓C : x22y24,(1)求橢圓C的離心率.22解析：橢圓的標準方程為： 土42法一:(2)設0為原點，若點A在橢圓C上，點B在直線y2上，且 OA

11、0B，求直線AB與圓2 2x y2的位置關系，并證明你的結論設點AB的坐標分別為luur因為 OA 丄 OB，所以 OAxoyot 2，其中UHOB o，即 txo2yoXoxot 時，yot2-，代入橢圓C的方程，得2故直線AB的方程為 x2此時直線AB與圓x解得2,-2 .圓心 0 到直線AB的距離 dy22相切.當xot 時，直線AB的方程為 yxxot2yoX。2.即 y2 xxot y 2xotyo0.圓心 O 到直線AB的距離2xotyo2Xot又 x22y；紐，故xoc2心4 X2XoxoXo2x42x 8xo16yO迤4Xo此時直線AB與圓 x2y22 相切.法二：由題意知，直

12、線 OA 的斜率存在，設為 k，則直線 OA 的方程為y kx，OA 丄 OB,直線b 2 則 c . 2，離心率ec J2a 22 2 AB與當k0 時，A 2 0，易知 B 0 2，此時直線AB的方程為 x1xk 得點B的坐標22 k22法三:此時直線AB與圓 x2y22 相切;當 k 0 時，直線 OB 的方程為 y原點到直線AB的距離為、2，此時直線AB與圓x22相切;當k 0 時，直線 OB 的方程為 y lx，k聯(lián)立kx2y22得點A的坐標1 2k242k.廠2k222k22k.廠2加；聯(lián)立由點A的坐標的對稱性知，無妨取點A1 2k22k12k2進行計算，于是直線AB的方程為:2k

13、22y22x二2k1 2k22k:k.1 2R2x 2k，即 k .1 2k2x 1k 1 2k2y 2k220原點到直線AB的距離2 ._ . 21 2k21 k 1 2k2此時直線AB與圓2相切。綜上知，直線AB一定與圓x2y22 相切.當k時，A 2 0，易知B 0 2，此時 OA 2 OBAB廠22 2，原點到直線AB的距離 dOA OBAB2 2-2&，設mBx2y2，則OAVTpxi，OBy22 1 k2，2 2 1 k2.1 2k2.廠 2k2綜上知，直線AB一定與圓 x2y22 相切2 2練習1：已知橢圓c:篤爲a b左焦點 F 的直線交橢圓C于 A，B 兩點，O 為坐

14、標原點.(I)求橢圓C的標準方程；(H)若直線 AB 垂直于 x 軸，判斷點 O 與以線段 AB 為直徑的圓的位置關系， 并說明理由;(川)若點 O 在以線段 AB 為直徑的圓內，求直線 AB 的斜率k的取值范圍(4)圓錐曲線定值與證明問題例 4.1已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為3，且橢圓c上的點到2兩個焦點的距離之和為4(I)求橢圓C的方程；(n)設A為橢圓C的左頂點，過點A的直線l與橢圓交于點M,與y軸交于點N,過原點與I平行的直線與橢圓交于點P證明：| AM | | AN | 2 | OP |22 2解：(I)設橢圓C的標準方程為 冷吿1(a b 0),a b2.22a

15、 b c ,由題意知,解得a 2,b 1a 22a 4,2k2k聯(lián)立：2 :24 得點A的坐標2*或1 2k21 2k2；于是OA 1一k2|xA21k2OB 2 1 k2,所以 dOA OBAB2.2 1 k22,直線AB與圓x2y22相切;1(a b 0)過點(0,1)，且長軸長是焦距的AB4 1 k22X22所以橢圓C的標準方程為y21. . 5分4(n)設直線AM的方程為：y k(x 2)，則N(0,2k).y k(X 2)，/曰川M2222由22得(1+4k )x 16k x 16k4 0(*).x 4y 4,設A( 2,0)/M(石，yj，則2/石是方程(*)的兩個根，0) / O

16、AB 的面積為 1.(I )求橢圓 C 的方程；(I I)設 P 的橢圓 C 上一點/直線 PA 與 Y 軸交于點 M 直線 PB 與 x 軸交于點 No所以X,2 8k21 4k2| AN | .4 4k22.1 k2.|AM| |AN|&21&8(1 k2)1 4k24k2設直線OP的方程為：ykx.y kx,由；24y24得(14k2)x2設P(x0,y。)，則x0241 4k22y。4k21 4k2所以|OP|2/2|OP|28k21 4k22所以|AM | | AN | 2|OP|.X2例 4.2:已知橢圓C：a2y_b2(ab0)的離心率為/ A( a,0 ) ,B

17、(0,b)/ 0(0/| AM |所以鵡命-4.1 k21 4k2求證：AN ? BM為定值。2W.【1)由已如得.=|=1.”iftjka2= h2+ c2.-由詢得滬2爐1則慚闘方弭為呂+屮二1,(ID設畫創(chuàng)上蟲卩的唯標為(2帥昭切皿八又已HAp.O.R(OJ)t則亞線卩月的方林為y - - (x 2)2CQF& -Z令就可以得到M點啪標為 5,半 7 *艮樣可厲得到N的坐標為【啟籍川)，焦點構成的三角形的面積為3(I)求橢圓C的方程；(n)已知動直線y k(x 1)與橢圓C相交于A、B兩點.若線段AB中點的橫坐標17uuuT uur為，求斜率k的值；若點M (,0),求證：MA

18、MB為定值23練習2:已知拋物線 C : y2= 2 px ( p 0),其焦點為 F, O 為坐標原點，直線 AB (不垂直 于 x 軸)過點 F 且拋物線 C 交于 A , B 兩點，直線 OA 與 OB 的斜率之積為p .(1 )求拋物線 C 的方程；(2)若 M 為線段 AB 的中點，射線 OM 交拋物線 C 于點 D ,求證：|OD|2|OM |練習3:動點P(x, y)到定點F(1,0)的距離與它到定直線l: x 4的距離之比為-.2(I)求動點P的軌跡C的方程；則I刖1訂網彳需 72x練習1:已知橢圓C : -yab21(a b 0)的離心率為橢圓短軸的一個端點與兩個q忡0珅一1

19、+,礙 I 1 -fi n/f1-CPflX。(H)已知定點A( 2,0)，B(2,0)，動點Q(4,t)在直線I上，作直線AQ與軌跡C的另一個交點為M，作直線BQ與軌跡C的另一個交點為N，證明：M , N,F三點共線.(5)圓錐曲線最值問題22燉例 5：已知橢圓C:篤占1(a b 0)的離心率為，橢圓C與y軸交于A，B兩點，a b 2|AB| 2.(I)求橢圓C的方程；(H)設點P是橢圓C上的一個動點，且點P在y軸的右側.直線PA,PB與直線x 4分別相交于M,N兩點.若以MN為直徑的圓與 x 軸交于兩點E,F，求點P橫坐標的取值范圍及| EF |的最大值解：(I)由題意可得，b1,.1 分

20、c.2 分e -a2/曰a213得2.3 分a4解a24,.4 分橢圓C的標準方程為2xy21.5 分4(n)設P(x),y0)(0 x 2),A(0,1),B(0,1),所以kPA山，直線PA的方程為y丿x 1,.6 分X。X。同理：直線PB的方程為y1,x直線PA與直線x 4的交點為M (4, 1),所以該圓被X軸截得的弦長為最大值為2.點 F 的直線 I 與橢圓 C 交于 A, B 兩點，線段 AB 中點為 D, O 為坐標原點，過 O, D 的直線交 橢圓于 M，N 兩點。（1）求橢圓 C 的方程；（2）求四邊形 AMBN 面積的最大值。練習2：已知橢圓C: mx23my21（m 0）

21、的長軸長為 2 6，O為坐標原點（I）求橢圓C的方程和離心率；（H）設點 A（3,0），動點B在y軸上，動點P在橢圓C上，且P在 y 軸的右側，若 | BA|BP|，求四邊形OPAB面積的最小值直線PB與直線x 4的交點為N（4,_卩1）,Xo線段MN的中點（4,4yo）,Xo所以圓的方程為(x 4)2(y4-y)2(1)2,令y0,則(x4)216y0(1X。X027)10 分11 分因為這個圓與X軸相交，該方程有兩個不同的實數(shù)解,所以50，解得x0(8,2.Xo512 分設交點坐標（為,0）,&2,0），則|咅14 分2 2練習1：已知橢圓 C養(yǎng)1ab的一個焦點為 F（2，0），離心率為6。過焦3Xo（6）圓錐曲線存在性問題2 2 .例 6已知橢圓C: 篤每1 a b 0的離心率為 ，點P 0,1和點A m, n m 0a b2都在橢圓C上，直線PA交X軸于點M（I）求橢