(完整word版)2013年高考理科數(shù)學江蘇卷試題與答案word解析版,推薦文檔

1、2013 江蘇數(shù)學（文理合卷）第1頁2013 年普通高等學校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學（江蘇卷）數(shù)學I試題、填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共計 70 分請把答案填寫在答題卡相應位置上.n1 （2013 江蘇，1）函數(shù)y 3sin 2x 的最小正周期為 _42.（2013 江蘇，2）設z= （2 i）2（i 為虛數(shù)單位），則復數(shù)z的模為_2 23.（2013 江蘇，3）雙曲線 乞=1的兩條漸近線的方程為1694._（2013 江蘇，4）集合 1,0,1共有_個子集.5.（2013 江蘇， 5） 下圖是一個算法的流程圖，則輸出的n的值是_.6. （2013 江蘇，6）抽樣統(tǒng)計甲、乙兩

2、位射擊運動員的 5 次訓練成績（單位：環(huán)）, 結(jié)果如下：7.（2013 江蘇，7）現(xiàn)有某類病毒記作，其中正整數(shù)m,n（mc乙nw9）可以任意選取，則m,n都取到奇數(shù)的概率為_ .8._（2013 江蘇， 8） 如圖， 在三棱柱ABCABC中,D, E, F分別是AB, AQ AA的中點， 設三棱錐FADE的體積為V,三棱柱ABCABC勺體積為V2,貝UV:2=_.9. （2013 江蘇，9）拋物線y=x2在x= 1 處的切線與兩坐標軸圍成三角形區(qū)域為D（包含三角形內(nèi)部和邊界）.若點P（x,y）是區(qū)域D內(nèi)的任意一點，貝U x+ 2y的取值范圍是 _.10.（2013 江蘇，10）設 D,E分別是

3、ABC的邊AB BC上的點,ujuruuuDE1AB11.（2013 江蘇，11）已知f（x）UULT2AC（入1,入2為實數(shù)），則是定義在ADAB,BE=-BC.若23入1+入2的值為_.R 上的奇函數(shù)，當x0 時，f（x） =x2 4x，則不等式f（x） 運動員第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次甲8791908993乙8990918892工N-1a-2則成績較為穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\動員成績的方差為 _2013 江蘇數(shù)學（文理合卷）第2頁x的解集用區(qū)間表示為_ .2 =1（a 0,b 0），右b焦點為F,右準線為I，短軸的一個端點為B設原點到直線BF的距離為d1,F到I的

4、距離為d2.若d2. 6d1,則橢圓C的離心率為_ .一113.（2013 江蘇，13）在平面直角坐標系xOy中，設定點A（a,a）,P是函數(shù)y （x0）圖象上一動x2xxOy中，橢圓C的標準方程為 a12. （2013 江蘇，12）在平面直角坐標系2013 江蘇數(shù)學（文理合卷）第3頁點若點P, A之間的最短距離為2罷，則滿足條件的實數(shù)a的所有值為 _ .114.（2013 江蘇，14）在正項等比數(shù)列an中，a5,a6+a?= 3.則滿足ai+a?+anaan的2最大正整數(shù)n的值為_.二、解答題：本大題共6 小題，共計 90 分.請在答題卡指定區(qū)域.內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算

5、步驟.15.（2013 江蘇，15）（本小題滿分 14 分）已知a= （cosa, sina） ,b= （cos卩，sin卩）,0v卩VaVn.（1） 若|a-b|=72，求證：ab;（2） 設c= （0,1），若a-b=c,求a,卩的值.AB過A作AF丄SB,垂足為F,點E, G分別是棱SA SC的中點. 求證：（1）平面EFG/平面ABC（2）BCL SA16. （2013 江蘇，16）（本小題滿分 14 分）如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SABL平面SBC AB BC AS=C2013 江蘇數(shù)學(文理合卷)第4頁17.(2013 江蘇，17)(本小題滿分 14 分)如圖，在平面直角坐標

6、系xOy中，點A(0,3)設圓C的半徑為 1，圓心在I上.(1) 若圓心C也在直線y=x-1 上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；(2) 若圓C上存在點M使MAF2MO求圓心C的橫坐標a的取值范圍.18.(2013 江蘇，18)(本小題滿分 16 分)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑一種是從A沿直線步行到C另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為 50 m/min，在甲出發(fā) 2 min 后，乙從A乘纜 車到B,在B處停留 1 min 后，再從B勻速步行到C假設纜車勻速直線運動的速度為130 m/min，山

7、路AC123長為 1 260 m，經(jīng)測量，cosA=, cosC=-.135(1) 求索道AB的長；2013 江蘇數(shù)學(文理合卷)第5頁(2) 問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短?(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過2013 江蘇數(shù)學(文理合卷)第6頁19.(2013 江蘇，19)(本小題滿分 16 分)設劉是首項為 a,公差為d的等差數(shù)列(d0) ,S 是其前n項和.記bn,nN*，其中c為實數(shù).n c(1)若c=0,且b1, b,b4成等比數(shù)列，證明：$k=n2$(k,n N*)；若bn是等差數(shù)列，證明：c= 0.20.(2013 江蘇，20)(本小題滿分 16 分)設函

8、數(shù)f(x) = lnxax,g(x) = ex-ax，其中a為實數(shù).(1)若f(x)在(1,+s)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(1 ,+)上有最小值，求a的取值范圍；若g(x)在(1,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，試求f(x)的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論.2013 江蘇數(shù)學（文理合卷）第7頁數(shù)學n（附加題）【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答若多做，則按作答的前兩小題評分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟21.（2013 江蘇，21）A.選修 4 1:幾何證明選講（本小題滿分 10 分）如圖，AB和BC分別與圓O相切于點D, C, AC經(jīng)過圓心Q且BC

9、=2OCB.選修 4 2 :矩陣與變換（本小題滿分 10 分）已知矩陣A=1 0,B=0 2，求矩陣C. 選修 4 4:坐標系與參數(shù)方程 （ 本小題滿分x t 1,x（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為y 2ty10 分）在平面直角坐標系xQy中，直線I的參數(shù)方程為2tan22tan（e為參數(shù)）.試求直線I和曲線C的普通方程,2013 江蘇數(shù)學（文理合卷）第8頁3322D.選修 4 5:不等式選講（本小題滿分 10 分）已知ab0，求證：2ab 2aba b.2013 江蘇數(shù)學（文理合卷）第9頁【必做題】第 22 題、第 23 題，每題 10 分，共計 20 分請在答題卡指定區(qū) 說明、證明過程或演

10、算步驟.22. （2013 江蘇，22） （本小題滿分 10 分）如圖，在直三棱柱 點D是BC的中點.（1） 求異面直線AB與CD所成角的余弦值；（2） 求平面ADC與平面ABA所成二面角的正弦值.23. (2013 江蘇，23)(本小題滿分 10 分)設數(shù)列an : 1, 2, 2,3,3,3 , 4, 4, 4, 4，6 4 4 4 7個4 4 48kk(1)k 1k,L ,( 1)k 1k，即當-n -(k N*)時，an= ( 1)k1k.記 S=a1+a2+-+an(n2 2 N).對于I N,定義集合R= n|S 是an的整數(shù)倍，nN*,且 1 20,跳出循環(huán), 輸出n= 3.6.

11、答案：2解析：由題中數(shù)據(jù)可得x甲=90,x乙=90.212 2 2 2 2212于是S甲= (87 90) + (91 90) + (90 90) + (89 90) + (93 90) = 4,s乙=(89 90) + (90552 2 2 290) + (91 90) + (88 90) + (92 90) = 2,2 2由S甲Sz，可知乙運動員成績穩(wěn)定.故應填 2.解析：由題意知m的可能取值為 1,2,3，7；n的可能取值為 1,2,3，9.由于是任取mn：若 m= 1時，n可取 1,2,3，9,共 9 種情況；同理m取 2,3，7 時，n也各有 9 種情況，故m n的取值情況共有 7X

12、9= 63 種.若m,n都取奇數(shù)，則m的取值為 1,3,5,7 ,n的取值為 1,3,5,7,9&答案：1 : 24解析： 由題意可知點F到面ABC勺距離與點A到面ABC勺距離之比為 1 : 2 ,SMDE：SMBC=1 : 4.2AF SABC解析：函數(shù)y 3sin 2x2.答案：5n的最小正周期T42n n.7.答案:2063,因此滿足條件的情形有 4X5= 20 種.故所求概率為2063因此V:V2=AF SAED3=1 : 24.2013 江蘇數(shù)學（文理合卷）第11頁19.答案：2,丄丄2解析： 由題意可知拋物線y=x2在x= 1 處的切線方程為y= 2x 1.該切線與兩坐標軸

13、圍成的區(qū)域如圖中陰影部分所示:2013 江蘇數(shù)學(文理合卷)第12頁11當直線x+ 2y= 0 平移到過點A,o時，x+ 2y取得最大值.22當直線x+ 2y= 0 平移到過點B(0，- 1)時，x+ 2y取得最小值2.1因此所求的x+ 2y的取值范圍為2寸1 uuu 2 uuur uuu ABAC1AB631故入1+入2=.2uuur122ACe，入2=11.答案：(5,0)U(5 ,+)2x 4x,x0,解析：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且x 0 時，f(x) =x 4x，貝 Uf(x)=0,x0,原不等式等價于2x4x, x 0,110.答案：一2解析：由題意作圖如圖.uuur uuur在AB

14、C中,DE DBuuu 1 uuu 2 uuuBE - AB BC231 uuu 2 UULT2AB嚴uuuAB)2013 江蘇數(shù)學（文理合卷）第13頁x 0,或x 0,2或2x 4x x, x 4x x,由此可解得x 5 或一 5vxv0. 故應填(5,0)U(5,+s).12.答案：3解析：設橢圓C的半焦距為c,由題意可設直線BF的方程為-結(jié)合題意可知(1)當aw2,t= 2 時，IPA2取得最小值.此時(2 a)2+a2 2 = 8,解得a=1,a= 3(舍去).當a 2,t=a時，|PA2取得最小值.此時a2 2= 8,解得a=、10,a=.10(舍去).故滿足條件 的實數(shù)a的所有值為

15、,10, 1.14.答案：12解析：設正項等比數(shù)列an的公比為q,則由 ，a6+a= a5(q+q2) = 3 可得q= 2,于是an= 2n6,(1 2n)1則a+a2+an=322n 5.1 2321門a5 ,q=2,2.A2-a6= 1,a1a11=a6= 1.11.7I611.- aa2an= 1.當n取 12 時，a1+a2+ +a12= 2 aa2a11a12=a12= 2 成立；當n取 13 時，a1+a232A8I6713+ +a13= 2 va1a2a11a12a13=a12a13= 2 2= 2 .當n 13 時，隨著n增大a1+a2+ &將恒小于32an.因此所求

16、n的最大值為 12.二、解答題：本大題共6 小題，共計 90 分請在答題卡指定區(qū)域.內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.、.2 2 2 215.(1)證明：由題意得 |ab| = 2，即(ab) =a 2a b+b= 2.y=1，即bx+cybc= 0.于是可知bdibc一b2c2竺竺，d2a2 2 2 ,2a a c b ccc cd2一6di，-業(yè)，即ab飛c2.c a3- e3.13. 答案：1,0解析1:設P點的坐標為x,-，貝UxIPA222121=(x a)a = x2xx12a x -x1=2a2.令t x 2，則 |PA2=t2 2at+ 2a2 2x222442

17、21 a(ac) = 6c. / 6e+e 1= 0. /e=.2 2=(ta) +a 2 (t2).2013 江蘇數(shù)學(文理合卷)第14頁又因為a2=b2=|a|2=|b|2= 1,所以 2 2a-b= 2,即a-b= 0.故a丄b.2013 江蘇數(shù)學（文理合卷）第15頁解:因為3) = (0,1),所以coscos0,a+b=(cosa+ cos(3,sina+ sinsinsin1,由此得 cosa=cos(n 卩).由 03,所以5n,n26616證明：因為AS= AB AF丄SB垂足為F,所以F是SB的中點又因為E是SA的中點，所以EF/AB因為EF平面ABC AB平面ABC所以EF

18、/平面ABC同理EG/平面ABC又EFAEG= E,所以平面EF(/平面ABC因為平面SABL平面SBC且交線為SB又AF平面SAB AF丄SB所以AF丄平面SBC因為BC平面SBC所以AF丄BC又因為ABL BC,AFnAB= A, AF, AB平面SAB所以BCL平面SAB因為SA平面SAB所以BCLSA17.解：(1)由題設，圓心C是直線y= 2x 4 和y=x 1 的交點，解得點C(3,2),于是切線的斜率必存在. 設過A(0,3)的圓C的切線方程為y=kx+ 3 ,由題意，1 311= 1,解得k= 0 或3,賦14故所求切線方程為y= 3 或 3x+ 4y 12= 0.因為圓心在直

19、線y= 2x 4 上，所以圓C的方程為(xa)2+ y 2(a 2)2= 1.設點Mx,y),因為MA=2MO所以x2y 32=2x2y2,化簡得x2+y2+ 2y 3= 0,即x2+ (y+ 1)2= 4,所以點M在以 Q0 , 1)為圓心，2 為半徑的圓上.由題意，點Mx,y)在圓C上,所以圓C與圓D有公共點，貝 U |2 1|wCDc2+ 1,即1 , a22a 323.由 5a 12a+ 80,得a R；,2/ 冃12由 5a12aw0,得 0waw.2013 江蘇數(shù)學(文理合卷)第16頁5所以點C的橫坐標a的取值范圍為18 .解：在厶ABC中 ,因為 cosc 120,.512A=二

20、,13cos從而 sinB=sinn(A+C)=sin(A+C=sin35C=-,所以 sinA= 一 ,5135ADOSC+ cosAsinC=sinC=仝512413 56365AR由正弦定理倍-sin C匹，得ABsin BAC. c 1260 4sinC= 1 040(m).sin B6- 565所以索道AB的長為假設乙出發(fā)tmin 后，甲、乙兩游客距離為d,此時，甲行走了 (100 + 50t) m ,乙距離12所以由余弦定理得d2= (100 + 50t)2+ (130t)2-2X130tX(100 + 50t)X= 200(37t2- 70t+ 50),131 040 m.A處

21、130tm ,104035因 0Wtw,即 0Wtw8,故當t(min)時，甲、乙兩游客距離最短.130372013 江蘇數(shù)學(文理合卷)第17頁由正弦定理-BC竺，得BC=竺sin A譬 -=500(m).si nA sin BsinB631365乙從B出發(fā)時，甲已走了50X(2 + 8 + 1) = 550(m)，還需走 710 m 才能到達 C.120 .解：令f(x)=-x1,即f(x)在(a1,+8)上是單調(diào)減函數(shù).上是單調(diào)減函數(shù)， 故(1 ,+8)xvlna時，g(x)v0；當x Ina時，g(x) 0.又g(x)在(1 , +m)上有最小值，所以Ina 1，即a e.綜上，有a(

22、e, +8).當a0 時，令g(x) = exa0，解得avex，即卩xIna. 因為g(x)在(1,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，類似 有 Inaw1，即 0va0，得f(x)存在唯一的零點；19.證明：由題設，Snn(nna -21)d.(1)由c=0,得bnSnn J ad.又因為b, b2,b4成等比數(shù)列，所以2n2即d a -=a a3d，化簡得d2 _2ad= 0.因為0,所以d= 2a.22C處互相等待的時間不超過3 min，乙步行的速度應控制在因此，對于所有的 肚 N,有Sm=ma._ * 2 2 2 2從而對于所有的k,n N,有 &= (n k)a=n ka=n S.,2b

23、=bb.設乙步行的速度為vm/min，由題意得3 500710503， 解得1250625，所以為使兩位游客在14竺，625(單位:4314m/min)范圍內(nèi).(2)設數(shù)列bn的公差是d1，則bn=b1+ (n 1)d1,即即2nnSn理得，對于所有的*1n N,有d1-d21B=b1d1a+d,2thd1a=b+ (n 1)d1,n N，代入Sn的表達式，整c12d ncd1n=c(d1b).2D=c(d1b，則對于所有的n N,有An3+Bn2+cdn=D.(*)n= 1,2,3,4，得A+B+cd1= 8A+ 4B+ 2cd1= 27A+ 9B+ 3cd1= 64A+ 16B+ 4cd1

24、,7A3Bcd10,從而有19A5Bcd10,21A5Bcd10,由，得A=0,cd1= 5B,代入方程,得即d11d=0,b1d11-a+d= 0,cd1=022d= 0,與題設矛盾，所以d& 0.1 axv0,考慮到f(x)的定義域為(0,+s)，故a0,進而解得x同理，f(x)在(0 ,a1)上是單調(diào)增函數(shù).由于f(x)在(1 , (a1,+m),從而a1w1,即a 1.令g(x) = exa= 0, 得x= In+ )a.當?shù)肂= 0，從而cd1= 0.令A=d1d,2在(*)式中分別取1若d1= 0，則由d1d= 0,2又因為cd1= 0，所以c= 0.12013 江蘇數(shù)學(

25、文理合卷)第18頁x2當av0 時，由于f(ea) =aaea=a(1 ea)v0,f(1) =a 0，且函數(shù)f(x)在ea,1上的圖象不間斷, 所以f(x)在(ea,1)上存在零點.另外，當x 0 時，f(x) = - a 0，故f(x)在(0,+)上是單調(diào)增函數(shù)，所以f(x)只有一個零點.x3當 0vawe1時，令f(x) = a= 0,解得x=a-當 0 0,當xa1時，f(x)x1 1 0，即 0a e 時，f(x)有兩個零點.實際上，對于 0 a e1,由于f(e1) = 1 ae1 0，且函數(shù)f(x)在e一1,a1上的圖象不11間斷，所以f(x)在(e ,a)上存在零點.另外，當x

26、 (0 ,a1)時，f (x) = 一 a 0,故f(x)在(0 ,a一1)上是單調(diào)增函數(shù)，所以f(x)在(0 ,a1)x上只有一個零點.下面考慮f(x)在(a一1,+)上的情況.先證f(ea1) =a(a2 ea1) e 時，exx2.設h(x) = exx2,則h (x) = ex 2x，再設I(x) =h (x) = ex 2x, 則I(x) =e 2.當x 1 時，1(x) = ex 2e 20,所以I(x) =h( x)在(1 , +)上是單調(diào)增函數(shù).故當x2 時，h( x)x. ,2=e 2xh(2) = e 4 0,從而h(x)在(2,+s)上是單調(diào)增函數(shù)，進而當xe 時，h(x

27、) = exx2h(e) = ee e2 0.即當x e 時，exx2.當 0a e 時，f(ea1) =a1aea1=a(a2 ea1) 0，且函數(shù)f(x)在a一1,一 一 一 一1ea一1上的圖象不間斷，所以f(x)在(a一1, ea1)上存在零點.又當xa1時，f (x)= a 0,故f(x)x在(a1,+g)上是單調(diào)減函數(shù)，所以f(x)在(a1,+g)上只有一個零點. 綜合，當a0或a=訂時，f(x)的零點個數(shù)為 1, 當 0 ab 0,所以ab0,a+b 0,2a+b0,從而(ab)(a+b)(2a+b)0，即卩 2ab2aba b.【必做題】第 22 題、第 23 題，每題 10

28、分，共計 20 分.請在答題卡指定區(qū) 域內(nèi)作答，解答時應寫出文字 說明、證明過程或演算步驟.22.解：（1）以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz,則A(0,0,0), 02,0,0) ,C(0,2,0),D(1,1,0) , A(0,0,4) ,C(0,2,4),unruuuu所以AB= (2,0 , 4) ,G D= (1 , 1 , 4).uuir uuuuuur uuuDAIB CID因為 cosAB,C1D=uuur|uuuuAB|GD1 0 ab 1,即a b0 1 2c 2d故a= 1,b= 0,c= 0,1，從而A的逆矩陣為A1=2C.解：因為直線l的參數(shù)方程為x

29、=t+1,y= 2t（t為參數(shù)），由x=t+ 1 得t=x 1,代入y= 2t，得到直2xy 2 =0.2013 江蘇數(shù)學(文理合卷)第21頁=183怖20 18 10 所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為 璧0.10uuirumuuuiruuun設平面ADC的法向量為ni= (x,y,z)，因為AD= (1,1,0), AC1= (0,2,4)，所以niAD= 0,niAC1=0，即卩x+y= 0 且y+ 2z= 0,取z= 1，得x= 2,y=- 2,所以，m = (2 , - 2,1)是平面ADC的一個法向 量.取平面AAB的一個法向量為n2= (0,1,0)，設平面ADC與平面ABA所成二面角的大小為0.由 |cos0| =門1門22，得 sin0=2.|門1|門2| s/9 V1 33因此，平面ADC與平