方差分析法在學(xué)習(xí)成績中的運用

1、本科畢業(yè)論文（設(shè)計）（2012屆本科畢業(yè)生）題 目: 學(xué)生姓名: 學(xué)生學(xué)號: 學(xué)院名稱: 專業(yè)名稱: 指導(dǎo)教師:方差分析法在學(xué)習(xí)成績中的運用王金鳳08304070數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院 統(tǒng)計學(xué)楊光二零一二年五月摘要方差分析用于多個樣本均數(shù)差別的顯著性檢驗。它的基本思想是 通過分析研究不同來源的變異對總變異的貢獻大小，從而確定可控因 素對研究結(jié)果影響力的大小。現(xiàn)將方差分析法用于學(xué)生考試成績分析， 針對某大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)生成績的高低不同其學(xué)習(xí)時間不同的問題，設(shè)計實 驗。通過問卷調(diào)查獲取學(xué)生平時學(xué)習(xí)時間及期末學(xué)習(xí)成績的數(shù)據(jù)，并將其 整理、分組，和用excel直觀圖像表示。運用單因素方差分析數(shù)理統(tǒng)計法 計算

2、出結(jié)果，通過對結(jié)果分析，表明學(xué)習(xí)成績受學(xué)習(xí)時間的影響，并用spss 軟件檢驗，判定學(xué)習(xí)時間長的同學(xué)，學(xué)習(xí)成績普遍較高。目的在于鼓勵同 學(xué)們能將精力多用于學(xué)習(xí)，成為優(yōu)秀的大學(xué)生。關(guān)鍵字:方差分析，單因素方差分析，學(xué)習(xí)時間，學(xué)習(xí)成績a variance analysis method to students9 examination resultsabstract: the variance analysis method is used for multiple sample mean difference significance test. the basic idea is that it

3、 determines the size of the controllable factors to influence the findings by analyzing the contribution of different source of the total .the variance analysis method is introduced and used to analyze the examination results of the students of a university. using the data that is collected from que

4、stionnaire investigations of the students of the school, we arrange the data and do a research .single element variance is used to analyze the result and spss is used to justify the significance between five groups of the students' examination results and the time for leaning. we do the study ai

5、ming at encouraging the young to study hard and play a role in the society.keywords: analysis of variance, single element variance , leaning time, examination results目錄一、引言二、方差分析預(yù)備知識1（一）單因素方差分析簡介1（-）單因素方差分析前提條件2（三）單因素方差分析問題2（四）單因素方差分析計算步驟31、計算平均值42、計算離差平方和53、計算口由度64、計算平均平方65、f檢驗6三、問卷調(diào)査7（-）調(diào)查概況71、調(diào)查對

6、彖72、調(diào)查方式73、調(diào)查問卷7（）試驗設(shè)計8四、學(xué)習(xí)成績方差分析8（-）整理數(shù)據(jù)8（二）進行計算10（三）結(jié)果分析10（四）spss法判定結(jié)果11五、結(jié)束語13參考文獻14、弓丨言在科學(xué)研究和生產(chǎn)實踐小，常常需要同時研究兩個以上因素對試 驗結(jié)杲的影響，t檢驗法使用于樣木平均數(shù)及兩個樣木平均數(shù)間的差 異顯著性檢驗，但是在生產(chǎn)和科學(xué)研究小經(jīng)常會遇到比較多個處理優(yōu) 劣的問題，即需進行多個平均數(shù)間的差異顯著性檢驗。這時t檢驗不 合適是因為（1）檢驗過程繁瑣（2）無統(tǒng)一的試驗誤弟，誤差估計的 精確性和檢驗的靈敏性低。（3）判斷的可靠性低。方差分析法常用于 解決此類問題。方差分析是由英國統(tǒng)計學(xué)家r.a.

7、 fisher與1923年提出的。其用 于多個樣本均數(shù)差別的顯著性檢驗。它的基本思想是通過分析研究不 同來源的變異對總變異的貢獻大小，從而確定可控因素對研究結(jié)果影 響力的大小。其目的是通過數(shù)據(jù)分析找出對該事物有顯著影響的因素, 各因素z間的交互作用，以及顯著影響因素的最佳水平等。方差分析又分為單因素方差分析、雙因素試驗方差分析、多因素 方差分析和協(xié)方差分析等。本論文主耍運用單因素方茅分析解決學(xué)習(xí) 時間與學(xué)習(xí)成績的關(guān)系。高校是教學(xué)和研究的重要基地，也是培養(yǎng)人才的重要場所。學(xué)生 以同等的分?jǐn)?shù)被大學(xué)錄取，但是升入大學(xué)后學(xué)生的成績出現(xiàn)了顯著的 差異。有些學(xué)生厭學(xué)，岀現(xiàn)逃課，上網(wǎng)打游戲，整天無所事事。此

8、類 學(xué)生的學(xué)習(xí)成績普遍較低，嚴(yán)重者最終導(dǎo)致不能正常畢業(yè)。相反的， 那些學(xué)習(xí)刻苦認(rèn)真，孜孜不倦的同學(xué)，普遍取得了優(yōu)異學(xué)習(xí)成績。古 語總說天道酬勤，努力學(xué)習(xí)會取得好的成績也是一個不爭的事實。能 否通過具體實驗，運用客觀數(shù)據(jù)體現(xiàn)學(xué)習(xí)時間與學(xué)習(xí)成績的關(guān)系。隨 著學(xué)校教育與管理信息程度化不斷提高，學(xué)校積累了大量的學(xué)生成績 數(shù)據(jù)。現(xiàn)用單因素方差分析法研究學(xué)習(xí)時間與學(xué)習(xí)成績的關(guān)系。二、方差分析法預(yù)備知識（-）單因素方差分析簡介單因素方差分析是用來研究一個控制變量的不同水平是否對觀測 變量產(chǎn)生了顯著影響。由于僅研究單個因素對觀測變量的影響，因此 稱為單因素方差分析。例如，分析不同施肥量是否給農(nóng)作物產(chǎn)量帶來 顯

9、著影響。單因素方差分析的第一步是明確觀測變量和控制變量。單 因素方差分析的第二步是剖析觀測變量的方差。方差分析認(rèn)為：觀測 變量值得變動會受控制變量和隨機變量兩方面的影響。據(jù)此，單因素 方差分析將觀測變量總的離差平方和分解為組間離差平方和和組內(nèi)離 差平方和兩部分，用數(shù)學(xué)形式表述為sst二ssa+sse。單因索方差分析的 第三步是通過比較觀測變量總離差平方和各部分所山的比例，推斷控 制變量是否給觀測變量帶來了顯著影響。在觀測變量總離差平方和中，如果組間離差平方和所占比例較大， 則說明觀測變量的變動主要是由控制變量引起的，可以主要由控制變 量來解釋，控制變量給觀測變量帶來了顯著影響；反之，如果組間離

10、 差平方和所占比例小，則說明觀測變量的變動不是主要由控制變量引 起的，不可以主要由控制變量來解釋，控制變量的不同水平?jīng)]冇給觀 測變量帶來顯著影響，觀測變量值的變動是由隨機變量因索引起的。單因索方差分析基本步驟是提岀原假設(shè)，fv為 無差異；f> fa 有顯著差異。選擇檢驗統(tǒng)計量，方羌分析采用的檢驗統(tǒng)計量是f統(tǒng)計 量，即f值檢驗。計算檢驗統(tǒng)計量的觀測值和概率p值：該步驟的口 的就是計算檢驗統(tǒng)計量的觀測值和相應(yīng)的概率p值。給定顯著性水平， 并作出決策（-）單因素方差分析前提條件運用單因素方差分析法解決問題有以下前提（1）在每一個水平上的實驗結(jié)果是一個隨機變量©（i為第i個水平, j為

11、j次實驗），且服從于正態(tài)分布心，心，,心是第i個水平的正態(tài) 總體屮抽取的一個簡單隨機樣本，樣本容量為口。（2）所有的k個不同水平對應(yīng)的k個止太總體的方差是相等的，貝有 方差齊性，xjj n （“，d>2）o（3）k個總體是相互獨立的，樣本與樣本z間也是相互獨立的。要檢 驗的假設(shè)是：乞：“人二/二二從；不是所有的“（心12"）都相 等。若拒絕0）,則認(rèn)為至少有兩個水平z間的差異是顯著的，因素a對實 驗結(jié)杲有顯著影響；反z,若接受ii。，則認(rèn)為因素a對實驗結(jié)杲無顯著影 響，實驗結(jié)果在齊水平之間的不同僅僅是由于隨機因素引起的。（三）單因素方差分析問題單因素方差分析又稱一元方差分析，它

12、是討論一種因素對試驗結(jié)果有 無顯著影響。設(shè)某種單因素a有r種水平£,&,£，£,在每種水平下的試驗結(jié)果 服從正態(tài)分布。如果在各水平下分別作了® (z = l,2.-r)次試驗，通過單因 素試驗方差分析可以判斷因素a對試驗結(jié)杲是否有顯著影響。單因素方差 分析數(shù)據(jù)如下a-(四)單因素方差分析基本步驟為了便于理解，可以將方差分析過程劃分為以下幾步。1. 計算平均值將每種水平看成一組，令召為第i種水平上所有試驗的算術(shù)平均值, 稱為組內(nèi)平均值。即：i 1x; x. 9 (z = 1,2, r )nt j=i所以組內(nèi)和為:e二工乂耳二e總平均；為試驗值得算術(shù)

13、皐均值，即x=hxijn /=1 j=1如果將(2)帶入(3),可以得到總平均另兩種計算式一 1 v* 兀二一"兀n ；=in ,=1其中n表示總試驗數(shù)，可以用下式計算: n二以1=12. 計算離差平方和在單因素試驗中，齊個試驗結(jié)杲存在差異，這種差異可用離差平方和 來表示。(1) 離差平方和?？傠x差平方和用&片(sum of square for total) 表示，其計算式為r a_ a_s$t 】(xq_ x) =:叫(xq - x)/ 1 j 11它表示了齊個試驗值與總辜矗值的偏差'的平方和，反映了試驗z間存在的 總差異。(2) 組間離差平方和。組間離差平方和可

14、以用$» (sum of squarefor factor a)表示，計算公式如b*：q q _a_5 二 m兀-尢)2-兀)2j=l j=l/=1由上式可知，組間離差平方和反映了各組內(nèi)平均值的差異程度，這種 差異由于因素a不同水平的不同作用造成的，所以組間離差平方和又稱為 水平向離差平方和。(3) 組內(nèi)離差平方和。組內(nèi)離差平方和可以用(sum of square for error)表示，化計算公式如下：sse = y £ (兀"-兀)j i j i由上式可知，組內(nèi)離差棊方和反映老了在各個水平內(nèi)，各試驗值z間 的差異程度，這種差異是由于隨機謀差的作用產(chǎn)生的，所以

15、組內(nèi)離差平方 和又稱為誤差項離差平方和。可以證明sst =+ sse說明了試驗值z間的差異來自于兩個方面；一方而是由因素中不同水 平造成的，例如反應(yīng)溫度的不同導(dǎo)致不同的產(chǎn)品得率，這種差異是系統(tǒng)性 的；另一方面是由于試驗的隨機誤差產(chǎn)生的差異，例如在相同的溫度f, 產(chǎn)品得率也不一定相同。3. 計算自由度由離差平方和的計算公式可以看出，在同樣的誤差程度卜：測得數(shù)據(jù) 越多，計算出的離差平方和就越大，因此僅用于離差平方和反映試驗值間 差異大小述是不夠多的，述需?？紤]試驗數(shù)據(jù)的多少對離差平方和帶來的 影響，為此需要考慮自由度(degree of freedom)總離差平方和對應(yīng)的自由度分別如下。s為對應(yīng)的

16、自由度稱為總自由度,即:dft =n 一1對應(yīng)的自由度成為組間自由度，即：如一1阻對應(yīng)的自由度稱作組內(nèi)自由度，即：dfe =nr顯然，以上3個口由度的關(guān)系為：dft =妨 + dfe4. 計算平均平方利用離差平方和除以對應(yīng)的口由度即可得到平均平方(mean square), 簡稱均方。將ss“ sse分別除以妙八，d£就可以得到：msa = ssa/ dfamse = sse / d fe稱ms八為組間均方(mean square between groups), mse為組內(nèi)均方(mean squares within group), ms.也被稱為誤差的均方(error mean

17、 square)5f檢驗組間(也稱水平間)均方和組內(nèi)(也稱水平內(nèi))均方z比f是一個統(tǒng) 計量，即；化二組間均方/組內(nèi)均方二竺msc它服從自由度為(嘰，dfe)的f分布(f distribution)，對于給定 的顯著性水平查臨界值化 51，dfe),如杲fa>fa (0, dfe)，則 認(rèn)為因素a對試驗結(jié)果有顯著影響，否則認(rèn)為因素a對試驗結(jié)果沒有顯著 影響。為了將方差分析主要過程表現(xiàn)的更清楚,將有關(guān)的計算結(jié)果列成方差 分析表，如下所示。表1單因素計算結(jié)果差異源ssdfmsf顯著性組內(nèi)（誤差）啊二r - 1 二4msa = ssa / (r-1)msa / mse*組內(nèi)（誤差）ss廣n -

18、r=45mse =阿 / (n-r)總和通常，若乙 >倫。|（歎，必），就稱因素a對試驗結(jié)果有非常顯著的 影響，用兩個（*）號表示；若億a < dfa , dfe ） < fa < f.m （ dfa ,妙,），則 i大i素a對試驗結(jié)果有顯著的影響，用一個（*）號表示；若fa< fo（）5 cdf ,a 妙,），則i大i素a對試驗結(jié)果不顯著，不用“*”號。三、問卷調(diào)查（一）問卷概況1、調(diào)查對象對某大學(xué)的數(shù)學(xué)系同學(xué)進行問卷調(diào)查，了解他們平吋學(xué)習(xí)成績及其學(xué) 習(xí)時間，總共發(fā)放260份問卷，收冋245份。2、調(diào)查方式采取以在寢室、教學(xué)樓、圖書館等學(xué)生密集區(qū)發(fā)放問卷的方式3

19、、調(diào)查問卷親愛的同學(xué)你好！非常感謝你對我們工作的大力支持。本次調(diào)查的目的是了解當(dāng)前在校 大學(xué)學(xué)習(xí)情況。本次調(diào)查以匿名方式填寫，調(diào)查結(jié)果不計入任何教學(xué)評價, 請你根據(jù)自己的實際情況填寫。謝謝!學(xué)院年級平時學(xué)習(xí)時間期末學(xué)習(xí)成績數(shù)學(xué)院08級()試驗設(shè)計設(shè)學(xué)習(xí)時間為素a,有大致5個水平(2小時、4小時、6小時、8小 時、10小時)設(shè)這5個水平分別為£, ,£,在每種水平下,學(xué)生的 學(xué)習(xí)成績服從正態(tài)分布?？偣沧?0次試驗，每次試驗分別從水平的同學(xué)成 績中抽出一個，把各個數(shù)據(jù)組成一組，作為一次實驗的結(jié)果。提岀假設(shè)ho: “二仏= = "表明5種學(xué)習(xí)時間對學(xué)習(xí)成績影響相 同；h

20、a： 5種學(xué)習(xí)時間對學(xué)習(xí)成績影響不完全相同。四、學(xué)習(xí)成績方差分析(-)整理數(shù)據(jù)整理245名同學(xué)的問卷，每段學(xué)習(xí)時間的人數(shù)如下表所示圖1學(xué)習(xí)時間人數(shù)分布圖學(xué)習(xí)時間人數(shù)分布圖系列112345學(xué)習(xí)時間種類每次試驗在每段學(xué)習(xí)吋間的人數(shù)里抽取一位，做io次試驗，同一吋間 短內(nèi)每組10人，整理如下表所示表2實驗數(shù)據(jù)實驗次數(shù)a%a4a173.682.482.385.286.6282.579.285.380.687.4376.380.586.484.389.4479.684.285.486.680.5576.381.282. 184.285.6674.586.480.389.386.4768.479.67&a

21、mp; 182. 180. 1879.572.379.585.489.3972.678.682.384.485. 11080.485.284.582. 184.6直觀圖像如下圖2數(shù)據(jù)分布10050 50-100 0-50（-）統(tǒng)計結(jié)果1、根據(jù)預(yù)備知識的計算步驟進行計算1 每組平均值 x=yx, , （/ = l,2,-r ）經(jīng)計算得 76.31、80. 96、 叫tt82.6、84.42、85.011 r總平均值兀二一工q石二81.86丸/=!2、離差總和總離茅平方和sstx）2=1133z=i j=組間離差平方和宀二一丘）2二£厲（召-兀）2二609. 34/=i y=iz=i組內(nèi)

22、利差平方和譏二££（列-忑）2二524. 14 整理后得岀下表7差異源ssdfmsf顯著性組內(nèi)因素a5=602. 36r - 1=4ms 人二 121.87ms j mse*組內(nèi)（誤差）ss 廣 521.3n - r=45mse =11.91=10. 23總和sst =1133. 5113. 58（三）、結(jié)果分析經(jīng)計算耳化.01 （d辦，d/）說明原假設(shè)ho: “=“2=“5不成立, ha成立。因素a對試驗結(jié)果有非常顯著的影響，即學(xué)習(xí)吋間對學(xué)習(xí)成績 有顯著影響。（四）、spss判定1、數(shù)據(jù)輸入圖3 spss數(shù)據(jù)輸入var00001var00002173.602.00282.

23、502.00376.302.00479.602.00576.302.00674.502.00768.402.00879.502.00972.602.001080.402.001182.404.001279.204.001380.504.001484.204.001586.404.001679.604.001772.304.001878.604.001985.204.002082.304.002185.306.002286.406.002385.406.002482.106.002580.306.002678.106.002779.506.002882.306.002984.506.003085

24、.206.003180.608.003284.308.003386.608.003484.208.003589.308.003684.308.003782.108.003885.408.003984.408.004082.108.004186.6010.004287.4010.004389.4010.004480.5010.004585.6010.004686.4010.004792.1010.004889.3010.004985.1010.005084.6010.002、spss結(jié)果輸出表四spss結(jié)果輸出anovavar00001平方和df均方f顯著性組間609. 3625121.8721

25、0. 231.000組內(nèi)524. 1434411.912總數(shù)1133.50549通過運行spss程序，再次證明學(xué)習(xí)時間對學(xué)習(xí)成績有顯著影響。學(xué)習(xí) 時間長的學(xué)生學(xué)習(xí)成績普遍偏高?？偠詚,同學(xué)們在日常學(xué)習(xí)生活中應(yīng)該刻苦學(xué)習(xí)，克服懶惰因素。 離開高小后不應(yīng)該拋棄備戰(zhàn)高考的那種拼搏精神，在大學(xué)時期應(yīng)該繼續(xù)發(fā) 揚刻苦學(xué)習(xí)的精神。升入大學(xué)后，生活變得格外自由，再也不像高小生活 那樣緊張，受約束。有些同學(xué)開始不適應(yīng)，對生活沒有計劃，不口覺地放 松自己，忽略學(xué)習(xí)。尤英是剛剛?cè)雽W(xué)階段，齊種社團活動吸引眼球。有些 同學(xué)抱著鍛煉自己能力，豐富課余生活的口的，盲口參加齊種社團，導(dǎo)致 無暇分身。有些同學(xué)致力于學(xué)生會工作，并沒有把學(xué)習(xí)納入生活重點，導(dǎo) 致工作很出色，學(xué)習(xí)成績就很不理想。另一些同學(xué)則把大學(xué)時光用來荒廢, 整天沉迷于打游戲，上網(wǎng)，談戀愛等。大學(xué)時期是人生重要的階段，是一 個人美好的時光。在整個四年的時光里，我們可以學(xué)習(xí)很多，不光是課木 里的知識。因