數(shù)值積分與數(shù)值微分知識(shí)題課

1、數(shù)值積分與數(shù)值微分習(xí)題課113一、已知設(shè)4，xi -，x2 r給出以這3個(gè)點(diǎn)為求積下點(diǎn)在0.1上的插值型求積公式解：過(guò)這3個(gè)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式基函數(shù)為x x x x2102 X x0 x1 X0 X2X X0 X X2li2 X X1 X0 X1 X2X X0 X Xil22 X X2 X0 X2 X11A01k2 X dX,k 0,1,21 x x1 x x2 dx0 % X % x21x -120 1 14 23 x -dx1 34 41 x x0 x x2 -dx0 x1 x0 x1 x23 x x0 2 1132 4 2 41 x x0 x x10-dx0 x2 x0 x2 x11 x -

2、 14011 xdx 3 1故所求的插值型求積公式為i343234f x dx o二、確定求積公式11 f x dx 5f 0.6 8f 0 5f .0.61 9的代數(shù)精度，它是Gauss公式嗎？證明：求積公式中系數(shù)與節(jié)點(diǎn)全部給定，直接檢驗(yàn)2 345,依次取 f x 1,x,x ,x ,x ,x ,有1 12 1dx - 5 1 8 1 5 11 901 xdx 1 5 /0.6 8 0 5;0.62 92302501 x2dx - 5 0.6 2 8 02 5191 x3dx-5 0.6 38035191 ，1 4/x4dx5、0.68045191 x5dx15106 5805519, 0.

3、6 20.6本題已經(jīng)達(dá)到2n-1=5 。故它是Gauss公式三、試應(yīng)用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分3 1 I dx1 2x要求誤差不超過(guò)10 3,并把計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確值比較。 解：復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)為bR f,Tnaf(X)dX TnTn空 f（a）f（b）b-h2f ()12n 12 f(Xk)k 1Xkb aa kh, h , kn0,1,2,|,n本題f x11 f x , M 2 max f x 12x ?x3x 1,2本題余項(xiàng)為R f,Tn要使R f,Tnh212»2fh2 xnaxif (x)h212103,得0.109545,取 h 0.110于是有b- a 2-1 得n= h

4、0.1IT10111c 1122 10 2 42 1.1 2 1.212 1.90.346886檢驗(yàn):ln 2 2T103.12111104 103四、證明 若函數(shù)f x C1 a,b ,則其上的一階差商函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，并借助此結(jié)果用Newtong 插值余項(xiàng)證明梯形求積公式的余項(xiàng)為3bb ab aR f f x dx a f a f b f a212證明：不妨設(shè)一階差商函數(shù)為f x,a ,xoa，b ,有f x0h f alim f x0 h, a lim h 0h 0x0 h af x f h f alim 0f x0f af Xo, aXo ah 0x0 h af x0 fa f h li

5、m h 0x0 h ax0 h a由x0的任意性，可知一階差商函數(shù)是連續(xù)函數(shù)由插值特點(diǎn)，顯然有bbf x L1 x dx f x N1 x dxaa線性插值的Newton余項(xiàng)公式為f x N1x fx,a,bxaxb故有bR f f x,a,b x a x b dxa由f x h, a f a, blim f x h,a,b lim h 0h 0 x h blim f x h,a f a,b h 0f x,a f a,b-fx, a, b可知f x,a,b是變量x在a,b上的連續(xù)函數(shù)，而函數(shù)x a x b在a,b上可積，不變號(hào)，根據(jù)積分中值定理，存在 a,b ,使bN1 x dx f ,a,b

6、 x a x b dx af由差商性質(zhì)，存在bf x N1 x a3b aa,b ,使 f ,a,b =。所以f bdx x a x b dx2 a12結(jié)論得證五、導(dǎo)出中矩形公式bf x dxa的余項(xiàng)。解：將f x在xfx fa2b f,a b2a b2處進(jìn)行泰勒展開a b 1-1 a b 2 x - f x 222a，b 。對(duì)上式兩邊在a，b上積分，有2b f x dx bf a_b dx b f' ab x ab dx 1 bf'' x ab dxaa 2a 222a2, r a b bab a b ,1b a f f' x dx2 a 2222ba b .

7、f'' x dxa2中矩形公式的余項(xiàng)bRMf x dxab f ' a ba 2a b , dx2b212bf '' a2a b ,x dx2bf'' af '' b X2 aa bx dx 0;22a b ,dx22 a b , f '' dx 223 02424a,bAkf(xk)k 1六、設(shè)數(shù)值求積公式bf (x)dxa代數(shù)精度至少為n-1的充分必要條件是它為插值型求積公式.證:充分性.設(shè)原式是插值型求積公式，則式中的求積系數(shù)bA lkn(x)dxanInAJ(Xk)k 1balkn(x)dx f (

8、Xk)b nblkn(x)f(xk) dx Ln(x)dx余項(xiàng)為b f ?)Q f I In怨 n(X)dXa n!由知代數(shù)精度至少為n-1 必要性.設(shè)原式代數(shù)精度至少為n-1,則對(duì)次數(shù)不超過(guò)n-1的多項(xiàng)式Pr(X)(rn 1)原式成立等號(hào)，特別地取Lagrange 插值基函數(shù)lkn(x)，有nlkn(x)dxAjlkn(Xj), k 1,2,|,n因?yàn)?,i k,lkn(Xj)j 0, j k.所以bAkalkn(x)dx故原式為插值型求積公式.七、令P(x)是n次實(shí)多項(xiàng)式，滿足a P(x)xkdx 0, k 0,|,n 1.證明P(x)在開區(qū)間(a,b)中有n個(gè)實(shí)單根.b證明：因?yàn)閍P(x

9、)dx 0，所以P(x)在a,b上至少有一 個(gè)零點(diǎn)。若P(x)k( 1)個(gè)零點(diǎn)X ,i=i,2，,k在a,b 上，則有P(x) (x Xi)(X X2)|(x Xk)g(x) Qk x g(x)g(x) 0,或g(x) 0Qk(x) (x xi)(x x2)|(x xk)；Qk (x)kk 1akxak ixka1x a0aixi,(k n 1)i 0及：p(x)xkdx O,k 0,1,|,n 1 所以bP(x)Qk(x)dx akkP(x)aixidxaii 0i 0P(x) xidx 0若零點(diǎn)個(gè)數(shù)k n 1,有bbP(x)Qk(x)dxg(x)Q2(x)dx 0aa矛盾，因此k n,即P

10、(x)在a,b至少有n個(gè)零點(diǎn)，但P(x)是n次實(shí)多項(xiàng)式，故k=n 。八、已知點(diǎn)(a, f (a), f (a)和(b, f (b), f (b),用該信息計(jì)算b定積分af(x)dxo解：記H3(x)為f(x)關(guān)于節(jié)點(diǎn)a,b的Hermite插值多項(xiàng)H3(x) h°(x)f(a) %(x)f(b) g0(x)f(a) g1(x)f(b)bf(x)dx abH3(x)dxbbht(x)dx f (a) h1(x)dx f (b)aabg0(x)dxaf (a)gi(x)dx f (b)bbh0 (x) dx1aaba hi(x)dxa ba bab2dxbgo(x)dx abgi(x)dx ax b , dx a b2 x a dx b ab a122b a12所以有2bb ab aa f(x)dx 2 f(a) f(b) 12 f (a) f (b)誤差為-4- 4r b f ( )22 f ( )5R( f) x a x b dxb aa 4720九、驗(yàn)證Gauss型求積公式exf(x)dx Ao f (Xo) Af(xJo求積系數(shù)及節(jié)點(diǎn)分別為人&A1霜52亞M2