最新-2014大學生數(shù)學建模競賽A題論文

1、2014高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽2014高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計與控制策略摘要本文針對嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計與控制策略的實際問題，以理論力學（萬有引力、開普勒定律、萬能守恒定律等）和衛(wèi)星力學知識為理論基礎(chǔ)，結(jié)合微分方程和微元法，借助MATLAB軟件解決了題目所要求解的問題。針對問題（1），在合理的假設(shè)基礎(chǔ)上，利用物理理論知識、解析幾何知識和微元法，分析并求解出近月點和遠月點的位置，即139.1097 。再運用能量守恒定律和相關(guān)數(shù)據(jù)，計算出速度（近月點的速度）=1750.78,（遠月點的速度）=1669.77，最后利用曲線的切線方程，代入點（近月點與遠月點）的坐

2、標求值，計算出方向余弦即為相應的速度方向。針對問題（2）關(guān)鍵詞：模糊評判，聚類分析，流體交通量，排隊論，多元非線性回歸 一、問題重述嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發(fā)射，12月6日抵達月球軌道。嫦娥三號在著陸準備軌道上的運行質(zhì)量為2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動機能夠產(chǎn)生1500N到7500N的可調(diào)節(jié)推力，其比沖（即單位質(zhì)量的推進劑產(chǎn)生的推力）為2940m/s，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機，在給定主減速發(fā)動機的推力方向后，能夠自動通過多個發(fā)動機的脈沖組合實現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。嫦娥三號的預定著陸點為19.51W，44.12N，海拔為-2641m（見附件1

3、）。嫦娥三號在高速飛行的情況下，要保證準確地在月球預定區(qū)域內(nèi)實現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計。其著陸軌道設(shè)計的基本要求：著陸準備軌道為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點至著陸點，其軟著陸過程共分為6個階段（見附件2），要求滿足每個階段在關(guān)鍵點所處的狀態(tài)；盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。根據(jù)上述的基本要求，請你們建立數(shù)學模型解決下面的問題：（1）確定著陸準備軌道近月點和遠月點的位置，以及嫦娥三號相應速度的大小與方向。（2）確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略。（3）對于你們設(shè)計的著陸軌道和控制策略做相應的誤差分析和敏感性分析。二、問題分析2.

4、1問題（1）的分析 首先根據(jù)問題的假設(shè)、題目中所提供的數(shù)據(jù)及圖片分析，可以知道嫦娥三號繞月球的軌道是由圓形軌道變?yōu)闄E圓形軌道，借助開普勒定律、能量守恒定律求解出近月點的速度。為了確定近月點和元月點的精確位置及相應的速度方向，我們建立以赤道（月球的赤道）平面為平面、月心為原點、月心與零度經(jīng)線和零度緯線交線的交點的連線為坐標軸的坐標系和赤道（月球的赤道）平面為平面，為極軸（月球的極軸）為軸建立空間直角坐標系，軸與極坐標系的軸相重合。首先根據(jù)著陸點的經(jīng)度、緯度及月球的半徑求解出著陸點和近月點（帶參數(shù))的空間直角坐標。 其次利用兩點間的距離公式，并借助MATLAB軟件求解出近月點與著陸點最短距離。從而

5、計算出（近月點的經(jīng)度）=。 最后利用衛(wèi)星的軌跡是以月心為其中一個焦點，以近月點與遠月點的距離為長軸的橢圓，從而求解出衛(wèi)星的軌跡方程，再運用隱函數(shù)求導的應用的知識，求解出在近月點和遠月點的方向?qū)?shù)，進而求解近月點和遠月點方向余即為近月點和遠月點的速度的方向。2.2問題（2）的分析 首先在根據(jù)題意，將嫦娥三號軟著陸問題，分為6個階段依次為主減速、快速調(diào)整、粗避障、精避障、緩慢下降、自由下降，我們先將6個階段分為4個階段，依次為第一階段（主減速和快速調(diào)整）、第二階段（粗避障）第三階段(精避障),第四階段（緩慢下降和自由下降）。 其次在第一階段 粗避障階段，嫦娥三號懸停在月球表面約2400米上方，對星

6、下月表進行二維和三維成像，利用遺傳算法的思想，從圖像中先隨機選取部分點，能直接從三維圖像中得知該點的海拔高度，再分別掃描這些點附近的地貌，找出一些地勢平坦的區(qū)域，我們用區(qū)域內(nèi)所有點與中心點海拔的均方差作為地勢判斷依據(jù)之一，保留這些坐標， 并進行重新組合，并改變某些坐標以便能獲得其他新區(qū)域的坐標，再次搜索地勢平坦的區(qū)域，重復進行多次搜索，直到?jīng)]有出現(xiàn)崎嶇地勢的時候， 我們將此時地勢最平坦的地方作為全局最優(yōu)降落地點 三、模型假設(shè)1、不考慮空間飛行器上各點因燃料消耗而產(chǎn)生的位移； 2、在對衛(wèi)星和空間飛行器進行軌道估計時，認為作用于其上的所有外力都通過其質(zhì)心；3、衛(wèi)星和空間飛行器的

7、運動是在真空中進行的； 4、衛(wèi)星只受重力影響，空間飛行器除自身推力外只受重力影響； 5、衛(wèi)星的觀測圖片及數(shù)據(jù)精準；6、四、變量與符號說明一條車道的基本通行能力連續(xù)車流的車頭間距 n 條車道的基本通行能力 排隊長度車流量橫斷面通行能力系數(shù)車流量持續(xù)時間五、模型建立與求解5.1 問題(1)的分析、模型建立與求解5.1.1建模準備 （1）開普勒定律開普勒第一定律開普勒第一定律開普勒第一定律，也稱橢圓定律：每一個行星都沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點中。開普勒第二定律開普勒定律開普勒第二定律，也稱面積定律：在相等時間內(nèi)，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。 這

8、一定律實際揭示了行星繞太陽公轉(zhuǎn)的角動量守恒。用公式表示為開普勒定律開普勒第三定律開普勒定律開普勒第三定律，也稱調(diào)和定律：各個行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方和它們的橢圓軌道的半長軸的立方成正比。由這一定律不難導出：行星與太陽之間的引力與半徑的平方成反比。這是牛頓的萬有引力定律的一個重要基礎(chǔ)。用公式表示為開普勒定律這里，是行星公轉(zhuǎn)軌道半長軸，是行星公轉(zhuǎn)周期，是常數(shù) 。（2） 萬有引力 萬有引力：任意兩個質(zhì)點有通過連心線方向上的力相互吸引。該引力大小與它們質(zhì)量的乘積成正比與它們距離的平方成反比，與兩物體的化學組成和其間介質(zhì)種類無關(guān)。即：， 其中（牛頓每平方米二次方千克） 5.1.2 模型的建立根據(jù)以上的分

9、析，建立以月球赤道平面為平面,月心為原點、為月心與零度經(jīng)線和零度緯線交線的交點的連線，為極軸（月球的極軸），與和滿足右手標架，建立空間直角坐標系(如圖5-1所示）。 圖5-1 衛(wèi)星繞月軌跡及軟著陸軌跡 由于著陸點在球面上且近月點與遠月點是由月球的經(jīng)度、緯度及高度唯一確定，在此為了便于計算 將極坐標轉(zhuǎn)化為空間直角坐標，并代數(shù)題中相關(guān)數(shù)據(jù)，反解出經(jīng)度。極坐標轉(zhuǎn)化為空間直角坐標即： （5.1.1） （5.1.2）距離公式： （5.1.3）其中：為緯度；為經(jīng)度；為嫦娥三號距月心的距離；為嫦娥三號距著陸點的距離；根據(jù)能量守恒、開普勒第二定律（面積定律），建立以下模型即： （5.1.4）則近月點的速度，近

10、月點的速度： （5.1.5）其中：為衛(wèi)星的質(zhì)量，為海拔高度，近月點距月球表面的距離；，月球半徑，遠月點距月球表面的距離， 月球重力加速度， 近月點的速度， 近月點的速度。5.1.3模型的求解5.1.3.1 近月點與遠月點的位置 根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)以上分析，可知： 將以上數(shù)據(jù)代入（5.1.1）式可得，著陸點及近月點的空間直角坐標分別為： （5.1.6） （5.1.7）再將（5.1.6）式和（5.1.7）式代入（5.1.3）式可得關(guān)于與（近月點和著陸點距離）的函數(shù)，？利用Mathematica 5.0編程求解可得：-139.107 5.1.3.2近月點與遠月點的速度大小及方向近月點與遠月點的速度方向

11、，即為相應速度在軸與軸方向上的投影（如圖5-2所示）圖5-2 近月點與遠月點的速度方向示意圖由圖易知：5.2 模型二的建立5.2.1模型準備5.2.1.1系統(tǒng)模型 1、著陸器的動力下降段一般從15km左右的軌道高度開始，下降到月球表面的時間比較短，在幾百秒范圍內(nèi)，所以可以不考慮月球引力攝動。月球自轉(zhuǎn)速度比較小，也可忽略。因此，可以利用二體模型描述系統(tǒng)的運動。建立圖5-2所示的著陸坐標系，并假設(shè)著陸軌道在縱向平面內(nèi)，令月心為坐標原點，指向動力下降段的開始制動點， 指向著陸器的開始運動方向。則著陸器的質(zhì)心動力學方程可描述如下: 式中:和分別為著陸器的月心距、極角、角速度和質(zhì)量；為著陸器沿r 方向上

12、的速度；F為制動發(fā)動機的推力(固定的常值或0）；為其比沖；為月球引力常數(shù)；為發(fā)動機推力與當?shù)厮骄€的夾角即推力方向角。圖5-3 月球軟著陸坐標系 動力下降的初始條件由霍曼變軌后的橢圓軌道近月點確定，終端條件為著陸器在月面實現(xiàn)軟著陸。令初始時刻，終端時刻不定，則相應的初始條件為 終端約束為 式中:為月球半徑；為初始軌道高度；為軌道角速度。 月球軟著陸的最優(yōu)軌道設(shè)計就是要在滿足上述初始條件和終端約束的前提下，調(diào)整推力大小和方向9使得著陸器實現(xiàn)燃料最優(yōu)軟著陸，即要求以下性能指標達最大。5.2.1.2模型歸一化 在軌道優(yōu)化過程中，由于各狀態(tài)變量的量級相差較大，尋優(yōu)過程中可能會導致有效位數(shù)的丟失。通過歸

13、一化處理可以克服這一缺，提高。計算精度。令，則。那么，著陸器的動力學方程可改為： 相應的初始條件和終端約束變?yōu)椋?性能指標改寫為： 5.2.4模型評判由以上計算可知，多車道道路通行能力從中心至邊緣車道依次遞減.視頻一中撞車位置在距道路中心一、二條車道上，因而可行車道為第三條車道；視頻二中撞車位置在距道路中心二、三條車道上，因而可行車道為第一條車道.而從計算中可得，可上述結(jié)論，即視頻二的事故所處斷面實際通行能力要比視頻一要強.這與實際情況比較吻合。5.3 問題（3）的模型建立與求解當上游交通需求量大于事發(fā)路段現(xiàn)有的通行量，到達車流在事故地點陸續(xù)減慢速度甚至停車而集結(jié)成密度較高的隊列，事故接觸后，

14、由于數(shù)段通過能力的恢復，排隊車輛又陸續(xù)加速而疏散成一列具有適當密度的車隊，排隊消散完畢后，車流就會恢復順暢的交通狀態(tài).5.3.1模型推導由車流波動理論可知，波速公式為： （1）式中： 為集散波的波速，Km/h； 、為前后兩種車流狀態(tài)的流量，輛/h； 、為前后兩種車流狀態(tài)的密度，輛/Km.根據(jù)交通流模型可知，交通量、行車速度、車流密度三者的關(guān)系為： （2）速度-密度線性關(guān)系模型： （3）式中：為暢行速度，即車流密度為零時,車輛的最大速度； 為阻塞密度，即車流密集到所有車輛無法移動時的密度；由以上（1）、（2）、（3）式可以推導出波速與密度的關(guān)系： （4）5.3.2模型的建立與求解事故發(fā)生后排隊長

15、及消散時間的計算圖為事故發(fā)生后累計車輛-時間圖，實線表示交通需求流量，點劃線表示通過能力.為敘述簡便，對所有符號說明如下：事故發(fā)生時堵塞了部分車道，該路段通行能力下降；相應密度上升；交通事故處理所需時間為；事故解除后到車隊消散前通行能力回升為；車流密度相應地下降為.其中路段的通行能力由圖中點劃線的斜率來表示.路段上游交通需求流量為.由圖中實線斜率表示；持續(xù)時間為；相應車流密度為.在圖中，由車流波動理論可知， 波速公式為：首先假設(shè)兩波相遇之前該路段需求量始終未變，與相交處表示排隊向上游的延伸達到的最遠處，設(shè)兩波相遇時的時間為，集結(jié)波波速為，消散波波速為，則根據(jù)兩波相遇時波傳動的距離相等這一關(guān)系可

16、知： (5）其中 則: =若> ，則說明在車隊消散之前該路段上游要求流量發(fā)生了變化，需求流量變?yōu)?，相應的密度?所以（5）式改寫為 (6)其中則根據(jù)公式；可解出本次事故引起的排隊長.由資料可知車隊消散時間為:其中為路段通行能力為時的行車速度，所以，根據(jù)以上推導可以得到排隊長度（）關(guān)于橫斷面實際通行能力（）、擁堵持續(xù)時間（消散時間）、路段上游車流量()的關(guān)系式如下：5.4 問題（4）的模型建立與求解5.4.1數(shù)值分析確立各個參數(shù)值在此問中我們采用非線性回歸法：非線性回歸是指因變量對于（不是自變量）是非線性. 統(tǒng)計工具箱的命令等不僅可以給出擬合的回歸系數(shù)及其置信區(qū)間，而且可以給出預測值及置信

17、區(qū)間等.多元線性回歸分析模型:其中都是與無關(guān)的未知參數(shù)，稱為線性回歸系數(shù).現(xiàn)在得到n個獨立觀測數(shù)據(jù)，其中為y的觀測值，分別為的觀測值，由上式得:在進行非線性回歸的時候，道路通行能力以道路通行系數(shù)表示. 我們選取了視頻1情況下的六次排隊情況（由于每次持續(xù)時間較短，因此可以假設(shè)排隊長度為120，）道路通行系數(shù)的選取見問題一的圖像.排隊長度車流量橫斷面通行能力系數(shù)持續(xù)時間120100.610120850.5300120550.6172120240.565120260.860120300.690120900.7560第一步：以回歸系數(shù)和自變量為輸入變量，將要擬合的模型寫成匿名函數(shù):；第二步：用計算回歸

18、系數(shù)，用 計算回歸系數(shù)的置信區(qū)間，用計算預測值及其置信區(qū)間；第三步：確立各參數(shù)，得出的參考值為 所以5.4.2模型建立與求解基于第三問的模型建立求解過程：由第三問我們可以得出：在該方程中，有三個變量，分別為道路上游車流量、通行系數(shù)以及堵車時間，假設(shè)從開始排隊到排隊位置到達上游路口的時間內(nèi)上游車流量保持不變，即為1500pcu/h，假設(shè)該車流為連續(xù)流，于是設(shè)定 為 0.5 . 解該等式：可得出，堵車時間間隔大約為8分鐘，即從事故發(fā)生開始，經(jīng)過大約8分鐘后排隊長度將達到上游六、模型的分析與評價在模型一中，綜合考慮了駕駛時間、車身長度、車道折算系數(shù)等多種因素，使得計算出來的暢通率更加的正確. 但是我

19、們?yōu)榱撕喕Ｐ?，我們沒有考慮到模型的岔道對車流的影響.在問題二的模型中，用模糊評判法對附件1和附件2兩種狀態(tài)下的通行能力進行定性的研究；用聚類分析模型對附件1和附件2兩種狀態(tài)下的通行能力進行定量上的分析，理論嚴謹.在問題三中，通過建立基于車流波動理論的交通流模型，推導過程思路清晰. 但是我們是把車流運輸當做連續(xù)的流體處理，這個因素使得結(jié)果有些誤差.在問題四中的模型中，通過問題三所得關(guān)系式，進行參數(shù)分析，通過多元非線性回歸，得出了數(shù)值表達式，進而求出最短時間，思路明朗. 但在模擬的多元非線性自身也存在一些誤差.七、模型的改進由于交通問題是一個復雜的系統(tǒng)，可以考慮進行基于元胞自動機的交通流計算機模

20、擬研究. 在問題一中，可以進一步把統(tǒng)計的區(qū)間段進行細分，進行差值擬合，是圖像更加接近于真實情況；在問題二中，同理可以進行細分；在問題三中，引入相位變換等，可以考慮添加修正系數(shù)，獲取相關(guān)數(shù)據(jù)，并用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行訓練.八、模型的應用與推廣為了更好的反映車道被占用對城市道路通行能力的影響，問題三的模型給出了車輛排隊長度與車流量、間隔時間、通行能力的關(guān)系.然而在實際問題中，還有許多非確定性因素. 且車輛排隊長度與車流量、間隔時間、通行能力以及其他非確定性因素都存在相互影響的關(guān)系，經(jīng)過相關(guān)數(shù)據(jù)提取技術(shù)，在獲取相關(guān)數(shù)據(jù)后，可以結(jié)合片最小二乘回歸分析進行處理：第一步：提取兩變量組的第一對成分，使之相關(guān)性達

21、到最大；第二步：建立回歸方程；第三步：殘差替換；第四步：進行偏最小二陳回歸分析法；第五步：交叉有效性檢驗.參考文獻：1 姜啟源數(shù)學模型（M）第三版北京：高等教育出版社，20038.2 張德豐MATLAB數(shù)值計算方法（M）北京：機械工業(yè)出版社，20101.3 汪曉銀，周保平數(shù)學建模與數(shù)學實驗（M）北京：科學出版社，20102.4 孔惠惠，秦超，李新波，李引珍，交通事故引起的排隊長度及消散時間的估算，第二十七卷，第5期，2004-12-235 石磊等，數(shù)學建模優(yōu)秀論文，北京：清華大學出版社，2011年9月第1版6 姜啟源，數(shù)學模型（第二版），北京：高等教育出版社，1993年8月第2版7 王煒，過秀

22、成等編著交通工程學南京：東南大學出版社，20008 楊肇夏計算機模擬及其應用北京：中國鐵道出版社，19999 諶紅模糊數(shù)學在國民經(jīng)濟中的應用武漢：華中理工大學出版社，19943附錄附錄一： 程序1問題二中模型一：模糊評判模型程序一（源代碼：p1.m）clc, cleara=0.1 0.3 0.4 0.1 0.10.2 0.4 0.4 0 00.1 0.3 0.5 0.1 00 0.1 0.1 0.4 0.40 0 0.1 0.4 0.50.2 0.4 0.3 0.1 0;w=0.6 0.4;w1=0.5 0.25 0.25;w2=0.5 0.25 0.25;b(1,:)=w1*a(1:3,:)

23、;b(2,:)=w2*a(4:6,:);c=w*b;程序二（源代碼：p2.m）clc, cleara=0.1 0.3 0.4 0.2 00 0.4 0.2 0.2 0.20.2 0.3 0.4 0.1 00.1 0.1 0.1 0.4 0.30.1 0.1 0.1 0.4 0.30.2 0.4 0.2 0.1 0.1;w=0.6 0.4;w1=0.25 0.25 0.5;w2=0.25 0.25 0.5;b(1,:)=w1*a(1:3,:);b(2,:)=w2*a(4:6,:);c=w*b2問題二中模型二：聚類分析視頻1程序代碼（源代碼：moxinger.m）clc,clearload hua

24、.txt gj=zscore(hua); %數(shù)據(jù)標準化y=pdist(hua); %求對象間的歐氏距離,每行是一個對象z=linkage(y,'average'); %按類平均法聚類h=dendrogram(z); %畫聚類圖set(h,'Color','k','LineWidth',1.3) %把聚類圖線的顏色改成黑色，線寬加粗for k=3:5 fprintf('劃分成%d類的結(jié)果如下：n',k) T=cluster(z,'maxclust',k); %把樣本點劃分成k類 for i=1:k t

25、m=find(T=i); %求第i類的對象 tm=reshape(tm,1,length(tm); %變成行向量 fprintf('第%d類的有%sn',i,int2str(tm); %顯示分類結(jié)果 end if k=5 break end fprintf('*n');end視頻二程序代碼（源代碼：p4.m）：clc,clearload hu.txt gj=zscore(hu); %數(shù)據(jù)標準化y=pdist(hu); %求對象間的歐氏距離,每行是一個對象z=linkage(y,'average'); %按類平均法聚類h=dendrogram(z)

26、; %畫聚類圖set(h,'Color','k','LineWidth',1.3) %把聚類圖線的顏色改成黑色，線寬加粗for k=3:5 fprintf('劃分成%d類的結(jié)果如下：n',k) T=cluster(z,'maxclust',k); %把樣本點劃分成k類 for i=1:k tm=find(T=i); %求第i類的對象 tm=reshape(tm,1,length(tm); %變成行向量 fprintf('第%d類的有%sn',i,int2str(tm); %顯示分類結(jié)果 end if k=5 break end fprintf('*n&