人教A版數(shù)學(xué)必修四《數(shù)學(xué)》必會基礎(chǔ)題型——《平面向量》

1、奮斗沒有終點(diǎn)任何時候都是一個起點(diǎn)信達(dá)數(shù)學(xué)必會基礎(chǔ)題型平面向量【基本概念與公式】【任何時候?qū)懴蛄繒r都要帶箭頭】1 .向量：既有大小又有方向的量。記作：AUB或a。uuu r2 .向量的模：向量的大小(或長度)，記作：|AB|或|a|。rr3 .單位向量：長度為1的向量。若e是單位向量，則|e| 1。r r4 .零向量：長度為0的向量。記作：0。0方向是任意的，且與任意向量平行】5 .平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量。6 .相等向量：長度和方向都相同的向量。uuur uuu7 .相反向量：長度相等，方向相反的向量。AB BA8 .三角形法則：uuu umr uuuAB AC CB （指向

2、被減數(shù)）uuruuuruuuruuuuuiruuiruuuruurABBCAC ;ABBCCDDEAE ;9 .平行四邊形法則：r rr r r r以a,b為臨邊的平行四邊形的兩條對角線分別為a b , a b r r r r, r r 一，, r r , 10.共線止理：a b a/b。當(dāng) 0時，a與b同向；當(dāng) 0時，冉b反向11 .基底：任意不共線的兩個向量稱為一組基底。r.r-一-%r ° r r -r-r-12 .向重的模：右 a(x, y),則 |a|Jx y , a|a| , | a b |J(a b)r rr r r r13 .數(shù)量積與夾角公式：a b |a| |b|c

3、os ； cosra br|a| |b|r rrrrrr r14 .平行與垂直：a/babx1y2x2y1 ; aba b0 xx2y1y20題型1.基本概念判斷正誤：(1)共線向量就是在同一條直線上的向量。(2)若兩個向量不相等，則它們的終點(diǎn)不可能是同一點(diǎn)。(3)與已知向量共線的單位向量是唯一的。(4)四邊形ABC北平行四邊形的條件是AB CD 0uuu uur(5)若AB CD ,則A、B、G D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形。(6)因?yàn)橄蛄烤褪怯邢蚓€段，所以數(shù)軸是向量。一 r , r r , rr , r ,(7)右a與b共線，b與c共線，則a與c共線。r r rrrr(8)若mamb,貝U ab。

4、( 9)若 mana,則 m n。r rr r(10)若a與b不共線，則a與b都不是零向量。r r r r r rrr rr rr(11)若 a b |a | | b| ,則 a/b。(12)若 |ab | |ab |,則 ab。題型2.向量的加減運(yùn)算rrr r1 .設(shè)a表示“向東走8krni' ,b表示“向北走6krni',則|a b | 。uuu uuuruuur uum uuuu2 .化簡(AB MB) (BO BC) OM 。uuu uuruuru3 .已知|OA| 5, |OB| 3,則| AB |的最大值和最小值分別為 、。uult uum uuuruuur r u

5、uur r uuruuur4 .已知AC為AB與AD的和向量，且AC a, BD b,則AB , AD 。uuur 3 uuu uuur uuu uuu uuu5 .已知點(diǎn)C在線段AB上，且AC 3 AB ,則AC BC , AB BC。5題型3.向量的數(shù)乘運(yùn)算r r(2) 2(2a 5br r3c) 3( 2a 3b 28r r r r1 .計(jì)算:(1) 3(a b) 2(a b)一rr i,r 1r2 .已知 a (1, 4),b ( 3,8),貝 U 3a -b2題型4.作圖法球向量的和r rr 1 r r 3 r已知向量a,b,如下圖，請做出向量3a b和2a 3b。22r-題型5.根

6、據(jù)圖形由已知向量求未知向量uur umrHJLT1 .已知在 ABC中，D是BC的中點(diǎn)，請用向量 AB,AC表示AD2 .在平行四邊形ABCD中,juur r uuin r 已知 AC a,BD buuu juur,求AB和AD o題型6.向量的坐標(biāo)運(yùn)算 uuu1 .已知AB (4,5) , A(2,3),則點(diǎn)B的坐標(biāo)是。 juur2 .已知PQ ( 3, 5) , P(3,7),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是。 rrr3 .若物體受三個力F1 (1,2), F2 ( 2,3), F3 ( 1, 4),則合力的坐標(biāo)為 rr4 .已知自(3,4) , b (5,2)，求 & b ,b, 3a 2b。5.

7、已知 A(1,2), B(3,2),向量 ajjj(x 2,x 3y 2)與AB相等，求x,y的值uuruurjuur6.已知 AB (2,3), BC(m,n), CDULJU(1,4),則 DA 7.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2, 1),B( 4,8),uur uur ruiur且AB 3BC 0 ,求OC的坐標(biāo)。ur urin3e1 D.色和e2urqxOA 1500,uuu求OA的坐標(biāo)。2.已知。是原點(diǎn),uuu _點(diǎn)A在第一象限，|OA| 4VI,uuuxOA 600,求OA的坐標(biāo)。題型7.判斷兩個向量能否作為一組基底ir ur1 .已知e,2是平面內(nèi)的一組基底，判斷下列每組向量是否能構(gòu)成

8、一組基底:ur uu ur ur ur uu in ur ur uu uuA. ei色和ee2 B. 3ei2&和4&6e C. e3色和弓. rr ,2 .已知a (3,4),能與a構(gòu)成基底的是()a.(|，4)b.(4,3)c.( 3，4)d.( i, 45 55 5553題型8.結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)uuu1.已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，|OA| 2,題型9.求數(shù)量積.r rr , rr r r r r1.已知 |a| 3,|b | 4 ,且a與 b 的夾角為 60°,求(1) a b , (2) a (a b),/、r1rr,、 r r r r(3) (

9、a -b) b , (4) (2a b) (a 3b)。2一_r _r _,、，、 r r ,、rr ,、r_rr2.已知 a (2, 6),b ( 8,10)，求(1) | a |,|b | , (2) a b , (3) a (2a b),/ 、 r r r r(4) (2a b) (a 3b)。題型10.求向量的夾角, r rrr 一 ，八1 .已知|a| 8,|b | 3, a b 12 ,求a與b的夾角rrr r2 .已知a (1),b ( 2J3,2),求3與b的夾角,3 .已知 A(1,0), B(0,1), C(2,5),求 cos BAC。r3b |。rb |。題型11.求向

10、量的模 rrr1 .已知|a| 3,|b | 4 ,且自與b的夾角為60°,求(1) |a b |, (2) 12a一， r _r _r r . . r r2 .已知 a (2, 6),b ( 8,10)，求(1) |a|,|b| , (5) |a b |, (6)1a -2一，r rr r .、 r r3 .已知1a1 1,|b| 2, 13a 2b | 3,求 13a b |0rrr a題型12.求單位向量【與a平行的單位向量：e 星】lai1 .與a (12,5)平行的單位向量是 。2 .與m ( 1,1)平行的單位向量是。2題型13.向量的平行與垂直rrr1.已知 a (6,

11、2), b ( 3,m),當(dāng) m為何值時，(1)a/b? (2) a b ?一rr2.已知 a (1,2), b(3,2) , (1) k為何值時，向量kar r rb與a 3b垂直?(2) k為何值時，向量ka br與a 3b平行?3.已知a是非零向量，a b a C,且b c ,求證：a (b c)題型14.三點(diǎn)共線問題1 .已知 A(0, 2), B(2,2), C(3,4),求證:A,B,C 三點(diǎn)共線uuu.、2 r ruuir r r uuir rr2 .設(shè) AB-(a5b),BC2a 8b,CD3(ab),求證： A B、D 三點(diǎn)共線。2uurrr uur r r uur rr3

12、.已知ABa2b,BC5a 6b,CD7a2b,則一定共線的三點(diǎn)是 4 .已知A(1, 3), B(8, 1),若點(diǎn)C(2a 1,a 2)在直線AB上，求a的值。5 .已知四個點(diǎn)的坐標(biāo) O(0,0) , A(3,4) , B( 1,2) , C(1,1),是否存在常數(shù)t,使uur uuu uuurOA tOB OC 成立？題型15.判斷多邊形的形狀 uuu r uurr uuur uuir1 .若AB 3e, CD5e ,且| AD | | BC |,則四邊形的形狀是 2 .已知 A(1,0), B(4,3) , C(2,4), D(0,2),證明四邊形 ABCD 是梯形。3 .已知A( 2,

13、1), B(6, 3), C(0,5),求證：ABC是直角三角形uuuuuuuuur4 .在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，OA ( 1,8),OB ( 4,1),OC (1,3),求證：ABC是等腰 直角三角形。題型16.平面向量的綜合應(yīng)用rr r1 .已知a (1,0), b (2,1),當(dāng)k為何值時，向量ka b與a 3b平行?r rr2 .已知a (73,75),且a b, |b| 2,求b的坐標(biāo)。r r rr rr3 .已知a與b同向，b (1,2),則a b 10,求a的坐標(biāo)。一，r_r_rrrr4 .已知 a(1,2), b(3,1),c(5,4),則c a b一，rr4.已知 a (5,10

14、), brr rr(3, 4) , C (5,0),請將用向量a,b表小向量crrr r5 .已知a (m,3) , b (2, 1), (1)若a與b的夾角為鈍角，求m的范圍；(2)若a與b的夾角為銳角，求m的范圍。一，rrr , r6 .已知a (6,2) , b ( 3,m),當(dāng)m為何值時，(1) a與b的夾角為鈍角？ ( 2)r , ra與b的夾角為銳角？7 .已知梯形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A( 1,2) , B(3,4) , D(2,1),且AB/DC , AB 2CD ,求點(diǎn)C的坐標(biāo)。8 .已知平行四邊形ABCD的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(2,1), B( 1,3), C(3,4

15、), 求第四個頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。9 . 一航船以5km/h的速度向垂直于對岸方向行駛，航船實(shí)際航行方向與水流方向 成30o角，求水流速度與船的實(shí)際速度。10 .【2007年廣東卷】已知 ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(3,4), B(0,0) , C(c,0),uuu uuir(1)若AB AC 0,求c的值；(2)若c 5,求sin A的值。rr rb|和向量a,b的夾角【備用】r r r rr1.已知|a| 3,|b| 4,|a b| 5,求 |ar2.已知xr r r r2a b,且|a| |b| 1,r r ub,求x, y的夾角的余弦。r1.已知arrr r r(1,3),b ( 2,

16、1),則(3a 2b) (2a 5b)65r4.已知兩向量ar(3,4),br(2, 1),求當(dāng) ar r rxbf a b垂直時的x的值。r5.已知兩向量arr r的范圍(1,3),b (2, ), a與b的夾角 為銳角，求rrr r變式：若a ( ,2),b ( 3,5), a與b的夾角 為鈍角，求的取值范圍選擇、填空題的特殊方法:1 .特例法所以取特殊情況,例：全品P27: 4。因?yàn)镸,N在AB,AC上的任意位置都成立,即M,N與B,C重合時，可以得到m n 1, m n 2。2 .代入驗(yàn)證法r rrr例：已知向量a(1,1),b(1, 1),c(1,2),則 c(D)A.3 r 3bB.1 r-a23 r -b C. a1 r-bD.23r a2r變式：已知arr(1,2),b ( 1,3),c1rb2 r r(1,2),請用a,b表示c。r r 解：設(shè)c