解析幾何中有關(guān)參數(shù)范圍問(wèn)題的求解策略--專業(yè)論文

1、解析幾何中有關(guān)參數(shù)范圍問(wèn)題的求解策略曾慶寶解析幾何中的參數(shù)范圍問(wèn)題是平時(shí)考試和高考中的重要考查內(nèi)容，但這一類(lèi)題綜合性 強(qiáng)、變量多、涉及知識(shí)血廣，是難點(diǎn)問(wèn)題。解答這類(lèi)問(wèn)題往往運(yùn)用函數(shù)思想、方程思想、數(shù) 形結(jié)合思想等，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域劃最值等來(lái)解決。一. 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合探求參數(shù)范圍r2 (v - n?例l.m為何值時(shí)，直線y = -x + m與半橢圓 +§= 1 © » "只有一個(gè)公共點(diǎn)？y2 (y分析：因?yàn)闄E圓莎+卩5=1 (y n 1)為半條曲線，若利用方程觀點(diǎn)研究這類(lèi)問(wèn)題,則需轉(zhuǎn)化成根的分布問(wèn)題，較麻煩且易岀錯(cuò)。若川數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)研究則直觀易解

2、。如圖,j厶、厶是直線系y =-兀+加中的三條直線，這三條直線是直線系中的直線與半橢圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)的“界線”,在人與匚之間的直線(含人,不含厶)及厶都是與半橢圓只有一個(gè)公共 點(diǎn)的直線，而m是這些直線在y軸上的截距，由此可求m的范圍。解：厶過(guò)（一2后，1）,貝ijl = 2v5+m, m = -25 4-14 過(guò)（2后，1）,則 1 = 一2 v5 4-777 , 7/2 = 275+1y = -x + m120得到關(guān)于兀的一元二次方程。(y»i)利用=()得m = 6綜上所得，1 2后5加1 + 2后或加=6二. 構(gòu)建函數(shù)關(guān)系探求參數(shù)范圍例2.p、q、m、n四點(diǎn)都在橢圓宀冷1上，f為橢圓

3、在y軸正半軸上的焦點(diǎn)。已知pf與f0共線，mf與fn共線,且pf mf = q.求四邊形pmqn的而積的最小 值和最大值。分析：顯然，我們只要把面積表示為一個(gè)變量的函數(shù)，然后求函數(shù)的最值即可。解：如圖，由條件知mn和pq是橢惻的兩條弦，相交于焦點(diǎn)f （0, 1）,且pq丄mn, 直線pq、mn中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)pq的斜率為k,又pq過(guò)點(diǎn)f （0, 1），故 pq方程為y = kx + .代入橢圓方程得（2 +比2）兀2 + 2匕一 1 = 0設(shè)p、q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（“，兒）,（兀2,兒），則當(dāng)icho時(shí)，mn的斜率為一一，同上可推得 kmn =故四邊形面積s = pq （2 +曰（

4、2 +右）5 +心令 u = k2 +得 s = 4（2 + "）= 2（ 1 5 + 2u v 5 + 2 w /因?yàn)閡 = jl2+-l>2,此時(shí)k=±l, w = 2, s = , us是以u(píng)為自變量的增函 k29數(shù)，所以<s<2o9當(dāng)r=0吋，mn為橢圓長(zhǎng)軸，|w| = 2v2, pq = /2s = pq mn = 2綜合知，四邊形pmqn而積的最人值為2,最小值為匹。三. 構(gòu)造含參數(shù)不等式探求參數(shù)范圍例3已知拋物線b =2/x（p0）,過(guò)m （a, 0）且斜率為1的直線/與拋物線交于 不同的兩點(diǎn)a、b, ab<2p.（1）求a的取值范圍；

5、（2）若線段ab的垂直平分線交兀軸于點(diǎn)n,求anab而積的最大值。分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問(wèn)題，對(duì)于（1）,可以設(shè)法得到關(guān)于。的不 等式，通過(guò)解不等式求出"的范圍，即“求范圍，找不等式”?；蛘邔?。表示為另一個(gè)變量 的函數(shù)，利川求函數(shù)的值域求出。的范圍。對(duì)于（2）首先要把a(bǔ)nab的面積表示為一個(gè)變 量的函數(shù)，然后再求它的最大值。解（1）直線z的方程為：y = x 0，將y二兀d代入拋物線方程y2 = 2px，設(shè)得x1 - 2(。+ /;)% +。2 = 0設(shè)直線z與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a（“，兒），b（x2 ,兒），則4(。+ py -4a2 > 0< 兀

6、+兀2 = 2(a + ), 并口)=兀_a, y2 = x2-axjx2又0v ab < 2p, 8p(p + 2a)>0=8p(p + 2a)所以 0 v8p(p + 2a) <2p解得（2）令ab中點(diǎn)為q,= 1ab-qn = pq j ab<p 2p = 42p2 2即anab的回積的最大值為v2/?2。->例4已知梯形abcd中,|ab| = 2|cd|,點(diǎn)e滿足4e = 2ec,雙曲線過(guò)c、d、e2 3三點(diǎn)，冃以a、b為焦點(diǎn)。當(dāng)一525二時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍。3 4分析：顯然，我們只要找到e-4a的關(guān)系，然后利用解不等式或求函數(shù)的值域即可求出

7、 e的范圍。解：如圖建立朋標(biāo)系，cd丄y軸，因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)c、d,且以a、b為焦點(diǎn)，由雙 曲線的對(duì)稱性知c、d關(guān)于y軸對(duì)稱。(c i依題意，記a(-c, 0), c=, /*, e(x(), y(j，其c = -ab為雙曲線的半焦原，h是梯形的高。解得:兀0-»-由 ae = a ec,(2-2)c2(1 + 2)設(shè)雙曲線的方程為令-令"則離心率e手由點(diǎn)c、e在雙曲線上，將點(diǎn)c、e的坐標(biāo)和幺二£代入雙曲線的方程得: a/?2 t一廠1< 112)2< a )1久+ 1丿j久+ 1丿44>h22 h2=1<2>將vl式代入2式,整理得

8、:-(4-42)=1 + 2223233依題設(shè)齊久行得齊聳解得：v7 <e< v10所以雙曲線的離心率的取值范圍是<< vio2 2例5.已知橢圓四. 運(yùn)用幾何性質(zhì)探求參數(shù)范圍（ab0）, a、b是橢圓上的兩點(diǎn)，線段ab的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)卩（兀（），0）o證明:分析：欲證滿足關(guān)于參數(shù)b的不等式，須從題中找出不等關(guān)系，由橢圓的性質(zhì)可 知，橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足如下條件：a h ,因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋求與兀的關(guān)系。證明：由題設(shè)可知，點(diǎn)p在線段ab的垂直平分線上,所以ap = bp若設(shè)力（旺，yj, b（x2,兒），則有：（習(xí)一*0）2汀=（x2_x°）2兒2-2

9、 , ?因?yàn)辄c(diǎn)a、b在橢|員|上，所以）= b2x2, y22 = b2x22cr cr從而由一d < xx <a, -a < x2 < a at得,<兀0 v-b2a五. 構(gòu)造方程運(yùn)用判別式探求參數(shù)范圍例6.己知拋物線，2=2"（“工0）上存在關(guān)于直線x + y = 1對(duì)稱的相異兩點(diǎn)，求p 的取值范用。分析：解決本題的關(guān)鍵是建立方程，運(yùn)用判別式找到關(guān)于p的不等式。解：設(shè)拋物線上關(guān)于直線x + y = l對(duì)稱的兩點(diǎn)是mfr】，yj, 7v（x2, y2）設(shè)直線mn的方程為y = xb,代入拋物線方程，得x2 +（2b 一 2p）x + b2 = 0則 &

10、#163; + 乙=2p - 2b, y, + y2 =+ x2 + 2b = 2p則mn的中點(diǎn)p的朋標(biāo)為（p-b, p）又因點(diǎn)p在直線x + y = l上，所以2p b = ,即b = 2p-乂 a =（2/?-2p）2 -4/?2 =4/? _8 切0將b = 2” 一 1 代入得：4p2 -sp（2p -1） > 0, 3p2 -2p <02解得：ovpv 【練習(xí)】1.設(shè)橢圓 齊+1的兩個(gè)焦點(diǎn)是f,（-c,（）與f2（c, 0）,且c0,橢圓上存在一點(diǎn)p,使得直線與（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍;（2）設(shè)z是相應(yīng)于焦點(diǎn)&的準(zhǔn)線，直線p&與/相交于點(diǎn)q若p斗=2-求22陰直線p&的方程。2.在以0為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)a(4, 3)為厶oab的直角頂點(diǎn)。已知ab =2 oa ,且點(diǎn)b的縱坐標(biāo)大于零。(1) 求向量ab的坐標(biāo);(2) 求圓/ 6兀+ b + 2y = 0的關(guān)于直線ob對(duì)稱