直線和圓的方程——高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與典型例題

1、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與典型例題直線和圓的方程直線和圓的方程知識(shí)關(guān)系直線和5方程K p點(diǎn)斜式* -r卡 兩點(diǎn)式-*VW HH傾詡角I-和斜率用二元一次不等式 表示平面區(qū)域重合 平行相交H夾角I-點(diǎn)到直 線的距 離公武圓的性質(zhì)簡(jiǎn)單應(yīng)用直線的方程直線的方程注:確定直線方程需要有兩個(gè)互相獨(dú)立的條件，通常用待定系數(shù)法；確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍 直線是平面幾何的基本圖形，它與方程中的二元一次方程Ax+By+C=0(A2+B20)是- 對(duì)應(yīng)的.例1.過(guò)點(diǎn)I和 P的直線的斜率等于1,貝U的值為()(A)I I(B)匚I(C)1或3(D)1或4例2.若IHl ,則直線2COS+3y

2、+仁0的傾斜角的取值范圍()(A) Lrl(B)因(C) (0)(D) 例3.直線的傾斜角是()(A)I Nl(B)回 (C) N I(D) K I例4.連接上J和三I兩點(diǎn)的直線斜率為 _,與y軸的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)例5.以點(diǎn)I為端點(diǎn)的線段的中垂線的方程是.直線的方程一、直線的傾斜角和斜率1.直線的傾斜角：一條直線向上的方向與 軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與也軸平行或重合時(shí)，其傾斜角為 目，故直線傾斜角Ul的范圍是L LsJsJ . .2.直線的斜率：傾斜角不是因的直線其傾斜角耳的正切叫這條直線的斜率3 ,即 . .注：每一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率2當(dāng)上J時(shí)，直線

3、 垂直于卜軸，它的斜率k不存在.3過(guò)兩點(diǎn)上J、.二ILnJ的直線斜率公式X 二、直線方程的五種形式及適用條件名稱程明適用條件一、兩直線的位置關(guān)系1.兩直線平行：斜率存在且不重合的兩條直線11：y=k1x+b1,I2：y=k2x+b2，貝V I1/I2到k1=k2;兩條不重合直線兇的傾斜角為凹,則二.例6.將直線繞著它與軸的交點(diǎn)逆斜截式y(tǒng)=kx+b點(diǎn)斜式y(tǒng)-yo=k(x-xo)k斜率b縱截距(xo,yo)直線上已知點(diǎn)，k斜率兩點(diǎn)式(x1,y1),(2,y2)是直線上兩個(gè)已知點(diǎn)截距式a直線的橫截距b直線的縱截距般式Ax+By+C=0(A、B不全為零)傾斜角為90的直線不能用此式傾斜角為90的直線不

4、能用此式與兩坐標(biāo)軸平行 的直線不能用此 式過(guò)(0，0)及與兩 坐標(biāo)軸平行的直 線不能用此式A、B不能同時(shí)為零兩直線的位置關(guān)系J J(B)0(D)1(A)(C)時(shí)針旋轉(zhuǎn)回的角后，在 刁軸上的截距是()2.兩直線垂直：斜率存在的兩條直線l1:y=k1x+b1,l2:y= k2x+b2,則1丄l2二k1k2= -1;兩直線l1:A1x+B1y+C1=0,I2：A2x+B2y+C2=0, 則1丄12二A1A2+B1B2= 03.“到角”與“夾角”直線勺到兇的角(方向角) 直線到tJ的角，是指直線與勺重合時(shí)所轉(zhuǎn)動(dòng)的角.I繞交點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到 它的范圍是 丨.注：當(dāng)兩直線的斜率k1,k2都存在且k1k

5、2-1時(shí)，因 ;當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可結(jié)合圖形判斷.例7.將一張畫(huà)了直角坐 標(biāo)系且兩軸的長(zhǎng)度單位相 同的紙折疊一次，使點(diǎn)(2,0)與點(diǎn)(一2,4)重合，若點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m ,n)合，則m+n的值為(A)4(C)10例8.與直線(B)-4(D)10且過(guò)點(diǎn)L I回的方程是 例9.已知二直線行的直線亠和I ,若回，在y軸上的截距 為-1,貝y m= n=兩條相交直線H與_的夾角：兩條相交直線勺與兇的夾角，是指由E與到相交所成 的四個(gè)角中最小的正角 勺，又稱為 忖和占所成的角，它的 取值范圍是,當(dāng)兩直線的斜率k，k2都存在且kk2-1時(shí)，則有例 10.經(jīng)過(guò)兩直線11x-3y 9= 0 與 12x

6、 +y 19 = 0 的交 點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（3,-2）的直 線方程為_(kāi).例 13.若點(diǎn)（3, 1）和（2 , 6）在直線I 的兩側(cè)，則實(shí)數(shù)網(wǎng)的取值范圍是（）兩直線的位置關(guān)系4.距離公式。已知一點(diǎn)P（xo,yo）及一條直線I:Ax+By+C=0,則點(diǎn)P到直線I的距離d =；兩平行直線MAx+By+C1=O,l2：Ax+By+C2=0之間的距 離d= IKl5.當(dāng)直線位置不確定時(shí)，直線對(duì)應(yīng)的方程中含有參數(shù).含參數(shù)方程中有兩種特殊情形，它們的對(duì)應(yīng)的直線是 有規(guī)律的，即旋轉(zhuǎn)直線系和平行直線系.在點(diǎn)斜式方程y-y0=k（x-x0）中，1當(dāng)（x0，y0）確定，k變化時(shí)，該方程表示過(guò)定點(diǎn)（X0，y。）的旋轉(zhuǎn)直線

7、系，2當(dāng)k確定，（xo,yo）變化時(shí)，該方程表示平行直線系.已知直線I:Ax+By+C=0，則方程Ax+By+m=0（m為參數(shù)）表示與I平行的直線系； 方程-Bx+Ay+ n=0（n為參數(shù)）表示與I垂直的直線系。已知直線I1：A1x+B1y+C1=O，直線2:A2x+B2y+C2=0，則方程A1x+B1y+C1+（A2x+B2y+C2）=O表示過(guò)1與I2交點(diǎn)的直線系（不含12） 掌握含參數(shù)方程的幾何意義是某種直線系，有時(shí)可以優(yōu)化 解題思路.簡(jiǎn)線性規(guī)劃單的線性規(guī)劃例 11.已知 ABC 中,A （2, -1）, B （4, 3） ,C （3, -2）,求：BC 邊上的高所在直 線方程；AB 邊中

8、垂 線方程； A 平分線 所在直線方程.例 12.已知定點(diǎn)P （6, 4）與定直線 I1:y=4x,過(guò) P 點(diǎn)的直線 I 與I1交于第一象限 Q 點(diǎn)，與X 軸正半軸交于 點(diǎn) M ,求使 OQM 面 積最小的直線 I 方程.當(dāng)點(diǎn)P（xo,yo）在直線Ax+By+C=0上時(shí)，其坐標(biāo)滿足方程Axo+Byo+C=O;當(dāng)P不在直線Ax+By+C=0上時(shí)，Axo+Byo+C0,即Axo+Byo+CO或Axo+Byo+C0（或0),圓心坐標(biāo)為(- ,-習(xí))， 半徑為 r= .圓的參數(shù)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的參數(shù)方程為：EHJEHJ(日為 參數(shù),表示旋轉(zhuǎn)角)，參數(shù)式常用來(lái)表示圓周上的點(diǎn)

9、。注：1確定圓的方程需要有三個(gè)互相獨(dú)立的條件，通常也用待定系數(shù)法；2圓的方程有三種形式，注意各種形式中各量的幾何意義，使用時(shí)常數(shù)形結(jié) 合充分運(yùn)用圓的平面幾何知識(shí).3圓的直徑式方程：上,其中1 I是圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)(用向量可推導(dǎo)) 二、直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交，判定方法有兩種：代數(shù)法：直線：Ax+By+C=0，圓：x2+y2+Dx+Ey+F=0，聯(lián)立得方程組(2)幾何法：直線：Ax+By+C=0,圓：(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心(a，b)到直三、圓和圓的位置關(guān)系：設(shè)兩圓圓心分別為 Oi、02,半徑分別為 r, r2, O2為圓心距，貝U兩圓位置

10、關(guān)系如下：1O1O2r1+r2兩圓外離；2O1O2=r1+r2匕 兩圓外切；3|門-r2vO1O2v n+r2回 兩圓相交；4| O1O2|=| r1-r2叵|兩圓內(nèi)切；50 O1O2v r1-r2 兩圓內(nèi)含。注：直線和圓位置關(guān)系及圓和圓位置關(guān)系常借助于平面幾何知識(shí)，而一般不采用方程組理論(法).曲線和方程曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，當(dāng)曲線 C 和方程 F(X, y)=0 滿足如下關(guān)系時(shí)： 曲線 C 上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程 F(x, y)=0 的解；以方程 F(x, y)=0 的解為 坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線 C 上，則稱曲線 C 為方程 F(x, y)=0 表示的曲線；方程 F(x, y)=0 是曲線

11、C 表示的方程.注:如果曲線 C 的方程是 F(X ,y)=0 ,那么點(diǎn) P0(0,y0)在曲線 C 上的充要條 件是 F(x0,y)=0解析幾何研究的內(nèi)谷就是給定曲線 C,如何求出它所對(duì)應(yīng)的方程，并 根據(jù)方程的理論研究曲線的幾何性質(zhì)。 其特征是以數(shù)解形，坐標(biāo)法是幾何問(wèn) 題代數(shù)化的重要方法。求曲線方程的步驟：建、設(shè)、現(xiàn)(限)、代、化.曲線和方程例 18.點(diǎn)上 I 適合方程凹是點(diǎn)在曲線上 I 上的()(A)充分條件 (B)必要條件(C)充要條件(D)什么條件也不是例 19.曲線 CLKl 與 C： 的交點(diǎn)數(shù)是()(A)1 個(gè)(B) 2 個(gè)(C)3 個(gè) (D)4 個(gè)例 20.已知定點(diǎn) 凹，凹，點(diǎn)

12、M 與 A、B 兩點(diǎn)所在直線的斜率之積等 于.-，則點(diǎn) M的軌跡方程是例 21.已知圓 =I 和兩點(diǎn) A (0, 4), B (4, 0)當(dāng)點(diǎn) P 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 求上 J 的重心的軌跡方程.例 22.如圖，圓與圓 T 的半徑都是 1, 土| .過(guò)動(dòng)點(diǎn)百分別作圓囚、 圓兇的切線上J (凹分別為切點(diǎn))，使得.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.圓的方程兒二次方程 I線的距離為 d=圓的方程四、圓的切線：1.求過(guò)圓上的一點(diǎn)上 J 圓的切線方程：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率 d,則 由垂直關(guān)系，切線斜率為 m,由點(diǎn)斜式方程可求得切線方程；2. 求過(guò)圓外一點(diǎn) LT 圓的切線方程:(1)(幾何方法)設(shè)切

13、線方程為I 一 I 即 I 一 :i然后由圓心到直線的距離等于半徑,可求得冋,切線方程即可求出(代數(shù)方法)設(shè)切線方程為 代入圓方程得一個(gè)關(guān)于的一元二次方 程，由 ，求得，切線方程即可求出 注：以上方法只能求存在斜率的切線 得.過(guò)圓例 23.若直線,斜率不存在的切線，可結(jié)合圖形求I 上一點(diǎn) 丨的切線方程為相切，則血的值為()與圓叵圓的方程例 24.兩圓 x2+y2-4x+2y+仁 O 與(x+2)2+(y-2)2=9 的位置關(guān)系是()(A)內(nèi)切(B)相交(C)外切(D)相離例 25.已知圓 C 與圓(X- 1)2+y2=1 關(guān)于直線 y=-x 對(duì)稱，則圓 C 的方程為()(A) (x+1)2+y

14、2=1(B) x2+y2=1(C)x2+(y+1)2=1例 26.若直線 4x-3y-2 = 0 與圓公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(A)-3 a 7(B)-6 a 4(D)x2+(y-1)2=1有兩個(gè)不同的)(C)-7 a 3(D)-21 0，m0 x0-10令 X0-仁 t ,則 t0I I 40當(dāng)且僅當(dāng) t=1, X0=11 時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí) Q (11, 44),直線 I: x+y-10=0評(píng)注：本題通過(guò)引入?yún)?shù)，建立了關(guān)于目標(biāo)函數(shù) I 呵 的函數(shù)關(guān)系式，再由基本 不等式再此目標(biāo)函數(shù)的最值。要學(xué)會(huì)選擇適當(dāng)參數(shù)，在解析幾何中，斜率k ,截距 b,角度,點(diǎn)的坐標(biāo)都是常用參數(shù)，特別是點(diǎn)參

15、數(shù)。例 13.B例 14.丿，I 曲例 15.勺例 16.種蔬菜 20 畝,棉花 30 畝,水稻不種，總產(chǎn)值最高 27 萬(wàn)元.例 17.解：設(shè)初中 X 個(gè)班，高中 y 個(gè)班，則設(shè)年利潤(rùn)為 s，則作出（1）、（ 2）表示的平面區(qū)域，如圖，過(guò)點(diǎn) A 時(shí)，S 有最大值，由I I解得 A（ 18，12）.易知當(dāng)直線 1.2x+2y=s即學(xué)校可規(guī)劃初中 18 個(gè)班，高中 12 個(gè)班,（萬(wàn)元） 可獲最大年利潤(rùn)為 45.6 萬(wàn)元.評(píng)線性規(guī)劃是直線方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用，是新增添的教學(xué)內(nèi)容，是新大綱重視知識(shí) 應(yīng)用的體現(xiàn)，根據(jù)考綱要求，了解線性不等式表示的平面區(qū)域，了解線性規(guī)劃的 意義并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用，解決此類問(wèn)題，關(guān)鍵是

16、讀懂內(nèi)容，根據(jù)要求，求出線性約束 條件和目標(biāo)函數(shù)，直線性約束條件下作出可行域，然后求線性目標(biāo)函數(shù)在可行域 中的最優(yōu)解，歸納如下步驟：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的約束條件列出不等式，作出可 行域，寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù)，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解但在解答 時(shí)，格式要規(guī)范，作圖要精確，特別是最優(yōu)解的求法，作時(shí)還是比較困難的是 函數(shù)方程思想的應(yīng)用.例 18.A例 19.D例 20. X2+例 21. (X例 22.解：以 S 的中點(diǎn)為原點(diǎn), 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則( ( I設(shè): :LJLJ _II-I .由已知I 因?yàn)閮蓤A半徑均為 1,，例 28. x+y=0 或 x+7y- 6=0例 29.解：x2+y2- 6x- 8y=0 即(X- 3)2+(y-4)2=25, 設(shè)所求直線為 y= kx0