開環(huán)幅相頻率特性實(shí)用教案

1、 即特性總是以順時(shí)針方向趨于原點(diǎn)，并以 的角度(jiod)(jiod)終止于原點(diǎn)，如下圖所示。 0,11njjmiiTTKAmn0)(,Amn2)(2)()(mnnm 2、終點(diǎn)(zhngdin)：一般實(shí)際(shj)系統(tǒng) 2mn第1頁/共26頁第一頁，共27頁。3、幅相特性(txng)與負(fù)實(shí)軸和虛軸的交點(diǎn)。特性與虛軸的交點(diǎn)(jiodin)的頻率由下式求出 特性與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)(jiodin)的頻率由下式求出 如果在傳遞函數(shù)的分子中沒有時(shí)間常數(shù)，則當(dāng)由0 0增大到過程中，特性的相位角連續(xù)減小，特性平滑地變化。如果在分子中有時(shí)間常數(shù)，則視這些時(shí)間常數(shù)的數(shù)值大小不同，特性的相位角可能不是以同一方向連續(xù)地

2、變化，這時(shí)，特性可能出現(xiàn)凹部。 0)()(ImQjGK0)()(RePjGK第2頁/共26頁第二頁，共27頁。例1：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)(xtng)的傳遞函數(shù)為 ， )1)(1 ()(21sTsTKsG系統(tǒng)(xtng)(xtng)的開環(huán)幅相曲線。 試?yán)L出解：)1)(1 ()(21TjTjKjG分母(fnm)有理化并整理得)1)(1 ()()1)(1 ()1 ()(22221221222212221TTTTKjTTTTKjG)1)(1 ()1 ()(222212221TTTTKP)1)(1 ()()(22221221TTTTKQ22221211)(TTKA2111tantan)(TT第3頁/共26頁第三頁

3、，共27頁。當(dāng) 時(shí)， ， ， ， 。00)0(P0)0(QKA)0(0)0(當(dāng) 時(shí)， ， ， ， 。0)(P0)(Q0)(A180)(令 ，0)(P0)1 (221TTK即 ，得 ，代入 中得2111TT)(Q21211)(TTTTKQ設(shè)K10，T11，T25時(shí) ，分別代入 ， 中得不同值時(shí) 和的結(jié)果如下：)(P)(P)(Q)(Q00.10.20.30.40.60.81.02.01.007.53.851.550.340.590.790.770.38004.755.775.084.142.651.721.150.240)(Q)(P第4頁/共26頁第四頁，共27頁。在G（s）平面(pngmin)上

4、繪出幅相頻率特性曲線如下圖所示：第5頁/共26頁第五頁，共27頁。 例例2: 2: 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)設(shè)開環(huán)系統(tǒng)(xtng)(xtng)的傳遞函數(shù)為的傳遞函數(shù)為 , ,試?yán)L出幅相曲線。試?yán)L出幅相曲線。)1)(1 ()(21sTsTsKsG 解：解：)1)(1 ()(21TjTjjKjG)1)(1 ()()(22221221TTTTKP)1)(1 ()1 ()(222212221TTTTKQ22221211)(TTKA2111tantan90)(TT經(jīng)分母(fnm)有理化可得 幅頻特性和相頻特性為這是型系統(tǒng)(xtng)。 解解: :第6頁/共26頁第六頁，共27頁。 1、起點(diǎn) 當(dāng) 0時(shí)，可計(jì)算出 ， ，

5、 ,顯然當(dāng)0時(shí)，G(j) 的漸近線是一條過實(shí)軸上 點(diǎn)，且平行于虛軸的直線(zhxin)，即幅相曲線起始于負(fù)虛軸方向的無窮遠(yuǎn)處，它的漸近線是)()0(21TTKP)0(A2)0(0)(P0)(Q0)(A23)(0)(Q )0(Q)(21TTK)()0(21TTKP 2. 終點(diǎn) 當(dāng) 時(shí)， ， ， ， 。 該系統(tǒng) m=0，n=3 ，故特性曲線的高頻(o pn)部分沿正虛軸方向趨于原點(diǎn)。 3. 幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn) 令 ，可得 ，將此1值代入式P()表達(dá)式中，可得幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)為 ，交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率為 ，可以證明2111TT2121TTTKT211TT)(212121TTKTTTKT 第7頁/共2

6、6頁第七頁，共27頁。幅相曲線(qxin)如下圖所示。第8頁/共26頁第八頁，共27頁。 :G(S) 3.S)TS)(1T(1SK212解例圖圖與與虛虛軸軸的的交交點(diǎn)點(diǎn)由由此此得得出出這這時(shí)時(shí)得得令令Nyquist )K(T)ImG(j T1 0)ReG(j )ImG(j)ReG(j)G(j -360)G(j 0|)G(j| -180)G(j |)G(j| 0 T-180)G(j T1T1|)G(j| )T)(1T(1)(j)G(j 21212121222221221223TTTTarctgarctgTKjjK第9頁/共26頁第九頁，共27頁。 : )T(T G(S) 4.12) 1(1)SK

7、(T21解例STS -90)G(j 0| )G(j| -90)G(j | )G(j| 0)( )()( -90)G(j 1T1K| )G(j| )T(1)1 (T1)()G(j 2121222221222212221QTTKParctgTarctgTTTTKjTTkReK(T1-T2)Im第10頁/共26頁第十頁，共27頁。部部。的的全全部部零零點(diǎn)點(diǎn)均均具具有有負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)在在卻卻變變成成輔輔助助函函數(shù)數(shù)有有負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)部部的的全全部部極極點(diǎn)點(diǎn)均均具具是是原原系系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定定的的充充要要條條件件由由上上述述關(guān)關(guān)系系知知由由此此我我們們看看到到選選取取輔輔助助函函數(shù)數(shù)開開環(huán)環(huán)傳傳函函為為函函為為右右

8、圖圖所所示示系系統(tǒng)統(tǒng)的的閉閉環(huán)環(huán)傳傳輔輔助助函函數(shù)數(shù))(,)(, )()()Z-(S)Z-)(SZ-k(SG(S)H(S)1F(S) )()(bsbsbsbG(S)H(S)(S)G G(S)H(S)1G(S)(S)G . 121n2121011 -m1 -mmmkBSFSGpspspsspspspssBvnvvnvGB(S)零點(diǎn)極點(diǎn)相同F(xiàn)(S)零點(diǎn)極點(diǎn)相同GK(S)零點(diǎn)極點(diǎn)G(s)C(s)R(s)H(s)第11頁/共26頁第十一頁，共27頁。不包圍原點(diǎn)表示次逆時(shí)針包圍原點(diǎn)表示次順時(shí)針包圍原點(diǎn)表示點(diǎn)的次數(shù)按順時(shí)針方向包圍原平面上的映射在運(yùn)動(dòng)沿以順時(shí)針方向當(dāng)點(diǎn)在這種情況下的任何極點(diǎn)與零點(diǎn)不通過而內(nèi)

9、平面的封閉軌線部極點(diǎn)與零點(diǎn)均分布在的全以及點(diǎn)數(shù)目其中包括重極點(diǎn)與重零的零點(diǎn)數(shù)目為極點(diǎn)數(shù)目為又設(shè)為單值連續(xù)正則函數(shù)點(diǎn)外平面的有限個(gè)奇除在是復(fù)變量的多項(xiàng)式之比設(shè)、幅角原理FNNFNFFSFSSSSFSSSSFSFZSFPSSF 0 0N 0NP-ZN )( , , .)( ,)( , ,)(,)(.,)( 2第12頁/共26頁第十二頁，共27頁。-2)iZ-(SF(S) ,2)(,)(,S(a)S)iZ-(S )nP-(S-)1P-(S-)nZ-(S)1Z-(SF(S) )nP-(S)1P-(S)nZ-(S)1Z-k(SF(S) )()(,B,F(S),S :所以其余均為零外等于除了時(shí)而不含極點(diǎn)與

10、其他零點(diǎn)含零點(diǎn)內(nèi)只當(dāng)?shù)南辔唤亲兓聪蛄繌?fù)數(shù)路線變動(dòng)時(shí)的按圖表示這里的變化的相位角了這個(gè)變化造成回到點(diǎn)點(diǎn)出發(fā)沿它從的變化也相應(yīng)這樣變化時(shí)回到原來的位置當(dāng)一圈順時(shí)針轉(zhuǎn)繞從這點(diǎn)移動(dòng)使上選擇點(diǎn)在有關(guān)幅角定理的說明iZSiZSiZSSFSFBFSiZSAjwSA.Zi(a) SBFReImF(S)(b)第13頁/共26頁第十三頁，共27頁。 (3)(2),(1),R(3),-(2)(1), s. s, a.s (1).s : 3面。段就封閉了整個(gè)右半平因此的圓弧組成的趨于無窮大段由半徑的整個(gè)虛軸組成到兩段是由其中軌線。稱為封閉軌線為平面右半部的個(gè)可選包括虛軸在內(nèi)的整況下在虛軸無開環(huán)極點(diǎn)的情的情況平面虛軸

11、上無開環(huán)極點(diǎn)軌跡平面的推導(dǎo)穩(wěn)定判據(jù)、NyquistsNyquistNyquistjw(3)(1)(2) r0ss第14頁/共26頁第十四頁，共27頁。環(huán)極點(diǎn)的情況相同。同時(shí)和虛軸不含開內(nèi)都將包圍在修正軌線半部的全部零點(diǎn)與極點(diǎn)平面右所以也將趨于零時(shí)當(dāng)一些面積由于這些修正回避掉的的右側(cè)繞過按反時(shí)針方向從這些點(diǎn)以無窮小為半徑的圓弧點(diǎn)為圓心則在這些點(diǎn)增補(bǔ)以該平面的原點(diǎn)或虛軸上時(shí)有若干個(gè)極點(diǎn)處于所以當(dāng)函數(shù)函數(shù)的任何極點(diǎn)不能通過由于應(yīng)用幅角定理時(shí)的情況平面原點(diǎn)處有開環(huán)極點(diǎn),.,0,)(,)(, .SSrSFSFSSb(1)(2)r=0(3)ImResF(s)第15頁/共26頁第十五頁，共27頁。故函數(shù)的零

12、極點(diǎn)數(shù)相等的曲線所包圍說明即則其曲線不包圍原點(diǎn)若其圖形如圖所示函數(shù)做出。軌跡按平面上的軌跡平面上的0P-ZN,F(S), 0,)(NyquistF(S) NyquistF(S) )2(SNSF(1,j0)ReImF(S)第16頁/共26頁第十六頁，共27頁。圖。時(shí)的完整開環(huán)頻率響應(yīng)可以通過對(duì)稱關(guān)系畫出繪制的頻率響應(yīng)因此通常平面的實(shí)軸對(duì)稱于與由于時(shí)完整開環(huán)頻率響應(yīng)在這兩部分構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)向沿虛軸從段在第運(yùn)動(dòng)向沿虛軸從段在第的關(guān)系。響應(yīng)與閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)頻率平面上映射在順時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周時(shí)沿下面分析當(dāng)點(diǎn)-0 )()(,)()()()()()(),()(- )()(|)()(|)()( 0 , 0 s

13、(2) )()(|)()(|)()( -0- ,0 s (1) )H(jG(jG(S)H(S)()(,SjHjGsHsGjHjGjHjGjHjGjHjGjejHjGjssHsGjjjHjGjejHjGjssHsGjjSHSGF第17頁/共26頁第十七頁，共27頁。點(diǎn)。不包圍時(shí)變到本從當(dāng)平面上的開環(huán)頻率響應(yīng)件為條則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要即平面左半部的全部極點(diǎn)均分布在若的極點(diǎn)數(shù)目平面右半部位于為開環(huán)傳遞函數(shù)中其次按逆時(shí)針方向包圍時(shí)變到本從當(dāng)平面上的開環(huán)頻率響應(yīng)件是閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條穩(wěn)定判據(jù))0, 1(, ),)H(jG(j )H(jG(j ,0,P,sG(s)H(s) .sG(s)H(s),)0,

14、1(,),)H(jG(j)H(jG(j: :jPPjNyquist第18頁/共26頁第十八頁，共27頁。radjHjGjerKrjrerssansnassbmsmbKjrerssHsGjrersjsjs順時(shí)針轉(zhuǎn)過沿半徑為無窮大的圓弧到平面上的映射軌線由這說明增補(bǔ)段在時(shí)到當(dāng)00)()(0lim 0lim) 11() 11(0lim)()(0lim 00第19頁/共26頁第十九頁，共27頁。例例1:1:設(shè)開環(huán)系統(tǒng)設(shè)開環(huán)系統(tǒng)(xtng)(xtng)的傳遞函數(shù)為的傳遞函數(shù)為 ，試?yán)L出系統(tǒng)，試?yán)L出系統(tǒng)(xtng)(xtng)的開環(huán)幅相曲的開環(huán)幅相曲線并判斷閉環(huán)系統(tǒng)線并判斷閉環(huán)系統(tǒng)(xtng)(xtng)

15、的穩(wěn)定性。的穩(wěn)定性。1)(sKsGK 實(shí)頻特性(txng) 虛頻特性(txng) 幅頻特性(txng) 相頻特性(txng)解：解：21) 1(1)(jKjKjGK21)(KP21)(KQ21)(KA1tan180)( 當(dāng) 0時(shí)，P(0) K，Q(0) 0，起始于(K，0 )點(diǎn)； 時(shí)，P ( )0 ,Q ( )0 ,A () 0, ( ) 90 ，沿負(fù)虛軸趨于原點(diǎn)。 當(dāng) 由 0 時(shí) ， P ()0 ， Q ()0，亦即 ( ) 在180 到90 之間，故幅相曲線(qxin)在第三象限，開環(huán)幅相曲線(qxin)如下圖所示。第20頁/共26頁第二十頁，共27頁。 開環(huán)傳遞函數(shù)在右半 s 平面上的開

16、環(huán)極點(diǎn)數(shù)P 1。 當(dāng) 從變化到，奈氏曲線(qxin)反時(shí)針包圍 (1， 0 )點(diǎn)的圈數(shù) R 與 K有關(guān)。 當(dāng)K1時(shí)，R 1，Z P R 110，故閉環(huán)穩(wěn)定； 當(dāng) K1時(shí)，R 0，Z P R 101，故閉環(huán)不穩(wěn)定，右半 s 平面有一個(gè)根。第21頁/共26頁第二十一頁，共27頁。例例2: 2: 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，試用試用(shyng)(shyng)奈氏判據(jù)判閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。奈氏判據(jù)判閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。)52)(2(2 . 5)(2ssssGK解：繪出該系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖所示，曲線起點(diǎn)在實(shí)軸解：繪出該系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖所示，曲線起點(diǎn)在實(shí)軸 P(0) 5.2處，處，

17、 終點(diǎn)終點(diǎn)(zhngdin)在原在原點(diǎn)，用分析法可得點(diǎn)，用分析法可得 2.5時(shí)，曲線與負(fù)虛軸相交，交點(diǎn)為時(shí)，曲線與負(fù)虛軸相交，交點(diǎn)為- 5.06。當(dāng)。當(dāng) 3時(shí)，曲線與負(fù)實(shí)軸相交，時(shí)，曲線與負(fù)實(shí)軸相交，交點(diǎn)為交點(diǎn)為 2.0。 開環(huán)系統(tǒng)右半 s 平面的極點(diǎn)(jdin)數(shù)為0。當(dāng)從 時(shí)，奈氏曲線以順時(shí)針包圍(1， 0 )點(diǎn)兩圈，即 R 2。 Z P R 0(2)2，Z0 ，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，在右半 s 平面有2個(gè)根。第22頁/共26頁第二十二頁，共27頁。例例3 3：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 沒有沒有(mi yu)(mi yu)極點(diǎn)位于右半極點(diǎn)位于右半s s平面，平面，P=0P=0。系統(tǒng)(

18、xtng)不穩(wěn)定222142221221)(1)()(TTTTTTKP)(1 )1 ()(2221422212212TTTTTTKQ121 2121 20(0)()(0)1( )( )0PK TTQKTTPQTTTT 在 時(shí)，在時(shí)，0,)1)(1 ()(21KsTsTKsGK第23頁/共26頁第二十三頁，共27頁。例例4 4 ：系統(tǒng)：系統(tǒng)(xtng) ,(xtng) ,) 12)(1(14)(2sssssGK解：繪制奈圖如下： P=0, N=-1, Z=P-2N=0-2（1）20 系統(tǒng)一定不穩(wěn)定(wndng)，并有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在s平面的右半部。（兩個(gè)右根） 試由奈氏判據(jù)(pn j)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。-1)(jQ)(P000第24頁/共26頁第二十四頁，共27頁。例例5 5：一個(gè)：一個(gè)(y )(y )系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為為 ，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)穩(wěn)定穩(wěn)定1,1)(KTsKsGK