高中數(shù)學(xué)含參數(shù)導(dǎo)數(shù)的解題策略

1、含參數(shù)導(dǎo)數(shù)的解題策略導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具，利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等，其 中滲透并充分利用著構(gòu)造函數(shù)、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等重要思想方法，導(dǎo)數(shù)常 作為高考的壓軸題，對(duì)考生的能力要求非常高，它不僅要求考生牢固裳握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技 能，還要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和計(jì)算能力。而含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題是近年來高考的難點(diǎn) 和熱點(diǎn)，本文著重就含參數(shù)導(dǎo)數(shù)的兒種常見的解題策略加以歸納.一、分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值策略在給出的不等式中，如果能通過恒等變形分離出參數(shù)，即：若a>f(x)恒成立，只須求出 max，則心/(兀)加若恒成立,只須求出/(心j則。"(兀)歸轉(zhuǎn) 化為

2、函數(shù)求最值.例、已知函數(shù)f(x) = xnx. ( i )求.f(x)的最小值；(ii)若對(duì)所有jt > 1都有/(x) >ax-,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.二、導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)是否在定義域內(nèi)，分類討論策略求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)為零有實(shí)根(或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式)，但不知導(dǎo)函數(shù)為零的實(shí)根 是否落在定義域內(nèi)，所以必須分類，通過令導(dǎo)函數(shù)為零的實(shí)根等于定義域端點(diǎn)值，求分點(diǎn), 從而引起討論.例2已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x) = x2cx-a).(i)若廣(1) = 3,求a的值及曲線j = /(%)在點(diǎn)(1,/(1)處的切線方程；(ii)求/(兀)在區(qū)間0, 2上的最大值.三、導(dǎo)函數(shù)為0是否存在，分類討論策

3、略求導(dǎo)后，考慮導(dǎo)函數(shù)為零是否有實(shí)根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能否分解因式），涉及到二次方程 問題時(shí)，與0的關(guān)系不定，所以必須分類，通過導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)或者與二次函數(shù)有關(guān), 令二0,求分點(diǎn)，從而引起討論.例3、己知函數(shù)/（兀）=兀2 - x + alnx, （ae r）,討論/（兀）在定義域上的單調(diào)性.四、導(dǎo)函數(shù)為0的方程的根大小不確定，分類討論策略求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)為零有實(shí)根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式），導(dǎo)函數(shù)為零的實(shí)根也落在 定義域內(nèi)，但這些實(shí)根的大小關(guān)系不確定，分不了區(qū)間.所以必須分類，通過令幾個(gè)根相等 求分點(diǎn)，從而引起討論.例4、己知m>ot討論函數(shù)/（兀）=+ + 6的單調(diào)性.ex練習(xí)求導(dǎo)后，

4、考慮導(dǎo)函數(shù)為零是否有實(shí)根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能否分解因式），從而引起討論。一、求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)為零有實(shí)根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式），但不知導(dǎo)函數(shù)為零的 實(shí)根是否落在定義域內(nèi)，從而引起討論。二、求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)為零有實(shí)根（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式），導(dǎo)函數(shù)為零的實(shí)根 也落在定義域內(nèi)，但不知這些實(shí)根的大小關(guān)系，從而引起討論。三、!,x< 11. 08 廣東（理）設(shè)kw r ,函數(shù) = < l-x,f（x） = /（x）-hc,xg /?,j x 1,兀 n i試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性。2.(08浙江理)已知g是實(shí)數(shù)，函數(shù)f x) = yxx-ci)(i)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；(ii )

5、設(shè)g (°)為幾兀)在區(qū)間0,2上的最小值o(/)寫出g(a)的表達(dá)式；(a)求a的収值范圍，使得-6<§(«)<-2oc213 (07天津理)已知函數(shù)f(x)= axa + (xe/?),其中aero x i 1(i )當(dāng)a = l時(shí)，求曲線y二/(兀)在點(diǎn)(2,/(2)處的切線方程;(ii)當(dāng)gh0吋，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。4 (07高考山東理改編)設(shè)函數(shù)/(x) = x2+/?ln(x+l),其中/心0,求函數(shù)/(兀)的極值 點(diǎn)。含參數(shù)導(dǎo)數(shù)的解題策例1、解：(i)略.(ii) v 對(duì)所有%>1 都有/(x)>-l,對(duì)所有x&

6、gt; 1 都有xlnx> ax-l,即 a < lnx +.x記g(x) = lnx + -,(x>0),只需 a < g(x)min.x令 g©)=丄一 -1 = 0,解得 x=l.x xg'(x) > 0 u> xl,g'(x) v 0 o 0 v x v 1.當(dāng)x = 1時(shí)，g(兀)取最小值g(l) = la<.即q的取值范圍是aa < 1例2解：(i)略.(tt)令/*(%) = 0,解得x. =0,x2當(dāng)上50,即dso時(shí)，/(x)在0, 2上單調(diào)遞增，從而 =/(2) = 8-467. 當(dāng)y>2時(shí),即

7、a>3時(shí)，/(%)在0, 2上單調(diào)遞減,從而/nax = /(0) = 0.當(dāng)0vy<2,即0vav3, /(兀)在o,yj上單調(diào)遞減，在3上單調(diào)遞增'8-4a,0<a<2.從而 znax8-4, a <2.綜上所述，/nax0,a >2.例 3、解：由已知得 fx) = 2x-1 -=2x'x + c(x > 0),xx(1) 當(dāng)4 = l-8a<0, a>-fx)>0恒成立，/(兀)在(0,+-)上為增函數(shù).8(2) 當(dāng)二l-8a>0, a<-時(shí),8、1.1 + j1 1 yjl sa©、升1

8、 + jl l)0<a<一時(shí)，>>0, £(兀)在，8 2 2 2 2上為減函數(shù),/(兀)在(0,，+oo）上為增函數(shù),2）當(dāng)qv0時(shí)，上衛(wèi)莎<0,故/（勸在0,1 + 4% 上為減函數(shù),/（力在1±肖二險(xiǎn)，+8）上為增函數(shù).綜上，當(dāng)a>-時(shí)，/（兀）在（0,+oo）上為增函數(shù).8當(dāng)0 vavg時(shí)，/（兀）在上冷二竺，1 + "；一乜上為減函數(shù),/（x）在（0,上壬邑,上莎,+00）上為增函數(shù),當(dāng)gvo時(shí)，/在（0, u牛魚上為減函數(shù)，/（對(duì)在1±牛1冬,+ °°）上為增函數(shù).例 4、解： fx)=

9、 +_ , g(x) = -mx2 - (m + 3)x - 3 , 令 g(x) = o,3得 r, x9=-l.m31) 當(dāng)0 vv3時(shí)，x, <x2,在區(qū)間(-oo-2i) , (_l,+oo)上g(q vo,即 fx) <0 ,m3所以f(x)在區(qū)間(-汽-一),(-l,+oo)上是減函數(shù)；m在區(qū)間(-,-1), g(x)>0,即f(x) > 0,所以/(x)在區(qū)間(-,-1)±是增函數(shù); mm2) 當(dāng) m = 3 時(shí)，西=毛，在區(qū)間(-1)，(1,+s)上 g(x) v 0 ,即 fx) v 0 ,又 /(x)在x = 1處連續(xù)，所以/(兀)在區(qū)間(

10、-oo,+oo)上是減函數(shù)；33) 當(dāng) m>3 時(shí)，>x2，在區(qū)間(-oo-l), (-, + oo)±g(x)<0,即 /z(x) < 0 ,m3所以f(x)在區(qū)間(-00-1) , (- , + oo)上是減函數(shù)；m在區(qū)間(一1, 一丄)上,g(兀)>0,即fx) > 0,所以/(x)在區(qū)間(-1,-丄)上是增函 mm數(shù).1.練習(xí)解：f(x) = f(x)-kx = < 1-x(7i + 2k j x -1心考慮導(dǎo)函數(shù)fx） = 0是否有實(shí)根，從而需要對(duì)參數(shù)k的収值進(jìn)行討論。（一）若x<l,則fg） j m ：）。由于當(dāng)pso時(shí)，f

11、x） = 0無實(shí)根，而當(dāng)k0 （1一兀）時(shí)，f x） = 0有實(shí)根,因此,對(duì)參數(shù)k分r50和£>0兩種情況討論。(1)當(dāng)m0時(shí),fx）>q在（-汽1）上恒成立,所以函數(shù)f（兀）在（j）±為增函數(shù);(2)當(dāng)k>0時(shí)，f'（x）由f,(x) = 0,得西x- 1 -,因?yàn)?#163; >0 ,所以召< 1 < q（1一兀）由 f*(%)>0,得 1一由 f*u)<0,得xvl-命。因此當(dāng)£>0時(shí)，函數(shù)f（兀）在（-oo,l-）上為減函數(shù),在（1*,1）上為增函數(shù)。1 + 2£、/ y （二）若“】

12、，則由于當(dāng)心。時(shí)，無實(shí)根，而當(dāng)£vo時(shí)，fx） = 0有實(shí)根，因此，對(duì)參數(shù)£分kno和£<0兩種情況討論。(1)當(dāng)kno時(shí)，fx)< 0在l,+oo)上恒成立，所以函數(shù)f(x)在l,+oo)上為減函 數(shù)；(2)1 + 2,ksj x l2x 由")>0,得小+著由f30,得1*1+占因此，當(dāng)£<0時(shí)，函數(shù)f(x)在1.1 + 4r上為減函數(shù)，在i+占t上為增函數(shù)。綜上所述:(1)當(dāng)r>0時(shí)，函數(shù)f(兀)在(-00,1-)上為減函數(shù)，在(1-)上為增函數(shù),在h+8)上為減函數(shù)。(2) 當(dāng)k = 0吋，函數(shù)fco在(-

13、00,1) ±為增函數(shù)，在l,+oo)上為減函數(shù)。1 a(3) 當(dāng)evo時(shí)，函數(shù)f(x)在(yo,l)上為增函數(shù)，在1,1 +上為減函數(shù)，在-4k丿" 1 > 、，1 h,+°°上為增函數(shù)。l 4k丿2解：(i ) 函數(shù)的定義域?yàn)?,+oo),3x-a2a/x(x >0),由 /(%) = 0 得 x =-考慮-是否落在導(dǎo)函數(shù)fx)的定義域(0, +oo)內(nèi)，需對(duì)參數(shù)a的取值分a<0aa>0兩種情況進(jìn)行討論。(1) 當(dāng)dwo時(shí)，則/'(x)> 0在(0,+oo)上恒成立，所以/(q的單調(diào)遞增區(qū)間為0,+oo)。(2)

14、當(dāng)a>0時(shí)，由 / (x)>0, wx> ；由 / (x)<0, wo<x< o33因此，當(dāng)g>0時(shí)，/(兀)的單調(diào)遞減區(qū)間為0,- , /(兀)的單調(diào)遞增區(qū)間為ra,+8 ol3(id (i)由第(i )問的結(jié)論可知：(1) 當(dāng)dso時(shí)，/(兀)在0,代)上單調(diào)遞增,從而/(兀)在0,2上單調(diào)遞增,所以 g(a) = f(0) = 0. "i、(2) 當(dāng)a>0時(shí)，/(x)在0,-上單調(diào)遞減，在-,+oo上單調(diào)遞增，所以：33 丿當(dāng)手(0,2),即0vav6時(shí),/(兀)在0,彳上單調(diào)遞減,在鉀上單調(diào)遞增,所以g(d) = / f =2a

15、 la _2a3atvi _9當(dāng)-e 2,+-),即a>6時(shí)，/(%)在0,2上單調(diào)遞減，所以 g(o) = /(2) =血(2-。)。0,a<02a aq綜上所述，j,0 v a v 6 3 v3v2(2-cz), >6(ii)令 -6 5 g (a) < -2。 若a50,無解； 若0vav6,由-6<-j-<-2mw3<6z<6；3 v3 若心6,由-6<v2(2-)<-2ww6<6/<2 + 3a/2o綜上所述，d的取值范圍為3<<2 + 3>/2o3、解：（i ）當(dāng)° = 1吋，曲線y

16、 = fx）在點(diǎn)（2,/（2）處的切線方程為6x + 25y-32 = 0o（ii）由于"0,所以m）h（2心夕+ 1）嚴(yán)（x2+l)2( 1 )兀+ 由/（x） = o,得x, =-yx2=a.這兩個(gè)實(shí)根都在定義域r內(nèi)，但不知它們之間的大小。因此，需對(duì)參數(shù)。的収值分。>0和qvo兩種情況進(jìn)行討論。（!） 當(dāng)q>0時(shí)，則%! < x2 c易得/（x）在區(qū)間一汽丄、q丿（d,+oo）內(nèi)為減函數(shù)，在= -a2；函數(shù)/（兀）區(qū)間-上衛(wèi) 為增函數(shù)。故函數(shù)/（兀）在州=一+處取得極小值/ - 在兀2=。處取得極大值1間a-一）為減函數(shù)。故函數(shù)f（兀）在召=-一處取得極小值/

17、- aa（2） 當(dāng)avo時(shí)，則召無。易得/（x）在區(qū)間（yo,g）,（丄,+oo）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū) a= -a2；函數(shù)/（兀）在（n< cl）工2=。處取得極大值/（6/） = lo4、解：由題意可得/（無）的定義域?yàn)椋ㄒ?1,+8）, f （兀）=2兀+ 占=2工；： + ，f（%）的分母兀+ 1在定義域（-1,+8）上恒為正，方程2兀? + 2兀+ b =（）是否有實(shí)根，需要對(duì)參數(shù)b的取值進(jìn)行討論。（1）當(dāng)二4一8方50,即bn丄時(shí)，方程2x2+2x + b = 0無實(shí)根或只有唯一根x = -f2 2 所以 g（x） = 2f +2x + /?>0在（-l,+oo）上恒成立，則

18、/（x）>0在（-l,+oo）上恒成立,所以函數(shù)/（對(duì)在（-l,+oo）上單調(diào)遞增，從而函數(shù)/（刃在（-1,+8 ）上無極值點(diǎn)。(2)當(dāng)a = 4-8/?>0,即b<時(shí)，方程2f + 2x + b = 0,即/(x) = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)根：x=這兩個(gè)根是否都在定義域（-1,+-）內(nèi)呢？又需要對(duì)參數(shù)b的取值分情況作如下討論:(i ) 當(dāng)bvo時(shí)-1-v1-2/7(+-<-=2>-1兀i 電(一 1,+°°),兀2 g (-1,+°°) o(-1,兀2)兀2(兀2，+°°)0+遞減極小值遞增此時(shí),/（x）與/（x）隨x的變化情況如下表:由此表可知：當(dāng)bvo時(shí)，/（兀）有唯一極小值點(diǎn)九-1 + j1-2z?2(ii )當(dāng) og 時(shí),-1-v1-2/?,-1 + v1-2z?>-l,x2 =2 2>-1%,（-1,+