線性變換課堂知識(shí)講解

1、LOGO線性變換小組小組(xioz)成員：陳俊、成員：陳俊、周文、周文、藍(lán)湘源、覃遵洋、楊瀟藍(lán)湘源、覃遵洋、楊瀟彭浩林彭浩林第一頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO定義一個(gè)二元運(yùn)算定義一個(gè)二元運(yùn)算,滿足以下兩個(gè)條件：滿足以下兩個(gè)條件：（1）將所有向量的橫坐標(biāo)拉伸）將所有向量的橫坐標(biāo)拉伸(l shn)至原來(lái)的至原來(lái)的2倍；倍；（2）將所有向量的縱坐標(biāo)縮短至原來(lái)的）將所有向量的縱坐標(biāo)縮短至原來(lái)的1/2；第二頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO向量的伸縮(shn su)與矩陣我們我們(w men)先舉一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子：如圖所示，有兩個(gè)向量先舉一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子：如圖所示，有兩個(gè)向量OA= OB= 其和向量其和向量OE= 。定義運(yùn)

2、算。定義運(yùn)算T( )=A = 。則。則T( )= ，T( )= ，T( )= 。由此，我們。由此，我們(w men)得出得出T(OA)+T(OB)=T(OA+OB)。通過(guò)計(jì)算我們。通過(guò)計(jì)算我們(w men)可以得出可以得出 T（k OA)=kT（OA） 256第三頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO可見(jiàn)此變換：可見(jiàn)此變換：（1）將所有向量的橫坐標(biāo)拉伸至原來(lái)的）將所有向量的橫坐標(biāo)拉伸至原來(lái)的2倍；倍；（2）將所有向量的縱坐標(biāo)縮短至原來(lái)的）將所有向量的縱坐標(biāo)縮短至原來(lái)的1/2；經(jīng)過(guò)變換后，原來(lái)的坐標(biāo)經(jīng)過(guò)變換后，原來(lái)的坐標(biāo) 變成了變成了 坐標(biāo)坐標(biāo) 變成變成了了這種變換是一對(duì)一的，我們這種變換是一對(duì)一的，我們(w

3、men)用用 來(lái)表示來(lái)表示 變換變換后的結(jié)果后的結(jié)果)(yxT第四頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO 投影變換再看看一個(gè)例子：再看看一個(gè)例子：如下如下(rxi)圖所示，有兩個(gè)向量圖所示，有兩個(gè)向量OB= ， OA= ， 定義運(yùn)算定義運(yùn)算T( )=A = 。則。則T( )= ，T( )= 。第五頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO可見(jiàn)此變換，對(duì)變換的向量都將產(chǎn)生此向量在可見(jiàn)此變換，對(duì)變換的向量都將產(chǎn)生此向量在x軸上的投影。軸上的投影。 經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)(jnggu)變換，經(jīng)過(guò)變換，經(jīng)過(guò)(jnggu)變換后，原來(lái)的坐標(biāo)變換后，原來(lái)的坐標(biāo) 和和 變成了變成了 注意到注意到OB，OA原先是線性無(wú)關(guān)的向量，經(jīng)過(guò)原先是線性無(wú)關(guān)的向量，經(jīng)過(guò)

4、(jnggu)變換后變成變換后變成了線性相關(guān)的向量。了線性相關(guān)的向量。此變換也滿足此變換也滿足T(OA)+T(OB)=T(OA+OB).T（k OA)=kT（OA）.第六頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO 由前面的例題可以看出，有很多變換存在以下性質(zhì)：由前面的例題可以看出，有很多變換存在以下性質(zhì)： 對(duì)任意兩個(gè)向量對(duì)任意兩個(gè)向量,和一個(gè)常數(shù)和一個(gè)常數(shù)k,k,有一種有一種(y (y zhn)zhn)變換變換T T能使得能使得)()()()()(kTkTTTT第七頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO預(yù)備知識(shí)(zh shi)：線性空間 嚴(yán)格定義嚴(yán)格定義(dngy)(dngy)：設(shè)：設(shè)V V是一個(gè)非空集合，是一個(gè)非空集合，P P

5、是一個(gè)數(shù)域，在集合是一個(gè)數(shù)域，在集合V V的元素之間定義的元素之間定義(dngy)(dngy)一種代數(shù)運(yùn)算，叫做加法；這就一種代數(shù)運(yùn)算，叫做加法；這就是說(shuō)，給出了一個(gè)法則，對(duì)于是說(shuō)，給出了一個(gè)法則，對(duì)于V V中任意兩個(gè)元中任意兩個(gè)元素素和和，在，在V V中都有唯一的一個(gè)元素中都有唯一的一個(gè)元素與他與他們對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為們對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為與與的和，記為的和，記為在數(shù)域在數(shù)域P P與集合與集合V V的元素之間還定義的元素之間還定義(dngy)(dngy)了一種運(yùn)算，叫做數(shù)量乘法；這了一種運(yùn)算，叫做數(shù)量乘法；這就是說(shuō)，對(duì)于數(shù)域就是說(shuō)，對(duì)于數(shù)域P P中任一數(shù)中任一數(shù)k k與與V V中任一元中任一元素素,在在V V

6、中都有唯一的一個(gè)元素中都有唯一的一個(gè)元素與他們對(duì)與他們對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為應(yīng)，稱(chēng)為k k與與的數(shù)量乘積，記為的數(shù)量乘積，記為kk如果加法與乘法還滿足下述規(guī)則，那么如果加法與乘法還滿足下述規(guī)則，那么V V稱(chēng)為數(shù)域稱(chēng)為數(shù)域P P上的線性空間上的線性空間第八頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO在以下規(guī)則中，在以下規(guī)則中，k,L等表示等表示(biosh)數(shù)域數(shù)域P中的任意數(shù)；中的任意數(shù)；，等表示等表示(biosh)集合集合V中任意元素；中任意元素；加法滿足下面四條規(guī)則：加法滿足下面四條規(guī)則： 1）； 2）（）（）（）；）； 3）在）在V中有一元素中有一元素0，對(duì)于，對(duì)于V中任一元素中任一元素都有都有 0 (具有這個(gè)性質(zhì)的元素

7、具有這個(gè)性質(zhì)的元素0稱(chēng)為零元素稱(chēng)為零元素) ；4）對(duì)于）對(duì)于V中每一個(gè)元素中每一個(gè)元素，都有，都有V中的元素中的元素，使得，使得 =0 (稱(chēng)為稱(chēng)為的負(fù)元的負(fù)元,記為記為-) 數(shù)量乘法滿足下面兩條規(guī)則：數(shù)量乘法滿足下面兩條規(guī)則： 5）1； 6）k(L)=(kL)；數(shù)量乘法和加法滿足下面兩條規(guī)則：數(shù)量乘法和加法滿足下面兩條規(guī)則： 7）（）（k+L）kL；8）k（）kk 第九頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO 通俗點(diǎn)講，線性空間就是這樣一種集合，其中任意兩通俗點(diǎn)講，線性空間就是這樣一種集合，其中任意兩元素相加可構(gòu)成此集合內(nèi)的另一元素，任意元素與任元素相加可構(gòu)成此集合內(nèi)的另一元素，任意元素與任意數(shù)（可以是實(shí)數(shù)也可

8、以是復(fù)數(shù)）相乘后得到此集合意數(shù)（可以是實(shí)數(shù)也可以是復(fù)數(shù)）相乘后得到此集合內(nèi)的另一元素。內(nèi)的另一元素。 “空間空間”是容納運(yùn)動(dòng)的一個(gè)對(duì)象集合，而變換則規(guī)定是容納運(yùn)動(dòng)的一個(gè)對(duì)象集合，而變換則規(guī)定了對(duì)應(yīng)空間的運(yùn)動(dòng)。了對(duì)應(yīng)空間的運(yùn)動(dòng)。 線性空間中的運(yùn)動(dòng)，被稱(chēng)為線性變換。也就是說(shuō)，你線性空間中的運(yùn)動(dòng)，被稱(chēng)為線性變換。也就是說(shuō)，你從線性空間中的一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到任意的另外一個(gè)點(diǎn)，都從線性空間中的一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到任意的另外一個(gè)點(diǎn)，都可以通過(guò)一個(gè)線性變化來(lái)完成。而使某個(gè)對(duì)象發(fā)生對(duì)可以通過(guò)一個(gè)線性變化來(lái)完成。而使某個(gè)對(duì)象發(fā)生對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)的方法，就是用代表那個(gè)運(yùn)動(dòng)的矩陣應(yīng)運(yùn)動(dòng)的方法，就是用代表那個(gè)運(yùn)動(dòng)的矩陣(j zhn)，乘以

9、代表那個(gè)對(duì)象的向量。乘以代表那個(gè)對(duì)象的向量。第十頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO子空間(kngjin) 定義：向量空間定義：向量空間(kngjin)V的一個(gè)子空間的一個(gè)子空間(kngjin)是是滿足以下三個(gè)性質(zhì)的滿足以下三個(gè)性質(zhì)的V的一個(gè)子集的一個(gè)子集H： a. V中零向量在中零向量在H中；（即子空間中；（即子空間(kngjin)H過(guò)向量空過(guò)向量空間間(kngjin)V的原點(diǎn)）的原點(diǎn)） b. H對(duì)向量加法封閉，即對(duì)對(duì)向量加法封閉，即對(duì)H中任意向量中任意向量u，v,和和u+v仍仍在在H中；中； c. H對(duì)標(biāo)量乘法封閉，即對(duì)對(duì)標(biāo)量乘法封閉，即對(duì)H中任意向量中任意向量u和任意標(biāo)量和任意標(biāo)量c，向量向量cu仍在

10、仍在H中中. 表示形式：表示形式：Spanv1,vp （其中（其中v1vp在向量空間在向量空間(kngjin)V中）中）第十一頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO 你掌握了嗎？你掌握了嗎？ 例：設(shè)例：設(shè)a1,a2,a3是實(shí)線性空間是實(shí)線性空間V中的向量，且有中的向量，且有 k1a1+k2a2+k3a3=0 (k1*k2不等于不等于0） 求證：求證： Span(a1,a2)=Span(a2,a3) 請(qǐng)思考請(qǐng)思考(sko)一下題目的意思，并解答。一下題目的意思，并解答。 題目的意思就是說(shuō)題目的意思就是說(shuō)a1,a2張成的子空間張成的子空間(由由a1,a2線性組合構(gòu)成的向量全體線性組合構(gòu)成的向量全體)和和a2,a3

11、張成的子空間相張成的子空間相等。等。 此題結(jié)論是錯(cuò)的，比如此題結(jié)論是錯(cuò)的，比如a1=a2=0,a3非零。非零。 第十二頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO線性變換的概念線性變換的概念(ginin) 設(shè)設(shè)V是數(shù)域是數(shù)域F上的線性空間上的線性空間(kngjin)，T是一個(gè)到自身的映射，則稱(chēng)是一個(gè)到自身的映射，則稱(chēng)T是是V上上的一個(gè)變換。如果對(duì)任意的一個(gè)變換。如果對(duì)任意，V，kF，變換，變換T滿足：滿足： T(+)=T()+T()，T(k)=kT()， 則稱(chēng)則稱(chēng)T是是V的線性變換。的線性變換。第十三頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO 對(duì)于T(X)=AX，當(dāng)X是數(shù)時(shí)，A也是數(shù)時(shí)，就是一般的代數(shù)變換；若X是矩陣(j zhn)，A

12、也是矩陣(j zhn)時(shí)，就是矩陣(j zhn)變換。 對(duì)于線性變換的一些性質(zhì)可以用正比例函數(shù)來(lái)理解記憶，即y=kx。第十四頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO1 T 為為V的線性變換，則的線性變換，則 T(0)=0 T(-a)=-T(a)2線性變換保持線性變換保持(boch)線性組合及關(guān)系式不變，即線性組合及關(guān)系式不變，即若若b=k1a1+k2a2+k3a3+knan則則T(b)=k1T(a1)+k2T(a2)+k3T(a3)+knT(an)3線性變換把線性相關(guān)的向量組的變成線性相關(guān)線性變換把線性相關(guān)的向量組的變成線性相關(guān)的向量組的向量組. 即即若若a1 ,a2 ,a3 ,an 線性相關(guān)，則線性相關(guān)，則

13、T(a1),T(a2),T(a3),T(an)也線性相關(guān)也線性相關(guān). 事實(shí)上，若有不全為零的數(shù)事實(shí)上，若有不全為零的數(shù)k1 ,k2 ,k3 ,kn 使使k1a1+k2a2+k3a3+knan=0則由則由2即有，即有，k1T(a1)+k2T(a2)+k3T(a3)+knT(an)=0第十五頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO第十六頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)(xunzhun)的引入的引入再舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：如圖所示，在坐標(biāo)系里有一個(gè)向量再舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：如圖所示，在坐標(biāo)系里有一個(gè)向量（5，2）。以原點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)）。以原點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)(xunzhun)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(xunzhun)45角。求旋轉(zhuǎn)角

14、。求旋轉(zhuǎn)(xunzhun)后的向量。后的向量。第十七頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO根據(jù)平行四邊形定則，我們根據(jù)平行四邊形定則，我們(w men)可以把向量可以把向量 分解成分解成 ， 的和的和 ，第十八頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO把向量把向量(xingling)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45o角，得到的向量角，得到的向量(xingling)記記為為T(mén)（a）,則則第十九頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO再根據(jù)再根據(jù)(gnj)平行四邊形定則，我們可以得到向量平行四邊形定則，我們可以得到向量 , 的和：的和：第二十頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO如果如果(rgu)把把 改成改成 ,把把45改成改成角，角，根據(jù)剛才的思路，根據(jù)剛才的思路，可

15、以得到：可以得到：25yx第二十一頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi)這里這里T是旋轉(zhuǎn)變換，所以是旋轉(zhuǎn)變換，所以A被稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)矩陣，被稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)矩陣，而且注意到這里有（而且注意到這里有（1）ATA=AAT=In ； （2）detA=10;(可逆矩陣可逆矩陣)所以所以A也是正交矩陣。也是正交矩陣。其中其中(qzhng)，第二十二頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO 聰明的你， 是不是明白了？ 現(xiàn)在還有一道題，急需(jx)聰明的你來(lái)解決。第二十三頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO例題(lt) 假設(shè)在水平面上有一個(gè)地球儀。假設(shè)在水平面上有一個(gè)地球儀。我們以地面為水平面建立三維我們以地面為水平面建立三維坐標(biāo)系，它的原點(diǎn)和地

16、球儀的坐標(biāo)系，它的原點(diǎn)和地球儀的球心重合。而地球儀還有一根球心重合。而地球儀還有一根地軸，這地軸剛好在地軸，這地軸剛好在 Y-O-Z 平平面上，并且跟面上，并且跟Z軸的夾角為軸的夾角為角。角。 現(xiàn)在已知地球儀上的一個(gè)點(diǎn)現(xiàn)在已知地球儀上的一個(gè)點(diǎn)A(x0,y0,z0) ，當(dāng)?shù)厍騼x自西，當(dāng)?shù)厍騼x自西向東（逆時(shí)針）轉(zhuǎn)動(dòng)向東（逆時(shí)針）轉(zhuǎn)動(dòng)角后，角后，A點(diǎn)的位置點(diǎn)的位置(wi zhi)變了，請(qǐng)計(jì)變了，請(qǐng)計(jì)算出算出A點(diǎn)的新坐標(biāo)點(diǎn)的新坐標(biāo)A。 現(xiàn)在給大家現(xiàn)在給大家(dji)30秒時(shí)間思考秒時(shí)間思考第二十四頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO是不是有點(diǎn)難度？直接(zhji)繞著地軸轉(zhuǎn)，很難想！給大家點(diǎn)提示：第二十五頁(yè)，共34

17、頁(yè)。LOGO第二十六頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO 看出來(lái)了嗎？看出來(lái)了嗎？ (a)先讓球繞著先讓球繞著Y軸軸(從從X到到Z的方向的方向)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角，讓角，讓地軸和地軸和Z軸重合，這時(shí)軸重合，這時(shí)Y軸方向的坐標(biāo)不會(huì)改變。軸方向的坐標(biāo)不會(huì)改變。 (b)再讓球繞著地軸再讓球繞著地軸(從從X到到Y(jié)的方向的方向)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角，角，這時(shí)這時(shí)Z軸方向的坐標(biāo)也不會(huì)改變。軸方向的坐標(biāo)也不會(huì)改變。 (c)最后不要忘記把地軸轉(zhuǎn)回最后不要忘記把地軸轉(zhuǎn)回(zhun hu)原來(lái)的原來(lái)的位置，把球繞著位置，把球繞著Y軸軸(從從Z到到X的方向的方向)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角。角。第二十七頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO(a)先讓球繞著先讓球繞著Y軸軸(從從

18、X到到Z的方向的方向)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角，讓地軸和角，讓地軸和Z軸軸重合。這時(shí)重合。這時(shí)Y軸方向的坐標(biāo)不會(huì)改變。軸方向的坐標(biāo)不會(huì)改變。經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，我們經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，我們(w men)得到：得到：把結(jié)果記為：把結(jié)果記為：第二十八頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO(b)再讓球繞著地軸再讓球繞著地軸(從從X到到Y(jié)的方向的方向(fngxing)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角，角，這時(shí)這時(shí)Z軸方向軸方向(fngxing)的坐標(biāo)也不會(huì)改變。的坐標(biāo)也不會(huì)改變。經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，我們得到：經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，我們得到：記為：記為：12112112cossinsincoszzyxyyxx第二十九頁(yè)，共34頁(yè)。LOGO(c)最后把球繞著最后把球繞著Y軸軸(從從Z到到X