線性變換課堂知識講解

1、LOGO線性變換小組小組(xioz)成員：陳俊、成員：陳俊、周文、周文、藍(lán)湘源、覃遵洋、楊瀟藍(lán)湘源、覃遵洋、楊瀟彭浩林彭浩林第一頁，共34頁。LOGO定義一個二元運算定義一個二元運算,滿足以下兩個條件：滿足以下兩個條件：（1）將所有向量的橫坐標(biāo)拉伸）將所有向量的橫坐標(biāo)拉伸(l shn)至原來的至原來的2倍；倍；（2）將所有向量的縱坐標(biāo)縮短至原來的）將所有向量的縱坐標(biāo)縮短至原來的1/2；第二頁，共34頁。LOGO向量的伸縮(shn su)與矩陣我們我們(w men)先舉一個最簡單的例子：如圖所示，有兩個向量先舉一個最簡單的例子：如圖所示，有兩個向量OA= OB= 其和向量其和向量OE= 。定義運

2、算。定義運算T( )=A = 。則。則T( )= ，T( )= ，T( )= 。由此，我們。由此，我們(w men)得出得出T(OA)+T(OB)=T(OA+OB)。通過計算我們。通過計算我們(w men)可以得出可以得出 T（k OA)=kT（OA） 256第三頁，共34頁。LOGO可見此變換：可見此變換：（1）將所有向量的橫坐標(biāo)拉伸至原來的）將所有向量的橫坐標(biāo)拉伸至原來的2倍；倍；（2）將所有向量的縱坐標(biāo)縮短至原來的）將所有向量的縱坐標(biāo)縮短至原來的1/2；經(jīng)過變換后，原來的坐標(biāo)經(jīng)過變換后，原來的坐標(biāo) 變成了變成了 坐標(biāo)坐標(biāo) 變成變成了了這種變換是一對一的，我們這種變換是一對一的，我們(w

3、men)用用 來表示來表示 變換變換后的結(jié)果后的結(jié)果)(yxT第四頁，共34頁。LOGO 投影變換再看看一個例子：再看看一個例子：如下如下(rxi)圖所示，有兩個向量圖所示，有兩個向量OB= ， OA= ， 定義運算定義運算T( )=A = 。則。則T( )= ，T( )= 。第五頁，共34頁。LOGO可見此變換，對變換的向量都將產(chǎn)生此向量在可見此變換，對變換的向量都將產(chǎn)生此向量在x軸上的投影。軸上的投影。 經(jīng)過經(jīng)過(jnggu)變換，經(jīng)過變換，經(jīng)過(jnggu)變換后，原來的坐標(biāo)變換后，原來的坐標(biāo) 和和 變成了變成了 注意到注意到OB，OA原先是線性無關(guān)的向量，經(jīng)過原先是線性無關(guān)的向量，經(jīng)過

4、(jnggu)變換后變成變換后變成了線性相關(guān)的向量。了線性相關(guān)的向量。此變換也滿足此變換也滿足T(OA)+T(OB)=T(OA+OB).T（k OA)=kT（OA）.第六頁，共34頁。LOGO 由前面的例題可以看出，有很多變換存在以下性質(zhì)：由前面的例題可以看出，有很多變換存在以下性質(zhì)： 對任意兩個向量對任意兩個向量,和一個常數(shù)和一個常數(shù)k,k,有一種有一種(y (y zhn)zhn)變換變換T T能使得能使得)()()()()(kTkTTTT第七頁，共34頁。LOGO預(yù)備知識(zh shi)：線性空間 嚴(yán)格定義嚴(yán)格定義(dngy)(dngy)：設(shè)：設(shè)V V是一個非空集合，是一個非空集合，P P

5、是一個數(shù)域，在集合是一個數(shù)域，在集合V V的元素之間定義的元素之間定義(dngy)(dngy)一種代數(shù)運算，叫做加法；這就一種代數(shù)運算，叫做加法；這就是說，給出了一個法則，對于是說，給出了一個法則，對于V V中任意兩個元中任意兩個元素素和和，在，在V V中都有唯一的一個元素中都有唯一的一個元素與他與他們對應(yīng)，稱為們對應(yīng)，稱為與與的和，記為的和，記為在數(shù)域在數(shù)域P P與集合與集合V V的元素之間還定義的元素之間還定義(dngy)(dngy)了一種運算，叫做數(shù)量乘法；這了一種運算，叫做數(shù)量乘法；這就是說，對于數(shù)域就是說，對于數(shù)域P P中任一數(shù)中任一數(shù)k k與與V V中任一元中任一元素素,在在V V

6、中都有唯一的一個元素中都有唯一的一個元素與他們對與他們對應(yīng)，稱為應(yīng)，稱為k k與與的數(shù)量乘積，記為的數(shù)量乘積，記為kk如果加法與乘法還滿足下述規(guī)則，那么如果加法與乘法還滿足下述規(guī)則，那么V V稱為數(shù)域稱為數(shù)域P P上的線性空間上的線性空間第八頁，共34頁。LOGO在以下規(guī)則中，在以下規(guī)則中，k,L等表示等表示(biosh)數(shù)域數(shù)域P中的任意數(shù)；中的任意數(shù)；，等表示等表示(biosh)集合集合V中任意元素；中任意元素；加法滿足下面四條規(guī)則：加法滿足下面四條規(guī)則： 1）； 2）（）（）（）；）； 3）在）在V中有一元素中有一元素0，對于，對于V中任一元素中任一元素都有都有 0 (具有這個性質(zhì)的元素

7、具有這個性質(zhì)的元素0稱為零元素稱為零元素) ；4）對于）對于V中每一個元素中每一個元素，都有，都有V中的元素中的元素，使得，使得 =0 (稱為稱為的負(fù)元的負(fù)元,記為記為-) 數(shù)量乘法滿足下面兩條規(guī)則：數(shù)量乘法滿足下面兩條規(guī)則： 5）1； 6）k(L)=(kL)；數(shù)量乘法和加法滿足下面兩條規(guī)則：數(shù)量乘法和加法滿足下面兩條規(guī)則： 7）（）（k+L）kL；8）k（）kk 第九頁，共34頁。LOGO 通俗點講，線性空間就是這樣一種集合，其中任意兩通俗點講，線性空間就是這樣一種集合，其中任意兩元素相加可構(gòu)成此集合內(nèi)的另一元素，任意元素與任元素相加可構(gòu)成此集合內(nèi)的另一元素，任意元素與任意數(shù)（可以是實數(shù)也可

8、以是復(fù)數(shù)）相乘后得到此集合意數(shù)（可以是實數(shù)也可以是復(fù)數(shù)）相乘后得到此集合內(nèi)的另一元素。內(nèi)的另一元素。 “空間空間”是容納運動的一個對象集合，而變換則規(guī)定是容納運動的一個對象集合，而變換則規(guī)定了對應(yīng)空間的運動。了對應(yīng)空間的運動。 線性空間中的運動，被稱為線性變換。也就是說，你線性空間中的運動，被稱為線性變換。也就是說，你從線性空間中的一個點運動到任意的另外一個點，都從線性空間中的一個點運動到任意的另外一個點，都可以通過一個線性變化來完成。而使某個對象發(fā)生對可以通過一個線性變化來完成。而使某個對象發(fā)生對應(yīng)運動的方法，就是用代表那個運動的矩陣應(yīng)運動的方法，就是用代表那個運動的矩陣(j zhn)，乘以

9、代表那個對象的向量。乘以代表那個對象的向量。第十頁，共34頁。LOGO子空間(kngjin) 定義：向量空間定義：向量空間(kngjin)V的一個子空間的一個子空間(kngjin)是是滿足以下三個性質(zhì)的滿足以下三個性質(zhì)的V的一個子集的一個子集H： a. V中零向量在中零向量在H中；（即子空間中；（即子空間(kngjin)H過向量空過向量空間間(kngjin)V的原點）的原點） b. H對向量加法封閉，即對對向量加法封閉，即對H中任意向量中任意向量u，v,和和u+v仍仍在在H中；中； c. H對標(biāo)量乘法封閉，即對對標(biāo)量乘法封閉，即對H中任意向量中任意向量u和任意標(biāo)量和任意標(biāo)量c，向量向量cu仍在

10、仍在H中中. 表示形式：表示形式：Spanv1,vp （其中（其中v1vp在向量空間在向量空間(kngjin)V中）中）第十一頁，共34頁。LOGO 你掌握了嗎？你掌握了嗎？ 例：設(shè)例：設(shè)a1,a2,a3是實線性空間是實線性空間V中的向量，且有中的向量，且有 k1a1+k2a2+k3a3=0 (k1*k2不等于不等于0） 求證：求證： Span(a1,a2)=Span(a2,a3) 請思考請思考(sko)一下題目的意思，并解答。一下題目的意思，并解答。 題目的意思就是說題目的意思就是說a1,a2張成的子空間張成的子空間(由由a1,a2線性組合構(gòu)成的向量全體線性組合構(gòu)成的向量全體)和和a2,a3

11、張成的子空間相張成的子空間相等。等。 此題結(jié)論是錯的，比如此題結(jié)論是錯的，比如a1=a2=0,a3非零。非零。 第十二頁，共34頁。LOGO線性變換的概念線性變換的概念(ginin) 設(shè)設(shè)V是數(shù)域是數(shù)域F上的線性空間上的線性空間(kngjin)，T是一個到自身的映射，則稱是一個到自身的映射，則稱T是是V上上的一個變換。如果對任意的一個變換。如果對任意，V，kF，變換，變換T滿足：滿足： T(+)=T()+T()，T(k)=kT()， 則稱則稱T是是V的線性變換。的線性變換。第十三頁，共34頁。LOGO 對于T(X)=AX，當(dāng)X是數(shù)時，A也是數(shù)時，就是一般的代數(shù)變換；若X是矩陣(j zhn)，A

12、也是矩陣(j zhn)時，就是矩陣(j zhn)變換。 對于線性變換的一些性質(zhì)可以用正比例函數(shù)來理解記憶，即y=kx。第十四頁，共34頁。LOGO1 T 為為V的線性變換，則的線性變換，則 T(0)=0 T(-a)=-T(a)2線性變換保持線性變換保持(boch)線性組合及關(guān)系式不變，即線性組合及關(guān)系式不變，即若若b=k1a1+k2a2+k3a3+knan則則T(b)=k1T(a1)+k2T(a2)+k3T(a3)+knT(an)3線性變換把線性相關(guān)的向量組的變成線性相關(guān)線性變換把線性相關(guān)的向量組的變成線性相關(guān)的向量組的向量組. 即即若若a1 ,a2 ,a3 ,an 線性相關(guān)，則線性相關(guān)，則

13、T(a1),T(a2),T(a3),T(an)也線性相關(guān)也線性相關(guān). 事實上，若有不全為零的數(shù)事實上，若有不全為零的數(shù)k1 ,k2 ,k3 ,kn 使使k1a1+k2a2+k3a3+knan=0則由則由2即有，即有，k1T(a1)+k2T(a2)+k3T(a3)+knT(an)=0第十五頁，共34頁。LOGO第十六頁，共34頁。LOGO旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)(xunzhun)的引入的引入再舉一個簡單的例子：如圖所示，在坐標(biāo)系里有一個向量再舉一個簡單的例子：如圖所示，在坐標(biāo)系里有一個向量（5，2）。以原點為旋轉(zhuǎn)）。以原點為旋轉(zhuǎn)(xunzhun)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)(xunzhun)45角。求旋轉(zhuǎn)角

14、。求旋轉(zhuǎn)(xunzhun)后的向量。后的向量。第十七頁，共34頁。LOGO根據(jù)平行四邊形定則，我們根據(jù)平行四邊形定則，我們(w men)可以把向量可以把向量 分解成分解成 ， 的和的和 ，第十八頁，共34頁。LOGO把向量把向量(xingling)a逆時針旋轉(zhuǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)45o角，得到的向量角，得到的向量(xingling)記記為為T（a）,則則第十九頁，共34頁。LOGO再根據(jù)再根據(jù)(gnj)平行四邊形定則，我們可以得到向量平行四邊形定則，我們可以得到向量 , 的和：的和：第二十頁，共34頁。LOGO如果如果(rgu)把把 改成改成 ,把把45改成改成角，角，根據(jù)剛才的思路，根據(jù)剛才的思路，可

15、以得到：可以得到：25yx第二十一頁，共34頁。LOGO因為因為(yn wi)這里這里T是旋轉(zhuǎn)變換，所以是旋轉(zhuǎn)變換，所以A被稱為旋轉(zhuǎn)矩陣，被稱為旋轉(zhuǎn)矩陣，而且注意到這里有（而且注意到這里有（1）ATA=AAT=In ； （2）detA=10;(可逆矩陣可逆矩陣)所以所以A也是正交矩陣。也是正交矩陣。其中其中(qzhng)，第二十二頁，共34頁。LOGO 聰明的你， 是不是明白了？ 現(xiàn)在還有一道題，急需(jx)聰明的你來解決。第二十三頁，共34頁。LOGO例題(lt) 假設(shè)在水平面上有一個地球儀。假設(shè)在水平面上有一個地球儀。我們以地面為水平面建立三維我們以地面為水平面建立三維坐標(biāo)系，它的原點和地

16、球儀的坐標(biāo)系，它的原點和地球儀的球心重合。而地球儀還有一根球心重合。而地球儀還有一根地軸，這地軸剛好在地軸，這地軸剛好在 Y-O-Z 平平面上，并且跟面上，并且跟Z軸的夾角為軸的夾角為角。角。 現(xiàn)在已知地球儀上的一個點現(xiàn)在已知地球儀上的一個點A(x0,y0,z0) ，當(dāng)?shù)厍騼x自西，當(dāng)?shù)厍騼x自西向東（逆時針）轉(zhuǎn)動向東（逆時針）轉(zhuǎn)動角后，角后，A點的位置點的位置(wi zhi)變了，請計變了，請計算出算出A點的新坐標(biāo)點的新坐標(biāo)A。 現(xiàn)在給大家現(xiàn)在給大家(dji)30秒時間思考秒時間思考第二十四頁，共34頁。LOGO是不是有點難度？直接(zhji)繞著地軸轉(zhuǎn)，很難想！給大家點提示：第二十五頁，共34

17、頁。LOGO第二十六頁，共34頁。LOGO 看出來了嗎？看出來了嗎？ (a)先讓球繞著先讓球繞著Y軸軸(從從X到到Z的方向的方向)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角，讓角，讓地軸和地軸和Z軸重合，這時軸重合，這時Y軸方向的坐標(biāo)不會改變。軸方向的坐標(biāo)不會改變。 (b)再讓球繞著地軸再讓球繞著地軸(從從X到到Y(jié)的方向的方向)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角，角，這時這時Z軸方向的坐標(biāo)也不會改變。軸方向的坐標(biāo)也不會改變。 (c)最后不要忘記把地軸轉(zhuǎn)回最后不要忘記把地軸轉(zhuǎn)回(zhun hu)原來的原來的位置，把球繞著位置，把球繞著Y軸軸(從從Z到到X的方向的方向)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角。角。第二十七頁，共34頁。LOGO(a)先讓球繞著先讓球繞著Y軸軸(從從

18、X到到Z的方向的方向)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角，讓地軸和角，讓地軸和Z軸軸重合。這時重合。這時Y軸方向的坐標(biāo)不會改變。軸方向的坐標(biāo)不會改變。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換，我們經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換，我們(w men)得到：得到：把結(jié)果記為：把結(jié)果記為：第二十八頁，共34頁。LOGO(b)再讓球繞著地軸再讓球繞著地軸(從從X到到Y(jié)的方向的方向(fngxing)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角，角，這時這時Z軸方向軸方向(fngxing)的坐標(biāo)也不會改變。的坐標(biāo)也不會改變。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換，我們得到：經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換，我們得到：記為：記為：12112112cossinsincoszzyxyyxx第二十九頁，共34頁。LOGO(c)最后把球繞著最后把球繞著Y軸軸(從從Z到到X