有理數(shù)及其運(yùn)算知識點(diǎn)及練習(xí)

1、一對一授課講義授課科目學(xué)生姓名授課教師授課時(shí)間授課內(nèi)容有理數(shù)及其運(yùn)算知識點(diǎn) 1：有理數(shù)的概念及其分類（ 1）整數(shù)可以分為正整數(shù)，零，負(fù)整數(shù)（ 2）分?jǐn)?shù)可以分為正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)（ 3）整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)例 1. 把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號內(nèi)0.05,1,-5 ,-126,72.1,0,-12, 5 ,+729,-628,-33 ,3. 14 ,-1000.0133248（1）正整數(shù)集合：（）（2）負(fù)分?jǐn)?shù)集合：（）（3）整數(shù)集合：（）（4）非負(fù)數(shù)集合：（）知識點(diǎn) 2：數(shù)軸(1) 數(shù)軸的 三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長度（三者缺一不可） 。(2) 任何一個(gè)有理數(shù)，都可以用數(shù)軸上的 一個(gè)點(diǎn)來表示。（反

2、過來，不能說數(shù)軸上所有的點(diǎn)都表示有理數(shù)）(3) 如果兩個(gè)數(shù)只有符號不同，那么我們稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。（0 的 相反數(shù)是 0）(4) 在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的 兩個(gè)點(diǎn)，位于原點(diǎn)的側(cè)，且到原點(diǎn)的距離相等。(5) 數(shù)軸上兩點(diǎn)表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)在原點(diǎn)的右邊，負(fù)數(shù)在原點(diǎn)的左邊。例 1. 如果數(shù)a 和b 在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么下列式子中成立的是（）（） a b （） a b （ab 0 （）a0b0ab例 2. 已知 a 是最小的正整數(shù)， b 的相反數(shù)還是它本身， c 比最大的負(fù)整數(shù)大3，計(jì)算1 （2a+3c）b 的值基 知識點(diǎn) 3：絕對值礎(chǔ) 1

3、. 絕對值的定義：一個(gè)數(shù) a 的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù) a 的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。數(shù) a知的絕對值記作 |a| 。識 2. 正數(shù)的絕對值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對值是它的數(shù)；0 的絕對值是 0。2a(a0)a(a0)| a | 0( a0)或| a |0)a(a0)a(a越來越大-3-2-10123題 3. 絕對值的性質(zhì)：除 0 外，絕對值為一正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；互為相反型 數(shù)的兩數(shù)（除 0 外）的絕對值相等；任何數(shù)的絕對值總是非負(fù)數(shù)，即|a| 0講 4. 比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小，絕對值大的反而小。比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小的步驟如下：解 先求出兩個(gè)數(shù)負(fù)數(shù)的絕對值；比較兩個(gè)絕對值的大?。桓鶕?jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，

4、絕對值大的反而小”做出正確的判斷。5. 絕對值的性質(zhì)：對任何有理數(shù)a，都有 |a| 0；若 |a|=0 ，則 |a|=0 ，反之亦然；若 |a|=b ，則a=±b；對任何有理數(shù)a, 都有 |a|=|-a|例 1. 實(shí)數(shù) a，b 在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡代數(shù)式aba 的結(jié)果為（）b 0a例 2.絕對值最小的數(shù)是（）例 3.3 =（）例 4.若 a3，則 a=（）例 5.已知 a3b 30, 求 ab 的值。ab例 6. 已知 x=8，y=-4 ，求 x2 y的值知識點(diǎn) 4：有理數(shù)的加法 有理數(shù)加法法則： 同號兩數(shù)相加，取相同符號，并把絕對值相加。異號兩數(shù)相加，絕對值相等時(shí)和為 0

5、；絕對值不等時(shí)取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大數(shù)的絕對值減去較小數(shù)的絕對值。一個(gè)數(shù)同 0 相加，仍得這個(gè)數(shù)。 加法的交換律、結(jié)合律在有理數(shù)運(yùn)算中同樣適用。靈活運(yùn)用運(yùn)算律，使用運(yùn)算簡化，通常有下列規(guī)律：互為相反的兩個(gè)數(shù)，可以先相加；符號相同的數(shù)，可以先相加；分母相同的數(shù)，可以先相加；幾個(gè)數(shù)相加能得到整數(shù)，可以先相加。例 1. 下列結(jié)論不正確的是（）A. 若 a0，b0，則 a+b0B.若 a0，b0，則 a+b 0C.若 a0，b0，則 a b ，則 a+b0 D. 若 a0，b0，且 a b ，則 a+b0例 2. 已知 a 的相反數(shù)是 3 ，b 的絕對值為 4，c 是最大的非正數(shù)，求a+b+

6、c 的值。5例 3. 已知 a =5， b =6，且 ab，求 a+b 的值知識點(diǎn) 5：有理數(shù)的減法 有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)注意兩“變”：改變運(yùn)算符號；改變減數(shù)的性質(zhì)符號（變?yōu)橄喾磾?shù)）有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)注意一個(gè)“不變”：被減數(shù)與減數(shù)的位置不能變換，也就是說，減法沒有交換律。例1.若xy=0，則 ()Ax=yBx=-yCx=y=0Dx=y或x=-y例 2. a =5， b =8 且 a b =- （a+b）求 a-b 的值abcabc 的值。例 3. 思考題已知 a，b，c 都是有理數(shù)，且滿足b1，求代數(shù)式acabc知識點(diǎn) 6：有理數(shù)的混合運(yùn)算有理數(shù)的

7、加減法混合運(yùn)算的步驟：寫成省略加號的代數(shù)和。在一個(gè)算式中，若有減法，應(yīng)由有理數(shù)的減法法則轉(zhuǎn)化為加法，然后再省略加號和括號；利用加法則，加法交換律、結(jié)合律簡化計(jì)算。 （注意：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，當(dāng)有減法統(tǒng)一成加法時(shí)，減數(shù)應(yīng)變成它本身的相數(shù)。）例 1. 已知 a =3， b =1， c5 ，且 abab, ac(ac) ，求 a-b+c 的值例 2. 若數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn) A，B，C表示的數(shù)分別為 a，b，c 且點(diǎn) c 在點(diǎn) A，B，之間，試說明 a cc ba b知識點(diǎn) 7：有理數(shù)的乘法有理數(shù)乘法法則： 兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，絕對值相乘。任何數(shù)與 0 相乘，積仍為 0。如果兩個(gè)

8、數(shù)互為倒數(shù)，則它們的乘積為 1。 乘法的交換律、結(jié)合律、分配律在有理數(shù)運(yùn)算中同樣適用。有理數(shù)乘法運(yùn)算步驟：先確定積的符號；求出各因數(shù)的絕對值的積。乘積為 1 的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù)。注意：零沒有倒數(shù)求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是把分?jǐn)?shù)的分子分母顛倒位置。一個(gè)帶分?jǐn)?shù)要先化成假分?jǐn)?shù)。正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。例1.已知a 與b 互為相反數(shù)，x 與y 互為倒數(shù)，c 的絕對值等于2，求abxy1 c 的23值例 2. 已知： a 與 b 互為相反數(shù)， x 與 y 互為倒數(shù)， m =5，求： m（a+b）+xy-2m知識點(diǎn) 8：有理數(shù)的除法有理數(shù)除法法則：兩個(gè)有理數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。

9、0 除以任何非 0 的 數(shù)都得 0。0 不可作為除數(shù)，否則無意義。例 1.已知 a，b 互為相反數(shù)， c，d 互為倒數(shù)， m3,求 - 4 ab m - cd9例 2.用字母 x，y，z 表示任一數(shù)，若 x 0， y 0，則 x （）0yzz例 3.已知非零的有理數(shù) a，b，c，滿足 abc1,則 abc （）abcabc知識點(diǎn) 9：有理數(shù)的乘方n個(gè)aa aaaan指數(shù) 有理數(shù)的 乘方底數(shù)冪注意：一個(gè)數(shù)可以看作是本身的 一次方，如 5=51；當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，要先用括號將底數(shù)括上，再在右上角寫指數(shù)。乘方的運(yùn)算性質(zhì)：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；任何數(shù)的偶數(shù)

10、次冪都是非負(fù)數(shù)； 1 的任何次冪都得 1，0 的任何次冪都得 0；-1 的偶次冪得 1；-1 的奇次冪得 -1 ；在運(yùn)算過程中，首先要確定冪的符號，然后再計(jì)算冪的絕對值。例 1. （1）已知： x 5 ( y 6)20, z216,2008z 的值求（ x - y）（2）已知 x3 ，y 的平方等于16，求 x2y 2 的值例 2. 若 x2( 4) 2 , y 3( 2)3 , a2 ，求代數(shù)式 5x+4y-2a 的值5知識點(diǎn) 10：有理數(shù)的混合運(yùn)算及科學(xué)記數(shù)法有理數(shù)混合運(yùn)算法則：先算乘方, 再算乘除 , 最后算加減。如果有括號 , 先算括號里面的。科學(xué)記數(shù)法： 一般地，一個(gè)大于 10 的

11、數(shù)可以表示成 a×10n 的形式，其中 1a<10，n 是正整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法 。例 1. （1）（-10 2)53 1 5( 4)539399（2）112211222353（3）279912311241123412例 2. 已知 a，b 互為相反數(shù)， c，d 互為倒數(shù)， m24,求 abm - a b 2008cd 2009 的值cd例 3. 已知 a 1 (b 2)20, c3, 求（ a5的值b） - 4c例 4. 若（ a+1） 2 (2b 3) 2c 10, 求 aba c 的值3cb例 5. 用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)（1）579 900 000（2）5

12、 900000 000（3）350 000 000（4）0.000005 13把下列各數(shù)填入分別填在相應(yīng)的大括號內(nèi)1.1,- 4 ,8.9,5 ,-3.2,+1008, ,-0.05,0,-9,2856正整數(shù)集合：（）負(fù)整數(shù)集合：（）正分?jǐn)?shù)集合：（）負(fù)分?jǐn)?shù)集合：（）3 2. 在數(shù)軸上距離原點(diǎn)為2 的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)為（），它們互為（）3. 已知 m與 n 互為倒數(shù)， a 與 b 互為相反數(shù)， c 的絕對值為 3，求 amn-5c+b的值隨堂4. 1 -7×22192222757練710.5123 2(2)-14習(xí)711212(3)-321 92 33335.4課后作業(yè)13 690 000

13、20.0973300 000 0001.-1 4.3 +72 01-1257 26 1223 -6.46 26347 .2.3.02-1 01-1 012 34.abb0a（）ab（）a b （）ab 0 （）a0b5.如果 aa ，那么a 是，如果 aa ，那么a 是6.若a ，則 a；若a ，則 a 17.設(shè)a1，b1 ， c 是的相反數(shù)，則a, b, c 的大小關(guān)系是（）（） abc（） ab c（） a b c（） a b c8.若一個(gè)數(shù)a 的絕對值是，且a 在數(shù)軸上的位置如圖所示，試求a 的相反數(shù)a0 19. 若a2 ，給出下面4 個(gè)結(jié)論：aa ；aa ； 1a ； 1a 其中不正確

14、的有aa10.若 m 1 m1，則m1 ；若 m 1m 1，則m1 ；若 x4 ，則x；若 x1 ，則x2b0a c11.已知 a2,b2,c3，且有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，計(jì)算b c的值a, b, ca12.已知 x5， y3，且 x yx y ，求 xy 的值13.若 a3 , b2 ,則 ab14.（1）若m0 , n 0 ，則m n0；（2）若m 0 , n0，則m n（3）若a0 , b 0 ，且 ab ，則a b0；（4）若a0 , b 0 ，且 ab ，則a b015.已知ab0 ，且a0b ，則 ab 16.已知 a2b 30 ，則 ab 的相反數(shù)是17.若a ,bc , d互為倒數(shù)，則 a b2a bcdcd互為相反數(shù)，0；18.(1)111111112334200720082(2).41311；3 5 0.125537827(3). 01211612773a 0 , b 0，那