橢圓典型題型歸納總結

1、學習資料收集于網絡，僅供參考橢圓典型題型歸納題型一 .定義及其應用例 1：已知一個動圓與圓 C : ( x 4) 2y2100 相內切，且過點A(4,0) ，求這個動圓圓心M的軌跡方程；練習：1.方程 ( x3)2y2( x3)2y26 對應的圖形是（）A. 直線B.線段C.橢圓D.圓2.方程 ( x3)2y 2(x3)2y210 對應的圖形是（）A. 直線B.線段C.橢圓D.圓3.方程 x2( y3)2x2( y3)210 成立的充要條件是（）x2y21B.x2y21x2y2x2y 2A.16259C.1 D.12516259254.如果方程x2( ym) 2x2( ym) 2m 1表示橢圓

2、，則 m 的取值范圍是5.過橢圓 9x24 y21的一個焦點F1 的直線與橢圓相交于A, B 兩點，則 A, B 兩點與橢圓的另一個焦點 F2構成的ABF2 的周長等于；6.設圓 ( x1)2y225 的圓心為 C ，A(1,0)是圓內一定點，Q 為圓周上任意一點，線段AQ 的垂直平分線與 CQ 的連線交于點 M ，則點 M 的軌跡方程為；題型二 .橢圓的方程（一）由方程研究曲線例 1.方程 x2y21的曲線是到定點和的距離之和等于的點的軌跡1625（二） 分情況求橢圓的方程例 2.已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3 倍，并且過點 P(3,0) ，求橢圓的方程；（三）用待定系數法求方程

3、例 3.已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸， 且經過兩點 P1 (6,1)、P2( 3,2)，求橢圓的方程；例 4.求經過點 (2,3) 且與橢圓 9x24 y236 有共同焦點的橢圓方程；（四）定義法求軌跡方程；例 5.在 ABC 中， A, B,C 所對的三邊分別為a, b, c ，且 B(1,0),C(1,0)，求滿足 bac 且 b, a, c 成等差數列時頂點A 的軌跡；練習：1、動圓 P 與圓 C1 : ( x4) 2y281內切與圓 C2 : ( x4)2y 21外切，求動圓圓心的P 的軌跡方程。2、已知動圓 C 過點 A(2,0) ，且與圓 C2 : ( x2)2y 264

4、 相內切，則動圓圓心的軌跡方程為；（五）相關點法求軌跡方程；例 6.已知 x 軸上一定點A(1,0) ， Q 為橢圓 x2y21上任一點，求 AQ 的中點 M 的軌跡方程；4學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考（六）直接法求軌跡方程；例 7. 設動直線 l 垂直于 x 軸，且與橢圓 x22 y24交于 A, B 兩點， 點 P 是直線 l 上滿足 PAPB 1的點，求點 P 的軌跡方程；（七）列方程組求方程例 8. 中心在原點， 一焦點為 F (0,50) 的橢圓被直線y 3x 2 截得的弦的中點的橫坐標為1，求此橢圓2的方程；題型三 . 焦點三角形問題橢圓中的焦點三角形：通常結合定義、正弦定

5、理、余弦定理、勾股定理來解決；橢圓 x2y21(ab0)上一點P(x, y)和焦點 1 ( c,0)，F2(c,0)為頂點的1 2中，F1PF2，則a2b200FPF F當 P 為短軸端點時最大，且 PFPF2a ；12 4c22PF2PF2 PF PF cos ；1212SPFF1 PF1PF2 sin = b2 tan。（ b 短軸長）1222例：知橢圓x2y 21上一點 P的縱坐標為5，橢圓的上下兩個焦點分別為F2、 F1 ，求 PF1 、 PF2 及16253cosF1PF2 ；練習：1、橢圓 x2y21的焦點為 F1 、 F2 ，點 P 在橢圓上，若PF1 4，則 PF2；92F1

6、PF2 的大小為；2、 P 是橢圓 x2y21上的一點， F1 和 F2 為左右焦點，若F1 PF2 60 。259（ 1）求F1 PF2 的面積；（ 2）求點 P 的坐標。題型四 . 橢圓的幾何性質例 1. 已知 P 是橢圓 x2y21上的點，的縱坐標為5 ， F1 、 F2 分別為橢圓的兩個焦點，橢圓的半焦距a2b23為 c ，則 PF1PF2 的最大值與最小值之差為例 2.橢圓 x2y21 (ab 0) 的四個頂點為A, B,C , D ，若四邊形 ABCD 的內切圓恰好過焦點，則橢a2b2圓的離心率為；例 3.若橢圓x2y21 的離心率為1 ，則 k；k142學習資料學習資料收集于網絡

7、，僅供參考例 4. 若 P 為橢圓 x2y21(ab 0)上一點，、為其兩個焦點， 且 PF1F2150 ， PF2F1750 ，a2b2F1 F2則橢圓的離心率為題型五 . 求范圍例 1. 方程 x2y 21焦點在 x 軸的橢圓，求實數m 的取值范圍；m2(m 1)2題型六 . 求離心率例 1.橢圓 x2y21 (ab0) 的左焦點為 F1 (c,0) ， A(a,0) ， B(0, b) 是兩個頂點，如果F1 到直a2b2線 AB 的距離為b，則橢圓的離心率e7例 2.若 P 為橢圓 x2y21(ab0) 上一點， F1 、F2 為其兩個焦點， 且 PF1 F2， PF2 F12 ，a2b

8、2則橢圓的離心率為例 3.F1 、 F2 為橢圓的兩個焦點，過F2 的直線交橢圓于P, Q 兩點， PF1PQ ，且 PF1PQ ，則橢圓的離心率為；練習1、（ 2010x2y21(ab0) 的右焦點為圓心的圓經過原點O ，且與該橢圓的右準南京二模）以橢圓b2a2線交于 A 、 B 兩點，已知OAB 是正三角形，則該橢圓的離心率是；2、已知 AB C 分別為橢圓 x2y21(ab0) 的右頂點、上頂點、和左焦點，若ABC900 ，則a2b2該橢圓的離心率為；年新課標） 設 F1F2 是橢圓 E : x223 、（ 20122y2 1(a b0) 的左、右焦點, P 為直線 x3a上一ab2點

9、,F2PF1 是底角為 30 的等腰三角形 , 則 E 的離心率為（）A 1B 2CD 234、橢圓x2y21(a>b>0) 的左、右頂點分別是A,B, 左、右焦點分別是F1,F 2. 若 |AF 1|,|F 1F2|,|F1B| 成等a2b2比數列 , 則此橢圓的離心率為_題型七 . 直線與橢圓的關系（ 1）直線與橢圓的位置關系例 1.當 m 為何值時，直線l : yxm 與橢圓 9 x216 y2144 相切、相交、相離？學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考例 2. 曲線 2x2y22a2 （ a0 ）與連結 A( 1,1) ， B(2,3) 的線段沒有公共點，求a 的取值范圍

10、。y例 3.過點P(3,0) 作直線 l 與橢圓 3x24 y212 相交于 A, B 兩點， O 為坐PA標原點，求OAB 面積的最大值及此時直線傾斜角的正切值。OxB例 4. 求直線 x cosy sin2 (0) 和橢圓 x23 y26 有公共點時，的取值范圍（二）弦長問題例 1. 已知橢圓 x22 y212 ， A 是 x 軸正方向上的一定點，若過點A ，斜率為1 的直線被橢圓截得的弦長為 4 13 ，求點 A 的坐標。3例 2. 橢圓 ax2 by2 1與直線 x y 1相交于 A, B 兩點， C 是 AB 的中點，若 | AB | 2 2 ， O 為坐標原點， OC 的斜率為 2

11、 ，求 a, b的值。2例 3. 橢圓 x2y21的焦點分別是F1 和 F2 ，過中心 O 作直線與橢圓交于A,B 兩點，若ABF2 的面積是452020，求直線方程。（三）弦所在直線方程例 1. 已知橢圓 x2y 21，過點 P(2,0) 能否作直線 l 與橢圓相交所成弦的中點恰好是P ；164例 2. 已知一直線與橢圓 4 x29 y236 相交于 A, B 兩點，弦 AB 的中點坐標為M (1,1)，求直線 AB 的方程；例 3.橢圓 E 中心在原點 O ，焦點在 x 軸上，其離心率 e21,0) 的直線 l 與橢圓 E 相交于 A, B,過點 C(3兩點，且 C 分有向線段 AB 的比

12、為（ 1）用直線 l 的斜率 k(k 0) 表示OAB 的面積；（ 2）當 OAB 的面積最大時，求橢圓E 的方程學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考（四）關于直線對稱問題例 1. 已知橢圓 x2y 21，試確定 m 的取值范圍， 使得橢圓上有兩個不同的點關于直線y 4x m 對稱；43例 2. 已知中心在原點，焦點在y 軸上，長軸長等于226，離心率 e，試問是否存在直線 l ，使 l 與橢3圓交于不同兩點 A, B ，且線段 AB 恰被直線 x1 平分？若存在，求出直線l 傾斜角的取值范圍；若不2存在，請說明理由。題型八 . 最值問題例 1若 P( 2,3)， F2x2y2M 在橢圓上移動

13、，求 MPMF2 的最大值和為橢圓1的右焦點，點2516最小值。M 1F1F2M 2結論 1：設橢圓 x2y21的左右焦點分別為 F1 , F2 , P(x0 , y0 ) 為橢圓內一點，M ( x, y) 為橢圓上任意一a2b 2點，則 MP MF2的最大值為2a PF1 ,最小值為2a PF1 ；例 2 P( 2,6) , F2x 2y 2M 在橢圓上移動，求 MPMF2 的最大值和最小為橢圓251的右焦點，點16值。結論 2 設橢圓 x2y 21的左右焦點分別為F1 , F2 ， P(x0 , y0 ) 為橢圓外一點，M ( x, y) 為橢圓上任意一a2b2點，則 MPMF2 的最大值

14、為 2a PF1，最小值為 PF2 ;2.二次函數法學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考x 2y2例 3求定點 A(a,0) 到橢圓2ba21上的點之間的最短距離。2結論 3：橢圓 x y a2 b21上的點 M (x, y) 到定點 A(m,0) 或 B(0,n) 距離的最值問題，可以用兩點間距離公2式表示 MA 或 MB ，通過動點在橢圓上消去y 或 x,轉化為二次函數求最值，注意自變量的取值范圍。3. 三角函數法2例 4求橢圓xy 21上的點 M (x, y) 到直線 l : x2 y4 的距離的最值；424.判別式法例 4 的解決還可以用判別式法結論 5：橢圓上的點到定直線l 距離的最

15、值問題,可轉化為與l 平行的直線m 與橢圓相切的問題,利用判別式求出直線m 方程，再利用平行線間的距離公式求出最值。題型九 .軌跡問題例 1到兩定點(2,1) ， ( 2, 2) 的距離之和為定值5 的點的軌跡是例 2已知點A(3,0) ，點 P 在圓 x2y21的上半圓周上 (即 y 0)， AOP 的平分線交 PA 于 Q，求點 Q的軌跡方程。例 3.已知圓 C : ( x 3)2y2100 及點 A(3,0) ， P 是圓 C 上任一點，線段 PA 的垂直平分線 l 與 PC 相交于 Q 點，求 Q 點的軌跡方程。學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考橢圓典型題型歸納題型一 .定義及其應用

16、橢圓定義：平面內一動點到兩定點F1 ， F2 的距離和等于常數 2a（ 大于 F1F2 = 2c）點的集合叫橢圓；即P M|MF1 MF22aac 時軌跡為線段 F1 F2 ；當 ac時無軌跡。注：當 ac時軌跡為橢圓；當例 1：已知一個動圓與圓C : (x4)2y2100 相內切， 且過點A(4,0)，求這個動圓圓心M 的軌跡方程；練習：1. 方程( x3)2y2( x3)2y26 對應的圖形是（A. 直線B.線段C.橢圓D.圓2. 方程( x3)2y 2(x3)2y210對應的圖形是（A. 直線B.線段C.橢圓D.圓3. 方程x2( y3)2x2( y3)210 成立的充要條件是（A. x

17、2y21B.x2y21C.x2y2125162591625）x2y2D.19254.如果方程x2( ym) 2x2( y m) 2m 1表示橢圓，則 m 的取值范圍是5.過橢圓 9x24 y21的一個焦點F1 的直線與橢圓相交于A, B 兩點，則 A, B 兩點與橢圓的另一個焦點 F2構成的ABF2 的周長等于；6.設圓 ( x 1)2y225 的圓心為 C ， A(1,0) 是圓內一定點， Q 為圓周上任意一點，線段AQ 的垂直平分線與 CQ 的連線交于點M ，則點 M 的軌跡方程為；題型二 .橢圓的方程（一）由方程研究曲線例 1.x2y2和的距離之和等于的點的軌跡；（二）方程1的曲線是到定

18、點1625分情況求橢圓的方程例 2.已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸是短軸的3 倍，并且過點 P(3,0) ，求橢圓的方程；（三）用待定系數法求方程例 3.已知橢圓的中心在原點， 以坐標軸為對稱軸， 且經過兩點 P1 ( 6,1) 、 P2 ( 3,2) ，求橢圓的方程；例 4.求經過點 (2, 3) 且與橢圓 9x24 y236 有共同焦點的橢圓方程；學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考注：一般地，與橢圓x2y21共焦點的橢圓可設其方程為x2ky21(kb2 ) ；a2b2a2b2k（四）定義法求軌跡方程；例 5.在 ABC 中， A, B,C 所對的三邊分別為 a, b, c ，且 B(1

19、,0),C(1,0)，求滿足 ba c 且 b, a, c 成等差數列時頂點 A 的軌跡；4)2y24) 2y2練習 1、動圓 P 與圓 C1 : (x81內切與圓 C2 : (x1 外切，求動圓圓心的 P 的軌跡方程。練習2、已知動圓C 過點A (2,0)，且與圓 C2 : ( x 2) 2y264 相內切，則動圓圓心的軌跡方程為；（五）相關點法求軌跡方程；例 6. 已知 x 軸上一定點 A(1,0) ， Q 為橢圓 x2y21上任一點，求 AQ 的中點 M 的軌跡方程；4（六）直接法求軌跡方程；例 7. 設動直線 l 垂直于 x 軸，且與橢圓 x22 y24 交于 A, B 兩點， 點 P

20、 是直線 l 上滿足 PA PB1 的點，求點 P 的軌跡方程；（七）列方程組求方程例 8. 中心在原點， 一焦點為 F (0,50) 的橢圓被直線 y3x 2 截得的弦的中點的橫坐標為1 ，求此橢圓的方程；2題型三 . 焦點三角形問題橢圓中的焦點三角形：通常結合定義、正弦定理、余弦定理、勾股定理來解決；橢 圓 x2y21(ab0) 上 一 點 P( x0 , y0 ) 和 焦 點 F1 (c , 0) ， F2 (c,0) 為頂 點 的 PF1F2 中 ，a2b2F1PF2，則當 P 為短軸端點時最大，且 PFPF2a ；12 4c2222 PF PF cos ；PFPF1212 SPF F

21、1PFPFsin = b2tan。（ b 短軸長）212212例：知橢圓 x2y21上一點 P 的縱坐標為5 ，橢圓的上下兩個焦點分別為F2 、 F1，求 PF1 、 PF2 及16253cosF1PF2 ；練習：1、（ 2009 北京） 橢圓x2y2的焦點為 F1 、 F2 ，點 P 在橢圓上，若PF1 4，則 PF2；91F1 PF2 的大小為2；2 、 P 是 橢 圓 x2y21上的一點， F1和 F2是焦點，若 F1PF230 ，則 F1PF2 的面積等于2516學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考（）(A) 163( B) 4(23)(C) 16(23)( D ) 16(2- 3)3

22、3、 P 是橢圓 x2y21上的一點， F1 和 F2 為左右焦點，若F1 PF260 。259（ 1）求F1 PF2的面積；（ 2）求點 P 的坐標。題型四 . 橢圓的幾何性質例 1.已知 P是橢圓x2y2522 1上的點，的縱坐標為， F1 、 F2 分別為橢圓的兩個焦點，橢圓的半焦距為 c ，則 PFPFab3的最大值與最小值之差為12例 2.橢圓 x2y21 (ab 0) 的四個頂點為A, B,C , D ，若四邊形 ABCD 的內切圓恰好過焦點，則橢a2b2圓的離心率為；例 3.若橢圓x2y21 的離心率為1 ，則 k；k142例 4.若Px2y2PF F150PFF 750為橢圓1

23、(a b0)上一點，F1、為其兩個焦點， 且2，a2b2F212 1則橢圓的離心率為題型五 . 求范圍例 1. 方程 x2y 21焦點在 x 軸的橢圓，求實數m 的取值范圍；m2(m 1)2題型六 . 求離心率例 1.橢圓 x2y21 (ab0) 的左焦點為 F1 (c,0) ， A(a,0) ， B(0, b) 是兩個頂點，如果F1 到直a2b2線 AB 的距離為b，則橢圓的離心率e7例 2.若 P 為橢圓 x2y21(ab0) 上一點， F1 、F2 為其兩個焦點， 且 PF1 F2， PF2 F12 ，a2b2則橢圓的離心率為例 3.F1 、 F2 為橢圓的兩個焦點，過F2 的直線交橢圓

24、于P, Q 兩點， PF1PQ ，且 PF1PQ ，則橢圓的離心率為；學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考練習1、（ 2010南京二模）以橢圓x2y21(ab0) 的右焦點為圓心的圓經過原點O ，且與該橢圓的右準a2b2線交于 A 、 B 兩點，已知 OAB 是正三角形，則該橢圓的離心率是；2、已知 AB C 分別為橢圓 x2y21(ab0) 的右頂點、上頂點、和左焦點，若ABC900 ，則a2b2該橢圓的離心率為；年新課標） 設 F1F2 是橢圓 E : x223 、（ 20122y2 1(a b0) 的左、右焦點, P 為直線 x3a上一ab2點 ,F2PF1 是底角為 30 的等腰三角形

25、 , 則 E 的離心率為（）A 1B 2CD 234、橢圓 x2y2 1(a>b>0) 的左、右頂點分別是A,B, 左、右焦點分別是F1,F 2. 若 |AF 1|,|F 1F2|,|F1B| 成等a2b2比數列 , 則此橢圓的離心率為_題型七 . 直線與橢圓的關系（ 1）直線與橢圓的位置關系例 1.當 m 為何值時，直線l : yxm 與橢圓 9 x216 y2144 相切、相交、相離？例 2. 曲線 2x2y22a2 （ a0 ）與連結 A( 1,1) ， B(2,3) 的線段沒有公共點，求a 的取值范圍。例3.過點 P(3, 0) 作直線 l 與橢圓3x24y212相交于 A

26、, B 兩點， O 為坐標原點，求OAB 面積的最大值及此時直線傾斜角的正切值。分析：若直接用點斜式設 l 的方程為 y0k( x3) ，則要求 ly的斜率一定要存在， 但在這里 l 的斜率有可能不存在，因此要討論A斜率不存在的情形，為了避免討論，我們可以設直線l 的方程為Pxx my3O，這樣就包含了斜率不存在時的情形了，從而簡化B了運算。解：設 A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ， l ： x my S AOB 1 | OP | | y1 | 1 | OP | | y2 |22把 xmy3 代入橢圓方程得：3(m 2 y 233(| y1 | | y2 |)3( y1y2

27、 )233)4y2120，即my(3m24) y 26 3my30 ， y1y26 3m， y1 y2343m 243m2| y1y2 |108m2121144x248(3m24)23m243m24學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考49m23433m21433m2143m433m243m24( 3m21) 3323m212 33m21 S323 ，此時3m2131m623m23令直線的傾角為，則 tan3662即 OAB 面積的最大值為3，此時直線傾斜角的正切值為6。22 和橢圓 x23 y2例 4.求直線 x cosy sin6 有公共點時，的取值范圍 (0) 。（二）弦長問題例 1.已知

28、橢圓 x22 y212 ， A 是 x 軸正方向上的一定點，若過點A ，斜率為1 的直線被橢圓截得的弦長為 4 13 ，求點 A 的坐標。3分析： 若直線 ykxb 與圓錐曲線f ( x, y)0 相交于兩點P( x1 , y1 ) 、 Q ( x2 , y2 ) ，則弦 PQ 的長度的計算公式為| PQ |1k 2 | x1x2 |1而 | x1x2 |( x1x2 ) 24x1x2 ，因此只要把直線ykx去 y （或 x ），結合一元二次方程根與系數的關系即可求出弦長。1| y1 y2 | ，k 2b 的方程代入圓錐曲線f (x, y) 0 方程，消解：設 A( x0 ,0) （ x00

29、），則直線 l 的方程為 yx x0 ，設直線 l 與橢圓相交于P( x1 , y1 ) 、Q (x2 , y2 ) ，由yxx0，可得 3x24x0 x 2x02120 ，2 y212x2x1x24x0 ， x1 x22x0212 ，則33| x1x2|( x1x2 ) 24 x1 x216x028x0248 2 36 2x024 14x 2 | x19331x2 | ，即 4 142236 2x02333 x024 ，又 x00 ， x02 ， A(2,0)；例 2. 橢圓 ax2by21與直線 xy 1相交于 A, B 兩點， C 是 AB 的中點，若|AB|22 ， O 為坐標原點，

30、OC 的斜率為2 ，求 a, b的值。2例 3. 橢圓 x2y21的焦點分別是F1 和 F2 ，過中心 O 作直線與橢圓交于A,B 兩點，若ABF2 的面積是452020，求直線方程。學習資料學習資料收集于網絡，僅供參考（三）弦所在直線方程例 1.已知橢圓 x2y 21，過點 P(2,0) 能否作直線 l 與橢圓相交所成弦的中點恰好是P ；164例 2.已知一直線與橢圓4 x29 y236 相交于 A, B 兩點，弦 AB 的中點坐標為 M (1,1)，求直線 AB 的方程；例 3.橢圓E中心在原點O，焦點在x軸上，其離心率e2C (1,0)lEA, B過點的直線與橢圓相交于,3兩點，且 C 分有向線段 AB 的比為（ 1）用直線 l 的斜率 k(k0) 表示OAB 的面積；（ 2）當OAB 的面積最大時，求橢圓E 的方程解：（ 1）設橢圓 E 的方程為 x2y 21，由 ec2a2b2a3故橢圓方程 x23y23b2 ；22， a =3b設 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，由于點 C ( 1,0) 分有向線段 AB 的比為 2x12x21x112(x21)3，即y12y2y12 y203x 23 y23b2(3k22+6k2x+3k22由k( x1)消去 y 整理并化簡得+1)x3b =0y由直線 l 與橢圓 E 相交于 A( x1 , y1 ),