最新全等幾何模型講解資料

1、精品文檔常見的幾何模型一、旋轉(zhuǎn)主要分四大類：繞點(diǎn)、空翻、弦圖、半角。這四類旋轉(zhuǎn)的分類似于平行四邊形、矩形、菱形、正方形的分類。1繞點(diǎn)型（手拉手模型）'遇60°旋60°,造等邊三角形八白詒珪占計(jì)鋰、圧舌汪遇90°旋90°，造等腰直角（1 ）自旋轉(zhuǎn)：自旋轉(zhuǎn)構(gòu)造萬法遇等腰旋頂角，造旋轉(zhuǎn)全等 遇中點(diǎn)旋1800,造中心對(duì)稱精品文檔圖(l-1-a)EC圖(1-1-b)圖(1-1)圖(1-2) a圖(2-1-a)=>D圖(2rl b ) 4例題講解：1. 如圖所示，P是等邊三角形 ABC內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，PA=2 PB=2i3 , PC=4,求厶ABC的邊長(zhǎng)。

2、2. 如圖，0是等邊三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知：/ A0B=115°, / BOC=125,則以線段 0A、OB、0C為邊構(gòu)成三角形的各角度數(shù)是多少？C3. 如圖，P是正方形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 PA PD PC=1 : 2 : 3，則/ APD=.AD4如圖（2-1） : P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到正方形的三個(gè)頂點(diǎn) A、B、C的距離分別 為PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形 ABCD面積。圖(2-1)圖(2-2) *（2）共旋轉(zhuǎn)（典型的手拉手模型）模型變形:等邊三角形共頂點(diǎn)例題講解:1. 已知ABC為等邊三角形，點(diǎn) D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) D不與B,C重合)，以

3、AD 為邊作菱形 ADEF(按A,D,E,F逆時(shí)針排列)，使/ DAF=60，連接CF.(1) 如圖1,當(dāng)點(diǎn) D在邊BC上時(shí)，求證： BD=CF ?AC=CF+CD.(2) 如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請(qǐng)寫出 AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3) 如圖3 ,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC > CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系。2. (13北京中考)在厶 ABC 中，AB=AC, / BAC=：(0 :： : <60 ),將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 °得到線段

4、BD。E(第2斗題圖1)B(第翠題圖2)(1) 如圖1，直接寫出/ ABD的大小(用含:-的式子表示);(2) 如圖2，/ BCE=150，/ ABE=60°,判斷 ABE的形狀并加以證明;(3) 在(2)的條件下，連結(jié) DE,若/ DEC=45，求的值。2半角模型說明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個(gè)二分之一角，通過旋轉(zhuǎn)將另外兩個(gè)和為二分之一的角拼接在一起，成對(duì)稱全等。8A(7例題:1在等腰直角 ABCD的斜邊上取兩點(diǎn)M,N,使得 / MC245 ,記 AM=m,MN=x,BN=n求證以m, x, n為邊長(zhǎng)的三角形為直角三角形。2.如圖，正方形 ABCD勺邊長(zhǎng)為1 , AB,

5、AD上各存在一點(diǎn) P、0,若厶APQ的周長(zhǎng)為2, 求.PCQ的度數(shù)。精品文檔3. E、F分別是正方形 ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，且/ EAF =45 , AH _ EF , H為垂足，求證：AH =AB .精品文檔4. 已知，正方形 ABCD中，/ MAN=45 ，/ MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 CB、DC （或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn) M、N , AH丄MN于點(diǎn)H .（1）如圖，當(dāng)/ MAN點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫出 AH與AB的數(shù)量關(guān)系：AH=AB ;（2）如圖，當(dāng)/ MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM DN時(shí)，（1 ）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系 還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，

6、如果成立請(qǐng)證明；（3）如圖，已知/ MAN=45 , AH丄MN于點(diǎn)H，且MH=2 , NH=3，求AH的長(zhǎng).（可利用（2）得到的結(jié)論）5.已精品文檔圖1圖2知：正方形ACD 中，/ MAN=45°，/ MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 CB , DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M，N .當(dāng)/ MAN 繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到 BM=DN 時(shí)（如圖1）,易證BM+DN=MN .（1）當(dāng)/ MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BW DN時(shí)（如圖2）,線段BM , DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān) 系？寫出猜想，并加以證明.當(dāng)/ MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段 BM , DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān) 系？青直接

7、寫出你的猜想.6. （14房山2模）.邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的兩頂點(diǎn)A、C分別在正方形EFGH的兩邊DE、DG上（如圖1），現(xiàn)將正方形 ABCD繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) A點(diǎn)第一次落在 DF上時(shí)停止 旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交DF于點(diǎn)M , BC邊交DG于點(diǎn)N （1）求邊DA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；（2）旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng) MN和AC平行時(shí)（如圖2）,求正方形 ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；（3） 如圖3,設(shè).：MBN的周長(zhǎng)為p，在旋轉(zhuǎn)正方形 ABCD的過程中，p值是否有變化? 請(qǐng)證明你的結(jié)論7. (2011石景山一模)已知：如圖，正方形ABCD中，AC, BD為對(duì)角線，將/ BAC繞頂點(diǎn)A逆 時(shí)針旋轉(zhuǎn)a

8、° 0V aV 45),旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別交 BD于點(diǎn)P、點(diǎn)Q,交BC, CD于 點(diǎn)E、點(diǎn)F,連接EF, EQ.(1) 在/ BAC的旋轉(zhuǎn)過程中，/ AEQ的大小是否改變？若不變寫出它的度數(shù)；若改變，寫出它的變化范圍(直接在答題卡上寫出結(jié)果，不必證明)；(2) 探究 APQ與厶AEF的面積的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并加以證明.& 已知在 ABC 中， ACB =90 , CA二CB =6、2 , CD _ AB 于 D，點(diǎn) E 在直線 CD1上, DE CD，點(diǎn)F在線段AB 上, M是DB的中點(diǎn)，直線AE與直線CF交于N點(diǎn). 2(1)如圖1,若點(diǎn)E在線段CD上，請(qǐng)分別寫出線段 AE

9、和CM之間的位置關(guān)系和數(shù)量 關(guān)系：, ;(2)在(1)的條件下，當(dāng)點(diǎn)F在線段AD 上,且AF =2FD時(shí)，求證：.CNE = 45 ；(3) 當(dāng)點(diǎn)E在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，在線段AB上是否存在點(diǎn)F ,使得/CNE =45 .若存在，請(qǐng)直接寫出 AF的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.9.(2014 平谷一模 24)(1)如圖1,點(diǎn)E、F分別是正方形 ABCD的邊BC CD上的點(diǎn)，/ EAF=45°連接EF,則EF、BE、FD之間的數(shù)量關(guān)系是： EF=BE+FD.連結(jié)BD,交AE、AF于點(diǎn) M、N，且MN、BM、DN滿足MN 2 = BM 2 DN 2，請(qǐng)證明這個(gè)等量關(guān)系;(2)在厶ABC中

10、，AB=AC，點(diǎn)D、E分別為BC邊上的兩點(diǎn).如圖2,當(dāng)/ BAC=60°, / DAE=30°時(shí)，BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是如圖3,當(dāng)/ BAC=? , (0 <： <90°),Z DAE=-：時(shí)，BD DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系2圖1A圖2是.【參考：sin2a +cos2a =1】注意：2AM2 =BM 2 DM 2(1)在正方形 ABCD 中，AB=AD,Z BAD=90 °/ ABM=Z ADN=45°M'把厶ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到.-ADM連結(jié) NM 貝 U DM：上 BM , AM、A

11、M , .ADMABM =45 , . DAM ” ：EBAM / EAF=45 °, / BAM +/ DAN=45 :/ DAM+/DAF=45° NM'AN =NMAN =45 * AM 'N B.：AMN M'N =MN 在. DM 'N 中，ZM 'DN ZADN £ADM J90 ,2 2M 'N =DNDM,2MN2=DN 2 BM(2DE2 =BD2 BD EC EC2 ； DE2 二BD2 2cos： BD EC EC23空翻模型ANBMMPDanmbmdgACAQBPA例題:（點(diǎn)B除外），作.DM

12、N = 60 ,1. 如圖，點(diǎn)M為正三角形 ABD的邊AB所在直線上的任意一點(diǎn)射線MN與ZDBA外角的平分線交于點(diǎn) N , DM與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？AM B E精品文檔【解析】 猜測(cè)DM =MN .過點(diǎn)M作MG / BD交AD于點(diǎn)G , AG = AM ,二GD = MB 又 T / ADM . DMA =120' , / DMA / NMB =120 / ADM =/ NMB，而 / DGM 二/ MBN =120】, . QGM 也.：MBN , DM =MN .2. 如圖，點(diǎn)M為正方形ABCD的邊AB上任意一點(diǎn)，MN _ DM且與/ ABC外角的平分線交于點(diǎn)N，MD與MN有怎

13、樣的數(shù)量關(guān)系?【解析】猜測(cè)DM =MN .在AD上截取AG =AM， - DG = MB ， / AGM =45， / DGM 二/ MBN =135，/ ADM 二/NMB， . QGM：MBN， DM =MN .3. 【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,ABC是等邊三角形，/AEF =60，EF交等邊三角形外角平分線CF所在的直線于點(diǎn) F 當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，有 AE=EF成立；【數(shù)學(xué)思考】某數(shù)學(xué)興趣小組在探究AE、EF的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用 從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，通過驗(yàn)證得岀如下結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)E是直線BC上（B,C除外）任意一點(diǎn)時(shí)（其它條件不變），結(jié)論AE = EF仍然成立.假如你是該興趣小組中的一員，請(qǐng)你從

14、點(diǎn)E是線段BC上的任意一點(diǎn)”；點(diǎn)E是線段BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)”；“點(diǎn)E是線段BC反向延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn) ”三種情況中，任選一種情 況，在備用圖1中畫岀圖形，并進(jìn)行證明.A【拓展應(yīng)用】當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，若CE = BC,在備用圖2中畫岀圖形，并運(yùn)用上述結(jié)論求岀 S ABC : S AEF的值4弦圖模型外弦圖內(nèi)弦圖總統(tǒng)圖例題： 1兩個(gè)全等的30°，60°三角板ADE,BAC如右下圖所示擺放，E、A C在一條直線上，連接 精品文檔BD取BD的中點(diǎn)M ,連接ME MC(1)求證： EDM CAM ( 2)求證： EMC為等腰直角三角形.2.如圖 ABC 中，已知/ A

15、=90 ° , AB=AC, (1)D為AC中點(diǎn)，AE丄BD于E,延長(zhǎng)AE交BC于F,求證：/ ADB= / CDF若D , M為AC上的三等分點(diǎn)，如圖2,連BD,過A作AE丄BD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F, 連MF，判斷/ ADB與/ CMF的大小關(guān)系并證明.3.(14朝陽二模)已知/ ABC=90°, D是直線 AB上的點(diǎn)，AD=BC.(1)如圖1,過點(diǎn)A作AF丄AB,并截取AF=BD,連接DC、DF、CF,判斷 CDF的形狀并證 明；(2)如圖2, E是直線BC上的一點(diǎn)，直線AE、CD相交于點(diǎn)P,且/ APD=45°,求證BD=CE.圖1精品文檔二、對(duì)稱全等模型下

16、圖依次是45°、30°、22.5 °、150及有一個(gè)角是30°直角三角形的對(duì)稱（翻折），翻折成正方 形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對(duì)稱全等。AGAFBP2C例題：1.如圖 1，在 ABC 中，已知/ BAC=45 ,AD丄 BC 于 D, BD=2, DC=3 求 AD 的長(zhǎng).小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)，將圖形進(jìn)行翻折變換如圖1她分別以AB AC為對(duì)稱軸,畫出 ABD ACD的軸對(duì)稱圖形，D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E、F,延長(zhǎng)EB FC相交于G點(diǎn)，得到四 邊形AEGF是正方形.設(shè) AD=x利用勾股定理，建立關(guān)于 x的方程模型，求出 x的值.參考小萍的思路，探究并解答新問題：精品文檔如圖2,在厶ABC中，/ BAC=30 , ADL BC于D, AD=4請(qǐng)你按照小萍的方法畫圖，得到四邊形AEGF求厶BGC的周長(zhǎng).(畫圖所用字母與圖1中的字母對(duì)應(yīng))2問題：已知 AB