(完整word版)高等代數(shù)(張禾瑞版)教案-第4章線性方程組

1、第四章線性方程組4.1消元法教學(xué)目的：1、掌握線性方程組的和等變換，矩陣的初等變換等概念。理解線性方程組的和等變換是同 解變換，以及線性方程組的初等變換可用增廣矩陣的相應(yīng)的行初等變換代替。2、熟練地掌握用消元發(fā)解線性方程組，以及判斷線性方程組有沒(méi)有解和解的個(gè)數(shù)。設(shè)方程組：aiixi+ai2X2+ +ainXn=b1；a2lXi+a22X2+a2nXn=b2；(1) .amiX1+am2X2+ +amnXn= bm.1線性方程組的初等變換：例 1解線性方程組:11X1+X2+ X3= 123(2)X1+ X2+3 x3=342X1+ X2+5 X3=231從第一和第三方程分別減去第二個(gè)方程的一倍

2、和 2 倍,來(lái)消去前兩個(gè)方程中的未知量2把乂的系數(shù)化為零).我們得到1- X125X1+ X2+3 X3=3323-2 X2- X3=-4為了計(jì)算的方便，我們把第一個(gè)方程乘以-2 后，與第二個(gè)方程交換，得:5X1+X2+3X3= 33X2+ X3= 1 -2x2- x3=-4把第二個(gè)方程的 2 倍加到第三個(gè)方程，來(lái)消去后一方程中的未知量X2,我們得到5x 嚴(yán)x2+3x3= 31323X2+ x3= 1X1即X3=-X3=-2現(xiàn)在很容易求岀方程組的解.從第一個(gè)方程減去第三個(gè)方程的3 倍,再?gòu)牡诙€(gè)方程減去第三個(gè)方程(相當(dāng)于把 x3的值-2 代入第一和第二個(gè)方程),得5x1 x2=93X2=3X3

3、=-25再?gòu)牡谝粋€(gè)方程減去第二個(gè)方程的倍(相當(dāng)于把 X2的值 3 代入第一個(gè)方程),得3x1=4 x2=3 x3=-2這樣我們就求岀了方程組(2)的解.分析一下以上的例子，我們看到，我們對(duì)方程組施行了三種變換：1)交換兩個(gè)方程的位置；2)用一個(gè)不等于零的數(shù)乘某一個(gè)方程；3)用一個(gè)數(shù)乘某一個(gè)方程后加到另一個(gè)方程我們把這三種變換叫做線性方程組的初等變換由初等代數(shù)知道，以下定理成立.定理 4.1.1初等變換把一個(gè)線性方程組邊為一個(gè)與它同解的線性方程組2 矩陣：利用線性方程組(1)的系數(shù)可以排成如下的一個(gè)表：aa12.ana21a22. .a2nam1Rm2amn丿而利用(1)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)又可以排成

4、下表ana12a1nba21a22a2nb2a31a32-b3Gm1am2amnbm丿定義 1 由 st 個(gè)數(shù) Cj排成一個(gè) s 行 t 列的表CiC12CitC21C22C2tQ1Cs2Cst丿叫作一個(gè) s 行 t 列（或 s t）矩陣。叫 o 作這個(gè)矩陣的元素。注意： 矩陣和行列式雖然形式上有寫(xiě)類似，但有完全不同的意義。一個(gè)行列式是一些數(shù)的 代數(shù)和，而一個(gè)矩陣僅僅是一個(gè)表。我們把矩陣（3 ）和（4）分別叫作線性方程組（1 ）的系數(shù)矩陣和增廣矩陣。一個(gè)線性方程組的增廣矩陣顯然完全能夠代表這個(gè)方程組，我們按照線性方程組的初等變換引入矩陣的初等變換的概念定義 2 :矩陣的行（列）初等變換指的是對(duì)

5、一個(gè)矩陣施行的下列變換：1）交換矩陣的兩行（列）；2）用一個(gè)不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列），即用一個(gè)不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一個(gè)元素；3）用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一數(shù)乘矩陣的某一剛 （列）的每一元素后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上。顯然，對(duì)一個(gè)線性方程組施行一個(gè)初等變換，相當(dāng)于對(duì)它的增廣矩陣施行一個(gè)對(duì)應(yīng)的行初等變換，而化簡(jiǎn)線性方程組相當(dāng)于用行初等變換化簡(jiǎn)它的增廣矩陣。因此我們將要通過(guò)化簡(jiǎn)急診來(lái)討論化簡(jiǎn)線性方程組的問(wèn)題。這樣作，不但討論起來(lái)比較方便，而且能夠給予我們一種方法，就一個(gè)線性方程組的增廣矩陣來(lái)解這個(gè)線性方程組， 而不必每次把未知量寫(xiě)岀。我國(guó)古數(shù)

6、學(xué)書(shū)九章算術(shù)（至遲寫(xiě)成于三世紀(jì)）中，就是用這種方法解線性方程組的。在對(duì)一個(gè)線性方程組施行初等變換時(shí)，我們的目的是消去未知量，也就是說(shuō)，把方程組的左段化簡(jiǎn)。因此我們先來(lái)研究，利用三種初等變換來(lái)化簡(jiǎn)一個(gè)線性方程組的系數(shù)矩陣的 問(wèn)題。在此，為了敘述方便，除了行初等變換外，我們還允許交換矩陣的兩列，即允許施行第一 種初等變換。后一種初等變換相當(dāng)于交換方程組中未知量，這對(duì)于方程組的研究顯然沒(méi)有什么影響。在例 1 里，我們?cè)逊匠探M（2) 的系數(shù)矩陣11 J-12 3513。342 -53丿先化為5 )1-3301 100 11)然后進(jìn)-步化為(10、對(duì)于任一線性方程組的系數(shù)矩陣來(lái)說(shuō),定理 4.1.2我們

7、一般不能它化為這樣簡(jiǎn)單的形式。但我們有設(shè) A 是一個(gè)m 行 n 列矩陣：Xa11a12.a1nA=a21a?2a2nGm1am2amn丿通過(guò)行初等變換和第一種列初等變換能把A 化為以下形式:(5 ) r 行 0,r m,r n,*表示矩陣的元素，但不同位置的*表示的元素未必相同。證 若是矩陣 A 的元素aij都等于零，那么 A 已有（5）的形式。設(shè)某一aj不等于零。必要時(shí)交換矩陣的行和列，可以使這個(gè)元素位在矩陣的左上角。用1 乘第一行,然后由其余各行分別減去第一行的適當(dāng)倍數(shù), 矩陣A 化為B=0若在 B 中，除第一行外，m-1 行中有一個(gè)元素 b 不為零。把 b 換到第二行第二列的交點(diǎn)的位置，

8、然后用與上面同樣的方 法，可把 B 化為其余各行的元素都是零，那么B 已有（5）的形式設(shè)在 B 的后 1 *I。0 *. * /如此繼續(xù)下去，最后可以得岀一個(gè)形如（5 ）的矩陣。形如（5）的矩陣可以進(jìn)一步化為形如（6 ）的矩陣是顯然的。我們只要由第一，第二，第r-1 行分別減去第r 行的適當(dāng)倍數(shù)，再由第一、第二，第r-2 行分別減去第 r-1 行的適當(dāng)倍數(shù)，等等。 現(xiàn)在考察方程組（1 ）的增廣矩陣（4）由定理 4.1.2，我們可以對(duì)（1）的系數(shù)矩陣（3） 施行一些初等變換而把它化為矩陣（6）對(duì)增廣矩陣（4）施行同樣的初等變換，那么（4 ）化為以下形式的矩陣：100.1.0.0C1，r+.C2,

9、Y6C2nd1d2(7 )00 .1Cr,r*Crndr0.0dr +L0I.0dm J與（7）相當(dāng)?shù)木€性方程組是X+C11Xir1+9Xin=d1Xi2+C2，r 1Xir1+.+C2n冷=d?（8 ） .Xir+Cr，r41Xir+.+Cr1nXin=dr0=dr 10=dm這里 i1,i2,，in是 1，2，,n 的一個(gè)排列。由于方程組（1）通過(guò)方程組的初等變換以 及交換 未知量的位置而得到，所以由定理4.1.1 方程組（8）與方程組（1 ）有相同的解。因此要解方程組（1 ），只需解方程組（8 ）。但方程組（8）是否有解以及有怎樣的解都容易看岀。情形 1。Rm,而dr,，.dm不全為零。

10、這時(shí)方程組（8，無(wú)解，因?yàn)樗暮?m-r 個(gè)方 程組至少有一個(gè)無(wú)解。因此方程組（1 ）也 無(wú)解。情形 2。R=m 或 Rm 而dr.，.dm全為零，這時(shí)方程組（8）與方程組Xi1+C1，r1Xir1+.+C1nXin=d1Xi2+C2，r 1Xiri+.+C2nXj.=d?r,那么有三種可能情形4.2 矩陣的秩線性方程組可解的判別法現(xiàn)在我們要證明，r 也是線性方程組（1 ）的系數(shù)矩陣ai1aj1D=0(i)D 不含第 I 行的元素：這時(shí)D 盧是矩陣 A 的一個(gè) s 階子式，而s 大于 A 有秩，因此(ii)D 含第 I 行的元素，也含第j 行的元素，這時(shí)，由命題3.3.10,得ai1+kaj1

11、ain+kajnB= -aj1:ajnait1+kajt1aits+kajtsD=ajt1ajtsait1ajtsaji1.a_:s=0因?yàn)楹笠恍辛惺绞蔷仃囀蔷仃?A 的一個(gè) s 階子式。（iii） D 含第 I 行的元素，但不含第j 行的元素。這時(shí)ajts由于 Di 是矩陣 A 的一個(gè) s 階子式，而 D2 與 A 的一個(gè) s 階子式最多差一個(gè)符號(hào)，所以這兩個(gè) 行列式都等于零，從而D=0。因此，在矩陣 B 有階數(shù)大于 r 的子式的情形，B 的任何這樣的子式都等于零，而 B 的秩 也不能超過(guò)r.這樣，在任何情形，我們都有，秩B =秩 A。但我們也可以對(duì)矩陣B 施行第三種行初等變換而得到矩陣A。

12、因此，我們也有，秩 A =B。這樣我們就證明了，秩 A=秩 B，即第三種行初等變換不改變矩陣的秩。對(duì)其它初等變換來(lái)說(shuō)，我們可以完全類似地證明定理成立。定理 4.2.2（線性方程組可解的判別法）線性方程組（1 ）有解的充分且必要條件是：它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩。證用A表示方程組（1 ）的增廣矩陣：/a1a12a1nb1A=a21a12 .a2nb2/am1am2 .amnbm那么A的前 n 列作成的矩陣 A 就是（1 ）的系數(shù)矩陣?yán)贸醯茸儞Q把A化為dr+10dm并且用 B 表示B的前 n 列作成的矩陣。那么由定理4.2.1 得:(4)秩 A=秩 B=r,秩A=秩B.這里D= aiti+

13、kajtiaits+ kajts=D1+KD2,D1= aitiaitsD2= ajtiC2.r|+1C2ndr01現(xiàn)在設(shè)線性方程組（1 ）有解.那么或者 r=m,或者 rm,而 d 葉 1= =dm=0,這兩種情形都有（iii） D 含第 I 行的元素，但不含第j 行的元素。這時(shí)秩 B=r.于是由（4）得，秩 A=秩A.反過(guò)來(lái)，設(shè)秩 A=秩A.那么由（4）得，B的秩也是 r.由此得，或者 r=m,或者 rm 而 dr+仁 =dm=0,因而方程組（1 ）有解.這樣，定理得到證明.定理 423設(shè)線性方程組（1）的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩 r.那么當(dāng) r 等于方程組所含未知量的個(gè)數(shù) n 時(shí)，方

14、程組有唯一解；當(dāng) rn 時(shí)，方程組有無(wú)窮多解.ar+1，1ar+1，rar+1,r+13葉1小br+14.3 線性方程級(jí)的公式解教學(xué)目的：1.掌握線性方程級(jí)的公式解。2 .學(xué)會(huì)應(yīng)用線性方程組的求解公式，討論線性方程組的解數(shù)。教學(xué)內(nèi)容：1 線性方程級(jí)的公式解問(wèn)題.設(shè)有線性方程組aiixi+a12x2+ amXn=b1,a211Xl+a22X2+ a2nXn=b2,（1）.am1Xl+am2X2+ amnXn=bm.的公式解。例 1 考察線性方程組X1+2X2-X3=2,（2）2X1-3X2+X3=3,4X1+X2-X3=7.我們把這三個(gè)方程依次用G1, G2, G3來(lái)表示。那么在這三個(gè)方程間有以

15、下關(guān)系：G3= 2G1+G2。這就是說(shuō)，第三個(gè)方程是前兩個(gè)方程的結(jié)果.因此由中學(xué)代數(shù)知道，第三個(gè)方程可以舍去,亦即方程組和由它的前兩個(gè)方程所組成的方程組X1+2X2-X3=2,2X1-3X2+X3=3,同解.同樣，把方程組（1 ）的 m 個(gè)方程依次用 G1, G2,，Gm來(lái)表示。若是在這 m 個(gè)方程中，某一個(gè)方程 Gi是其它 t 個(gè)方程 Gi1,Gi2,，Git的結(jié)果，也就是說(shuō)，若是存在 t 個(gè)數(shù) k1,k2,ki使關(guān)系式Gi= k1Gi1+ k2Gi2+.+ kiGit成立，那么我們可以在方程組（1 ）中舍去方程 Gi而把方程組（1 ）化簡(jiǎn).現(xiàn)在設(shè)方程組（1 ）有解，并且它的系數(shù)矩陣的秩是r

16、 工 O.（r=O）的情形是明顯的，我們不必加以討論。）經(jīng)過(guò)初等變換，可以把解方程組（1）歸結(jié)為解一個(gè)含有r 個(gè)方程的線性方程組。以在（1 ）的 m 個(gè)方程中選岀 r 個(gè)方程，使得剩下的m-r 個(gè)方程中的每一個(gè)都是這r 個(gè)方程的結(jié)果，因而解方程組（1）可以歸結(jié)為解由這r 個(gè)方程所組成的線性方程組。證由于方程組（1 ）的系數(shù)矩陣 A 的秩是 r，所以 A 至少含有一個(gè)r 階子式 D 工 0.為定理 4.3.1設(shè)方程組（1 ）有解，它的系數(shù)矩陣A 與增廣矩陣A的共同秩是 r 工 0.那么可ar+1，1ar+1，rar+1,r+13葉1小br+1了敘述方便，不妨假定D 位在 A 的左上角，因而也在增

17、廣矩陣A的左上角:a11a1ra1，r+1 Db1arnbra1a,a+1amiamramj+1arnnbm現(xiàn)在我們證明，方程組（1 ）的后 m-r 一個(gè)方程的每一個(gè)都是（1）的前 r 個(gè)方程ailXl+ airXr+a1,r+1Xr+1+ ainXn=bl,a2ixi+ a2rXr+a2,r+1Xr+1+ a2nXn=b2,ariXi+ ar2Xr+ar,r+1Xr+1+ ar nXn=br.的結(jié)果?？矗? ）的后 m-r 個(gè)方程的任一個(gè)，例如第 i （ri=m ）個(gè)方程aiiXi+ airXr+ai,r+1Xr+1+ ainXn=bi.,我們需要證明， 存在r 個(gè)數(shù) ki,k2 -,kr,

18、使得Gi= kiGi+ k2G2+ -+ krGr亦即使aiiki+a2ik2+ arikr=aiiairki+a2rk2+ arrkr=air,ai,r+iki+a2,r+1k2+ ar,r+1kr=3i,r+1ainki+a2ik2+ ankr=ainbiki+b2k2+ brkr=ai,為此我們把 ki,k2 ,kr 看作未知量, 而來(lái)證明線性方程組(4)有解。方程組(4)的增廣矩陣是ai1a21ar1ai1ai ra2rarrairB =ai,r dta2,r +ar,rai,rai na2nama bib2brbi丿而 B 的前 r 列作成的系數(shù)矩陣 B.我們要計(jì)算矩陣B 和B的秩.

19、注意，B的列剛好是方程組(1)的增廣矩陣的A某些行.這樣，矩陣 B 的左上角的 r 階子式剛好是A的子式 D 的轉(zhuǎn)置行列式：ara=DHO.arr由于D也是矩陣 B 的子式，所以矩陣 B 和B的秩都至少是 r.另一方面，矩陣的B任一個(gè) r+1 階子式1都是A的某一個(gè) 葉 111階子式的轉(zhuǎn)置行列式.由于A的秩是 r,所以A的所有 r+1因而不等到于零：aiiai r階子式都等于零，由此得Dri必然等零.但B沒(méi)有階數(shù)高于 葉 1 的子式，所以B和 B 的秩都是 r,這里X1 -d1c1,r -1Xr -1GnXn,X2 P -c2,r 1XrC2nXn，(6 ) .Xr-drcr,r 1xr 1G

20、nxn,a11b1-a1,r 1Xr 1 - -amXna1ra21b2-a2,r 1Xr 1 -a2nXna2rar1br_ar,r 1Xr 1 arnXnarrDj而方程組(4)有解.這樣我們就證明了，方程組(1)的后 m-r 個(gè)方程都是前 r 個(gè)方程的結(jié)果，而解方程組(1)歸結(jié)為解方程組(3).3.方程組(1)的公式解：我們還是假定方程組(1)滿足定理 4.3.1 的條件.于是由定理 4.3.1,們分別看 r=n 和 rn 的情形.若是尸 n,那么(3)就是方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)的一個(gè)線性方程組D = 0,所以(3)有唯一解，這個(gè)解可由克萊姆規(guī)則給岀.這個(gè)解也是方程組現(xiàn)在設(shè) rn,這時(shí)方

21、程組的前 r 個(gè)未知量的系數(shù)所構(gòu)成的行列式解方程組，只需銀方程.我，并且它的系數(shù)行列式(1)的唯一解.把含未量Xr 1,Xr 2,，Xn的項(xiàng)移到右邊，方程組 可以寫(xiě)成：(3)aiixi drXr =-ai,r iXr 1 -ainXn+八*a2rXr =b2一a2,r41Xr_八-a2nXna?ixariXi arr X = b- -a,r 1Xr 1 -amXn暫時(shí)假定Xr 1,Xr 2,，Xn是數(shù)，那么(3 )變成 r 個(gè)未知量 捲卞2，,Xr的個(gè)方程.用克萊姆規(guī)則解岀X1,X2,Xr得(5 )X1D16，X2D2Dr6把(5)中的行列式展開(kāi),(5)可以寫(xiě)成這里dk和Ckl都是可以由方程組

22、(1 )的系和常數(shù)項(xiàng)表示的數(shù).現(xiàn)在仍舊把(6 )中Xr 1,Xr .2,Xn看成未知量，那么(6)是一個(gè)線性方程級(jí).從以上的討論.容易看岀，方程組(6 )和(3 )方程組同解，因而和方程組(1)同解,正如用消元法解線性方程組的情形一樣，方程組(6)給岀方程組 的一般解，而XrgXr.2,Xn是自由未知量，要求方程組(1)的一個(gè)解，只需給予自由未知量XrXr .2,Xn任意一組數(shù)值，然后由算岀未知量X1, X2,Xr的對(duì)應(yīng)值，并且的所有解都可以這樣得到.由于(6)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都可由方程組()1 的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)表岀，所以(6)或它的前身(5)都給岀求方程組(1)的解的公式.例 2已知線性方程組a

23、i1X1ai2X2ai3X3ai4X4 =bi,a?iXi 822X2 823X3 824X4 = b?,a3iXi832X2833X3834X4=b3,的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩都是2,并且行列式求解這個(gè)方程組的公式，并求岀一個(gè)解由定理 4.3.1,解方程組(7)只需解前兩個(gè)方程.把X2,X4作為自由未知量，移到右邊，得用克萊姆法則解岀X1, X3，得821812822811X1813X3- 812X2一814X4,821X1823X3二b2822X2一824X4,X1 =b1-812X1814X4b?822X2824X48238116812X2814X4821b2 822X2 824X4X3DX1X3111823b1-813b2822813 -812