人教版高中數(shù)學(xué)必修⑤3.4《基本不等式(二)》教學(xué)設(shè)計

1、精品課題：必修二三維目標(biāo)： 1、 知識與技能1在上一節(jié)的根底上再通過各種運用，進(jìn)一步理解、掌握根本不等式的本質(zhì)，熟練運用此性質(zhì)的等價形式靈活地解決相關(guān)問題，提高解決此類問題的技能；2能用不等式的根本性質(zhì)論證簡單的不等式，并進(jìn)一步運用根本不等式解決生活中的應(yīng)用問題。2、過程與方法1在熟悉根本不等式性質(zhì)的根底上，引領(lǐng)學(xué)生在應(yīng)用問題中進(jìn)一步合作探索，然后再通過相應(yīng)的問題尤其是相關(guān)的實際問題的最值問題的解決，加深學(xué)生對定理的理解，并為以后解決綜合問題究奠定良好的根底；2通過簡單得不等式的判斷、論證，培養(yǎng)學(xué)生推理論證的邏輯性、嚴(yán)密性，從而逐步培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)。3、情態(tài)與價值觀1繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合

2、、等價轉(zhuǎn)化、等與不等辯證的數(shù)學(xué)思想； (2) 通過對不等式知識的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，不斷培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)、合作交流、善于反思、勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，提高參與意識和合作精神；3通過生動具體的現(xiàn)實問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時體會事物之間普遍聯(lián)系的辯證思想。體驗在學(xué)習(xí)中獲得成功的成就感，為遠(yuǎn)大的志向而不懈奮斗。 教學(xué)重點：根本不等式與的進(jìn)一步應(yīng)用教學(xué)難點：理解“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號的數(shù)學(xué)內(nèi)涵a與b或許是一個式子，注意運用不等式求最大小值的條件教 具：多媒體、實物投影儀教學(xué)方法：合作探究、分層推進(jìn)教學(xué)法教

3、學(xué)過程：一、雙基回眸 科學(xué)導(dǎo)入：上兩節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了根本不等式，并且體會到在實際問題中的應(yīng)用，感受到不等式在實際生活中的更廣泛運用。下面，首先我們一起回憶一下這些知識和方法：根本不等式：一般的，如果特別的，如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b ，可得，簡單回憶上節(jié)從實際問題中抽象出根本不等式的情景這是北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，大家想一想,你能通過這個簡單的風(fēng)車造型中得到一些相等和不等關(guān)系嗎?【問題1】我們把“風(fēng)車造型抽象成、，那么正方形的邊長為多少？面積為多少呢？學(xué)生答：，【問題2】那4個直角三角形的面積和呢？學(xué)生答：【問題3】根據(jù)觀察4個直角三角形的面積和與正方

4、形的面積的大小關(guān)系，我們可得到一個怎樣的不等式呢？。學(xué)生答：【問題4】什么時候這兩局部面積相等呢？學(xué)生答：當(dāng)直角三角形變成等腰直角三角形，即時，正方形EFGH變成一個點，這時有【得到結(jié)論】一般的，如果根本不等式在最值方面的主要應(yīng)用：1.兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值，即假設(shè)a，bR，且abM，M為定值那么ab，等號當(dāng)且僅當(dāng)ab時成立.2.兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，即假設(shè)a，bR，且abP，P為定值，那么ab2，等號當(dāng)且僅當(dāng)ab時成立.通過前面對不等式應(yīng)用，同學(xué)們已經(jīng)體會到了不等式的重要性和絕對性，可以說，不等式的應(yīng)用表達(dá)在自然、社會、生活的方方面面，今天我們將進(jìn)一步研究不

5、等式的應(yīng)用二、 創(chuàng)設(shè)情境 合作探究 ：【引領(lǐng)學(xué)生合作交流進(jìn)一步探究根本不等式的應(yīng)用】學(xué)習(xí)函數(shù)時，我們曾遇到過一個著名的函數(shù)： ，并運用其單調(diào)性解決了與其相關(guān)的函數(shù)的最值問題。同學(xué)們能否運用現(xiàn)在所學(xué)的根本不等式來求出其值域呢？下面，大家交流一下【通過交流、探索得到】 綜上所述： 所以，函數(shù)的值域為 【評析】此種方法充分運用了根本不等式的性質(zhì)并表達(dá)了轉(zhuǎn)化思想的恰當(dāng)運用：把負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)，方可用上根本不等式。 下面同學(xué)們再利用這種思想方法來解決一些相關(guān)問題三、互動達(dá)標(biāo) 穩(wěn)固所學(xué)： x、y都是正數(shù)，求證：(1)2；(2)xyx2y2x3y3x3y3.【分析】充分運用定理：來逐步解決即可，注意條件a、b

6、均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件)，進(jìn)行變形. 【解析】x，y都是正數(shù) 0，0，x20，y20，x30，y30(1)2即2.(2)xy20 x2y220 x3y320xyx2y2x3y32·2·2x3y3即xyx2y2x3y3x3y3.【點評】這兩個題是論證問題，從證明過程來看，主要是利用了我們剛學(xué)過的根本不等式。重要不等式a2b22ab；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，幾何平均數(shù)及它們的關(guān)系或證明的根本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具.我們還可以用它們下面的等價變形來解決問題：ab，ab2. m>0,求證。【分析】因為m>0,所以可把和分別看作根本

7、不等式中的a和b, 直接利用根本不等式?！窘馕觥孔C明因為 m>0,，由根本不等式得當(dāng)且僅當(dāng)=，即m=2時，取等號?！军c評】此題仍是運用根本不等式來證明的論證問題， m>0這一前提條件和=144為定值的前提條件。求證:.【分析】 由于不等式左邊含有字母a,右邊無字母,直接使用根本不等式,無法約掉字母a,而左邊.這樣變形后,在用根本不等式即可得證.【解析】證明 當(dāng)且僅當(dāng)=a-3即a=5時,等號成立.【點評】此題雖然仍是運用根本不等式來證明的論證問題，但卻需要對式子進(jìn)行恰當(dāng)變形通過加減項的方法配湊成根本不等式的形式.這也是今后常見的思想方法。假設(shè)x>0,y>0,且,求xy的最

8、小值.【分析】顯然的式子與所求的式子關(guān)系不直接，不能一步就可用根本不等式求出，看能否利用根本不等式對的式子進(jìn)行推演，得到與所求有關(guān)的式子?！窘馕觥恳驗樗?，當(dāng)且僅當(dāng)時，即x = 4 ,y = 16時 xy取到最小值64?！军c評】此題是運用根本不等式來求最值的問題，但卻不是從所求的式子直接推求，而是從的式子出發(fā)，進(jìn)行推演，去找到所求的式子，這也是今后常見的求最值的類型。利用根本不等式求最值時,個項必須為正數(shù),假設(shè)為負(fù)數(shù),那么添負(fù)號變正.在用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應(yīng)注意考查以下三個條件：(1)函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；(2)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的

9、和或積必須有一個為定值；(3)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三取等。四、思悟小結(jié)：知識線：1不等式的根本性質(zhì)； 2根本不等式與及其等價形式。思想方法線：1證明不等式的綜合法；2建模思想方法；3等價轉(zhuǎn)化思想；題目線：（1） 利用不等式的根本性質(zhì)與根本不等式解決最值問題；2利用根本不等式用綜合法證明簡單的不等式。五、針對訓(xùn)練 穩(wěn)固提高：<>論證 <> 知積求和：1、把36寫成兩個正數(shù)的積，當(dāng)這兩個正數(shù)取什么值時，它們的和最??？ 2、求(x>5)的最小值. 3、 求函數(shù)y= 的最小值4、某單位建造一

10、間反面靠墻的小房，地面面積為12m2,房屋正面每平方米的造價為1200元，房屋側(cè)面每平方米的造價為800元，屋頂?shù)脑靸r為5800元，如果墻高為3m，且不計房屋反面和地面的費用，問怎樣設(shè)計房屋能使總造價最低？最低總造價為多少？<>、知和求積：1、把18寫成兩個正數(shù)的和，當(dāng)這兩個正數(shù)取什么值時，它們的積最??？2、一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？3、矩形的周長為36，矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱，矩形的長、寬、為多少時，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積最大？<>、靈活運用：1、x,y為正實數(shù)，假設(shè)x+4y=1,那么xy的最大值為 ，的最小值為 。2、假設(shè)正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,那么a+b的取值范圍為 ,ab的取值范圍為 。3、判斷正誤：假設(shè)0x，那么y=sinx+2 ，故y的最小值為假設(shè)0x，那么y=