一元二次方程培優(yōu)專題講義

1、歡迎閱讀思路:數(shù)學(xué)培優(yōu)專題講義：一元二次方程一. 知識的拓廣延伸及相關(guān)史料1. 一元二次方程幾種解法之間的關(guān)系解一元二次方程有下列幾種常用方法：(1) 配方法:如X2 6x -7=0，經(jīng)配方得 (x+3)2 =2，再直接用開平方法；(2) 公式法；(3) 因式分解法。這三種方法并不是孤立的，直接開平方法， 實際也是因式分解法，解方程x2 6x 70 ,只要變形為(x3)2 -(.2)2 =0即可，或原方程 x2 6x 7 =0經(jīng)配方化為(x 3)2 =2，再求解時, 還是歸到用平方差公式的因式分解法，所以配方 法歸為用因式分解法的手段。公式法在推導(dǎo)公式 過程中用的是配方法和直接開平方法，因此，

2、它 還是歸到因式分解法，所不同的是，公式法用一 元二次方程的系數(shù)來表示根，因而可以作為公式。 由此可見，對因式分解法應(yīng)予以足夠的重視。因 式分解法還可推廣到高次方程。2. 我國古代的一元二次方程提起代數(shù)，人們自然就把它和方程聯(lián)系起來。 事實上，過去代數(shù)的中心問題就是對方程的研究。 我國古代對代數(shù)的研究，特別是對方程解法的研 究有著優(yōu)良的傳統(tǒng)，并取得了重要成果。下面是我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1275年提出 的一個問題：”直田積(矩形面積)八百六十四 步(平方步),只云闊(寬)不及長一二步(寬 比長少一十二步)，問闊及長各幾步？ ”答：”闊 二十四步,長三十六步.”這里,我們不談楊輝的解法，只用已學(xué)過

3、的 知識解決上面的問題.上面的問題選自楊輝所著的田畝比類乘除 算法。原題另一個提法是：“直田積八百六十四 步，只云闊與長共六十步，問闊及長各幾步 ？” 這個問題同樣可以類似求解3. 掌握數(shù)學(xué)思想方法，以不變應(yīng)萬變。本章內(nèi)容蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)方法，主要有轉(zhuǎn) 化思想、類比思想、降次法、配方法等。(1) 轉(zhuǎn)化思想我們知道，解方程的過程就是不斷地通過變 形把原方程轉(zhuǎn)化為與它等價的最簡單方程的過 程。因此，轉(zhuǎn)化思想就是解方程過程中思維活動 的主導(dǎo)思想。在本章，轉(zhuǎn)化無所不在，無處不有， 可以說這是本章的精髓和特色之一，其表現(xiàn)主要 有以下方面： 未知轉(zhuǎn)化為已知，這是解方程的基本 一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程

4、， 這是通過將原方程降次達(dá)到的： 特殊轉(zhuǎn)化為一般，一般轉(zhuǎn)化為特殊。 例如，通過用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程x2 6x0歸納出用配方法解一般形式的一元二次方程ax2 bx c 0的方法，進(jìn)而得出 一元二次方程的求根公式，而用公式法又可以解 各種具體的一元二次方程，推導(dǎo)出一元二次方程 根與系數(shù)的關(guān)系。又如，通過設(shè)未知數(shù)，找出等 量關(guān)系，列方程，把實際問題轉(zhuǎn)化為解方程問題， 等等。掌握轉(zhuǎn)化思想并舉一反三，還可以解決很多 其他方程問題，如高次方程轉(zhuǎn)化為一元一次或一 元二次方程，分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，無理方 程轉(zhuǎn)化為有理方程，二元二次方程組轉(zhuǎn)化為二元 一次方程組，總之，本章學(xué)習(xí)的關(guān)鍵之一是學(xué)會 如

5、何”轉(zhuǎn)化”.練習(xí)：2 2 11.a是方程x - 5x 1二0的一根，求a -的值；a(2) 類比思想本章多次運(yùn)用類比找出新舊知識的聯(lián)系，在 新舊知識間進(jìn)行對比，以利于更快更好地掌握新 知識.如用配方法解一元二次方程時，可類比平方 根的概念和意義，列一元二次方程解應(yīng)用題，可 類比列一元一次方程解應(yīng)用題的思路和一般步 驟.類比思想是聯(lián)系新舊知識的紐帶，有利于 幫助我們開闊思路，研究解題途徑和方法，有利 于掌握新知識、鞏固舊知識，學(xué)習(xí)時應(yīng)特別重視。 掌握了類比和轉(zhuǎn)化這兩大數(shù)學(xué)思想，舉一反 三，還可解決許多方程的相關(guān)問題。我們來看下 面兩個例子。例1.解分式方程91x 2 x-42-x(x 亠 v =

6、 7例2.解方程組彳Vxy = 124. 配方法的妙用所謂配方，就是把一個多項式經(jīng)過適當(dāng)變形 配成完全平方式。配方法除一元二次方程求根公 式推導(dǎo)這一典型應(yīng)用外，在因式分解、化簡二次 根式、證明恒等式、解方程、求代數(shù)式最值等問 題中都有廣泛應(yīng)用，是一種很重要、很基本的數(shù) 學(xué)方法。例1 分解因式x -120x 3456例 2.化簡.,7一2、10例3.解方程 x4 -15x2 10x 24 =0例4. 求4x y -2y-4x，15的最小值5. 怎樣巧用韋達(dá)定理解“看錯數(shù)”問題小紅和小明一起做作業(yè)，在解一道一元二次 方程時，小明在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，因而 得方程的兩個根是8和2;小紅在化簡過程

7、中寫 錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是一 9和一1.你知道原來的方程是什么嗎？6. 二次三項式的因式分解我們把形如ax2 bx c(a =0)的多項式叫做 x的二次三項式。在了解了形如x2 (p q)x pq 的二次三項式分解因式的方法的基礎(chǔ)上，現(xiàn)在介 紹利用求出一元二次方程的根的方法，將一般的 二次三項式分解因式。a£ 4bx=a(xx£)=a x2-(x這就是說，在分解二次三項式ax2 bx c(" 0) 的因式時，可先求出方程ax2 bx，c=0的兩個根 %,X2，然后再寫成 ax2+bx+c = a(xX1)(xX2).例：在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(

8、1) x2 -2x -1(2) 3x2 -x -1(3) 2x2 -8x -3(4) x2 -3xy -2y2二、拓展性問題1 .回答下列問題：(1) 若方程(m2-2)x2-1=0有一個根是1,則m 的的值是多少？(2) 已知2和一1是方程2x2 mx n =0的兩個 根，求m和n的值。2(3) 若方程3x -5x-2=0有一個根是a ,則26a T°a的值是多少？2(4) 已知方程ax bx c(a = 0)的一個根是1， 那么a+b+c的值是多少？2. 解方程4.已知關(guān)于 x方程(a_2)x2_2(a_1) (a 1)=0, a為何非負(fù)整數(shù)時，(1)方程只有一個實數(shù)根？ (2)

9、方程有兩個相等的實數(shù)根？(3)方程有兩個不相等的實數(shù)根？5. 在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2 2(1) -2x -4x 3(2) 4x-4x-16. 對于向上拋的物體，在沒有空氣阻力的條件 下，有這樣的關(guān)系：h-Sgt2,其中h是上升2高度，V是初速，g是重力加速度(為方便起見， 本題目g取10m/s2), t拋出后所經(jīng)歷的時間，如果 將一物體以v=25m/s的初速度向上拋，物體何 時處在離拋出點20m高的地方？7. 某零售商購進(jìn)一批單價為16元的玩具,銷售 一段時間后，為了獲得更多的利潤，商店決定提 高銷售價格.經(jīng)過試驗發(fā)現(xiàn)，若按每件20元的價 格銷售時，每月能賣360件；若按每件25元的價 格銷

10、售時，每月能賣210件,假定每月銷售件數(shù)為(y件)是價格y (元/件)的一次函數(shù).(1) 試求y與x之間的關(guān)系式；(2) 在商品不積壓且不考慮其他因素的條件 下，問銷售價定為多少時，才能使每月獲得最大 利潤？每月的最大利潤是多少？8. 根與系數(shù)的關(guān)系：©( 2012內(nèi)江市)若方程x2 px 0的兩根 分別是捲圣,那么捲+ X2 = - p, X1X2 = q ,請根據(jù)以 上結(jié)論,解決下列問題：已知關(guān)于x的方程x2 mx n=6( n = 0),求出 一個一元二次方程，使它的兩個根分別是已知方 程兩根的倒數(shù)；已知口 a,b滿足 a2 15a 5 = 0,b2 15b5 = 0,求 a b的值;b a已知a,b, c滿足a b 0, abc =16,求正數(shù)c 的最小值.(2012 孝感)已知關(guān)于x的方程x (m 3)x m 1 = 0求證：無論m為何值時，原方程總有兩個不相 等的實數(shù)根._若X1,X2是原方程的兩根，且為-X2 = 22 ,求m的值和此時方程的兩根2 2 2(1)(3y -y) =3(3y -y)-2(t2 t -1)(t2 t 2) =4三、數(shù)學(xué)思考小明有5張人民幣，面值合計20元。(1) 小明的5張人民幣的面值分別是3. 已知 m n是二次方程x2 1999x 7 =0的兩 元、個根，求(m2 +1999m +6)(n2 +2000n +8