從特殊到一般

1、從特殊 到一般 -一個數(shù)學(xué)問題的研究 (西安美術(shù)學(xué)院臨潼校區(qū) 陜西省小學(xué)教師培訓(xùn)中心 王凱成 710600)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)課標(biāo)教材五年級上冊第87頁第7題是：“把一個三角形分成四個面積相等的三角形，可以怎樣分？你能想出幾種方法？”把一個三角形分成四個面積相等的三角形，這涉及到三角形面積的剖分,能找到多少種小學(xué)生能理解的剖分方法呢？筆者在文1一個剖分問題的分類研究中找到了小學(xué)生能理解（利用“等底等高的兩個三角形等積”的原理）的106種剖分方法. 實(shí)際上,還有2種剖分方法,要數(shù)形結(jié)合，用解析幾何的方法.一、 先找一個實(shí)例為了找到一個實(shí)例，首先選擇一個特殊的直角三角形，如圖1所示. 三角形ABC的A

2、 點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，B點(diǎn)在x軸的正半軸上，C點(diǎn)在y軸的正半軸上. A、B、C的坐標(biāo)依次是 A(0,0)、B(4,0)、C(0,2). 則三角形ABC的面積為4. 如圖1，設(shè), . 這時，只要再滿足. 如圖1，由D、F、A三點(diǎn)共線知：由E、F、C三點(diǎn)共線知：由B、D、E三點(diǎn)共線知：由即知：，或 (由要么推出為負(fù)值，要么推出為負(fù)值，所以舍去).由與消去有：由與消去有：再由與消去有：，由知，所以，.變形為：.由與知：與是的根. 解知：.(1). 當(dāng)時，即. 再由知：. 再由知：. 所以D、E、F的坐標(biāo)為、.如圖1所示.(2). 當(dāng)時，=即. 再由知：. 再由知：.所以D、E、F的坐標(biāo)為、.如圖2所示

3、.二、 任意直角三角形把直角頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合即A(0,0)，如圖1，設(shè)B、C、D、E、F的坐標(biāo)為B(4a,0)、C(0,2c)、D(,)、E()、F()，. 這時已有，所以只要就可以推出. 由D、F、A三點(diǎn)共線知：由E、F、C三點(diǎn)共線知：由B、D、E三點(diǎn)共線知：由知：由與消去有：由與消去有：再由與消去有：變形為：由與知：與是的根. 解得：. (1). 當(dāng)即時，即. 再由知：. 再由知：. 所以D、E、F的坐標(biāo)為、. 如圖1所示.(2). 當(dāng)即時，即. 再由知：. 再由知：.所以D、E、F的坐標(biāo)為、. 如圖2所示. 三、 任意三角形對于三角形ABC，不妨設(shè)，把A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合即A(0,0)，如圖3， 設(shè)、，= . 這時已有，所以只要就可以推出.由D、F、A三點(diǎn)共線知：由E、F、C三點(diǎn)共線知：由B、D、E三點(diǎn)共線知：由知：由知: 由與消去有：由與消去有：再由與消去有：由與(*)消去有: ,即為由與知：與是的根. 解方程得: .(1). 當(dāng)即時, 即. 再由知: . 再由知：. 再由知: . 所以D、E、F的坐標(biāo)為、. 如圖3所示.(2). 當(dāng)即時，即.再由知: .再由知：.再由知: .所以D、E、F的坐標(biāo)為 . 如圖4所示.由以上結(jié)論可知：當(dāng)三角形ABC的坐標(biāo)是A(0,0)、B(,0)、C(b,c)時，、b、c皆正，若取,或取 ，都有：. 所以，把一個三角形分成四個面積