2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.3第2課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法(2)學(xué)案新人教A

1、2.3 第二課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法(2)一、 課前準(zhǔn)備1 1 課時(shí)目標(biāo)1.1. 了解由有限多個(gè)特殊事例得出的一般結(jié)論不一定正確，使學(xué)生深入認(rèn)識(shí)歸納法，理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與實(shí)質(zhì)；2.2. 掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟；初步會(huì)用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡(jiǎn)單的與自然數(shù)有關(guān)的命題( (如恒等式等) ).3.3. 培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、論證的能力，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)歸納法原理的構(gòu)建過(guò)程，體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想2.2.基礎(chǔ)預(yù)探(1)(1) 用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：(1)(1) _；_由(1)(1),可知，命題對(duì)于從 n n0開始的所有正整數(shù)n都正確(2)(2) “歸

2、納一一_ _ ”是一種重要的思維模式，也是數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用的重點(diǎn)題型.解這類問題，需從特殊情況入手，通過(guò)觀察、分析、歸納、概括、猜想出一般規(guī)律， 然后用數(shù)學(xué)歸納法證明其中解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想二、 學(xué)習(xí)引領(lǐng)1.1.問題情景(1)(1) 多米諾骨牌游戲?？梢钥闯觯灰獫M足以下兩條件，所有多米諾骨牌就都能倒下：第一塊骨牌倒下； 任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。思考：條件的作用是什么？可以看出，條件事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系：當(dāng)?shù)?k k 塊倒下時(shí)，相鄰的第 k+1k+1 塊也倒下。這樣，要使所有的骨牌全部倒下，只要保證成立。(2)(2) 用多米諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)問題。1思考：證

3、明數(shù)列的通過(guò)公式是an, ,這個(gè)猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？n你能類比多米諾骨牌游戲解決這個(gè)問題嗎？分析:多米諾骨牌游戲原理1通項(xiàng)公式an n= =的證明方法n(1 1)第一塊骨牌倒下。(1 1)當(dāng)n = 1時(shí)a1 1 = = 1 1，猜想成立(2 2)若第k塊倒下時(shí)， 則相鄰的第k+1塊也倒下1(2 2)若當(dāng)n k時(shí)猜想成立，即ak k= =，則當(dāng)kn -k+1時(shí)猜想也成立，即aH -k+1根據(jù)(1 1 )和(2 2),可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。根據(jù)(1 1 )和(2 2),可知對(duì)任意的正整數(shù)n，猜 想都成立。2.2.回顧等差數(shù)列 Can?Can?通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程:2313

4、1 = = 3 3 , ,a2二aid, ,ai2d, ,a33d ,.an二 (n - 1)d證明：等差數(shù)列通項(xiàng)公式a：a1(n _i)d證明：(1)(1) 當(dāng)n= =1 1 時(shí)等式成立；(2)(2) 假設(shè)當(dāng)n =k時(shí)等式成立，即ak= ai (k - 1)d, , 則akakd= =a1(k 1) _1d, ,即 n n = =k 1時(shí)等式也成立.于是，我們可以下結(jié)論：等 差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1 (n 1)d對(duì)任何nN*都成立3.3.證明中應(yīng)注意的幾個(gè)問題(1)(1)數(shù)學(xué)歸納法第一步中的“第一個(gè)數(shù)n0”不一定就是“ 1 1”，也可能是“ 2 2”或其它數(shù)， 要根據(jù)題意準(zhǔn)確選擇.(2)(

5、2) 注意n與k的不同，理解和書寫時(shí)不要弄混.(3)(3) 第二步中要準(zhǔn)確把握由n = k到n =k 1時(shí)，要證明的結(jié)論中到底需要添加 (或舍去)11 11哪些項(xiàng)，如用數(shù)學(xué)歸納法證明某數(shù)列問題時(shí)，當(dāng)n二k時(shí)有，Sk二丄丄丄川 ,則k2 3 42k1 1 1 1 1 1 1n =k 1時(shí)有Sk 1-k百，不要弄錯(cuò)2342k2k+12k+22(4)(4) 在證明第二步n=k=k1命題成立時(shí)，必須使用歸納假設(shè)， 否則就不是數(shù)學(xué)歸納法. 在初學(xué)數(shù)學(xué)歸納法時(shí)常易犯不用歸納假設(shè)， 而直接運(yùn)用相關(guān)公式(如數(shù)列的有關(guān)公式)的錯(cuò)誤， 需特別注意.應(yīng)通過(guò)例題和習(xí)題體會(huì)和練習(xí)怎樣使用歸納假設(shè)，通過(guò)錯(cuò)例分析體會(huì)怎樣避

6、免不用歸納假設(shè)的情況.(5)(5) 數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵在第二步，要能真正地證明結(jié)論正確才行，切忌證不出而直接說(shuō)結(jié)論成立證明過(guò)程可以用綜合法，也可以用分析法或其它方法為證n = k 1時(shí)結(jié)論成立，對(duì)條件和結(jié)論進(jìn)行各種各樣的恒等變形是必要的和必須的，常見變形技巧有提公因式、配方、恰當(dāng)放縮、起點(diǎn)后移、增加跨度、強(qiáng)化命題、添項(xiàng)拆項(xiàng)等另外，不妨先把n = k 1時(shí)的結(jié)論寫出來(lái)，為證明提供方向.(6)(6) 數(shù)學(xué)歸納法中的兩步缺一不可， 否則結(jié)論不能成立.只有第一步，只能證明特殊情況，無(wú)法延續(xù)；只有第二步，沒有奠基，可能會(huì)推出錯(cuò)誤的結(jié)論.4.4.數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗(yàn)證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)no,

7、如果當(dāng)n = n0時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)n = k( k一n,kN )時(shí)，命題成立.(.(這時(shí)命題是否成立不是確定的) ),根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)n=k1時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對(duì)所有不小于n0的3正整數(shù)no1,n。2,n。- 3|命題都成立5.5.用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：(1)(1) 證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確；(2)(2) 假設(shè)當(dāng)n二k(k_ n,kN*)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n 1時(shí)結(jié)論也正確. .由(1)(1) , , (2)(2) 可知，命題對(duì)于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確 .三、典例導(dǎo)析題型一證明等式例 1.1. 否 存 在 常 數(shù)a,b,c使

8、得 等 式1 222 323 42)I n(n 1)2二(an2bn c)對(duì)一切n N成立？并證12明你的結(jié)論.思路導(dǎo)析：可先進(jìn)行計(jì)算，找到a,b,c的值，再歸納猜想，最后證明解析: :假設(shè)存在常數(shù)a,b,c使上式對(duì)nN”均成立，則當(dāng)n=1,2,3時(shí)上式顯然也成立， 此時(shí)可得122二(a b c), ,1 222 32=丄(4a 2b c), ,1 222 323 49a 3b c, ,解此6 2方程組，可得a =3, b =11, c =10下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：1222 323 42川n(n 1)2工乜 衛(wèi)(3n211 n 10)對(duì)一切n N均成12立.當(dāng)n=1時(shí)，命題顯然成立.假設(shè)n

9、=k時(shí)，命題成立.即2221.2k(k*1)21 222 323 42川k(k 1)2(3k211k 10),12那么當(dāng)n =k1時(shí)，1 222 32342|l( k(k 1)2(k 1)(k2)2k(k 1)22k 122(3k211k 10)(k 1)(k2)2k(3k211k 10)12(k2)212 12二(k 1)(k 2)(3k217k24(k1)(k13(k1)211(k1) 10.12 12即當(dāng)n二k 1時(shí)，命題成立.綜上所述，存在常數(shù)a = 3,b=11, c = 10，使得等式1 222 323 42川n(n 1)2二血n2bn c)對(duì)一切n N均成立.12規(guī)律總結(jié)：對(duì)于利

10、用數(shù)學(xué)歸納法證明存在性問題，首先取一些具體的數(shù)值，計(jì)算出字母的取值，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明，即猜想“歸納一一猜想一一證明”的思維模式仃1變式訓(xùn)練 1.1.數(shù)列 0 滿足an 0 0，前 n n 項(xiàng)和Sn=an n+ + |,求數(shù)列 的通項(xiàng)2、an丿公式.4題型二證明不等式例 2.2.f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)任意的a,b R都滿足：f(ab)=af(t)+ bf( a若f(2)=2，Un=f(2n)(nN)，求證：UUn.思路導(dǎo)析：用歸納的思想方法，通過(guò)賦值、計(jì)算、猜想、證明四步完成.證明：/f(abaf(b) b(a)對(duì)任意a,b R都成立，.對(duì)于Un= f(2n)n=1時(shí),f

11、(2)=2=1 21；當(dāng)n=2時(shí)，f(2 2) = 2f (2) 2f (2)= 2 2； 當(dāng)n=3時(shí)，f(2 22) =2f (22) 2 f (2) =3 2；，猜想f(2n)= n2n(nN ).(探)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1 1)當(dāng)n=1時(shí)，f (2) = 1 2，(探)式成立.(2 2 )假 設(shè)n二k時(shí)，(探)式成立，即f(2k) =k2k，當(dāng)n-k 1時(shí)，f( 21) f ( 2k2 = ) f 0 ( 2kf) 2( 2 )=2 k2k2k2 =k2k 1 2k 1=(k T)2k 1，二n = k 1時(shí)，(探)式成立.由(1 1)和(2 2)， 可知對(duì)任何nN”，f(2n)=

12、 n2n成立.所以Un= f(2n)= n2n(nN )要證明結(jié)論成立， 只需證明Un“-Un0(nN ).-Un1-Un=(n 1)2n1- n2n=2n(n 2)0，AUn 1Un成立.規(guī)律總結(jié)：先對(duì)前有限項(xiàng)進(jìn)行求值，通過(guò)觀察、分析、歸納、概括、猜想出一般規(guī)律，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明其中解題的關(guān)鍵在于正確的歸納猜想變式訓(xùn)練 2.2.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列bj，且印=0，a?=b2，qHa?，an0，n N，試比較a3與b3，a4與bq的大小，并猜想與bn(n3，n N ”)的大小關(guān)系， 并證明你的結(jié)論.題型三實(shí)際問題例 3.3.自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上

13、考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響 用xn表示某魚群在第n年年初的總量，nN*， 且Xi0, ,不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與Xn成正比，死亡量與Xn成正比， 這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a,b, C. .( I)求Xn .1與Xn的關(guān)系式；(H)猜測(cè)： 當(dāng)且僅當(dāng)Xi,a,b,c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變？(不要求證明)(川)5設(shè)a =2,c=1,為保證對(duì)任意 廠(0,2)，都有Xn0, nN*則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是 多少？證明你的結(jié)論. .思路導(dǎo)析：先找出禺與Xn1的關(guān)系式，再結(jié)合實(shí)際問題進(jìn)行分析解析：(I I)從第n年初到第n 1年初，魚群的繁殖

14、量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量“ 2為CXn,因此得2Xn 1-Xn二aXn- bXn- CXn, n N *.(*), ,即X. i=Xn(a -b 1 -CXn), n N *.(*)( IIII )若 每年年初魚群總量保持不變，則Xn恒等于X1,n N*N*，從而由(* * )式得Xn(a-b-CXn)恒 等于 0,0,所以a -b -c = 0, ,即X1= -一bca_ b因?yàn)閄! 0,所以a b. .猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)a b，且為時(shí)，每年年初魚群的總量保c持不變. .(川)若b的值使得Xn0,nN*, ,由xnq二xn(3-b -xn), nN*知0Xn：3 -b, n N,特別

15、地，有0:：論：3 - b,即0：b：3- 知而X(0,2)，所以b(0,1由此猜測(cè)b的最大允許值是 1.1.下證：當(dāng)X1 (0,2),C = 1時(shí)，都有Xn (0,2), ,n N *當(dāng)n = 1時(shí)，結(jié)論顯然成立. .假設(shè)當(dāng)n= k時(shí)結(jié)論成立，即xk (0,2), ,則當(dāng)n =k 1時(shí)，xk彳二xk(2 - xk) 0,又2因?yàn)閄k1二Xk(2Xk) = (Xk1) v12, ,所以Xk 1 (0,2)，故當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也成立. .由、可知，對(duì)于任意的n N*,都有焉(0,2).綜上所述，為保證對(duì)任意Xi,kN )的正確，再推證n=k2正確D.假設(shè)ni,kN )時(shí)正確，再推證n k 2正確2

16、.2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明(n i)(n 2)(n 5) = 2nU_3;_(2n - i)(n，N”)，從k到k i右端需增乘的代數(shù)式為()2k +i2k +3A.2k iB. 2(2 k 3)C.D.k+ik+1111i3.3. 已知f(n)2(nN )，則f(n)中共有_ 項(xiàng).n n +1 n +2 n2n 14.4. 設(shè)f (n) =61，則f(k 1)用含有f (k)的式子表示為 _.5.5. 數(shù)列an 1的前n項(xiàng)和Sn=2n - a.,先計(jì)算數(shù)列的前 4 4 項(xiàng)，后猜想 務(wù)并證明之.x十36.6. 已知函數(shù)f(x)(x = -1).設(shè)數(shù)列an滿足ai=1,ani二f (an)，數(shù)列g(shù)

17、滿足X+1bn=|an -、3 I，*( V3 _1)nSn=bibll bn(n，N )(I)用數(shù)學(xué)歸納法證明 g百 ;(n)證明72.3Sn3五、課后作業(yè)1 1 .如果命題p(n)對(duì)n= k成立，那么它對(duì)n =k 2也成立，又若p(n)對(duì)n =2成立，則F列結(jié)論正確的是()1 n七2.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1 + a+a2+ an = a(aH1)”在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端計(jì)算1 -af(1) f(2) JI f (n -1) =g(n)f(n)-g(n)對(duì)n2的一切自然數(shù)都成立， 并證明你的 結(jié)論.116.6.數(shù)列an滿足a1=1且an彳二(1 p)an丄(n_ 1). .(I)用數(shù)學(xué)歸納

18、法證明：n +n2nan-2（n一2）;(n)已知不等式丨n (1 x ) x對(duì)x 0成立，求證：an： ( n_ 1),其中無(wú)理數(shù)e=2.71828e=2.71828 第二課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法(2)(2)答案及解析2.2.基礎(chǔ)預(yù)探(1)(1)證明：當(dāng)n取第一個(gè)值no結(jié)論正確假設(shè)當(dāng)n二k(k n,k，N*)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n k 1時(shí)結(jié)論也正確. .A.A.p(n)對(duì)所有自然數(shù)n成立 B Bp(n)對(duì)所有正偶數(shù)n成立C. p(n)對(duì)所有正奇數(shù)n成立 D Dp(n)對(duì)所有大于 1 1 的自然數(shù)n成立所得的項(xiàng)為（）2A.A. 1 1B B.1 aC. 1 a a1 1 13.3. 已知f（n）=1n（

19、N23 nf（ 1） f2等于_.1 14.4.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 1 1 - - - - - -241 115.5.設(shè)f （n） =1-23D. 1 a a a,)用數(shù)學(xué)歸納法證明f (2n)時(shí)，21127F成立，起始值至少應(yīng)取為_ .264是否存 在g(n)使等 式8猜想 證明三、典例導(dǎo)析訂1 )2變式訓(xùn)練 1.1.解析：/ an沁，SnAO.由 0=丄印+丄=a變形整理，得S2=1，取2ia丿正根，得S二 1二1，S2=2，取正根，得0 = 2同理，求得S3 =-.3由此猜想Snn下面用數(shù)學(xué)歸 納法證明：(1)當(dāng)n =1時(shí)，上面已求出S =1，結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n=k，kN時(shí),結(jié)論成立

20、，即Sk= k.那么當(dāng)n = k 1時(shí)，ak舟+_ 1/ 、1弓卅-你+1廠2l叭丿21Sk由-Sk2(Sk+_vk j整理得Sk 1，取正根，得Sk.1, 故n =k 1時(shí)，結(jié)論成立.由(1 1) 和(2 2),可知對(duì)任何 n n N1* ,n成立.變式訓(xùn)練 2.2.解：設(shè)印=a=a , 玄？的公差為d,的公比為q.a2二b2二a d二aq二d二a(q -1).d因?yàn)閍n0,qua?,. d 0,a O,q=1 -1.a222-b3-aaq - (a 2d)二aq - a - 2a(q -1) = a(q -1)0,a3.32又b4-aaq -(a 3da(q -1) (q 2) 0,. b

21、4a4. 猜 想bnan(n ,3 N.(1、p1,z1a2 + 及a?= S2 S1= S? 1，得S2=-3,kN)時(shí)猜想正確，即bk 3,n N ”，均有bn an成立.變式訓(xùn)練 3.3.解析：(I)由題意得A 1,0 , G : y = x2-7x d，設(shè)點(diǎn)P x, y是G上任意一點(diǎn)，貝V | AP|二2 22 222 22、x -1 y二x -1亠x -7x bl，令f X = x-1亠x - 7x d則xl=2x-12 x2-7x 2x-7，由題意得 X2=0,即2 x2-12x22-7xb,2x2-7 =0又P,x2,2在G上，所以2 =x?2- 7x?D,解得X2=3,d =1

22、4故C1的方程為y =x2-7x 14( (n) ) 設(shè)點(diǎn)P , x是Cn上任意一點(diǎn)2 2 2 2令g (x ) = (x -Xn ) +(x +anx+bn )，則g(x )=2(X-Xn )+2(x +anX+bn )(2x + an),由題意得Xn 1=0即2XnXn，2x.j，a.x bn 2x.a.=0又2n=X= + anXn+bn,Xn !-Xn 2n2Xnan=0門-1,即1 2“XnXn- 2匕=0*下面用數(shù)學(xué)歸納法證明xn=2n -1，當(dāng)n=1時(shí)，x 1,等式成立；假設(shè)當(dāng)n =k時(shí), 等式成立，即Xk=2k-1，則當(dāng)n k 1時(shí)，由*知1 2k 1xk d- xk 2kak

23、=0，又k| AnP|= J(X_xn2+y22 2 ,2X - Xnxanx bn11ak- -2 -4k-歹石,-xkjXgk：k= 2k 1，即n =k 1時(shí)，等式成立由知，12等式對(duì)nN成立，故是等差數(shù)列 四、隨堂練習(xí)1.1. B B 解析：2k+1的下一個(gè)正奇數(shù)為2k+32.2. B B 解析: :n =k,2k1 3 5 |(2k 1), n =k 1,2k 113 5川(2k 1) (2 k 3), ,增乘3.3.n2n 1解析：注意到首項(xiàng)和末項(xiàng)n2n 14.4.36f (k) -35解析: :f (k) =62k11,f(k 1) =62k 11,f (k 1) = 36 f

24、(k) -3535.解：由a1= 2 - 3,a1=1，由a1a2=2 2 - a2，得a2.a1a2a2 3 - a3,215由a1a2a3a 2 4a4，得a4：等式也成立由（1 1）（）（2 2）得a26.6.解：（1）證明：當(dāng)x_0時(shí)，f（x）=11.因?yàn)閍1=1=1，所以an_1（ nN*）.2n-1尹.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜7.猜想an二想正確：（1 1）n=1時(shí)，左邊印=1，右邊2n-1 212n 121二1，猜想成立.（2 2）假設(shè)當(dāng)n = kk .2 -1時(shí)，猜想成立，就是ak芒，此時(shí)2SK= 2k - ak= 2k -k .2 -12 則當(dāng)n k 1時(shí)，由2S2,kN)時(shí)成立，即g(k) = k,且有時(shí)，已驗(yàn)證成立.(.3一1)& -.3 | ,. .3 -11 +akrQ1)k 1bkk.所以，當(dāng) n=k+1n=k+1 時(shí)，不2k等也成立，根據(jù)（1 1 ）和 （2 2）,可知不等式對(duì)任意n n N*N*都成立. .（H）證明：由（I）知,bn -C.3 -1)n所以J31 nSn= b1(3 -1),v3 -11一222-Y3.故對(duì)任意n三N ”，Sn二3.33五、課后