勾股定理競(jìng)賽試卷(含解答)

1、八年級(jí)數(shù)學(xué)?勾股定理?競(jìng)賽試卷時(shí)間：120分鐘，總分：120分一、選擇題每題 5分，共25分、 ABC周長(zhǎng)是24, M是AB的中點(diǎn) MC=MA=5那么厶ABC的面積是A. 12; B . 16; C . 24; D . 302、如圖，在正方形 ABCD中, N是CD的中點(diǎn)，M是AD上異于 D的點(diǎn)，且/ NMBM MBC貝U AM AB=A. 1; B .- ; C . - ; D .332D第2題圖3、如圖， 0是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且 0A=1 OB=3 OC=4,那么A.2; B.2, 2 ; C.2. 3 ; D.34、如圖，P為正方形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=PB=10并且P點(diǎn)到CD邊的

2、距離也等于10,那么，正方形 ABCD勺 面積是A. 200; B . 225; C . 256; D . 150+10 25、如圖，矩形 ABCD中, AB=20, BC=1Q假設(shè)在 AB AC上各取一點(diǎn) 值為A. 12; B . 10 2 C . 16; D . 20二、填空題每題 5分，共25分6、如圖， ABC中，AB=AC=2 BC邊上有10個(gè)不同的點(diǎn) R,F2,2M1 M 2M 10 =N M,使得BM+MN勺值最小，這個(gè)最小Mi APi2 RB RC i = 1 ,2 , ,10 ,7、如圖，設(shè)/ MPN=20 , A為0M上一點(diǎn)，OA=V3 , D為ON上一點(diǎn)，0D=&

3、/3 , C為AM上任一點(diǎn)，B是0D上任意一點(diǎn)，那么折線 ABCD勺長(zhǎng)最小為。第7題圖8、 如圖，四邊形ABCD是直角梯形，且AB=BC=2AB PA=1, PB=2 PC=3,那么梯形 ABCD勺面積=9、 假設(shè)x + y = 12 ，那么乜4 Jy2 9的最小值=。10、一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，且周長(zhǎng)的數(shù)值等于面積的數(shù)值，那么這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為。三、解答題共70分11、此題10分如圖 ABC三邊長(zhǎng)分別是 BC=17, CA=18, AB=19,過厶ABC內(nèi)的點(diǎn)P向厶ABC三邊分別作垂線 PD, PE, PF,且 BD+CE+AF=27 求 BD+BF勺長(zhǎng)度。12、此題15分如圖

4、，在 ABC中，AB=2, AC=/3 , / A=Z BCD=45，求BC的長(zhǎng)及 BDC的面積。13、此題15分設(shè)a,b,c,d 都是正數(shù)。求證：a2 c2 d2 2cd. b2 c2.a2 b2 d2 2ad14、此題15分如圖，四邊形 ABCD中,/ ABC=135，/ BCD=120 , AB'6 , BC=53 , CD=6 求AD。15、此題15分如圖，正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)E, E到A、B C三點(diǎn)的距離之和的最小值為 、2 . 6，求此正方形的邊長(zhǎng)。答案一、選擇題1. C2. A3. B4. C5. C解答：1 . MA=MB=MC=5 / ACB=90知周長(zhǎng)是 24,那么

5、 AC+BC=14 AC2+BC2=102 , 2AC- BC=(AC+BCf-(AC 2+BC2 ) = 14 2-10 2 =4X 24- Sabc -AC BC 24 22. 如圖，延長(zhǎng) MN交BC的延長(zhǎng)線于 T,設(shè)MB的中點(diǎn)為 0,連丁0,那么厶BAMh TOB AM MB=OB BT M攻=2AM BT (1)令 DN=1 CT=MD=k 貝U AM=2 - k所以 BM= AB2 AM24 (2 k)224BT= 2 + k 代入(1) , 得 4 + (2- k ) 2 = 2 (2- k ) (2 + k ) 所以 k =321所以 AM AB= : 2 =-333. 如圖，過

6、 O作EF丄AD于E,交BC于F;過 O作GHL DC于G,交AB于H設(shè) CF=x, FB = y, AH = s, HB = x,所以 OG=x, DG = s所以 OF2 =OB2 - BF 2 =OC? -CF2即 4 2 - x 2 = 3 2 - y 2所以 x2- y 2 = 16 - 9 =7(1)同理有 O*=12 - s 2 = 3 2 - t 2所以 t 2 - s 2 = 3 2 - 1 2 = 8(2)又因?yàn)?OHf+HBOB2即 y2 + t 2 = 9(1) - (2)得(x 2 +s2) - (y 2 + t 2)=所以 OD2=x2 + s 2 = (y 2 +

7、 t 2)所以 0D=2._ 24. 如圖，過 P作EF丄AB于E,交CD于F,貝U PF丄CD所以PF=PA=PB=10 E為AB中點(diǎn)設(shè) PE = x，貝U AB=AD=10 + x1 1所以 AE=_AB=_(10 + x)2 2在 Rt PAE中, PA2 =PE2 +AE2所以 102 = x 2 + 1(10 + x )2 所以 x = 62所以正方形 ABCD面 積=AB2 =(10 + 6)2 = 2565. 如圖，作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B',連A B',那么N點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)N'在A B'上,這時(shí)，B到M到N的最小值等于 Bt MR N'

8、的最小值，等于距離BH'，連B與A B'和DC的交點(diǎn)P,小1那么 S abp= X 20 x 10=100,2由對(duì)稱知識(shí)，/ PAC=/ BAC=/ PCA所以 PA=PC 令 PA=x,貝U PC=x PD=20 - x ,2 2 2在 Rt ADP中，PA =PD +ADB到A B'的所以 x 2 = (20- x ) 2 + 10 2 所以 x = 12.51 '因?yàn)?S abp = _PA BH2所以 bh'=16PA 12.5、填空題1. 40;2. 12;424. 13;5. 6, 8, 10或 5, 12, 13解答：1 如圖，作 AD丄

9、BC于 D,在 Rt ABD和 Rt ARD 中，AB2 =AD +BD2AR2 AD2 RD22 2 2 2 2所以 AB AR AD BD (AD RD)2 2BD RD(BD RD)(BD RD)PiC RB所以 AR2 RiC RiB AB24 所以 Mj 4所以 M1 M2M10401.如圖，作A關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A', D關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)D',連結(jié) A'B, CD,那么 A' B=ABc' d=cd 從而 ab+bc+cd=aj+bc+cD> a'd因?yàn)? A'ON=/ MONK MOD=20°，所以/ A

10、9;OD=60又因?yàn)?oA=oa=/3 , oD=od=&/3 ,所以O(shè)D=2OA即厶oDa'為直角三角形，且/ oAd=90°所以 a'd'= OD'2 OA'2(8 3)2 (4.3)2 12所以，折線 ABCD的長(zhǎng)的最小值是12設(shè)AB=m, RM = x, RN = y，那么2 x2y4(1)2 x(my)2 1(2)(mx)2y2 9(3)由(2 )、(3 )分別得,2 x2 m2my2y1(3)2y2 m2mx2 x9(43. 如圖，作 RML AB于 M, RN1BC于 N,將1代入4得m2 2mym232m將1代入5得m2

11、 2mxm2 52m把x,y的表達(dá)式分別代入1m410m217 0因?yàn)閙2 >0 所以m2 =5+2 2Ir'I，*1I，所以 AB=m 5 2 . 2, BC 52,2 , AD 、52 221 15 3c所以 Sabcd -(AD BC) AB22 4 24. 如圖,AB=12,AC=2 BD=3,且AB丄 AC,AB丄 BD,P 在 AB上且 PA=x,PB=y,連 PCPD,在 Rt CAP和 Rt DBP中PC.AC2 PA2x2 4,PDBD2 PB2y2 9如圖，P點(diǎn)在Po位置時(shí)，PC+PD勺值最小，為線段 CD的長(zhǎng)度，而CD= (2 3)2 12213所以x24

12、y29的最小值為13。5.設(shè)三邊長(zhǎng)為a,b,c ,其中c是斜邊,那么有b2c2(1)詈(2)因?yàn)樗?)得 a2 b2(越2所以 ab - 4a - 4b + 8 = 08bb - 4 = 1b = 5 , 6 ,代入abz 0所以所以a = 12 , 8, 6,(a,b為正整數(shù))4,2 , 4 , 8 ,8 , 12;5；a b)2即 ab(ab 4a 4b 8)04c = 13 , 10, 10, 13,所以，三邊長(zhǎng)為 6, 8 , 10或5 , 12 , 13 、解答題1.如圖，連結(jié) PA,PB, PC,設(shè) BD=x CE=y, AF=z, 貝U DC=17-x, EA=18 y ,FB

13、 = 19- z在 Rt PBD和 Rt PFB 中,PD22 2(19 z) PF同理有:y2 PE2(17 x)2z2 PF2(18 y)2PD2PE2將以上三式相加，得 x2z2(17x)2(18 y)2(19 z)2即 17x + 18y 又因?yàn)閤 + y 所以 所以2.如圖，+ 19z = 487 + z = 27,-1, = x + (19E,x = zBD + BF =作CE! AB于那么 CE=AEAC262所以 BE=AB-AE=2 -1 + 19又 BC2 CE2 BE2所以 BC= CE2 BE27 2、6再過D作DF丄BC,交CB延長(zhǎng)線于F,并設(shè) DF=CF=x貝U B

14、F= x - BC = x + 1 -.6又 Rt DFB Rt CEB所以DF:BF=CE BE,即(x + 1 -6) =64 62所以x =所以S BCD1 BC DF2(6 1)3 2.622.如圖，構(gòu)造一個(gè)邊長(zhǎng)為(a + b) 、(c + d)的矩形ABCD在 Rt ABE中, BE= .AE2AB2所以 BE= a2 (c d)2a2 c2 d2 2cd在 Rt BCF中,BF= BC2 CF2b)2d2a2 b2 d2 2ab在 R t DEF 中，EF=,DE2 DF2. b2 c2心 BEF 中，BE+EF>BF即.a2 c2 d2 2cd , b2 c2.a2 b2

15、d2 2ab3.如圖，過 A作 AE/ BC交 CD于 E,那么/ 1=45 過B作BF丄AE于F,作CGL AE于G,那么Rt ABF為等腰直角三角形，BCFG為矩形，又因?yàn)?AB= _ 6，BC=5- 3，/ 2=60°,2所以 BF=AF= AB= 3，所以 CG=BF= 3， 2所以CE=CG=2 EG丄.3. 3CG=1所以 AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6DE=CD-EC=6-2=4過D作DM丄AE延長(zhǎng)線于M/ MED=180 - / AED=180 - / BCD=180 -120 ° =60所以 EM=1 DE=2, DMDE=2 32 2在 R