應力狀態(tài)分析

1、 91 應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念92 平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析解析法解析法93 平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析圖解法圖解法94 梁的主應力及其主應力跡線梁的主應力及其主應力跡線95 三向應力狀態(tài)研究三向應力狀態(tài)研究應力圓法應力圓法96 平面內(nèi)的應變分析平面內(nèi)的應變分析97 復雜應力狀態(tài)下的應力復雜應力狀態(tài)下的應力 - - 應變關系應變關系 （廣義虎克定律（廣義虎克定律）98 復雜應力狀態(tài)下的變形比能復雜應力狀態(tài)下的變形比能9 應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念一、引言一、引言1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸 P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？

2、MP四、普遍狀態(tài)下的應力表示四、普遍狀態(tài)下的應力表示三、單元體三、單元體：單元體構件內(nèi)的點的代表物，是包圍被研究點 的無限小的幾何體，常用的是正六面體。 單元體的性質(zhì)a、平行面上，應力均布； b、平行面上，應力相等。二、一點的應力狀態(tài)：二、一點的應力狀態(tài)： 過一點有無數(shù)的截面，這一點的各個截面上應力情況的集合，稱為這點的應力狀態(tài)（State of Stress at a Given Point）。xyzs sxs szs syt txyxyzs sxs szs syt txy五、剪應力互等定理（五、剪應力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress):):

3、 過一點的兩個正交面上,如果有與相交邊垂直的剪應力分量,則兩個面上的這兩個剪應力分量一定等值、方向相對或相離。0 :zM單元體平衡證明0d)dd(d)dd(yxzxzyyxxyttyxxyttt tzx六、原始單元體（已知單元體）：六、原始單元體（已知單元體）：例例1 1 畫出下列圖中的A、B、C點的已知單元體。PPAAs sxs sxMPxyzBCs sxs sxBt txzCt txyt tyx七、主單元體、主面、主應力：七、主單元體、主面、主應力：主單元體(Principal bidy)： 各側面上剪應力均為零的單元體。主面(Principal Plane)： 剪應力為零的截面。主應力(

4、Principal Stress ）： 主面上的正應力。主應力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，321ssss s1 1s s2 2s s3 3xyzs sxs sys sz單向應力狀態(tài)（Unidirectional State of Stress）： 一個主應力不為零的應力狀態(tài)。 二向應力狀態(tài)（Plane State of Stress）： 一個主應力為零的應力狀態(tài)。三向應力狀態(tài)（ ThreeDimensional State of Stress）： 三個主應力都不為零的應力狀態(tài)。As sxs sxt tzxs sxs sxBt txz92 平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析解析法解析法等等價價s sx

5、t txys syxyzxys sxt txys syO規(guī)定：s 截面外法線同向為正； t 繞研究對象順時針轉為正； 逆時針為正。圖1設：斜截面面積為S，由分離體平衡得： Fn00cossinsinsincoscos22tstssSSSSSyxyxyx一、任意斜截面上的應力一、任意斜截面上的應力xys sxt txys syOs syt txys sxs s t t xyOtn圖2圖1xys sxt txys syOs syt txys sxs s t t xyOtn圖2tsssss2sin2cos22xyyxyxtsst2cos2sin2xyyx考慮剪應力互等和三角變換，得：同理：02cos

6、22sin:000tsssxyyxdd令二、極值應力二、極值應力yxxysst22tg0和兩各極值：）、（由此的兩個駐點：20101！極值正應力就是主應力 00t）2222xyyxyxm inm axt ts ss ss ss ss ss s （ xys sxt txys syOxys sxt txys syO主主單元體單元體s1在剪應力相對的項限內(nèi)，且偏向于sx 及sy大的一側。0dd:1t令xyyxtss22tg1222x yyxminmaxt ts ss st tt t ）（01045 , 4成即極值剪應力面與主面min2max1 ;ssss 2s1s例例2 分析受扭構件的破壞規(guī)律。解：

7、確定危險點并畫其原 始單元體求極值應力0yxssPnxyWMtt222122xyyxyxtssssss）（tt2xyt txyCt tyxMCxyOt txyt tyx破壞分析ttsstt22minmax2xyyx）（tssts321; 0;4522tg00sstyxxy0022tg11tssxyyxMPa200;MPa240:ssts低碳鋼MPa300198;MPa960640MPa28098:bybLbtss灰口鑄鐵低碳鋼鑄鐵93 平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析圖解法圖解法tssttsssss2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyxtsstsss

8、對上述方程消去參數(shù)（2），得：一、應力圓（一、應力圓（ Stress Circle）xys sxt txys syOs syt txys sxs s t t xyOtn此方程曲線為圓應力圓（或莫爾圓，由德國工程師：Otto Mohr引入）建立應力坐標系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應力圓的畫法二、應力圓的畫法在坐標系內(nèi)畫出點A(s x，txy)和B(sy，tyx) AB與s 軸的交點C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫圓應力圓；s sxt txys syxyOns s t t Os s t t CA(s sx ,t txy)B(s sy ,t tyx)x2 nD( s s , t t

9、s sxt txys syxyOns s t t Os s t t CA(s sx ,t txy)B(s sy ,t tyx)x2 nD( s s , t t 三、單元體與應力圓的對應關系三、單元體與應力圓的對應關系面上的應力(s ，t ) 應力圓上一點(s ，t )面的法線 應力圓的半徑兩面夾角 兩半徑夾角2 ；且轉向一致。223122xyyxyxROCtssssss）（半徑四、在應力圓上標出極值應力四、在應力圓上標出極值應力22minmaxminmax22xyyxRtsssstt）（半徑OCs s t t A(s sx ,t txy)B(s sy ,t tyx)x2 1 1mintmaxt

10、2 0 0s s1s s2s s3s s3例例3 求圖示單元體的主應力及主平面的位置。(單位：MPa)4532532595150ABs s 1s s2解：主應力坐標系如圖AB的垂直平分線與s 軸的交點C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓應力圓0s s1s s2BAC2s0s s t t (MPa)(MPa)O20MPa)325,45(B)325,95(A在坐標系內(nèi)畫出點s s3s s1s s2BAC2s0s s t t (MPa)(MPa)O20MPa主應力及主平面如圖020120321sss3004532532595150s s 10s s2ABtsst2cos2sin2xyyx4532

11、532595150解法2解析法：分析建立坐標系如圖xyyxyttsMPa325MPa45?xs222122xyyxyxtssssss）（60MPa325MPa956060tsxyO94 梁的主應力及其主應力跡線梁的主應力及其主應力跡線zzxyIbQStzxIMys12345P1P2q如圖，已知梁發(fā)生剪切彎曲（橫力彎曲），其上M、Q0，試確定截面上各點主應力大小及主平面位置。單元體：223122xyxxtssss）（2 21 1s s1 1s s3 3s s3 33 3s s1 1s s3 34 4s s1 1s s1 1s s3 35 50450s st tA1A2D2D1COs sA2D2D

12、1CA1Ot t20s st tD2D1CD1O20= 90s sD2A1Ot t20CD1A2s st tA2D2D1CA1O拉力壓力主應力跡線（Stress Trajectories)： 主應力方向線的包絡線曲線上每一點的切線都指示著該點的拉主應力方位（或壓主應力方位）。實線表示拉主應力跡線；虛線表示壓主應力跡線。s s1s s3s s1s s3qxy主應力跡線的畫法：主應力跡線的畫法：11截面截面22截面截面33截面截面44截面截面ii截面截面nn截面截面bacds s1s s3s s3s s195 三向應力狀態(tài)研究三向應力狀態(tài)研究應力圓法應力圓法s s2s s1xyzs s31s2s3

13、sst1 1、空間應力狀態(tài)、空間應力狀態(tài)2 2、三向應力分析、三向應力分析彈性理論證明，圖a單元體內(nèi)任意一點任意截面上的應力都對應著圖b的應力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點。圖圖a圖圖b整個單元體內(nèi)的最大剪應力為：t tmax231maxssts s2s s1xyzs s31s2s3sst例例4 求圖示單元體的主應力和最大剪應力。（MPa）解：由單元體圖知：y z面為主面501s建立應力坐標系如圖，畫應力圓和點s1,得:275058321sss44maxt5040 xyz3010 (M Pa)s s （M Pa ）t t ABCABs s1s s2s s3t tmax96 平面內(nèi)的應變分析平面內(nèi)的應變分

14、析xyO 一、疊加法求應變分析公式一、疊加法求應變分析公式cosd11xaDD21cosx2sin/cossinsin/cos1xxxaabbBOEAODabcd AOB剪應變： 直角的增大量?。ㄖ挥羞@樣，前后才對應） DD1EE1 sind22ycDD22siny2sin/cossin/cossin2yyyccccBOEAODxyOabcd AOBDD2EE2 cosd33xycADdsocxysin32233sincos/coscossin/sinxyxyxyccccBOEAODDD3EE3 xy xy xyOabcd AOBcossinsincos2231xyyxii2231sincos

15、2sin2sinxyyxiitsssss2sin2cos22xyyxyxtsst2cos2sin2xyyx 2sin212cos22xyyxyx2cos212sin22xyyx 2、已知一點A的應變（ ），畫應變圓xyyx,二、應變分析圖解法二、應變分析圖解法應變圓應變圓（ Strain Circle） 22 ; 2 ; ts1、應變圓與應力圓的類比關系建立應變坐標系如圖在坐標系內(nèi)畫出點 A(x，xy/2) B(y，-yx/2)AB與 軸的交點C便是圓心以C為圓心，以AC為半徑畫圓應變圓。 /2 /2ABC /2 /2三、三、 方向上的方向上的應變與應變與應變圓的對應關系應變圓的對應關系max

16、min20D(，/2)2n方向上的應變( ， /2) 應變圓上一點(， /2) 方向線 應變圓的半徑兩方向間夾角 兩半徑夾角2 ；且轉向一致。ABC四、主應變數(shù)值及其方位四、主應變數(shù)值及其方位22minmax21xyyxyx）（ 22 ; 2 ; ts22minmax22xyyxyxtssssss）（yxxytgsst220yxxy02tg例例5 已知一點在某一平面內(nèi)的 1、 2、 3、方向上的應變 1、 2、 3，三個線應變，求該面內(nèi)的主應變。解：由iixyiyixicossinsincos22i =1,2,3這三個方程求出 x， y， x y；然后在求主應變。22minmax21xyyxy

17、x）（例例6 用45應變花測得一點的三個線應變后，求該點的主應變。xyu45o0max 2)(2122max）（）（yuuxyx 2)(2122min）（）（yuuxyxyxyxu22tg097 復雜應力狀態(tài)下的應力復雜應力狀態(tài)下的應力 - - 應變關系應變關系 （廣義虎克定律（廣義虎克定律）一、單拉下的應力一、單拉下的應力-應變關系應變關系ExxsxyEsxzEs二、純剪的應力二、純剪的應力-應變關系應變關系Gxyxyt) 0 x,y,z(i,jij)( 0 x,y,zii0zxyzxyzs sxxyzt t x y三、復雜狀態(tài)下的應力三、復雜狀態(tài)下的應力 - - 應變關系應變關系依疊加原理

18、,得:zyxzyxxEEEEssssss1 xzyyEsss1yxzzEsss1GxyxytGyzyztGzxzxtzyxxEsss1 xyzs szs syt txys sx主應力主應力 - - 主應變關系主應變關系四、平面狀態(tài)下的應力四、平面狀態(tài)下的應力-應變關系應變關系: :0zxyzztts方向一致02tg2sstyxxyyxxy02tg13221sssE12331sssE32111sssExyxyGtyxxEs21xyyEs21s s1s s3s s2主應力與主應變主應力與主應變方向一致方向一致?0202tg)()1)(1222tgsstyxxyyxxyyxxyEG五、體積應變與應力

19、分量間的關系五、體積應變與應力分量間的關系321aaaV)1 ()1 ()1 (3322111aaaV3211VVV體積應變：)(21 )(21321zyxEEssssss體積應變與應力分量間的關系:s s1s s3s s2a1a2a3例例7 已知一受力構件自由表面上某一點處的兩個面內(nèi)主應變分別為：1=24010-6， 2=16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為 =0.3， 試求該點處的主應力及另一主應變。03 :s自由面上解MPa3 .4410)1603 . 0240(3 . 0110210 16292121sE所以，該點處的平面應力狀態(tài)MPa3 .2010)2403 . 016

20、0(3 . 0110210 16291222sE1s2s669132103 .3410)3 .443 .22(102103 . 0ssE;MPa3 .20; 0;MPa3 .44321sss 334 2. 例例8 圖a所示為承受內(nèi)壓的薄壁容器。為測量容器所承受的內(nèi)壓力值，在容器表面用電阻應變片測得環(huán)向應變 t =350l06，若已知容器平均直徑D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，試求:1.導出容器橫截面和縱截面上的正應力表達式；2.計算容器所受的內(nèi)壓力。pppxs1smlpODxABy圖a1、軸向應力:(longitudinal stress)解：容器

21、的環(huán)向和縱向應力表達式用橫截面將容器截開，受力如圖b所示,根據(jù)平衡方程42DpDmss4pDmps sms smxD圖b用縱截面將容器截開，受力如圖c所示2、環(huán)向應力：(hoop stress)Dlplts2s2pDt3、求內(nèi)壓（以應力應變關系求之）ss241EpDEmttMPa36. 3)25. 02(5 . 01035001. 0102104 )2(469DEptst sm外表面yps s ts s tDqdq)d2(qDlpz圖cO9 98 8 復雜應力狀態(tài)下的變形比能復雜應力狀態(tài)下的變形比能332211212121sssu)(31321ssssms s2s s3s s 1圖圖 a圖圖

22、cs s3 -s sms s 1-s sms s2-s smbaE)(21321sss0c312321232221221sssssssssEs sm圖圖 bs sms sm21323222161ssssssEux:單元體的應變能為圖c稱為形狀改變比能或歪形能。圖圖 cs s3 -s sms s 1-s sms s2-s sm例例9 用能量法證明三個彈性常數(shù)間的關系。Gu2212tt純剪單元體的比能為：純剪單元體比能的主應力表示為：312321232221221sssssssssEutttt)(002)(02122E21tE12EGt txyAs1s399 強度理論的概念強度理論的概念910 四

23、個強度理論及其相當應力四個強度理論及其相當應力911 莫爾強度理論及其相當應力莫爾強度理論及其相當應力9-12 9-12 強度理論的應用強度理論的應用一、引子：一、引子：99 強度理論的概念強度理論的概念1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸 P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP二、強度理論：是關于“構件發(fā)生強度失效（failure by lost strength）起因”的假說。1、伽利略播下了第一強度理論的種子；三、材料的破壞形式： 屈服； 斷裂 。2、馬里奧特關于變形過大引起破壞的論述，是第二強度理論的萌芽；3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大

24、剪應力理論；4、麥克斯威爾最早提出了最大畸變能理論（maximum distortion energy theory）；這是后來人們在他的書信出版后才知道的。910 四個強度理論及其相當應力四個強度理論及其相當應力一、最大拉應力（第一強度）理論：一、最大拉應力（第一強度）理論： 認為構件的斷裂是由最大拉應力引起的。當最大拉應力達到單向拉伸的強度極限時，構件就斷了。1、破壞判據(jù)：0)( ; 11 s ss ss sb2、強度準則： 0)( ; 11 s ss ss s3、實用范圍：實用于破壞形式為脆斷的構件。 二、最大伸長線應變（第二強度）理論：最大伸長線應變（第二強度）理論： 認為構件的斷裂是

25、由最大拉應力引起的。當最大伸長線應變達到單向拉伸試驗下的極限應變時，構件就斷了。1、破壞判據(jù)：0)( ; 11 b2、強度準則：3、實用范圍：實用于破壞形式為脆斷的構件。 EEbs ss ss s s s 32111 bs ss ss s s s 321 s ss ss s s s 321三、最大剪應力（第三強度）理論：三、最大剪應力（第三強度）理論： 認為構件的屈服是由最大剪應力引起的。當最大剪應力達到單向拉伸試驗的極限剪應力時，構件就破壞了。1、破壞判據(jù)：st tt t max3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構件。 sst ts ss ss st t 2231maxss ss ss s

26、 312、強度準則： s ss ss s 31四、形狀改變比能（第四強度）理論：四、形狀改變比能（第四強度）理論： 認為構件的屈服是由形狀改變比能引起的。當形狀改變比能達到單向拉伸試驗屈服時形狀改變比能時，構件就破壞了。1、破壞判據(jù)：xsxuu max2、強度準則3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構件。 21323222161s ss ss ss ss ss s Eux ss ss ss ss ss ss ss s 21323222121 s ss ss ss ss ss ss s 21323222121911 莫爾強度理論及其相當應力莫爾強度理論及其相當應力 莫爾認為：最大剪應力是使物體破

27、壞的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫爾摩擦定律）。綜合最大剪應力及最大正應力的因素，莫爾得出了他自己的強度理論。 阿托阿托莫爾莫爾(O.Mohr),18351918近似包絡線極限應力圓的包絡線Ot ts極限應力圓一、兩個概念：一、兩個概念：1、極限應力圓：2、極限曲線：極限應力圓的包絡線（envelope）。st1ss2ss3sss s ysots s LO1O2莫爾理論危險條件的推導莫爾理論危險條件的推導LjxbybLsssss312、強度準則：1、破壞判據(jù)： ssssss31yLMO3s s 1s s 3MKLPN二、莫爾強度理論：二、莫爾強度理論：任意一點的應力圓若與極限曲線相

28、接觸， 則材料即將屈服或剪斷。三、相當應力：（強度準則的統(tǒng)一形式）。三、相當應力：（強度準則的統(tǒng)一形式）。 ss其中，s *相當應力。1*1ss3212ssss213232221421sssssss313sss nsssss, 2 . 0b31sssssyLM3、實用范圍：實用于破壞形式為屈服的構件及其拉壓極限強度不等的處于復雜應力狀態(tài)的脆性材料的破壞（巖石、混凝土等）。 912 強度理論的應用強度理論的應用一、強度計算的步驟：一、強度計算的步驟：1、外力分析：確定所需的外力值。2、內(nèi)力分析：畫內(nèi)力圖，確定可能的危險面。3、應力分析：畫危面應力分布圖，確定危險點并畫出單元體， 求主應力。4、強度分析：選擇適當?shù)膹姸壤碚摚嬎阆喈攽?，然后進行 強度計算。二、強度理論的選用原則：依破壞形式而定。二、強度理論的選用原則：依破壞形式而定。1、脆性材料：當最小主應力大于等于零時，使用第一理論；3、簡單變形時：一律用與其對應的強度準則。如扭轉，都用：2、塑性材料：當最小主應力大于等于零時，使用第一理論； t tt t max4、破壞形式還與溫度、變形速度等有關！當最小主應力小于零而最