(5分)cator集和cator函數

1、Cantor集與Cantor函數摘要：本文先介紹了Cantor集和Cantor函數的基本定義和性質，然后給出了分形的概念，引出了緯度的概念，然后通過討論分形復雜且自相似性來介紹有關緯度的知識。關鍵詞：Cantor集 Cantor函數 分形 緯度 Cantor緯度分析目錄：一Cantor集與Cantor函數的定義二Cantor集與Cantor函數的基本性質三借助于Cantor集，給出一孤立點集，其導集是完備集四分形的介紹五緯度性質測量工具六關于Cantor和緯度相關的考慮一 Cantor集與Cantor函數的定義1、Cantor集的定義將基本區(qū)間0，1用分點1/3，2/3三等分，并除去中間的開區(qū)

2、間I11=13,23,把余下的兩個閉區(qū)間各三等分，并除去中間的開區(qū)間I21=19,29, I22=79,89,然后再將余下的四個閉區(qū)間用同樣的方法處理。 這樣，當進行到n次時，一共去掉2n-1 個開區(qū)間In,k如此下去，就從0,1中去掉了可數個不相交的開區(qū)間G=(13, 23)(132, 232)(732, 832)(133, 233)(733, 833)(1933, 2033)(2533, 2633).而康托爾集C=0，1 - G。2、Cantor函數的定義將基本區(qū)間0，1用分點1/3，2/3三等分，并除去中間的開區(qū)間I11=13,23,同時令fx=12, xI11把余下的兩個閉區(qū)間各三等分

3、，并除去中間的開區(qū)間I21=19,29, I22=79,89,同時令fx=2k-122, xI2,k然后再將余下的四個閉區(qū)間用同樣的方法處理。 這樣，當進行到n次時，一共去掉2n-1 個開區(qū)間In,k此時令fx=2k-12n, xIn,k（容易驗證此時f(x)在定義域內是單增的）下面我們定義如下函數： fx= 0, x=02k-12n x In,k,1k2n-1,n11, x=1 這個函數f(x)就是Cantor函數。二 Cantor集與Cantor函數的基本性質1、Cantor集的性質1.1、完備性Cantor集是完備集：引理：FG，則F是完備集的充分必要條件是Fc=R-F是至多可數個兩兩不

4、相交且無公共端點的開區(qū)間的并，既Fc=k1k,kk,kk1兩兩不相交且無公共端點。證明：Cantor集明顯滿足上述條件G=0,1C故：R-C=G-,01,+而：G=(13, 23)(132, 232)(732, 832)(133, 233)(733, 833)(1933, 2033)(2533, 2633).為兩兩不相交且沒有公共端點的開區(qū)間的并。故C為完備集1.2、Cantor集是疏集，沒有內點證明：假設x0是C的內點，則存在>0使得x-,x+G這樣Gx-,x+含于0,1中且這個開集的各個構成區(qū)間互不相交，這些區(qū)間的長度之和大于1，矛盾。由C=CC°=C°=C是疏集

5、。1.3、G=0,1C是0,1中的稠密集既證明G=0,1證明：易得G0,1,下證0,1G反證法，任取x0,1且xG，則存在x的一個鄰域，其中不含有G的點?？傻眠@個領域在C內。又GG，故xC，所以x是C中的內點。與C是疏集矛盾。所以0,1G。故G=0,1，G是0,1中的稠密集，證畢。1.4、Cantor集具有連續(xù)統(tǒng)勢由上述性質，似乎Cantor完備集中沒有多少點了！但事實上不然，下面證明其有連續(xù)統(tǒng)勢。證明：由定理可得，(0,1)與無限n元數列全體等價。所以，(0,1)中每一點x，有惟一的一個無限三元數列ann1，使x=n=1an3n (1)現(xiàn)在對I1,1=(13,23)中的所有點x必定a1=1，

6、對I2,1=(19,29)及I2,2=(79,89)中的所有點x必定a2=1，I3,k1k4中的所有點x必定a3=1，等等。即對G中所有點x，(1)中所有對應的an中必有等于1的項。因此(1)中僅由0和2構成的無限三元數列an所對應的x都在C中。而這樣的an全體有連續(xù)統(tǒng)勢。證畢.2、Cantor函數的性質2.1、Cantor函數是0,1上的單增函數Cantor函數的構造過程中說明了其單增性。2.2、Cantor函數是0,1上的連續(xù)函數引理：f是a,b單增實值函數，f(a,b)是區(qū)間f(a),f(b)的稠子集，則f連續(xù)證明：首先證明f在x=a連續(xù)。由假設知對于任意的>0，存在ya,b，使得

7、fa-f(b)<利用f的單調性知道：當a<x<y時>fx-fa>0這樣f在x=a連續(xù)，同理可證明f在x=b連續(xù)?，F(xiàn)在取x0(a,b)我們只要證明：fx0-=fx0=fx0+明顯：fx0-fx0+,假如二者不相等，則有fx0-<fx0這樣我們可以取數和0>0，使得fx0-+0<<fx0+-0這個(f(a),f(b),但是對于任意的xa,bfa-0這和f(a,b)在f(a),f(b)中稠密矛盾。同理可證明fx0=fx0+證明：由于：fG=n=12k-12n:1k2n-1對任意的x0,1,對任意>0,12n-1<的一個自然數n.不妨設

8、2k-32n<x2k-12n,則2k-32n,2k-12nx-,x+。故：fG=n=12k-12n:1k2n-1在0,1中稠密，因此f(0,1)是0,1的稠密子集。得用上述引理，f是0,1是的連續(xù)函數。三 借助于Cantor集，給出一孤立點集，其導集是完備集Cantor集C的余集的構成區(qū)間的中點集合是孤立點集且它的的導集是完備集。證明：設G=0,1C，則：G=(13, 23)(132, 232)(732, 832)(133, 233)(733, 833)(1933, 2033)(2533, 2633).設F是G的構成區(qū)間的中點組成的集合，對任意的xF,x是G中某個開區(qū)間E的中點，故必存在

9、>0使x-,x+E中，而G是兩兩不相交的開區(qū)間的并，故x-,x+中不含有除x外的F中的點，由x的任意性，F(xiàn)是孤立點集。下證F'=C對任意的xF'，x的任鄰域中有F的無限個點,所以xG,xC；反過來，我們記：E1=0,1323,1記E2為構造Cantor集的過程中第二次去掉開區(qū)間后剩下的0,1區(qū)間中的部分，也就是說：E2=0,1929,3969,7989,1一般地，記En為構造Cantor集的過程中第n次去掉開區(qū)間后剩下的0,1區(qū)間中的部分，En=0,13n23n,33n3n-33n,3n-23n3n-13n,1則En+1表示En的各個閉區(qū)間去掉中間1/3長度的開區(qū)間后剩下

10、的部分，不難發(fā)現(xiàn)：C=n=1En假如xC，則對于任意的>0，以及滿足23n<的一個自然數n，由于xEn，x一定屬于組成I n的某個閉區(qū)間I n(x-,x+)，注意到I n包含了G的無限多個構成區(qū)間，所以(x-,x+)中有F的無限個點。于是xF'，這樣就證明了F'=C四 分形的介紹4.1、分形簡介在生產實踐和科學研究中，人們用以描述客觀世界的幾何學是歐幾里德幾何學，以及解析幾何、射影幾何、微分幾何等，它們能有效地描述三維世界的許多現(xiàn)象，如各種工業(yè)產品的現(xiàn)狀，建筑的外形和結構等。但是，自然界大多數的圖形都是十分復雜而且不規(guī)則的。例如：海岸線、山形、河川、巖石、樹木、森林

11、、云團、閃電、海浪等等，用歐幾里德幾何學是無能為力的。另外，在科學研究中，對許多非規(guī)則性對象建模分析，如星系分布、滲流、金融市場的價格浮動等復雜對象，都需要 一種新的幾何學來描述。 所以, 一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的狀態(tài)，是沒有特征長度的圖形和構造以及現(xiàn)象的總稱。4.2、分形的基本性質分形具有“粗糙和自相似”的直觀特點，其基本性質表現(xiàn)為自相似性和標度不變性。4.2.1自相似性 一個系統(tǒng)的自相似性是指某種結構或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的，或者某系統(tǒng)或結構的局域性質或局域結構與整體類似。另外，在整體與整體之間或部分與部分之間，也會存在自相似性。一般情況下自相似性有

12、比較復雜的表現(xiàn)形式，而不是局域放大一定倍數以后簡單地和整體完全重合。 人們在觀察和研究自然界的過程中，認識到自相似性可以存在于物理、化學、天文學、生物學、材料科學、經濟學，以及社會科學等眾多的科學之中，可以存在于物質系統(tǒng)的多個層次上，它是物質運動、發(fā)展的一種普遍的表現(xiàn)形式，即是自然界普遍的規(guī)律之一。下面舉幾個例子來說明自相似性。太陽系的構造與原子的結構作一對比，就會發(fā)現(xiàn)這兩個系統(tǒng)在某些方面具有驚人的相似。雖然這兩個系統(tǒng)在自然界中尺度相差如此懸殊，但它們物質系統(tǒng)之間存在著自相似的性質。 物質系統(tǒng)之間的自相似性在生物界也廣泛地存在著。以人為例，人是由類人猿進化到一定程度的產物，解剖學研究表明，人體

13、中的大腦、神經系統(tǒng)、血管、呼吸系統(tǒng)、消化系統(tǒng)等在結構上都具有高度的自相似性。圖1.4是人體小腸的結構，由圖可以看到，當以不同的放大倍數觀察小腸結構時，即從a到e較大的形態(tài)與較小的形態(tài)之間的相似表明小腸結構具有自相似性。由上面我們可以看到，自然界的分形，其自相似性并不是嚴格的，而是，在統(tǒng)計意義下的自相似性，海岸線也是其中一個例子。凡是滿足統(tǒng)計自相似性的分形稱之為無規(guī)分形。另外，還有所謂有規(guī)分形,這類分形, 由于它是按一定的數學法則呈現(xiàn)，因此具有嚴格的自相似性。所謂koch曲線，就是屬于有規(guī)分形, 如下圖所示。 它的生成方法是把一條直線等分成三段，將中間一段用夾角為600的二條等長（1/3）的折線

14、來代替，形成一個生成單元，如圖(b).然后再把每一條直線段用生成單元進行代替，經過無窮多次迭代后就呈現(xiàn)一條無窮多彎曲的koch曲線。用它來模擬自然界中的海岸線是相當理想的。koch曲線是分形的，因為它是自相似的。自相似性就是跨尺度的對稱。它意味著遞歸，在一個圖形內部還有圖形。從圖（e）中可以清楚看到這一點。自相似性指的是，把要考慮的圖形的一部分放大，其形狀與整體相同。設想把圖（e）中的koch曲線區(qū)間0,1/3中的圖形放大3倍，放大后的圖形與原來的曲線形狀完全相同。把區(qū)間2/3,1放大3倍，也會得到同樣的結果。雖然區(qū)間1/3,1/2 ，1/2,2/3的圖形是傾斜的，但是把它放大，也會得到同樣的

15、結果。若把區(qū)間0,1/9的圖形放大9倍，同樣也可以產生與原來相同的圖形。對更小的部分進行放大也是如此，不論多小部分，若把它放大到適當大小，應該能得出與原來相同的圖形。4.2.2標度不變形所謂標度不變性，是指在分形上任選一局部區(qū)域，對它進行放大，這時得到的放大圖形又會顯示出原圖的形態(tài)特性。因此,對于分形，不論將其放大或縮小，它的形態(tài)、復雜程度、不規(guī)則性等各種特點均不會變化。所以標度不變性又稱為伸縮對稱性。通俗一點說，如果用放大鏡來觀察一個分形，不管放大倍數如何變化，看到的情形是一樣的，從觀察到的圖象，無法判斷所用放大鏡的倍數。 所以具有自相似特性的物體（系統(tǒng)），必定滿足標度不變性，或者說這類物體

16、設有特性長度。上面介紹的koch曲線是具有嚴格的自相似性的有規(guī)分形，無論將它放大與縮小多少倍，它的基本幾何特性都保持不變，很顯然，它具有標度不變性。 因此,可以看到,自相似性與標度不變性是密切相關的。自相似性和標度不變性是分形的兩個重要特性。 對于“特征長度”這一名詞，作一簡單的說明，自然界存在的所有物體的形狀和人類迄今所考慮的一切圖形，大致可分為如下兩種：具有特征長度的圖形和不具有特征長度的圖形。對于特征長度，并沒有嚴格的定義，一般認為能代表物體的幾何特征的長度，就稱之為該物體的特征長度。如一個球的半徑、正方體的邊長、人的身高、汽車的長度，這些都是各個物體的特征長度，它們很好地反映了這些物體

17、的幾何特征。對具有特征長度的物體的形狀，對它們即使稍加簡化，但只要其特征長度不變，其幾何性質也不會有太大的變化。如豎起一個代替人的、與人具有相同高度的圓柱，那么從遠處去看，也不會有太大的差錯；如果再精細一點，以小圓柱代替手和腿，以矩形代替身軀，以球代替頭，那么就會很像人了。換句話說，關于這類物體,可以用幾何學上熟知的矩形體、圓柱、球等簡單形狀加以組合，就能很好地與其構造近似。4.3、一些常見分形4.3.1、Koch 曲線給定線段，科赫曲線可以由以下步驟生成：1將線段分成三等分。2.以中間為底，向外或向內畫出一個等邊三角形。3.將底邊移去。分別對每邊重復步驟1-3.。該曲線是第一個人為構造的具有

18、局部與整體相似的結構，被稱為自相似結構。4.3.2、塞賓斯基三角塞賓斯基三角有以下步驟生成：1.取一個實心的三角形。（多數使用等邊三角形）2.沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形。3.去掉中間的那一個小三角形。4.對其余三個小三角形重復1-3。4.3.3.此外還有其他的分形，比如：三位謝氏塔、洛倫次曲線、四方內生樹、曼德勃羅集等。五緯度性質測量工具5.1歐式幾何學緯度的測量歐幾里德幾何學（簡稱歐氏幾何學），是一門具有2000多年歷史的數學分支，它是以規(guī)整幾何圖形為研究圖象。所謂規(guī)整幾何圖形就是我們熟悉的點、直線與線段；平面與平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、各種三角形以及正多邊形等?？臻g中的

19、正方體、長方體、正四面體等。另外一類就是曲線或由曲面所組成的幾何圖形，平面上的圓與橢圓，空間中的球、橢球、圓柱以及圓臺等。這些點、直線、平面圖形、空間圖形的維數（歐氏維數）分為為0、1、2、和3。對規(guī)整幾何圖形的幾何測量是指長度（邊長、周長以及對角線長等）、面積與體積的測量。所以在歐氏幾何測量中，可以把上述兩類幾何圖形（分別以正方體和球作為代表）歸納為如下二點： (1)長度= l, 面積= l2, 體積= l3（正方體）； (2)長度（半徑）=r ,面積=Pi*r2, 體積=4/3*Pi*r3(球）； 由上面兩式可以看到，長度、面積和體積的量綱是長度單位的1、2和3次方，它們恰好與這些幾何圖形

20、存在空間的歐氏維數相等，而且均為整數。 除了正方體和球以外的那些幾何圖形的體積，都可以用正方體或球來進行測量。 總結歐氏幾何的測量可以看到：第一類幾何圖形的測量是以長度為基礎；第二類幾何圖形也是以長度（兩點間的距離r ）為基礎的，平面圖形以圓為基礎，空間圖形以球為基礎。所以，在歐氏幾何中對規(guī)整幾何圖形的測量，可以用下式來表示：長度=l；面積=al2；體積=V=b*l3.式中a和b為常數，稱為幾何因子，與具體的幾何圖形的形狀有關，如對圓a=Pi；對球,b=4Pi/3。 由上式可以得出如下結論： 它們是以兩點間的距離為基礎的，而且它們的量綱數分別等于幾何圖形存在的空間的維數。 以上討論的維數都是整

21、數，它們的數值與決定幾何形狀的變量個數及自由度數是一致的。也就是說，直線上的任意點可用1 個實數來表示，平面上的點可用由2個實數組成的數組來表示. 5.2分形緯度的測量 我們把自由度數作為維數，也稱為經驗維數?，F(xiàn)在我們會問:是否有非整數維的幾何存在呢？實際上,若對長度為1的線段n等分，每段長為r，則:n*r=1對面積為1的正方形作n等分，每個小正方形的邊長為r，則n*r2=1對體積為1的正方體作n等分，每個小正方體的邊長為r，則n*r3=1上面三個等式中，r的冪次實際上就是幾何體能得到定常度量的空間維數，于是有如下公式n*rD=1對上式兩邊取對數，則得到空間維數D的表達式：對koch曲線而言，

22、在第n步時，其等長折線段總數為4n，每段長度為 ，于是koch曲線的維數D應為這是一個非整數值，它定量地表示koch曲線的復雜程度。koch曲線是一個分形圖形。分形圖形雖然一般都比較復雜，但其復雜程度可用非整數維數去定量化，維數愈大，其復雜性就會相應提高。我們上面講的維數又稱為相似維數，常用Ds表示。一般地，如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個圖形所組成，則有：,因此，我們對koch曲線，又可看成是由把全體縮小成1/3的四個相似形構成的，按上式koch曲線的相似維數則為下面我們再看看Koch曲線在歐氏幾何中的長度是多少，顯然，。那么，由于它是一條閉區(qū)間的曲線，在歐氏幾何中，其面積為零。換句講，koch曲線在傳統(tǒng)的歐氏幾何領域不可度量。而分維DS=1.2618恰好反映了這種曲線的不