Lanczos方法學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1Lanczos方法方法(fngf)第一頁，共22頁。一第1頁/共21頁第二頁，共22頁。 數(shù)值分析技術(shù)為結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)分析提供了有力的保障，為工程結(jié)構(gòu)在各種復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)環(huán)境下的模擬和仿真提供了有效工具(gngj)。 工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)分析主要包括兩個(gè)方面：結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性分析和結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析。 第2頁/共21頁第三頁，共22頁。結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動(dòng)結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動(dòng)(zhndng)(zhndng)方程方程. 0M yK y將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(jin xi yn (jin xi yn dndn) ) sin()yt代入上式可得代入上式可得 MK 0)(2MK或?qū)懗苫驅(qū)懗桑?）（2）（3）（4）其

2、中，其中， = = ； K K，M M分別分別(fnbi)(fnbi)為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。矩陣。 第3頁/共21頁第四頁，共22頁。（1）如果K和M都對(duì)稱，且至少有一個(gè)矩陣正定，則特征值一定是實(shí)數(shù)(shsh)，而特征向量也可以是實(shí)向量。如果M正定，并且K為正定或半正定，則所有特征值都是正的實(shí)數(shù)(shsh)。 第4頁/共21頁第五頁，共22頁。（2） 特征向量(xingling)（或模態(tài)向量(xingling)）關(guān)于質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K正交，即： )( 0)( TjijimiijiM )( 0)( TjijikiijiK在式在式 中將中將(zhngjing)(zh

3、ngjing)特征向量歸一化，即：特征向量歸一化，即： MK（5）（6）第5頁/共21頁第六頁，共22頁。上式稱為上式稱為(chn(chn wi) wi)歸一化特征向量。歸一化特征向量。 )( 0)( 1TjijijiM )( 0)( TjijiijiK1iiiim則式（則式（5），（），（6）有）有（7）（8）（9）第6頁/共21頁第七頁，共22頁。Lanczos法法 Lanczos Lanczos方法利用三項(xiàng)遞推關(guān)系產(chǎn)生一組正交規(guī)范的方法利用三項(xiàng)遞推關(guān)系產(chǎn)生一組正交規(guī)范的特征向量，同時(shí)將原矩陣約化成三對(duì)角陣，將問題轉(zhuǎn)化為特征向量，同時(shí)將原矩陣約化成三對(duì)角陣，將問題轉(zhuǎn)化為三對(duì)角陣的特征問題的

4、求解。以三對(duì)角陣的特征問題的求解。以2020世紀(jì)匈牙利數(shù)學(xué)家世紀(jì)匈牙利數(shù)學(xué)家Cornelius LanczosCornelius Lanczos命名命名(mng mng)(mng mng)。 Lanczos Lanczos方法實(shí)際上是方法實(shí)際上是ArnoldiArnoldi算法對(duì)于對(duì)稱矩陣的特算法對(duì)于對(duì)稱矩陣的特殊形式，可應(yīng)用于對(duì)稱矩陣線性方程組求解的殊形式，可應(yīng)用于對(duì)稱矩陣線性方程組求解的KrylovKrylov子空子空間方法以及對(duì)稱矩陣的特征值問題。間方法以及對(duì)稱矩陣的特征值問題。第7頁/共21頁第八頁，共22頁。 Lanczos方法目前被認(rèn)為是求解大型矩陣特征值問題(wnt)的最有效方法

5、，與子空間迭代法相比，其計(jì)算量要少得多。 Lanczos Lanczos方法用于標(biāo)準(zhǔn)方法用于標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)(biozhn)特征值問題稱為標(biāo)準(zhǔn)特征值問題稱為標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)Lanczos(biozhn)Lanczos法，用于廣義特征值問題稱為廣義法，用于廣義特征值問題稱為廣義LanczosLanczos法。法。 第8頁/共21頁第九頁，共22頁。第9頁/共21頁第十頁，共22頁。第10頁/共21頁第十一頁，共22頁。第11頁/共21頁第十二頁，共22頁。第12頁/共21頁第十三頁，共22頁。第13頁/共21頁第十四頁，共22頁。矩陣A 的低階特征值, 這樣大規(guī)模矩陣A 的特征值問題就轉(zhuǎn)

6、化為中小規(guī)模對(duì)稱三對(duì)角矩陣T 的特征值問題。第14頁/共21頁第十五頁，共22頁。 （1）標(biāo)準(zhǔn)）標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)Lanczos法法 設(shè)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)(biozhn)特征值問題特征值問題 Kxx其中：其中：K為為nn階矩陣。階矩陣。 首先首先(shuxin),給出給出K一對(duì)稱或廣義對(duì)稱矩陣的一對(duì)稱或廣義對(duì)稱矩陣的定義定義: 設(shè)矩陣設(shè)矩陣K 對(duì)稱正定對(duì)稱正定, 則則 成為一個(gè)成為一個(gè)內(nèi)積內(nèi)積, 如如果對(duì)任何果對(duì)任何u , ,矩陣矩陣A滿足滿足（10）( , )TKKx yxynVk則稱則稱A A是是K K 一對(duì)稱或廣義對(duì)稱矩陣一對(duì)稱或廣義對(duì)稱矩陣, , 類似的還有類似的還有K K

7、一范數(shù)一范數(shù) 。讀者不難驗(yàn)證。讀者不難驗(yàn)證, , 矩陣矩陣 都是都是M M一對(duì)稱矩陣。一對(duì)稱矩陣。(,)( ,)KKAu Vu AV11MKKMM和（）( , )BBxx x第15頁/共21頁第十六頁，共22頁。111/)(kkkkkkkKUUUU其中其中(qzhng)(qzhng)，01kTkkK UU211kkkkkkKUUU（11）（12）（13）（14）任何初始向量任何初始向量U， 設(shè)向量設(shè)向量U = 0 , 用三項(xiàng)遞用三項(xiàng)遞推公式推公式(gngsh)進(jìn)行迭代進(jìn)行迭代:1KU0第16頁/共21頁第十七頁，共22頁。這里這里(zhl)，k = 1, 2, , m -1n； 2為為2范數(shù)。

8、于是得范數(shù)。于是得1222333411.mmmmmmT求解求解(qi ji)(qi ji)此矩陣的特征值，就是此矩陣的特征值，就是K K的的m m個(gè)最高階特征值。個(gè)最高階特征值。（15）第17頁/共21頁第十八頁，共22頁。 （2）廣義）廣義(gungy)逆逆Lanczos法法 廣義逆Lanczos法的運(yùn)算過程，基本上與標(biāo)準(zhǔn)方法相同(xin tn)。設(shè)廣義特征值問題xxMK其中其中K為為nn階實(shí)對(duì)稱階實(shí)對(duì)稱(duchn)正定陣，正定陣，M為對(duì)稱為對(duì)稱(duchn)陣。陣。選取適當(dāng)?shù)倪x取適當(dāng)?shù)某跏枷蛄縐1，且，且U1TMU1=1，計(jì)算，計(jì)算令令1=1，作，作TkkkUM UkkkkUUw1kTk

9、kM ww（1）（2）（3）（16）（17）（18）（19）第18頁/共21頁第十九頁，共22頁。11/kkkwU1111kkkkUK MUU這里，這里，k = 1, 2, , m。當(dāng)。當(dāng)km時(shí)，作完第（時(shí)，作完第（1）步，即求出）步，即求出m就停止迭代就停止迭代，于是得到，于是得到(d do)全部的全部的k和和k就構(gòu)成式（就構(gòu)成式（6-68）的）的m階三對(duì)角矩陣階三對(duì)角矩陣Tm。1mmmXXT式（式（61）的全部）的全部(qunb)特征值特征值i(k = 1, 2, , m )就是廣義特征值式（就是廣義特征值式（68）的最小特征值組的近似值。當(dāng)）的最小特征值組的近似值。當(dāng)mn時(shí)，就是截?cái)鄰V義逆時(shí)，就是截?cái)鄰V義逆Lanczos法。法。（4）（5）求解求解(qi ji)(qi ji)此矩陣對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)特征值問題：此矩陣對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)特征值問題：（21）（22）（20）第19頁/共21頁第二十頁，共22頁。第20頁/共21頁第二十一頁，共22頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會(huì)計(jì)學(xué)。第1頁/共21頁。第2頁/共21頁。K，M分別為結(jié)構(gòu)的剛度(n d)矩陣和質(zhì)量矩陣。Lanczos方法目前被認(rèn)為是求解大型