D124函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)1學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D124函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)1其中( 在 x 與 x0 之間)稱為拉格朗日余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng) .則在復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): f (x) 的 n 階泰勒公式階泰勒公式若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù), 該鄰域內(nèi)有 :第1頁/共19頁)(00 xxxf200)(!2)(xxxf 為f (x) 的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) . 則稱當(dāng)x0 = 0 時(shí), 泰勒級(jí)數(shù)又稱為麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù) .1) 對(duì)此級(jí)數(shù), 它的收斂域是什么 ？2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為 f (x) ?若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 0)(xxf在第2頁/共19頁各階導(dǎo)數(shù), 則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)

2、數(shù)的充要條件是 f (x) 的泰勒公式余項(xiàng)滿足:證明證明:令)(0 xUx設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 的某一鄰域 內(nèi)具有第3頁/共19頁若 f (x) 能展成 x 的冪級(jí)數(shù),唯一的 , 且與它的麥克勞林級(jí)數(shù)相同.證證: 設(shè) f (x) 所展成的冪級(jí)數(shù)為則顯然結(jié)論成立 .則這種展開式是第4頁/共19頁1. 直接展開法直接展開法由泰勒級(jí)數(shù)理論可知, 第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值 ;第二步 寫出麥克勞林級(jí)數(shù) , 并求出其收斂半徑 R ; 第三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi)是否為驟如下 :展開方法展開方法直接展開法 利用泰勒公式間接展開法 利用已知其級(jí)數(shù)展開式0. 的函數(shù)展

3、開第5頁/共19頁展開成 x 的冪級(jí)數(shù). 解解: 其收斂半徑為 對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足故( 在0與x 之間)故得級(jí)數(shù) 第6頁/共19頁展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: 得級(jí)數(shù):其收斂半徑為 對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿足! ) 1( nn0第7頁/共19頁對(duì)上式兩邊求導(dǎo)可推出:),(x),(x第8頁/共19頁利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì), 例例3. 將函數(shù)展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: 因?yàn)榘?x 換成)11(x, 得將所給函數(shù)展開成 冪級(jí)數(shù). 第9頁/共19頁展開成 x 的冪級(jí)數(shù).解解: 從 0 到 x 積分, 得定義且連續(xù), 域?yàn)槔么祟}可得上式右端的冪級(jí)數(shù)在 x 1

4、收斂 ,所以展開式對(duì) x 1 也是成立的,于是收斂第10頁/共19頁展成解解: 的冪級(jí)數(shù). 第11頁/共19頁展成 x1 的冪級(jí)數(shù). 解解: 第12頁/共19頁1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法(1) 直接展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法 利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及已知展開2. 常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式x2!21x式的函數(shù) .第13頁/共19頁x11當(dāng) m = 1 時(shí)),(x),(x) 1, 1(x第14頁/共19頁1. 函數(shù)處 “有泰勒級(jí)數(shù)” 與 “能展成泰勒級(jí)數(shù)” 有何不同 ?提示提示: 后者必需證明前者無此要求.2. 如何求的冪級(jí)數(shù) ?提示提示:第15頁/共19頁作業(yè)作業(yè) P285 2 (2) , (3) , (5); 3 (2) ; 5 第五節(jié) 第16頁/共19頁將下列函數(shù)展開成 x 的冪級(jí)數(shù)解解:211xx 1 時(shí), 此級(jí)數(shù)條件收斂,因此 第17頁/共19頁)1