微積分基本定理PPT

1、bxxxxxann1210, 1iiixx任取niixf1)(做和式：常數(shù)）且有，(/ )(lim10Anabfniin復習：復習：1、定積分是怎樣定義？定積分是怎樣定義？設函數(shù)設函數(shù)f f（x x）在）在aa，bb上連續(xù)，在上連續(xù)，在aa，bb中任意插入中任意插入n-1n-1個分點：個分點：把區(qū)間a,b等分成n n個小區(qū)間，個小區(qū)間，, 1iixx在每個小區(qū)間./ )(1nabfniibadxxf)(則，這個常數(shù)則，這個常數(shù)A稱為稱為f(x)在在a，b上的上的定積分定積分(簡稱積分簡稱積分)記作記作nfdxxfniiba/a)-b)(lim)(A10n（即xfSii)(被積函數(shù)被積函數(shù)被積表

2、達式被積表達式積分變量積分變量積積分分區(qū)區(qū)間間,ba積分上限積分上限積分下限積分下限nfdxxfniiba/a)-b)(lim)(A10n（即積分和積分和 1、如果函數(shù)如果函數(shù)f（x）在）在a，b上連續(xù)且上連續(xù)且f（x）0時，那么：時，那么：定積分定積分 就表示以就表示以y=f（x）為曲邊的曲邊梯形面積）為曲邊的曲邊梯形面積。badxxf)( 2、定積分定積分 的數(shù)值在幾何上都可以用曲邊梯的數(shù)值在幾何上都可以用曲邊梯形面積的代數(shù)和來表示。形面積的代數(shù)和來表示。badxxf)(1S2S3S321SSSdxxfba )(復習：復習：2、定積分的幾何意義是什么？、定積分的幾何意義是什么？, 0)(

3、xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積的負值曲邊梯形的面積的負值4321)(AAAAdxxfba 說明：說明：1A2A3A4A定積分的簡單性質定積分的簡單性質(1)( )( ) ()bbaakf x dxkf x dxk為常數(shù)1212(2) ( )( )( )( )bbbaaaf xfx dxf x dxfx dx(3)( )( )( ) (acb)bcbaacf x dxf x dxf x dx題型題型1：定積分的簡單性質的應用定積分的簡單性質的應用20082007102132)()()()(1dxxfdxxfdxxfdxxf、

4、化簡481, 9,29, 323033023030dxxdxxxdxdx、已知，?)1512218()2(?)8634123032330dxxxxdxxxx（）（求：點評：點評：運用定積分的性質可以化簡定積分計算，也可以運用定積分的性質可以化簡定積分計算，也可以把一個函數(shù)的定積分化成幾個簡單函數(shù)定積分的和或差把一個函數(shù)的定積分化成幾個簡單函數(shù)定積分的和或差題型題型2：定積分的幾何意義的應用定積分的幾何意義的應用？、3141dx？、axdx02？、dxx302938 8221a問題問題1 1：你能求出下列格式的值嗎？不妨試試。你能求出下列格式的值嗎？不妨試試。49問題問題2 2：一個作變速直線運

5、動的物體的運動規(guī)一個作變速直線運動的物體的運動規(guī)律律S SS(t)S(t)。由導數(shù)的概念可以知道，它在任意。由導數(shù)的概念可以知道，它在任意時刻時刻t t的速度的速度v(t)v(t)SS（t)t)。設這個物體在時間。設這個物體在時間段段a a，b b內的位移為內的位移為S S，你能分別用，你能分別用S(t)S(t)，v(t)v(t)來表示來表示S S嗎？嗎？從中你能發(fā)現(xiàn)導數(shù)和定積分的內在從中你能發(fā)現(xiàn)導數(shù)和定積分的內在聯(lián)系嗎？聯(lián)系嗎？另一方面，從另一方面，從導數(shù)導數(shù)角度來看：角度來看：如果已知該變速直如果已知該變速直線運動的路程函數(shù)為線運動的路程函數(shù)為s=s(t)，則在時間區(qū)間，則在時間區(qū)間a,b

6、內物內物體的位移為體的位移為s(b)s(a)， 所以又有所以又有 ).()(d)(asbsttvba由于由于 ，即，即s(t)是是v(t)的原函數(shù)，這就是說，的原函數(shù)，這就是說，定積分定積分 等于被積函數(shù)等于被積函數(shù)v(t)的原函數(shù)的原函數(shù)s(t)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的增量上的增量s(b)s(a).)()(tvtsbattvd)( 從從定積分定積分角度來看：角度來看：如果物體運動的速度函數(shù)為如果物體運動的速度函數(shù)為v=v(t)，那么在時間區(qū)間，那么在時間區(qū)間a,b內物體的位移內物體的位移s可以用定可以用定積分表示為積分表示為.d)(battvs10探究新知：探究新知：tOy tyy BniSS

7、SSS 21a aybSa(t )0t1it 1it nb(t )nt 1t2S1S2 iS nS1h2hihnhA by aybyS ttvSii 1 嗎？表示，你能分別用內的位移為時間段設這個物體在的速度為時刻的概念可知，它在任意由導數(shù)是運動的物體的運動規(guī)律如圖：一個作變速直線S,tvtySbatytvttyy 1 itynab ttyi 111 aybyS badtty tyy ay byniSSSSS 21 111 iiiitynabttyttvS ttytDPChSiii 1tan ttvSniin 11lim niintty11lim dttvba aybydttySba 12微積

8、分基本定理：設函數(shù)設函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)，并且上連續(xù)，并且F(x)f（x)，則，則，baaFbFxxf)()(d)(這個結論叫這個結論叫微積分基本定理微積分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫，又叫牛頓萊布尼茨公式牛頓萊布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).).()()(d )( aFbFxFxxfbaba或記作說明：說明：牛頓萊布尼茨公式牛頓萊布尼茨公式提供了計算定積分的簡便提供了計算定積分的簡便的基本方法，即求定積分的值，的基本方法，即求定積分的值，只要求出被積只要求出被積函數(shù)函數(shù) f f( (x x) )的

9、一個原函數(shù)的一個原函數(shù)F F( (x x) )，然后，然后計算原函數(shù)計算原函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間 a,ba,b 上的增量上的增量F F( (b b) )FF( (a a) )即可即可. .該公式該公式把計算定積分歸結為求原函數(shù)的問題。把計算定積分歸結為求原函數(shù)的問題。15例例1 1 計算下列定積分計算下列定積分 解解（）（）( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a找出找出f(x)的原的原函數(shù)是關鍵函數(shù)是關鍵 dxx2111 3122xdx xx1ln 2ln1ln2lnln12121 xdxxabxdxxbabalnlnln11 ：公公式式 813222231312 xxdx

10、16練習練習1: _4_3_2_112131031010 dxxdxxxdxdx12141415banbannxdxx121 ：公公式式17例計算定積分例計算定積分 解解:dxxx 312213 22311,3xxxx dxxdxxdxxdxx 3123123123121313原原式式 37611311313331313 xx18 達標練習：達標練習： _14_1233_12_2312121221102 dxedxxxdxxxdttx12ln23 912 ee初等函數(shù)初等函數(shù)19微積分基本定理微積分基本定理)()()(aFbFdxxfba 三、小結banbannxdxx121 ：公公式式abx

11、dxxbabalnlnln11 ：公公式式20|bacx11|1nbaxn+cos|bax-sin|bax定積分公式定積分公式6)()xxbxae dxee7)()lnaxbxxa dxaaa15)(ln)1baxxdxx1)()bacxccdx12)bnnnaxnxdxx3)(sin)coscosbaxdxxx 4)(cos)sinsinbaxdxxxln|bax|xbae|lnxbaaa21牛頓 牛頓，是英國偉大的數(shù)學家、物理學家、天文學家和自然哲學家。1642年12月25日生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近的沃爾索普村,1727年3月20日在倫敦病逝。 牛頓1661年入英國劍橋大學三一學院，1

12、665年獲文學士學位。隨后兩年在家鄉(xiāng)躲避瘟疫。這兩年里，他制定了一生大多數(shù)重要科學創(chuàng)造的藍圖。1667年回劍橋后當選為三一學院院委，次年獲碩士學位。1669年任盧卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造幣廠監(jiān)督，并移居倫敦。1703年任英國皇家學會會長。1706年受女王安娜封爵。他晚年潛心于自然哲學與神學。 牛頓在科學上最卓越的貢獻是微積分和經典力學的創(chuàng)建。返回返回22萊布尼茲萊布尼茲，德國數(shù)學家、哲學家，和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人；1646年7月1日生于萊比錫，1716年11月14日卒于德國的漢諾威。他父親是萊比錫大學倫理學教授，家庭豐富的藏書引起他廣泛的興趣。1661年入萊比錫大學學習法律

13、，又曾到耶拿大學學習幾何，1666年在紐倫堡阿爾特多夫取得法學博士學位。他當時寫的論文論組合的技巧已含有數(shù)理邏輯的早期思想，后來的工作使他成為數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人。1667年他投身外交界，曾到歐洲各國游歷。1676年到漢諾威，任腓特烈公爵顧問及圖書館的館長，并常居漢諾威，直到去世。萊布尼茲的多才多藝在歷史上很少有人能和他相比，他的著作包括數(shù)學、歷史、語言、生物、地質、機械、物理、法律、外交等各個方面。返回返回23基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)的導數(shù)公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.(

14、 ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若則公式若則公式若則公式若則公式若則公式若則公式若則且公式若1( )ln,( );fxxfxx則24nx1nnx 1x1lnxasin xcos xsin x cos xxexalnxaaxec0函數(shù)f(x)導函數(shù)f(x)回顧：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式回顧：基本初等函數(shù)的導數(shù)公式logaxln x被積函數(shù)f(x)一個原函數(shù)F(x)新知：基本初等函數(shù)的原函數(shù)公式新知：基本初等函數(shù)的原函數(shù)公式ccxnx111nxn sin x

15、cos x sin xcos xxalnxaaxexe1x25.xdxsin,dxxsin,dxxsin:22020計計算算下下列列定定積積分分例例00|xcosdxxsin, xsinxcos因為解 ;20coscos22|xcosdxxsin ; 2cos2cos202|xcosdxxsin0 0 .00cos2cos26問題：問題：通過計算下列定積分，進一步說明其定通過計算下列定積分，進一步說明其定積分的幾何意義。積分的幾何意義。通過計算結果能發(fā)現(xiàn)什么結通過計算結果能發(fā)現(xiàn)什么結論？試利用曲邊梯形的面積表示發(fā)現(xiàn)的結論論？試利用曲邊梯形的面積表示發(fā)現(xiàn)的結論2sin xdx20sin xdx2

16、7我們發(fā)現(xiàn)：我們發(fā)現(xiàn)：（）定積分的值可取正值也可取負值，還可以是（）定積分的值可取正值也可取負值，還可以是0 0；（2 2）當曲邊梯形位于）當曲邊梯形位于x x軸上方時，定積分的值取正值；軸上方時，定積分的值取正值；（3 3）當曲邊梯形位于）當曲邊梯形位于x x軸下方時，定積分的值取負值；軸下方時，定積分的值取負值；（4 4）當曲邊梯形位于）當曲邊梯形位于x x軸上方的面積等于位于軸上方的面積等于位于x x軸下方軸下方的面積時，定積分的值為的面積時，定積分的值為0 0得到定積分的幾何意義：得到定積分的幾何意義：曲邊梯形面積的曲邊梯形面積的代數(shù)和代數(shù)和。28的解析式求且點是一次函數(shù)，其圖象過、已知)(, 1)(),4 , 3()(110 xfdxxfxf微積分與其他函數(shù)知識綜合舉例：微積分與其他函數(shù)知識綜合舉例：29的最大值。求、已知)(,)2()(21022afdxxaaxaf30練一練：練一練：已知已知f(x)=ax+