廣東省廣州市2013屆高三調(diào)研測試數(shù)學文試題與答案

1、廣州市2013屆高三年級調(diào)研測試 數(shù) 學（文 科） 2013.1參考公式：方差，其中.一選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1復數(shù)i（i為虛數(shù)單位）的模等于 A B C D2已知集合，集合，則 A B C D3已知函數(shù), 則的值是 A B C D 4已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則的值為 A B C D5已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)e的單調(diào)遞增區(qū)間是 A . B C D 6設是兩條不同的直線，是三個不同的平面，下列命題正確的是ABCD7如圖1，程序結(jié)束輸出的值是 A B C D8已知函數(shù)，R，則是A最小正周期為的奇函數(shù) B最小正周

2、期為的奇函數(shù)C最小正周期為的偶函數(shù) D最小正周期為的偶函數(shù) 9在區(qū)間和分別取一個數(shù),記為, 則方程表示焦點在軸上且離心率小于的橢圓的概率為 A B C D 10在R上定義運算若對任意，不等式都成立，則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D. 二填空題： 本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分.（一）必做題（1113題）11已知是奇函數(shù), , , 則的值是 .12已知向量，都是單位向量，且，則的值為 .13設，定義為的導數(shù)，即，N，若的內(nèi)角滿足，則的值是 .（二）選做題（1415題，考生只能從中選做一題）14.（幾何證明選講選做題） 如圖2，已知是的一條弦，點為上一點，交于，若，則

3、的長是 . 15（坐標系與參數(shù)方程選講選做題）已知圓的參數(shù)方程為為參數(shù)), 以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為, 則直線截圓所得的弦長是 .三解答題： 本大題共6小題，滿分80分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的值.17（本小題滿分12分）某中學高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學生參加數(shù)學競賽，他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分）的莖葉圖如圖3，其中甲班學生的平均分是85，乙班學生成績的中位數(shù)是83. （1）求和的值； （2）計算甲班7位學生成績的方差； （3）從成績在90分以上的學生中隨

4、機抽取兩名學生，求甲班至少有一名學生的概率.18(本小題滿分14分) 已知四棱錐的正視圖是一個底邊長為、腰長為的等腰三角形，圖4、圖5 分別是四棱錐的側(cè)視圖和俯視圖.（1）求證：；（2）求四棱錐的側(cè)面的面積. 19（本小題滿分14分）已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，是和的等比中項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.20.（本小題滿分14分） 已知是二次函數(shù)，不等式的解集是，且在點處的切線與直線平行.（1）求的解析式；（2）是否存在N，使得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.21.（本小題滿分14分）已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合,

5、橢圓與拋物線在第一象限的交點為,.(1)求橢圓的方程；(2) 若過點的直線與橢圓相交于、兩點，求使成立的動點的軌跡方程；(3) 若點滿足條件（2），點是圓上的動點，求的最大值.廣州市2013屆高三年級調(diào)研測試數(shù)學（文科）試題參考答案及評分標準一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算共10小題，每小題5分，滿分50分.題號12345678910答案ADBCADCCBC二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分其中1415題是選做題，考生只能選做一題11 12. 13. 14. 15. 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文

6、字說明、證明過程和演算步驟.16（本小題滿分12分）(本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式等知識, 考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法和運算求解能力)（1） 解： 1分 . 3分由 4分解得Z. 5分的單調(diào)遞增區(qū)間是Z. 6分（2）解：由（1）可知，得. 8分 9分 10分 11分. 12分17（本小題滿分12分）(本小題主要考查莖葉圖、樣本均值、樣本方差、概率等知識, 考查或然與必然的數(shù)學思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力和應用意識)（1）解：甲班學生的平均分是85， . 1分 . 2分 乙班學生成績的中位數(shù)是83， . 3分（2）解：甲班7位學生成績的方差為. 5

7、分（3）解：甲班成績在90分以上的學生有兩名，分別記為， 6分 乙班成績在90分以上的學生有三名，分別記為. 7分 從這五名學生任意抽取兩名學生共有10種情況： . 9分 其中甲班至少有一名學生共有7種情況： . 11分 記“從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲班至少有一名學生”為事件，則.答：從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，甲校至少有一名學生的概率為.12分18（本小題滿分14分）（本小題主要考查空間線面位置關(guān)系、三視圖、幾何體的側(cè)面積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力）（1）證明：依題意，可知點在平面上的正射影

8、是線段的中點，連接， 則平面. 2分 平面， . 3分 ，平面，平面， 平面. 5分 平面， . 6分（2）解：依題意，在等腰三角形中， 在Rt中， 7分 過作，垂足為，連接，平面，平面，. 8分平面，平面，平面. 9分平面，. 10分依題意得. 11分在Rt中， ， 12分的面積為.四棱錐的側(cè)面的面積為. 14分19（本小題滿分14分）(本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列求和等知識, 考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識)（1）解：是公比為的等比數(shù)列，. 1分. 從而，. 3分是和的等比中項，解得或. 4分當時，不是等比數(shù)列， 5分. 6分當

9、時，. 7分符合， . 8分（2）解：， . 9分 . 10分得 11分 12分 . 13分 . 14分20.（本小題滿分14分）(本小題主要考查二次函數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)、方程的根等知識, 考查函數(shù)與方程、分類與整合的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和應用意識)（1）解法1：是二次函數(shù)，不等式的解集是， 可設，. 1分 . 2分 函數(shù)在點處的切線與直線平行， . 3分 ，解得. 4分 . 5分 解法2：設，不等式的解集是，方程的兩根為. . 2分. 又函數(shù)在點處的切線與直線平行， . . 3分由,解得,. 4分. 5分 （2）解：由（1）知，方程等價于方程. 6分 設，則

10、. 7分 當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減； 8分 當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增. 9分 ， 12分 方程在區(qū)間，內(nèi)分別有唯一實數(shù)根，在區(qū)間 內(nèi)沒有實數(shù)根. 13分 存在唯一的自然數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根. 14分21.（本小題滿分14分） (本小題主要考查求曲線的軌跡方程、直線、橢圓、拋物線等知識, 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識) (1)解法1：拋物線的焦點的坐標為，準線為， 設點的坐標為，依據(jù)拋物線的定義，由，得， 解得. 1分 點在拋物線上，且在第一象限， ，解得. 點的坐標為. 2分 點在橢圓上， . 3分又，且， 4分解得. 橢圓的方程為. 5分解法2: 拋物線的焦點的坐標為，設點的坐標為,. , . 1分 點在拋物線上, . 解得,.點的坐標為. 2分 點在橢圓上， . 3分又，且， 4分解得. 橢圓的方程為. 5分(2)解法1：設點、， 則. . ,. 6分、在橢圓上， 上面兩式相減得. 把式代入式得. 當時，得. 7分設的中點為，則的坐標為. 、四點共線，, 即. 8分把式代入式，得，化簡得. 9分 當時，可得點的坐標為，經(jīng)檢驗，點在曲線上. 動點的軌跡方程為. 10分解法2：當直線的斜率存在時，設直線的方程為， 由