柳暗花明圖形變換中開放性題目的探究與思考

1、圖形變換中開放性題目的探究與思考數(shù)學(xué)開放題能體現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的思想方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)教育的開 放化和個性化，數(shù)學(xué)開放題有利于因材施教，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈 活性和發(fā)散性。開放題的核心是培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能 力，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)造的意識。開放題的教學(xué)過程是學(xué)生 主動建構(gòu)、積極參與的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識，讓學(xué)生 真正學(xué)會“數(shù)學(xué)地思維”；數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)過程也是學(xué)生探索 和創(chuàng)造的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。把 數(shù)學(xué)開放題帶進(jìn)課堂是提高數(shù)學(xué)教學(xué)開放度的主要途徑。開放性題一是結(jié)論開放，對于同一個問題可以有不同的結(jié) 果，增強(qiáng)問題的探索性；二是解題過程開放，解決問題過程中的 多角度思

2、考，對命題賦予新的解釋進(jìn)而形成和發(fā)現(xiàn)新的問題；三 是方法開放，爭取創(chuàng)新解法，鼓勵一題多解，強(qiáng)調(diào)解決問題時的 不同思路，體現(xiàn)一種完整的數(shù)學(xué)思想方法。解答條件開放題的基本思路是：運(yùn)用分析法，執(zhí)果索因，即 從所給結(jié)論出發(fā)，通過逆向思維，探索并列出滿足題冃要求的條 件；解答結(jié)論開放題的基本思路是：運(yùn)用綜合法，由因?qū)Ч?，?從所給的條件出發(fā)，通過發(fā)散思維，合情合理的推導(dǎo)出正確結(jié)論; 解答條件和結(jié)論都開放的綜合開放題，一般通過觀察、分析先確 定條件（或結(jié)論），進(jìn)而轉(zhuǎn)化為結(jié)論（或條件）的開放題，再行 解答。一、旋轉(zhuǎn)變換中拓廣性問題的探究與思考開放式教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生主動參與，探索知識的形成、規(guī)律的發(fā) 現(xiàn)、問題的解

3、決，這種教學(xué)盡管可能會耗時較多，但對于學(xué)生形 成數(shù)學(xué)的整體能力，發(fā)展創(chuàng)造思維等都有極大的好處。1.旋轉(zhuǎn)變換與拼圖拼圖關(guān)鍵：取中點(diǎn)。通過旋轉(zhuǎn)拼成圖形必有相等線段，相等 線段必取中點(diǎn)。例：圖1在zabc中，我們可以取/abc的中位線de,裁掉 hade,并將z1ade拼接到/cfe的位置如圖2思考發(fā)現(xiàn)：該剪拼方法就是先將hade繞點(diǎn)e逆時針旋轉(zhuǎn)180°到/cfe 的位置,易知de與ef在同一直線上,且df=2de=bc,dfbc,那 么構(gòu)成的新圖形四邊形dbcf是一個平行四邊形。實(shí)踐探究：類別圖2的剪拼方法，請你將圖3 （梯形）剪拼成一個平行 四邊形，將圖4 （直角梯形）剪拼成矩形，類別

4、圖2的圖示方法 畫幽拼剪的示意圖。圖4聯(lián)想拓展：如圖5的多邊形中，ad=cb, ad/cb,能否象上面剪切方法一 樣沿一條直線進(jìn)行剪切，拼成一個平行四邊形？請你在圖中畫出 剪拼的示意圖，并說出裁剪線的位置。如圖6,已知四邊形紙片abcd,現(xiàn)需將該紙片剪拼成一個與 它面積相等的平行四邊形紙片，如果限定裁剪線最多有三條，能 否做到：二用“能”或“不能”填空），若填“能”，請確定裁剪線的位置，并說明拼接方法；若填“不能”，請簡要說明 理由。解析：取 ab、cd、ad、bc 中點(diǎn) e、f、g、h,沿 ef、gh 把 四邊形剪成四小塊，這個剪拼過程相當(dāng)于下面的圖形變換：把四 邊形eoga繞點(diǎn)e旋轉(zhuǎn)180

5、°，把四邊形hcfo繞點(diǎn)f旋轉(zhuǎn)180° , 把四邊形g0fd沿db平移。由相等線段可知能拼成平行四邊形。通過典型例題，引導(dǎo)學(xué)生推廣探究；通過新知識引導(dǎo)學(xué)生求 新探究；通過快捷思維訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生直覺探究；通過一題多解, 引導(dǎo)學(xué)生求異、求巧探究等途徑，以激勵學(xué)生的創(chuàng)新意識。2.旋轉(zhuǎn)變換與路徑教學(xué)中的例題、習(xí)題的形式應(yīng)富于變化，以利于學(xué)生在條件 和結(jié)論的變化中鍛煉和培養(yǎng)變通能力。思維的變通性不受思維定 式的束縛，能隨機(jī)應(yīng)變觸類旁通，以求異的觀點(diǎn)巧妙應(yīng)用知識， 產(chǎn)生超常構(gòu)思提出不同反響的方法思路。例：一個正三角形繞其一個頂點(diǎn)按同一方向連續(xù)旋轉(zhuǎn)5次， 每次轉(zhuǎn)過角度60。，旋轉(zhuǎn)前后所有

6、的圖形共同組成的圖案是拓展1：將正方形abcd沿直線1按順時針方向翻滾，當(dāng)正方形翻滾一周時，正方形的中心0所經(jīng)過的路徑長拓展2：將邊長為8的正方形abcd的四邊沿直線1向右滾 動（不滑動），當(dāng)正方形滾動兩周時，正方形頂點(diǎn)a所經(jīng)過的路 線長為拓展3:如圖，王虎使一長為4cm,寬3cm的長方形木板，在 桌面上做無滑動的翻滾（順時針方向），木板上點(diǎn)a位置變化為 a-a】一a?,其屮第二次翻滾被桌面上一小木塊擋住，使木板與桌 面成30°角，則點(diǎn)a翻滾到血位置時共走過的路徑長教學(xué)中教師重視引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，善于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,讓每個學(xué)生積極參與到“探究、嘗試”的過程屮來，從而發(fā)揮

7、他們的想象力，挖掘出他們創(chuàng)新的潛能。二、軸對稱變換屮開放性問題的探究與思考訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力，選擇判斷能力如圖，某地要在公路邊增加一個公共汽車站，a、b是路邊 兩個新建小區(qū)，這個公共汽車站建在什么位置，能使兩個小區(qū)到 車站的路程一樣長？如圖，a為馬廄，b為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄出馬,先到河邊飲水，再冋到帳篷，請你幫助確定最短路線拓展：增加條件先到草地某處牧馬，再到河邊飲水，然后回到帳篷，請你幫助確定最短路線三、平移變換中開放性問題的探究與思考四、相似變換中探索性題目的探究與思考我們可以改造課本上一些常規(guī)性題冃，打破模式化，使學(xué)生 不僅僅是簡單的模仿。培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性。例1： p是r

8、taabc斜邊ab上任意一點(diǎn)（a、b兩點(diǎn)除外）， 過p點(diǎn)作一直線，使截得的三角形與rtaabc相似，這樣的直線 可以作幾條？ （3條）拓展1：在zxabc中，ab>bc>ac, d是ac的中點(diǎn)，過點(diǎn)d 作直線1,使截得的三角形與原三角形相似，這樣的直線1有兒 條？ （4條）拓展2：已知aabc為鈍角三角形，其最大邊ac上有一點(diǎn)p （點(diǎn)p與a, c不重合），過p點(diǎn)作直線1，使直線1截aabc所得的/三角形與原二角形相似，這樣的直線1有幾條？二答案：3條或2條。如圖，z/abp1=zc, zabp2=za,當(dāng)點(diǎn)p位于點(diǎn)a至pl之間（包括點(diǎn)r） 時，滿足條件的直線共3條；當(dāng)點(diǎn)p位于p1至

9、p2之間（不包括 pl, p2）時，滿足條件的直線共有2條五、圖形變換與坐標(biāo)的巧妙結(jié)合開放性問題能夠誘發(fā)學(xué)生的靈感。山重水復(fù)疑無路，柳暗花 明又一村。靈感是一種直覺思維，是由于長期實(shí)踐，不斷積累經(jīng) 驗(yàn)和知識而突然產(chǎn)生的富有創(chuàng)造性的思路，是認(rèn)識上質(zhì)的飛躍。 靈感的發(fā)生往往伴隨著突破和創(chuàng)新。例:/abc 中,zc=90° , ac=2,bc=1,點(diǎn) a、c 分別在 x 軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)a在x軸運(yùn)動時，點(diǎn)c隨之在y軸上運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，點(diǎn)b到原點(diǎn)0的最大距離為問題解析：取 ac 中點(diǎn) m,連結(jié) om.bm.ob, om=±ac=1, bm=v2。 z10bm 中 om+bm&g

10、t;ob,當(dāng) om+bm=ob 二血時 ob 最大。開放式同步訓(xùn)練：（09濰坊17）已知邊長為a的正三角形 abc,兩頂點(diǎn)a、b分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸y軸上滑動，點(diǎn) c在第一象限，連結(jié)0c ,則0c的長的最大值本題是一道新穎的實(shí)驗(yàn)探究題，看似平淡深入其屮卻別有洞 天，從學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)圖形與坐標(biāo)入手展開探索，進(jìn)入 思考情境，是一道考查學(xué)生發(fā)散性思維的好題。在解題過程中綜合運(yùn)用了動靜轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函 數(shù)思想，知識覆蓋面大，重點(diǎn)考察了學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力， 有一定的難度和梯度。在教學(xué)中，教師應(yīng)及時捕捉和誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的靈感， 對于學(xué)生別出心裁的想法，違反常規(guī)的解答，標(biāo)新立異的

11、構(gòu)思， 哪怕只有一點(diǎn)點(diǎn)的新意，都應(yīng)及時給予肯定。同時，還應(yīng)當(dāng)應(yīng)用 數(shù)形結(jié)合、變換角度、類比等方法去誘導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺和靈感, 促使學(xué)生能直接越過邏輯推理而尋找到解決問題的突破口。六、在解決開放性問題的過程中提高探索性思維能力學(xué)生的探索性思維能力是在實(shí)踐和訓(xùn)練中發(fā)展的，可以通過 經(jīng)常性的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練得以改善和提高。解題是提高學(xué)生探索性 思維能力的主要途徑之一。可以從以下方面入手：1. 在例題講解中展示思維的過程。教師要充分揭示問題解決的思路、探索過程，注意思路方法 的提煉。有意識將自己的思維過程明明白白的展示給學(xué)生。2. 鼓勵學(xué)生主動參與。只有通過學(xué)生在已有知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的主動建構(gòu)才能真正 掌握

12、，教師在解題教學(xué)中創(chuàng)造條件與機(jī)會，讓學(xué)生親自體驗(yàn)問題 的發(fā)現(xiàn)、探索、討論、求解過程，3. 解題回顧與反思引導(dǎo)學(xué)生對解題過程進(jìn)行回顧、分析、總結(jié)、評價，歸納解 題方法，并提高到方法的高度，領(lǐng)會思想方法的深刻內(nèi)涵，提高 探索性思維能力。幫助學(xué)生樹立正確的解題觀，幫助學(xué)生理解解題回顧的重要 意義。解題后的反思與回顧，是探究活動的開始而不是結(jié)束。只 有通過回顧，才能形成解題策略，理解問題的本質(zhì)，使問題的解 法遷移到類似的問題情境之中。數(shù)學(xué)對象的抽象性，數(shù)學(xué)活動的 探索性，數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，數(shù)學(xué)語言的特殊性，使人不可能直 接把握數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)，只有通過反復(fù)思考深入研究，才能洞察 數(shù)學(xué)活動的本質(zhì)。編制數(shù)學(xué)開放題，提高學(xué)工運(yùn)用的能力，要圍繞使用開放題 的目的進(jìn)行，開放題應(yīng)當(dāng)隨著使用目的和對象的變化而改變，應(yīng) 作為常規(guī)問題的補(bǔ)充。用于研究性學(xué)習(xí)的開放題盡量能有利于解 題者充分利用自己已有的數(shù)學(xué)知識和能力解決問題。編制的開放 題應(yīng)具有鮮明的數(shù)學(xué)特色，幫助解題者理解什么是數(shù)學(xué)，為什么 要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，以及怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。教師通過開放題目的引進(jìn)，讓學(xué)生積極參與解決，在解題過 程中充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。學(xué)生在問題解決的過程中體驗(yàn)數(shù) 學(xué)的本質(zhì)，品嘗進(jìn)行創(chuàng)造性數(shù)學(xué)活動的樂趣。比如：把條件、結(jié)論完整的題目改造成只給出條件，先猜結(jié) 論，再進(jìn)行證明；或給出多個條件，首先需要收集、整理、篩選 以后才能求解或證明，打破條