DSP1_離散時間信號

1、1 1典型離散時間信號典型離散時間信號2 2離散信號的運算離散信號的運算三三. . 信號的分類信號的分類 四四. . 噪聲噪聲五五. . 信號空間的基本概念信號空間的基本概念六六. . 確定性信號的相關(guān)函數(shù)確定性信號的相關(guān)函數(shù)七七. . 與本章內(nèi)容有關(guān)的與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLABMATLAB文件文件第第1 1章章 離散時間信號離散時間信號2l單位脈沖序列單位脈沖序列l(wèi)單位階躍序列單位階躍序列l(wèi)矩形序列矩形序列l(wèi)實指數(shù)序列實指數(shù)序列 l正弦序列正弦序列 l復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列1.1 1.1 典型離散時間信號典型離散時間信號3101( )()000nnknnknnk（Kronecker 函數(shù)）函

2、數(shù)）（單位取樣序列、單位脈沖、（單位取樣序列、單位脈沖、單位樣值信號、單位函數(shù)單位樣值信號、單位函數(shù) 、 單位沖激單位沖激序列序列）l(n)只在只在n =0時取確定值時取確定值1，其它均為零其它均為零 l(n-k)只在只在n=k時取確定值時取確定值1，其余點取值均為零，其余點取值均為零4性質(zhì)：性質(zhì)： 0)()0()()(fnfnnf)()()()()(kfknkfknnfl (n)在離散序號處理中的作用類似于在離散序號處理中的作用類似于連續(xù)時間信號處理中的沖激函數(shù)連續(xù)時間信號處理中的沖激函數(shù)(t) l 回憶：單位沖激信號（回憶：單位沖激信號（Drac 函數(shù)）函數(shù)）0, 00,)(, 1)(tt

3、tdtt5)()()(xdtttx也稱也稱“篩選特性篩選特性”)0(0)()0(1)(tdtdtt)()(tudt6l奇異信號奇異信號 (t)的有一個總的沖激強度的有一個總的沖激強度，它，它等于等于在整個時間域上的積分（在整個時間域上的積分（面積）面積），采，采用用非常規(guī)的非常規(guī)的極限定義：極限定義：脈寬趨于脈寬趨于0，幅值，幅值趨于無限大，面積為趨于無限大，面積為1的信號，的信號，是一種純是一種純粹的數(shù)學(xué)抽象，不表示一種實際的信號粹的數(shù)學(xué)抽象，不表示一種實際的信號l(n)的定義簡單精確：的定義簡單精確：在在n=0時取值為時取值為1 ，就是就是n=0時的瞬時值（不是面積），是一時的瞬時值（不是

4、面積），是一個真實的物理信號個真實的物理信號注意注意：7( )()kp nnk或?qū)憺榛驅(qū)憺?p(n) = , 1 , 1 , 1 , 如何如何表達表達8)()()()()()()()()(snsnsnTxdttptxnTttxtptxnTttp連續(xù)信號抽樣數(shù)學(xué)模型回憶沖激串：9l理想采樣是將理想采樣是將xa(t)乘以乘以Ts為周期的沖為周期的沖激串函數(shù)，用公式表示為激串函數(shù)，用公式表示為l上式中上式中(t-nTs )是單位沖激信號，只是單位沖激信號，只有有t =nTs當時，才可能有非零值，因當時，才可能有非零值，因此采樣信號可表達為：此采樣信號可表達為：nsaaanTttxtPtxtx)()(

5、)()()(nssaanTtnTxtx)()()(10)(txa)(txa)(),(tPtP)(txa)(txaSt0)(txat0T)(tPt0)(txat0Tt0)(txat0)(txa)(tP對模擬信號進行采樣11l抽樣器可看作一個電子開關(guān)，每隔抽樣器可看作一個電子開關(guān)，每隔Ts 秒閉合秒閉合一次，閉合時間為一次，閉合時間為秒，秒， Tl產(chǎn)生抽樣窄脈沖序列產(chǎn)生抽樣窄脈沖序列 p(t)，幅度，幅度 1 /l當當0時，可視為理想抽樣，窄脈沖序列時，可視為理想抽樣，窄脈沖序列 p(t)變成沖激函數(shù)串變成沖激函數(shù)串 p(t)，各沖激函數(shù)準確，各沖激函數(shù)準確地出現(xiàn)在抽樣瞬間，面積為地出現(xiàn)在抽樣瞬間

6、，面積為1l輸出的理想抽樣信號輸出的理想抽樣信號xa(t)的面積（積分幅度）的面積（積分幅度）等于輸入信號等于輸入信號xa(t)在抽樣瞬間的幅度在抽樣瞬間的幅度)6 . 1 . 1 ()()( )()(ssnsnTxnTxnTttx12將將 用用 來替換來替換snTn()( )sx nTx n離散離散序列序列VV1310)(nu0n的右半軸限定在的自變量0)(nnnxjnjnjnu, 1, 0)() 1)(),()2jnAunAu000)()()()(11nnnxnunxnx0n14 u(t) ：奇異信號，數(shù)學(xué)抽象函數(shù)：奇異信號，數(shù)學(xué)抽象函數(shù) u(n)：非奇異信號，可實現(xiàn)信號：非奇異信號，可實

7、現(xiàn)信號u(n)作用類似于作用類似于u(t)，但二者有較大差別：但二者有較大差別：lu(t)在在t = 0時常不定義時常不定義lu(n)在在n = 0時為時為u(0)= 1 15) 1()()(, )()(nununknunk1) u(n)可以看作是無數(shù)個出現(xiàn)在不同序號可以看作是無數(shù)個出現(xiàn)在不同序號上的單位抽樣序列之和上的單位抽樣序列之和2) 單位抽樣序列可表為單位抽樣序列可表為u(n)與其延遲之差與其延遲之差關(guān)系：與)()(nun16 1,01( )0,NnNRn 其它 NmNmnnR0)()( )( )()NRnu nu nN1710123n44( )R n矩形窗矩形窗 可以可以通過乘法運算

8、把一通過乘法運算把一個無限長或很長序個無限長或很長序列列x(n)變成長度為變成長度為N點的序列點的序列N( )Rn)()()(1nRnxnxN10Nn1( )x n18( )sin(2)sin()x tAf tAt ( : Hz; :模擬角頻率，模擬角頻率，rad/s; : 抽樣頻率抽樣頻率, Hz )( )( )|sin(2/)st nTsx nx tAfn f( )sin()x nAn定義數(shù)字域定義數(shù)字域角頻率角頻率 / 圓（周）頻率圓（周）頻率2/()sffradfsf =/fs (線性關(guān)系線性關(guān)系 )19010203040506070-1-0.500.51010203040506070

9、-1-0.500.51( )x t( )x n20l連續(xù)正弦信號的周期連續(xù)正弦信號的周期 T 可以是小數(shù)可以是小數(shù)l離散正弦序列的周期若為整數(shù)離散正弦序列的周期若為整數(shù) N： x (n) 在一個周期內(nèi)有在一個周期內(nèi)有 N 個抽樣點個抽樣點N/221例例: ( )sin(200)x tt則則100Hzf sT01.0令令400sfHz)5 . 0sin()400/200sin()(nnnx則則:則周期則周期4/2N22)sin()(nnxN/201. 0/2)01. 0sin()(Nnnx200N )1.0sin()(nnx201 . 0/2NN無周期無周期2324（無衰減的復(fù)指數(shù)序列）（無衰減

10、的復(fù)指數(shù)序列）)sin()cos(njnenjcos()sin()j nnjne 歐拉公式歐拉公式nnxnxenxnj)(arg1| )(|)(，輻角25序列擺動序列發(fā)散序列收斂01|1| ,)(|aaaanxn 0 n 2601020304050607000.8101020304050607000.81指數(shù)信號指數(shù)信號 ( ),( )x tx n( )p n27復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列為衰減的復(fù)正弦若)(, 1)(0, 0,|000nxreranxrreanjnnj287. Chirp 信號：信號：信號頻率是時變的，和信號頻率是時變的，和 t 成正比成正比FF

11、T，雷達信號處理，雷達信號處理 22( )( )j tj nx tex ne2930序列是穩(wěn)定的序列是穩(wěn)定的 絕對可加）（即當且僅當| )(| )(|nxnxn0)(, 0nxn當且僅當311. 移位：移位：（延遲）（延遲）)(nx)()(1knxny)()(2knxny3k 整個序整個序列移動列移動1.2 離散信號的運算給定給定n: 當前時刻當前時刻kn : 過去時刻過去時刻: 將將 來來kn 的單位延遲的單位延遲) 1( nx)(nx是是以后用以后用 表示表示1z3233單位抽樣信號的單位抽樣信號的“抽取抽取”性質(zhì)性質(zhì)kknkxnxknnxkx)()()()()()(樣延遲的加權(quán)和任一序列

12、可表為單位抽34kknkxnx)()()(例：例： , 0, 0, 3, 0, 5.1, 1 , 0,0knx 235 . 11nnn352. 加加, 減減, 乘乘:),(1nx)(2nx)()()(21nxnxny)()()(21nxnxny注意：時刻對齊注意：時刻對齊在較短的序列后補零，在較短的序列后補零， 使二者長度相同使二者長度相同36( )x t()x at( / )x t a000ttt1a 3. 信號時間尺度變化：信號時間尺度變化：37 離散信號時間尺度的伸縮離散信號時間尺度的伸縮信號的抽取與插值倍高倍的插值，抽樣頻率提倍低倍的抽取，抽樣頻率降LLLnxnyMMMnxny)/()

13、()()(38時間時間翻轉(zhuǎn)（反折，反褶，翻褶）翻轉(zhuǎn)（反折，反褶，翻褶）縱軸為對稱軸縱軸為對稱軸x(n)nx(-n)n序列的翻褶序列的翻褶3912,1( )0,1nnx nn 12,1()0,1nnxnn40奇對稱序列偶對稱序列2)()()(2)()()()()()(nxnxnxnxnxnxnxnxnxoeoe414. 信號的分解信號的分解1Nnnnx 12,N 分解的基向量分解的基向量12,N 分解的系數(shù)分解的系數(shù)信號的離散表示信號的離散表示由, x12,N 12,N 信號的分解，或信號的分解，或 信號的變換信號的變換42 5. 信號的變換：信號的變換： 由一個域（如時域）映射到另一由一個域（

14、如時域）映射到另一個域（如頻域）的運算個域（如頻域）的運算Z，DFT, DCT，Hilbert，小波變換，小波變換6. 卷積：卷積：12( )( )( )y nx nx n43分類標準分類標準信號類別信號類別變量維數(shù)變量維數(shù)一維信號，多維信號（矢量信號）一維信號，多維信號（矢量信號）周期性周期性周期信號，非周期信號周期信號，非周期信號隨機性隨機性確定性信號，隨機信號確定性信號，隨機信號能量能量 功率功率能量（有限）信號能量（有限）信號功率（有限）信號功率（有限）信號時間離散時間離散連續(xù)時間信號，離散時間信號連續(xù)時間信號，離散時間信號時間幅度均離散時間幅度均離散數(shù)字信號數(shù)字信號1.3 信號的分類

15、441. 連續(xù)連續(xù), 離散離散2. 周期周期, 非周期非周期3. 確定性信號確定性信號, 隨機信號隨機信號)(nx表格曲線公式)(nxn )(nxn )sin()(nnx),( :相位：均勻分布的隨機變量相位：均勻分布的隨機變量1( )2f45確定性函數(shù)表現(xiàn)出隨機特性確定性函數(shù)表現(xiàn)出隨機特性 混沌混沌 （chaos，chaotic） 對初值敏感對初值敏感l(wèi)Logist映射（一類映射（一類 偽隨機數(shù)發(fā)生器）偽隨機數(shù)發(fā)生器）x (n+1) = 4 x (n) 1 x (n) 46TTTdttxTP2| )(|21limNNnNnxNP2| )(|121limdttxE2| )(|nnxE2| )(

16、|4. 功率信號功率信號, 能量信號能量信號47復(fù)信號：能量？功率？復(fù)信號：能量？功率？)()(*| )(|)3 . 3 . 1 () 1 . 3 . 1 (20P2nxnxnx48例例1.3.1信號信號111( )00nx nnn可求出：可求出：12116xnEn能量信號能量信號X49信號信號211( )00nx nnn可求出：可求出：211xnEn不收斂，非不收斂，非能量信號能量信號例例1.3.150立志考研同學(xué)選做：立志考研同學(xué)選做：l求信號求信號能量能量（提示：求（提示：求 y2 在在-,的余弦展開，再令的余弦展開，再令 y =）l判斷判斷 是否功率信號？是否功率信號？111( )00

17、nx nnn信號信號211( )00nx nnn515. 1-D, 2-D, 3-D6. 單通道單通道, 多通道多通道TMnxnxnxnx)(,),(),()(21 52l平穩(wěn)性（平穩(wěn)性（Stationarity）:隨機信號的主要（或全部）統(tǒng)計特性對于參隨機信號的主要（或全部）統(tǒng)計特性對于參量量t保持不變保持不變（與時間起點無關(guān)）（與時間起點無關(guān)）l平穩(wěn)信號平穩(wěn)信號廣義平穩(wěn)（弱平穩(wěn)、協(xié)方差平穩(wěn)）狹義平穩(wěn)、寬平穩(wěn)）、寬平穩(wěn)）（強平穩(wěn)、嚴平穩(wěn)、嚴格平穩(wěn)）（強平穩(wěn)、嚴平穩(wěn)、嚴格平穩(wěn)）隨機信號（過程）可分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)兩大類隨機信號（過程）可分為平穩(wěn)和非平穩(wěn)兩大類嚴格地說嚴格地說, , 所有信號都是非

18、平穩(wěn)的所有信號都是非平穩(wěn)的53則則 為寬平穩(wěn)（或廣義）平穩(wěn)信號為寬平穩(wěn)（或廣義）平穩(wěn)信號2*12( )1.( )( )2.( ) 3.( ,)()( )xxxxX nnE X nE X nr n nE XnX nmr m 若滿足：（ ）( )X n平穩(wěn)信號的均值和時間無關(guān)，為常數(shù)；平穩(wěn)信號的均值和時間無關(guān)，為常數(shù)；功率有限；功率有限；自相關(guān)函數(shù)和時間的起點無關(guān)，只和兩自相關(guān)函數(shù)和時間的起點無關(guān)，只和兩點的時間差有關(guān)。點的時間差有關(guān)。廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn)(Wide-sense stationary, WSS) /弱平穩(wěn)弱平穩(wěn)(Weakly stationary)的條件的條件542222( )( )x

19、xxxnDnD由此還可導(dǎo)出：由此還可導(dǎo)出：*cov ( )( ) ()xyxymEX nY nm方差和均方也方差和均方也與時間無關(guān)與時間無關(guān)（常數(shù)）。（常數(shù)）?；f(xié)方差函數(shù)也和互協(xié)方差函數(shù)也和時間的起點無關(guān)。時間的起點無關(guān)。實際中的大部分信號都可看作實際中的大部分信號都可看作是寬平穩(wěn)的。處理方便。是寬平穩(wěn)的。處理方便。55 應(yīng)用與研究最多的是廣義平穩(wěn)信號：應(yīng)用與研究最多的是廣義平穩(wěn)信號： 相關(guān)理論相關(guān)理論(一二階矩一二階矩)能給出有關(guān)平均功率的幾個能給出有關(guān)平均功率的幾個主要指標：如果隨機過程代表噪聲電壓信號，主要指標：如果隨機過程代表噪聲電壓信號，那么一二階矩可給出直流分量、交流分量，平那么

20、一二階矩可給出直流分量、交流分量，平均功率及功率在頻域上的分布均功率及功率在頻域上的分布(功率譜密度功率譜密度)等等 電子系統(tǒng)中遇到最多的是正態(tài)隨機過程，它的電子系統(tǒng)中遇到最多的是正態(tài)隨機過程，它的任意維分布都只由它的一、二階矩來確定任意維分布都只由它的一、二階矩來確定56嚴格平穩(wěn)：時間平移時，隨機過程的任意嚴格平穩(wěn)：時間平移時，隨機過程的任意n n維分布、任意的維分布、任意的n n維概率密度不變維概率密度不變嚴格平穩(wěn)性因要求太嚴格平穩(wěn)性因要求太“苛刻苛刻”，更多地用于，更多地用于理論研究中理論研究中 57平穩(wěn)信號的各態(tài)遍歷性平穩(wěn)信號的各態(tài)遍歷性 這種平均稱為這種平均稱為“集總平均（集總平均（

21、Ensemble Average)”，需要無窮多樣本。，需要無窮多樣本。2221( )1( , )limxNNxxiE X nx n iN11( )( , )limNxNiE X nx n iN對樣對樣本求本求和和58221( )211 ( )211( )( ) ()21limlimlimMxnMMxxnMMMMxnMMx nMx nMr mx n x nmMKhintchineKhintchine證明了：在具備一定的條件下，觀察證明了：在具備一定的條件下，觀察時間足夠長的平穩(wěn)過程的一個樣本函數(shù)時間足夠長的平穩(wěn)過程的一個樣本函數(shù) 的的“時間平均（時間平均（Time Average)Time A

22、verage)”等于其集總平均等于其集總平均, ,于是，可以用其任一個樣本來得到其數(shù)字特征。于是，可以用其任一個樣本來得到其數(shù)字特征。此性質(zhì)稱為此性質(zhì)稱為“各態(tài)遍歷性（各態(tài)遍歷性（Ergodic)Ergodic)”。對時間求和( , )x n i59定義：定義：如果如果 的集總均值和其單一樣本的時間的集總均值和其單一樣本的時間均值依概率均值依概率1相等，則稱相等，則稱 的均值具有各的均值具有各態(tài)遍歷性。態(tài)遍歷性。如果如果 的集總自相關(guān)和其單一樣本的時的集總自相關(guān)和其單一樣本的時間自相關(guān)依概率間自相關(guān)依概率1相等，則稱相等，則稱 的自相的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)遍歷性。關(guān)函數(shù)具有各態(tài)遍歷性。如果如果

23、的均值和其自相關(guān)均具有各態(tài)遍的均值和其自相關(guān)均具有各態(tài)遍理性，則稱理性，則稱 為為 各態(tài)遍歷隨機過程。各態(tài)遍歷隨機過程。( )X n( )X n( )X n( )X n( )X n( )X n21( )( )201limMnMMEx nE X nM時間均值集總均值1.白噪聲：白噪聲：頻譜為一直線；頻譜為一直線；自相關(guān)函數(shù)為自相關(guān)函數(shù)為 函數(shù)函數(shù)各點之間互不相關(guān)各點之間互不相關(guān)White Noise（一）噪聲的種類：（一）噪聲的種類：白噪聲是信號處理中最常用的噪聲模型白噪聲是信號處理中最常用的噪聲模型！1.4 噪聲（Noise）6002040608010000.81u(n)(a

24、) n=1- 10000.81050010001500histogram of u(n)(b) bins of x axis 均勻分布白噪聲均勻分布白噪聲直方圖直方圖61020406080100-1-0.500.511.5u(n)(a)-1.5-1-0.500.511.52012345x 104histogram of u(n)(b)高斯分布白噪聲高斯分布白噪聲直方圖直方圖62Colored Noise3. 脈沖噪聲脈沖噪聲4. 工頻噪聲工頻噪聲2.有色噪聲：有色噪聲： 特點：頻譜不是直線特點：頻譜不是直線（二）噪聲與信號的關(guān)系：（二）噪聲與信號的關(guān)系：)()()(nunsn

25、x加法性噪聲加法性噪聲)()()(nunsnx乘法性噪聲乘法性噪聲去除噪聲是信號處理的永恒話題！去除噪聲是信號處理的永恒話題！6364|max | ( )|,|max | ( )|,xx ttxx nn （一）范數(shù)（一）范數(shù): Norm信號的最大幅度信號的最大幅度序列序列高維向量高維向量1.5 信號空間6511|( )| ( )|nxx t dtxx n12221222|( )| ( )|nxx tdtxx n信號的絕對和信號的絕對和信號能量之方根信號能量之方根（以前稱（以前稱“模?！保?6LP范數(shù)的統(tǒng)一定義范數(shù)的統(tǒng)一定義如：如： wwwdttx/1)(x)(max) 1 () 1 ()2(1

26、) 1 (lim)2() 1 (lim|0)2() 1 (),2(),1 (11nxxxxxxxxxxxwwwwwwwwxx設(shè)67范數(shù)的性質(zhì)范數(shù)的性質(zhì)：0,0,ifthenxxxxxxyxy全零信號全零信號（三角不等式）（三角不等式）（非負性質(zhì)）（非負性質(zhì)）（數(shù)乘性質(zhì)）（數(shù)乘性質(zhì)）只要滿足以上三條性質(zhì)，均可稱為范數(shù)！只要滿足以上三條性質(zhì)，均可稱為范數(shù)?。ǚ稊?shù)三公理）（范數(shù)三公理）68,|Llx 空間：111,|L lx 空間：222,|L lx 空間：的的x的集合的集合的的x的集合的集合的的x的集合的集合（二）信號空間定義（二）信號空間定義Lp: 連續(xù)連續(xù); lp: 離散離散 均為線性空間均為

27、線性空間692:xl是能量信號是能量信號( )x n是穩(wěn)定信號是穩(wěn)定信號( )x n是有界信號是有界信號( )x n:1lxlx70= =Z ZN NR RR RC C整數(shù)的集合正整數(shù)的集合實數(shù)的集合正實數(shù)的集合復(fù)數(shù)的集合( )Z ZZ Z711222( , ) |( )( )nd x yxyx ny n（三）兩個信號之間的距離（三）兩個信號之間的距離(1) 歐氏（歐氏（Euclidean）距離）距離 d2 ，dE以二維空間為例，與以二維空間為例，與O點的點的dE距離小于等距離小于等于某個值于某個值D的向量，組成以的向量，組成以O(shè)為中心，以為中心，以D為半徑的實心圓為半徑的實心圓(1.5.7a

28、)72其它距離量度函數(shù)其它距離量度函數(shù)(2) 城區(qū)（城區(qū)（city-block）距離）距離d1 以二維空間為例，與以二維空間為例，與O點的點的d1距離小于等于某個值距離小于等于某個值D的向量，的向量，組成以組成以O(shè)為中心的菱形為中心的菱形nnynxyxyxd)()( |),(11d1距離距離等距離輪廓圖等距離輪廓圖73其它距離量度函數(shù)其它距離量度函數(shù)(3) 棋盤（棋盤（chessboard）距離）距離 d與與O點的點的d距離小于等于某個距離小于等于某個值值D的向量，組成以的向量，組成以O(shè)為中心為中心的正方形的正方形: )()( max|),(n -nynxyxyxdd距離距離等距離輪廓圖等距離

29、輪廓圖74wnwwwnynxyxyxd1)()( |),(LP距離的統(tǒng)一定義：距離的統(tǒng)一定義：Minkowski 距離距離 750( , )( , )0,( ), ( )?( , )( , )( , )( , )( , )d x yifd x ythenx ny nd x yd y xd x yd x zd z y 距離的性質(zhì)距離的性質(zhì)：滿足滿足距離三公理距離三公理，均可稱距離！，均可稱距離?。ㄈ遣坏仁饺遣坏仁剑鹤疃叹嚯x沿直線最短距離沿直線）（非負性質(zhì)非負性質(zhì)）（對稱性質(zhì)對稱性質(zhì)）（距離與起終點選擇無關(guān)）（距離與起終點選擇無關(guān)）)()(nynx7611：均值：均值：方差矩陣：方差矩陣22：

30、均值：均值：方差矩陣：方差矩陣 集合集合1 集合集合2樣本樣本x1d2d21ifddthenx集合集合2 “距離距離”的應(yīng)用：的應(yīng)用：模式識別模式識別77距離計算示例距離計算示例dE = 5 d1 = 7 d = 4 78（四）內(nèi)積（四）內(nèi)積內(nèi)積三公理：共軛對稱性，內(nèi)積三公理：共軛對稱性，線性性，線性性，正定性。正定性。由內(nèi)積規(guī)定范數(shù)：由內(nèi)積規(guī)定范數(shù)：xxx,|79如果如果,0 x y則則yx,正交正交222( )( )( )( )nnnx n y nx ny n,( )( ),( )( )nx t y t dtx n y n x yx y許瓦茲不等式許瓦茲不等式( L2 )( l2 ) yy

31、xxyx,|,|280線性空間：線性空間： 即即 向量空間；向量空間；賦范線性空間：定義了范數(shù)的線性空間；賦范線性空間：定義了范數(shù)的線性空間；度量空間（度量空間（Metric Space): 定義了距離的空間，定義了距離的空間， 賦范線性空間也是度量空間；賦范線性空間也是度量空間；內(nèi)積空間：內(nèi)積空間： 定義了內(nèi)積的賦范線性空間；定義了內(nèi)積的賦范線性空間；Hilbert空間：空間： 完備的內(nèi)積空間稱為完備的內(nèi)積空間稱為Hilbert空間空間空間的概念81空間的概念度量空間度量空間 賦范空間賦范空間 內(nèi)積空間內(nèi)積空間 Hilbert空間空間比度量空間更一般的空間：比度量空間更一般的空間：拓撲空間拓

32、撲空間 不定義不定義“距離距離”，只定義，只定義“鄰域鄰域” 柔性的空間柔性的空間82完備性定義：完備性定義：若度量空間若度量空間 X 中每個基本序列收斂于中每個基本序列收斂于X 中一個元素，則稱中一個元素，則稱 X 為完備的。為完備的。基本序列定義：基本序列定義：基本序列?；拘蛄?。中的任意收斂點列必是中的任意收斂點列必是基本序列。基本序列。中的中的為為則稱則稱，對一切，對一切若若，度量空間度量空間設(shè)設(shè)XXX)()(|)()(|. ., 0), 2 , 1()(CauchynxmxnxtsNmnNnnx83有理數(shù)空間：有理數(shù)空間：不完備不完備實數(shù)空間：實數(shù)空間： 完備完備完備的賦范線性空間：

33、完備的賦范線性空間：Banach空間空間完備的內(nèi)積空間：完備的內(nèi)積空間：Hilbert空間空間 （特殊的（特殊的Banach空間：范數(shù)由內(nèi)積規(guī)定）空間：范數(shù)由內(nèi)積規(guī)定）84歐式空間：歐式空間：有限維實內(nèi)積空間有限維實內(nèi)積空間（也是完備的）（也是完備的）Hilbert空間：空間：可以是無限維的復(fù)內(nèi)積空間；可以是無限維的復(fù)內(nèi)積空間；是歐式空間的推廣。是歐式空間的推廣。Fourier變換的基函數(shù)是變換的基函數(shù)是Hilbert空間的空間的一組基。一組基。85l 相關(guān)是研究兩個信號之間，或一個信號和其移位后的相似性，是信號分析、檢測與處理的重要工具；在隨機信號的理論中起到了中心的作用。1.6 1.6 確

34、定性信號的相關(guān)函數(shù)確定性信號的相關(guān)函數(shù)如何表征相似性？如何表征相似性？ 一個信號經(jīng)過多少次變換一個信號經(jīng)過多少次變換可以變?yōu)榱硪粋€信號可以變?yōu)榱硪粋€信號86兩個向量的相似性兩個向量的相似性可以用夾角來度量可以用夾角來度量|,cosyxyx兩個向量線性相關(guān)？兩個向量線性相關(guān)？87( ),x n)(ny , 0n1222( ) ( )( )( )nxynnx n y nxnyn1|xy相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)l能量有限的確定性因果信號能量有限的確定性因果信號|,yxyx88相關(guān)系數(shù)的又一個定義：相關(guān)系數(shù)的又一個定義：nxynynxr)()(注意，注意， xyr 相關(guān)系數(shù)不能反映信號內(nèi)在的相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)不

35、能反映信號內(nèi)在的相關(guān)性，所以引入相關(guān)函數(shù)。包含自相關(guān)函數(shù)和互相所以引入相關(guān)函數(shù)。包含自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)：關(guān)函數(shù)：1|xy89( )( ) ()() ( )xynnrmx n y nmx nm y n, x y 之間之間的互相關(guān)的互相關(guān)( )( ) ()yxnrmy n x nm 之間之間的互相關(guān)的互相關(guān), y x所以所以( )( )xyyxrmrm( )()yxxyrmrm即相關(guān)與即相關(guān)與次序次序有關(guān)有關(guān)90( )() ()()()()xynxyxyrmx ni y njrnjnirji相關(guān)函數(shù)中的時間變量：相關(guān)函數(shù)中的時間變量：1.1.保持保持 不動，將不動，將 往左往左 移動移動 個抽

36、樣間隔，然后將個抽樣間隔，然后將 和和 對應(yīng)相乘與相加，即對應(yīng)相乘與相加，即得得 ；2.2. 和和 的長度應(yīng)一樣長；的長度應(yīng)一樣長；3. 3. 可正可負。可正可負。( )x n( )y nm( )x n( )x n()y nm( )xyrm( )y nm含 意ijm91n( )x nn( )y nn( )x nn( )y nn(2)y nn(2)x n( )( ) ()() ( )xynnrmx n y nmx nm y n92( )( ) ()yxnrmy n x nmn( )x nn( )y nn(2)x nn( )x nn( )y nn(2)x n( )yxrm( )xyrm93( )(

37、 ) ()xnr mx n x nm( )( ) ()xnr mx n x nm( )( ) ()xynrmx n y nm實序列實序列復(fù)序列復(fù)序列94 實實函數(shù)的函數(shù)的自自相關(guān)是相關(guān)是偶偶函數(shù)函數(shù) rx(0)為信號的為信號的能量能量 若能量信號相對自身移至若能量信號相對自身移至無窮遠無窮遠，二者已，二者已無無相關(guān)性相關(guān)性自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)( )(),( )()(0)( )( )0Limxxxxxxxmr mrmr mrmrr mr m；95 不不是是偶偶函數(shù)，但函數(shù)，但 能量信號的互相關(guān)能量信號的互相關(guān)互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)互相關(guān)函數(shù)性質(zhì))()(mrmryxxy)0()0(| )(|yxx

38、yrrmr0)(limmrxym96功率信號相關(guān)函數(shù)的定義：功率信號相關(guān)函數(shù)的定義：NNnNxmnxnxNmr)()(121lim)(自相關(guān)自相關(guān)NNnNxymnynxNmr)()(121lim)(互相關(guān)互相關(guān)對于能量信號對于能量信號 ：nxmnxnxmr)()()(自相關(guān)自相關(guān)對于周期信號？對于周期信號？97 1. 若若 是周期的是周期的, 周期是周期是 , 則則)(nxN)()(Nmrmrxx2. 若若 是實的是實的, 則則)(nx)()(mrmrxx3. 取最大值取最大值, 為信號功率為信號功率)0(xr(0)xxrP4. 若若 是復(fù)信號是復(fù)信號, 則則)(nx)()(mrmrxx功率信

39、號自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：功率信號自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：982|222202)2(0)2()2()2()(10,10,110,0,0,0,0, )(0, )()()()()()(eemeeemeemeemeemememmnuemnuemnunueemrnuenxmmmmmnnmnnmmnmnnmnnmnnmnnmnnxn例例1.6.1 99)sin()(nnx1, 1 , 0,2 NnN10120101( )sin()sin()1cos()sin ()1sin()sin()cos()1cos()2NxnNnNnr mnnmNmnNmnnNm同頻率余弦同頻率余弦例例1.6.2 100周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)周

40、期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)總是在周期的整數(shù)倍總是在周期的整數(shù)倍 nT 處取得最大值處取得最大值101 中有無中有無)(nx如果有如果有, 功率是多少功率是多少?周期呢周期呢?( )( )( )x ns nu n例例：信號的檢測信號的檢測（白噪聲）（白噪聲）( ) ( )( ) ()()xnr ms nu ns nmu nm( )( )( )( )( )( )susuussur mr mrmrmr mr m0)(ns10201020304050-4-2024-50050-1-0.500.511.501020304050-2-1012-50050-1-0.500.511.5正弦白噪聲正弦白噪聲 SNR=

41、-3dB正弦白噪聲正弦白噪聲 SNR=7dB自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)例例1.6.3( )( )sur mr m 103用自相關(guān)函數(shù)用自相關(guān)函數(shù)檢測檢測非正弦信號的準周期非正弦信號的準周期 0 m T8 f(n)f(n-m)(mRf(a)(b)mnn10410( ),0,1,11( )( ) (),1Nmxnx nnNr mx n x nmNmMMMN 實際計算有限長信號的相關(guān)函數(shù)時：實際計算有限長信號的相關(guān)函數(shù)時：所以所以，( )xr m的最大長度為的最大長度為21N 105關(guān)于關(guān)于MATLAB106MATLAB是美國是美國MathWorks公司開發(fā)的公司開發(fā)的一種功能極其強大的高技術(shù)計算語言和一種功能極其強大的高技術(shù)計算語言和內(nèi)容極其豐富的軟件庫。它以內(nèi)容極其豐富的軟件庫。它以矩陣矩陣和向和向量的運算以及運算結(jié)果的量的運算以及運算結(jié)果的可視化可視化為基礎(chǔ)，為基礎(chǔ)，把廣泛應(yīng)用于各個學(xué)科領(lǐng)域的數(shù)值分析、把廣泛應(yīng)用于各個學(xué)科領(lǐng)域的數(shù)值分析、矩陣計算、函數(shù)生成、信號、圖形及圖矩陣計算、函數(shù)生成、信號、圖形及圖像處理、建模與仿真等諸多強大功能集像處理、建模與仿真等諸多強大功能集成在一個便于用戶使用的交互式環(huán)境之成在一個便于用戶使用的交互式環(huán)境之中，為使用者提供了一個高效的編程工中，為使