D隱函數(shù)求導(dǎo)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D隱函數(shù)求導(dǎo)高等數(shù)學(xué)隱函數(shù)求導(dǎo)高等數(shù)學(xué)1) 方程在什么條件下才能確定隱函數(shù) .例如, 方程當(dāng) C 0 時(shí), 不能確定隱函數(shù);2) 在方程能確定隱函數(shù)時(shí),研究其連續(xù)性、可微性 及求導(dǎo)方法問題 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第1頁(yè)/共33頁(yè)定理定理1.1. 設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) ,并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下： 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足滿足條件機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 導(dǎo)數(shù)第2頁(yè)/共33頁(yè)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第3頁(yè)/共33頁(yè)若

2、F( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),xy則還有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第4頁(yè)/共33頁(yè)在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù)解解: 令連續(xù) ,由 定理1 可知, )(xfy 導(dǎo)的隱函數(shù) 則在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 并求第5頁(yè)/共33頁(yè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第6頁(yè)/共33頁(yè)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)1兩邊再對(duì) x 求導(dǎo)令 x = 0 , 注意此時(shí) 利用隱函數(shù)求導(dǎo)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第7頁(yè)/共33頁(yè)若函數(shù) 的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (

3、x , y) , 定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第8頁(yè)/共33頁(yè)兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)同樣可得則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第9頁(yè)/共33頁(yè)解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 再對(duì) x 求導(dǎo)第10頁(yè)/共33頁(yè)設(shè)則兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第11頁(yè)/共33頁(yè)設(shè)F( x , y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解法解法1 利用偏導(dǎo)數(shù)公式.確定的隱函數(shù),則已知方程機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故第12頁(yè)/共33頁(yè)對(duì)方程兩邊求微分:解法解法2 微分法. 2F機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下

4、頁(yè) 返回 結(jié)束 第13頁(yè)/共33頁(yè)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例 ,即雅可比 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第14頁(yè)/共33頁(yè)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組的單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式 : 在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可唯一唯一確定一組滿足條件滿足:導(dǎo)數(shù)；機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第15頁(yè)/共33頁(yè)定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：(P34-P35)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxGFyyGF第16頁(yè)/共33頁(yè)有隱函數(shù)組則兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得在

5、點(diǎn)P 的某鄰域內(nèi)xuxvxF00公式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故得系數(shù)行列式第17頁(yè)/共33頁(yè)同樣可得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第18頁(yè)/共33頁(yè)解解:方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求練習(xí)練習(xí): 求機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 答案答案:由題設(shè)故有第19頁(yè)/共33頁(yè)在點(diǎn)(u,v) 的某一1) 證明函數(shù)組( x, y) 的某一鄰域內(nèi)2) 求解解: 1) 令對(duì) x , y 的偏導(dǎo)數(shù).在與點(diǎn) (u, v) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且 唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第20頁(yè)/共33頁(yè)式兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得xuxv機(jī)動(dòng)

6、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則有由定理 3 可知結(jié)論 1) 成立.2) 求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù). 第21頁(yè)/共33頁(yè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 從方程組解得同理, 式兩邊對(duì) y 求導(dǎo), 可得第22頁(yè)/共33頁(yè), 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 從方程組解得同理, 式兩邊對(duì) y 求導(dǎo), 可得,1vxJyuuxJyv1第23頁(yè)/共33頁(yè)的反變換的導(dǎo)數(shù) .同樣有所以由于uyJ 1r機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第24頁(yè)/共33頁(yè)1. 隱函數(shù)( 組) 存在定理2. 隱函數(shù) ( 組) 求導(dǎo)方法方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法

7、則直接計(jì)算 ;方法2. 利用微分形式不變性 ;方法3. 代公式思考與練習(xí)思考與練習(xí)設(shè)求機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第25頁(yè)/共33頁(yè) 11f 2f 211fyxf21fzyf1f 2f 21fzyf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第26頁(yè)/共33頁(yè)),(zyxzyxfz2f 21fzyf作業(yè)作業(yè) P37 3 , 6， 7 , 9 , 10(1); (3)，11第六節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由d y, d z 的系數(shù)即可得第27頁(yè)/共33頁(yè)分別由下列兩式確定 :又函數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,1. 設(shè)解解: 兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得x x(2001考研考研)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解得因此第28頁(yè)/共33頁(yè)是由方程和0),(zyxF所確定的函數(shù) , 求解法解法1 分別在各方程兩端對(duì) x 求導(dǎo), 得(99考研考研)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第29頁(yè)/共33頁(yè)對(duì)各方程兩邊分別求微分:化簡(jiǎn)得消去機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 可得第30頁(yè)/共33頁(yè)解解:第31頁(yè)/共33頁(yè)德國(guó)數(shù)學(xué)家. 他在數(shù)學(xué)方面最主要的成就是和挪威數(shù)學(xué)家阿貝兒相互獨(dú)地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎(chǔ). 他對(duì)行列式理論也作了奠基性的工