矩陣的--線性方程組

1、第3章矩陣的初等變換與線性方程組 2010-10-9§ 1矩陣的初等變換 1.定義1下面的三種變換稱為矩陣的初等行變換(1) 對(duì)調(diào)矩陣兩行：ri一一 rj(2) 數(shù)k乘矩陣某一行：冋(3) 數(shù)k乘以矩陣某一行加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上：ri + kfj 把定義中的“行”換成“列”，稱為矩陣的初等列變換。矩陣的初等變換.矩陣的初等行變換、矩陣的初等列變換。1 0 0、 例，對(duì)三階單位矩陣£= 0 1 0做初等變換。0 0 1 /e= 0 1,0 0o) wo0 ro1 0、o 0 =e (1,2),0 1丿廠1 0e= 0 1°3r2 (0、0 = e (2(3),10

2、0301丿(01 00 01丿20、0 =e(1, 2(3)，1丿初等方陣定義初等方陣對(duì)單位矩陣施行一種初等變換得到的矩陣。有三種初等方陣：e( i, j ), e(i(k), e(ij(k)2.等價(jià)矩陣 （p59）等價(jià)矩陣的定義如果矩陣a經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣b，就稱矩陣a與矩陣 b行等價(jià):ab如果矩陣a經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣b，就稱矩陣a與矩陣b列等價(jià)：a-b如果矩陣a經(jīng)有限次初等變換變成矩陣b，就稱矩陣a與矩陣b 等價(jià)：ab等價(jià)矩陣的性質(zhì)反身性aa對(duì)稱性若a b，則b a傳遞性若ab，bc,則a c3階梯形矩陣階梯型矩陣就是各行排在前面零的個(gè)數(shù)，隨著行數(shù)的增加而嚴(yán)格增加.下面矩陣

3、是階梯形:1'第一個(gè)非零元素前有1個(gè)02第一個(gè)非零元素前有2個(gè)0笫一個(gè)非零元素前有4個(gè)00丿第一個(gè)非零元素前有5個(gè)0下面矩陣不是階梯形:第一個(gè)非零元素前有1個(gè)0»第一個(gè)非零元素前有1個(gè)o4. 行最簡(jiǎn)形矩陣在階梯形矩陣當(dāng)中，非零行的第一個(gè)非零元素是1,且所在列其它元素是0。例如下面矩陣是行最簡(jiǎn)形矩陣。<010 7 d10 21=)i 例題：把下面矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣。-7、-403丿431-312 0-23-283、2 -3 74方法: 先化為階梯形矩陣: 方法：用初等變換（行初等變換） 目標(biāo)：上三角形 再化非零行第一個(gè)非零元素為1,并把所在列的其他元素化為0o<2

4、31-3-7、<120-2-4、20-2-4、120-2-4231-3-70-11113-28303-28300-88912-3743丿<2-3743丿<0-778(20-2-4、(20-2-4fl20-2-4)a =00<0-187-i981211丿-100-111-100-ii0（再化行最簡(jiǎn)形）00<0機(jī)動(dòng)例：21000-10000104、340丿10000100o-io0ooi0-2340wa=012-3113-4-222-46-14-37、23一5丿化為階梯形矩陣.-1-4-4-3一5丿011212rs-2ri001-267r4 + 3i001-26-1&

5、lt;0012-60112-12r3-；2001-267z4 + r200000-8000008丿0112-12r3-z200|1-267r + rz4 t z200000 1-800000o丿再把上述矩陣化為行最簡(jiǎn)形。5. 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形任何一個(gè)加“矩陣a，總可以經(jīng)過(guò)初等變換把它化為標(biāo)準(zhǔn)形(er 0、<0 o,標(biāo)準(zhǔn)形由m, n，i三個(gè)數(shù)完全確定，其中i是行階梯形中非零行的行數(shù)。廠10-104 ><10000、01-103010000001-3001000000丿000例如 p61, b5 =6. 用矩陣的初等行變換方法求逆矩陣(1)理論準(zhǔn)備定理 設(shè)j是一個(gè)加x"矩陣

6、，對(duì)4施行一 次初等行變換，相當(dāng)于在且的左邊乘以相應(yīng)的加 階初等矩陣；對(duì)衛(wèi)施行一次初等列變換，相當(dāng)于 在月的右邊乘以相應(yīng)的"階初等矩陣.方陣a可逆的充分必要條件是存在有限個(gè)初等矩陣p,p片 使 a=pp2 £(2)求逆矩陣的方法(a | e)(彳丁初諄?zhàn)兓?(e |才1)初等列變換1匕'丿1丿廠 1 23、例設(shè)a= 2 2 1 ,求才<3 4 3 丿23100、221|010j43000 23*10解（a|e）=7)_3廠1» 0,0<10-2-2-2-30、1 00r3r2r2 三（一2）(10<0fl0-200-2000-1-1-2-

7、11 0、1 0-11 丿1 13 -2>| 36 -5| -1 -1 1 丿13-2)3一s ：3一22 11 1 -1(13-2)/. /t =3-3522i 11-1丿7. 用矩陣的初等行變換方法求矩陣方程利用初等行變換求逆陣的方法，還可用于求 矩陣£ a1 (a ib) = (e即 (a ib)f f初等行變換e ab(a |b)初等行變換一 (e| "b)例 3 (p65)< 21-3、< 1 -p求解矩陣方程ax = b,其中a =1 2 -29 b =2 -0、一1 32 ；、一25 ) / ?解：方程兩邊左乘a逆陣：x = a-b9(有兩個(gè)

8、方法求x = ab:方法一：先求a的逆陣4",再做乘法運(yùn)算a-'bo方法二：利用行初等變換：(a | b )初等行變換一(e|例 1 (p64)廠2-1設(shè) a二 11,4 - 6-2的最簡(jiǎn)形矩陣為f,求f，并求一個(gè)可逆矩陣p,使 pa=f.方法： (a|e )初等行變換-> (f|p )6作業(yè) p 781(1)(2),2,3 (1), 4 (1), 5 (1)堂上練習(xí) 題6 (注意矩陣方程的表示，求解)§2矩陣的秩1 定義定義3 a的k階子式在矩陣a中任選k行k列，這些行列交叉處的元素按原來(lái)順序組成的一個(gè)行列式稱為矩陣a的k階子式。定義4矩陣的秩如果矩陣a中不

9、等于0的子式最高階數(shù)為r,則稱r為矩陣的秩.記為 r(a)，即 r(a)=r.2.結(jié)論滿秩矩陣可逆矩陣成為滿秩矩陣，此時(shí)|a|hoa ho,r(a)=n,a =0, r(a)< n定理 2 若 a b,則 r(a)= r(b).推論 若可逆矩陣匕q使paq=b,則r(a)= r(b)o3 計(jì)算矩陣秩的方法按定義求矩陣的秩的方法找到一個(gè)i階子式不等于0,證明所有r+1階子式全等于0此時(shí),r(a)=r例計(jì)算下列矩陣的秩12-10 20 0 a =0 00 02 2-10-310 0 0-2421 -2 -1 b =2- 403- 636 -60 22 33 41 -1a有一個(gè)三階子式不為零，

10、即0 22= 6 工 0,-3a的所有四階子式全為零(因?yàn)閍的所有四階子式的最后一行全為零)，所以a的秩等于3,即r(a)=3o事實(shí)上，a是一個(gè)階梯形矩陣，關(guān)于矩陣的秩有下面的結(jié)論:矩陣的秩二階梯形矩陣中的階梯個(gè)數(shù)。即 矩陣的秩二階梯形矩陣中非零行向量的個(gè)數(shù) 用初等行變換方法求矩陣的秩用初等行變換方法把矩陣化為階梯形，階梯形矩陣中非零行向量 的個(gè)數(shù)即為矩陣的秩。解：用初等行變換方法求b的秩，并求b的一個(gè)最高階非零子式。10-20-16032 _-27000-310006-2_1-2-102 _0063-2000-3100000-2426-6_"1-2 -102 _1-2-102-24

11、26-62-40232-40233-6334 _ 3-63341-2-102 _1 -2-102 _ 0006-20 022-170022-10 06320063-2_0 0062_b因?yàn)椴粸榱愕男邢蛄坑腥齻€(gè)，所以b的秩等于3,即r(b)=3o在階梯形矩陣當(dāng)中，由前三行的第1, 3, 4列所構(gòu)成的三階子式1 -1 0不為零(0 63 =-18工0),所以，在b中選相應(yīng)的三階子式也不00-3-2 2 6為零,即1-10=12工0。2 0 24.秩的性質(zhì)0 < 7?(a) < minm, n;7?(ar) = 7?(a);若 ab，貝!j r(a)= r(b)；若可逆矩陣r q使paq

12、=b,則r(a)= r(b)；max/?(a),/?(b) < r(a, b) < r(a) + r(b);r(a+ b)< a)+ r(b);若 a,b儀=0,則 r(a) + r(b)s；設(shè)= 若a為滿秩矩陣，則3 = 0。§ 3線性方程組的解考察下面的線性方程組（解是什么？）x1+x2+x3=lx + x? + x3 = 2x + x? + x3 = 2x, + x2 - x3 = 0關(guān)于線性方程組，我們關(guān)心的問(wèn)題是:方程組是否有解？如何求解？如何表示解（解的結(jié)構(gòu)）？1基本概念非齊次線性方程組 ax=baai2、仏、id°2 a2n,x =x2,b

13、= a xa . mm clmn /增廣矩陣b = (ab)系數(shù)矩陣 a注意：mxn非齊次線性方程組(m個(gè)方程n個(gè)未知數(shù))齊次線性方程組ax=o<i|x|+ *%升 0勺円切耳*%看。2.方程組的解:如果一組數(shù)cl,c2,，cn分別代入方程組xl，x2,，xn中，結(jié)果每個(gè)方程成為恒等式，稱cl,c2,.,cn是方程組的解。方程組有解，稱它是相容的(p71)；方程組無(wú)解，稱它是不相容的。3方程組的初等變換(1)對(duì)調(diào)兩個(gè)方程的位置(2)用非零數(shù)乘以某個(gè)方程(3)數(shù)乘某個(gè)方程加到另一個(gè)方程上(方程組的初等變換相當(dāng)于對(duì)增廣矩陣作初等行變換)結(jié)論線性方程組經(jīng)過(guò)初等變換后，成為它的同解方程組。b12

14、 0 -1 -3b 二0 1 2%4ko 0 | 1方程組與增廣矩陣的關(guān)系:o4求解線性方程組非齊次線性方程組的解方法：用初等行變換將增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形（行最簡(jiǎn)形對(duì)應(yīng)的方程組與原方程組是同解方程組）；寫(xiě)出同解方程組;求同解方程組。例解線性方程組例1+ 2x? 8xj =17, 求解方程組<*1 + 7x2- 5x3 = 2,2x: + 5x2 + 3 乞=3.對(duì)增廣矩陣,4施行初等行變換:2b (a | b )=312、173丿275-8 ：2):723917、7-5-23132、23-1丿'1737<25-5-8 :32(10衛(wèi)1 7-5 2、00-9、0 1-1 12

15、0103,0 04 8,、0012丿方程組的解為花=3,兀3 - 2204、例2b 0011j）000丿x + 2j = 4歸=產(chǎn)2尸4 0=0 i z=1f x 2l + 4（r取任意常數(shù)）z = 1寫(xiě)成向量形式:/ x廠-2、9y=t1+0工丿j0丿20斗、b 20011<0001丿x + 2y = 4z = 10 = 1第三個(gè)方程0 = 1無(wú)解練習(xí)，寫(xiě)出下面方程組的增廣矩陣，寫(xiě)出增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣 對(duì)應(yīng)的同解線性方程組。<1_211 11><1_201 10、a =1-211 1-1t>0010 i1_251 15丿<0000 i°,同

16、解方程組為=0、兀3 =1解之xj = 2x2 - x4<m =1/ 、西、9100二 q+ c2+兀3001丄0寫(xiě)出其向量形式:這個(gè)解稱為方程組的一般解(或通解)(機(jī)動(dòng)p75,例12)7 作業(yè) p79 9,10(3),12, 14(2),5如何判斷方程組有解(線性方程組解的討論)從上節(jié)的例4,r(a)=3, /?(a) = 3,r(a)= r(a)方程組有解.從例2可看出：r(a) = r(a)=2,方程組有無(wú)窮解從例3可看出：r(a)=2, r(a) = 3，方程組無(wú)解事實(shí)上，任何一個(gè)增廣矩陣可通過(guò)初等行變換化為階梯形(行最 簡(jiǎn)形)，從階梯形矩陣我們可研究系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩，

17、從 而在研究方程組的解。<1001 0 cr+1c2r+1cmc2n:d2入=(a%)t 00 1crr+15a30 00 0:dur+l>設(shè)r(a) = r,則增廣矩陣可化為如下階梯形(行最簡(jiǎn)形)注意到階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的線性方程組與原方程組是同解方程 組。當(dāng)且僅當(dāng)d r+i=0,即r(a) = r(a) = r時(shí)方程組有解，并且如果r v n ,方程組的解為x=山 _5+“+clnxnx2 =d2 _c2r+lxr+lc2nxn< 含有nr個(gè)自由未知量，有、x=山 _5+斗crnxn無(wú)窮解。如果r=/7,方程組有唯一解x=山x2 = 2 zn - dn定理n元線性方程組解的

18、情況如下:(1 )對(duì)于非齊次線性方程組axb ,有解的充要條件是r(a) = r(入)(2)有無(wú)窮解的充要條件是r(a) = r(a) < n(無(wú)窮解中含有nr個(gè)自由未知量(r =r(a) (3)有唯一解的充要條件是r(a) = r(a) = n推論：若m=n ,方程組(3.4)有唯一解的充要條件是系數(shù)行列式不等于0。6齊次線性方程組的解齊次線性方程組的矩陣形式為ax=o.顯然，axo-定有解, 因?yàn)閞(a) = r(a)永遠(yuǎn)成立。如果齊次線性方程組只有一個(gè)解，那么肯定就是零解。如果齊次線性方程組有無(wú)窮解，那么除零解以外還有別的解，稱 為非零解。定理n元齊次線性方程組解的情況如下:(1)

19、只有零解的的充要條件是r(a) = n(2)有非零解(無(wú)窮解)的充要條件是r(a)<n推論：齊次線性方程組中若m二n,則有(1)只有零解的的充要條件是|a|ho(2)有非零解(無(wú)窮解)的充要條件是=0解齊次線性方程組ax = 0的一般方法例10求解齊次線性方程組兀1 + 2x2 + 2x3 + £ = 0 2x + x2- 2x3 一 2x4 = 0xj 一 一 4花 一 3 兀4 = °<1221；0、<12215 0、21-2-2；00-36-4；0<1-1-4-30丿<0-36-4(5、z1 0-2:01221:0、_30124:0012

20、4:0339<0000:0丿0 0005 0丿x| 2兀3 =0同解方程為4x2 + 2無(wú)3 + x4 = 0由此得（七，“為自由位未知量），c 4令x4=c2,得兀2=2q§c2,寫(xiě)成向量形式為勺=c勺=c?/ 、< 2、-2厶無(wú)3=g1< 0>+ c253430例13討論非齊次線性方程組的解設(shè)線性方程組為(1 + x。+ 七=0vxy + (1 + 2)兀2 + 七=3x + *2 + (1 + 2)*3 = 2問(wèn)久取何值時(shí)，此方程組(1)有唯一解；(2)無(wú)解；(3)有無(wú)限多個(gè)解，并求其通解。解法一，對(duì)增廣矩陣作初等行變換，把它化為行最簡(jiǎn)形，對(duì)系數(shù)矩陣&#

21、39;1 + 211；0 、(111 +久:2 'a =11 + a1：311 + 21:3,1-11 + 25 a),1 + 211:° j11 + 252 、0a-2 j3-2、0-a-2(2 + a):2(1 + a) 丿11 + 250a-a :3 20 2(3 + 2) : (1 - 2)(3 + a)z/(1)當(dāng)a 0且2工一3時(shí),/?(a) = /?(a)=3,方程組有惟一解；(2)當(dāng)久=0 , /?(a)=1,/?(方)=2,方程組無(wú)解；(3)當(dāng) a = -3 時(shí)，r(a) =:r(a) =2< n, (n= 3)，方程組有無(wú)窮解。這時(shí),<11-2

22、 :-3<10 -1 :-1 a0-33 ；601 -1 :-2<000 ；0丿<00 0 :° >由此得同解方程組解之ef廠，"為自由未知量,x2 = x3-2方程組的通解為仁=c-2, c為任意常數(shù),x. = c/ 、<1>即x2=c1+-20j丿<0 )解法二p76因?yàn)橄禂?shù)矩陣a是方陣，故方程組有唯一解的充分必要條件是系數(shù)行列式不等于0,即皿|工0,而1 + 2113 + 211a11 +久13 + a1 +久1111 + 23 + 211 + q1 1 1= (3 + 2) 1 1 +久 110 = (3 + a)2 1= (3 + 2)0 a 0 0(1)當(dāng)2工0且qh-3時(shí), 工0,方程組有惟一解;(2)當(dāng)久=0時(shí),q 1o 、11110 、a111130 0 0 ： 1j 1° 丿ko 0 0 ： 0 ?r(a)=1, /?(a) = 2,方程組無(wú)解;(3)當(dāng)2 = 3時(shí),<-211 :0、< 11-2 ；-3 、a1-21 531-21 :3i 11-2 :3-211 :0 丿/p1-2；-31-2 :-3、0-