2008年第25屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試卷及答案(word版)

1、1 2008 年第 25 屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試卷本卷共八題，滿分160 分一、 （15 分）1、 （5 分）蟹狀星云脈沖星的輻射脈沖周期是0.033s 。假設(shè)它是由均勻分布的物質(zhì)構(gòu)成的球體，脈沖周期是它的旋轉(zhuǎn)周期，萬有引力是唯一能阻止它離心分解的力，已知萬有引力常量113126.67 10gmkgs，由于脈沖星表面的物質(zhì)未分離，故可估算出此脈沖星密度的下限是3kg m。2 、（ 5分 ） 在 國 際 單 位 制 中 ， 庫 侖 定 律 寫 成122q qfkr， 式 中 靜 電 力 常 量9228.9810kn mc，電荷量1q和2q的單位都是庫侖，距離r的單位是米， 作用力f的單位是牛

2、頓。若把庫侖定律寫成更簡潔的形式122q qfr，式中距離r的單位是米，作用力 f 的單位是牛頓。若把庫侖定律寫成更簡潔的形式122q qfr，式中距離r的單位是米，作用力f的單位是牛頓，由此式可這義一種電荷量q的新單位。當(dāng)用米、千克、秒表示此新 單位時，電荷新單位 = ；新 單位與庫侖的關(guān)系為1 新單位= c。3、 （ 5 分）電子感應(yīng)加速器（betatron ）的基本原理如下：一個圓環(huán)真空室處于分布在圓柱形體積內(nèi)的磁場中，磁場方向沿圓柱的軸線，圓柱的軸線過圓環(huán)的圓心并與環(huán)面垂直。圓中兩個同心的實線圓代表圓環(huán)的邊界， 與實線圓同心的虛線圓為電子在加速過程中運(yùn)行的軌道。已知磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度b隨

3、時間t的變化規(guī)律為0cos(2/)bbt t，其中t為磁場變化的周期。b0為大于 0 的常量。當(dāng)b為正時，磁場的方向垂直于紙面指向紙外。若持續(xù)地將初速度為v0的電子沿虛線圓的切線方向注入到環(huán)內(nèi)（如圖），則 電 子 在 該 磁 場 變 化 的 一 個 周 期 內(nèi) 可 能 被 加 速 的 時 間 是 從t= 到t= 。二、 （21 分）嫦娥 1 號奔月衛(wèi)星與長征3 號火箭分離后，進(jìn)入繞地運(yùn)行的橢圓軌道，近地點離地面高22.05 10nhkm，遠(yuǎn)地點離地面高45.0930 10fhkm，周期約為16 小時，稱為 16 小時軌道（如圖中曲線1 所示）。隨后， 為了使衛(wèi)星離地越來越遠(yuǎn)，星載發(fā)動機(jī)先在遠(yuǎn)地

4、點點火，使衛(wèi)星進(jìn)入新軌道（如圖中曲線2 所示），以抬高近地點。后來又連續(xù)三次在抬高以后的近地點點火，使衛(wèi)星加速和變軌，抬高遠(yuǎn)地點，相繼進(jìn)入24 小時軌道、 48 小時軌道和地月轉(zhuǎn)移軌道（分別如 圖 中 曲 線3 、 4 、 5所 示 ）。 已 知 衛(wèi) 星 質(zhì) 量32.350 10mkg，地球半徑36.378 10rkm，地面重2 力加速度29.81/gm s，月球半徑31.73810rkm。1、試計算16 小時軌道的半長軸a 和半短軸 b 的長度，以及橢圓偏心率e。2、在 16 小時軌道的遠(yuǎn)地點點火時，假設(shè)衛(wèi)星所受推力的方向與衛(wèi)星速度方向相同，而且點火時間很短， 可以認(rèn)為橢圓軌道長軸方向不變。

5、設(shè)推力大小490fn，要把近地點抬高到600km，問點火時間應(yīng)持續(xù)多長？3、試根據(jù)題給數(shù)據(jù)計算衛(wèi)星在16 小時軌道的實際運(yùn)行周期。4、衛(wèi)星最后進(jìn)入繞月圓形軌道，距月面高度mh約為 200km，周期127mt分鐘，試據(jù)此估算月球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比值。三、 （22 分）足球射到球門橫梁上時，因速度方向不同、射在橫梁上的位置有別，其落地點也是不同的。 已知球門的橫梁為圓柱形，設(shè)足球以水平方向的速度沿垂直于橫梁的方向射到橫梁上，球與橫梁間的滑動摩擦系數(shù)0.70，球與橫梁碰撞時的恢復(fù)系數(shù)e=0.70 。試問足球應(yīng)射在橫梁上什么位置才能使球心落在球門線內(nèi)（含球門上） ？足球射在橫梁上的位置用球與橫梁的撞擊

6、點到橫梁軸線的垂線與水平方向（垂直于橫梁的軸線）的夾角（小于90）來表示。不計空氣及重力的影響。四、 （20 分）圖示為低溫工程中常用的一種氣體、蒸氣壓聯(lián)合溫度計的原理示意圖， m為指針壓力表，以vm表示其中可以容納氣體的容積；b為測溫飽，處在待測溫度的環(huán)境中，以vb表示其體積； e 為貯氣容器，以ve表示其體積； f 為閥門。 m 、e、b由體積可忽略的毛細(xì)血管連接。在 m 、e、b均處在室溫0300tk時充以壓強(qiáng)505.2 10ppa的氫氣。假設(shè)氫的飽和蒸氣仍遵從理想氣體狀態(tài)方程。現(xiàn)考察以下各問題：1、關(guān)閉閥門f，使 e與溫度計的其他部分隔斷，于是m 、b構(gòu)成一簡易的氣體溫度計，用它可測量

7、 25k 以上的溫度，這時 b 中的氫氣始終處在氣態(tài)，m處在室溫中。試導(dǎo)出b處的溫度t和壓力表顯示的壓強(qiáng)p的關(guān)系。除題中給出的室溫0t時 b中氫氣的壓強(qiáng)0p外，理論上至少還需要測量幾個已知溫度下的壓強(qiáng)才能定量確定t與p之間的關(guān)系？2、開啟閥門f，使 m 、e、 b連通，構(gòu)成一用于測量2025k 溫度區(qū)間的低溫的蒸氣壓溫度計， 此時壓力表m測出的是液態(tài)氫的飽和蒸氣壓。由于飽和蒸氣壓與溫度有靈敏的依賴關(guān)系，知道了氫的飽和蒸氣壓與溫度的關(guān)系，通過測量氫的飽和蒸氣壓，就可相當(dāng)準(zhǔn)確地確定這一溫區(qū)的溫度。在設(shè)計溫度計時，要保證當(dāng)b處于溫度低于25vtk時， b中一定要有液態(tài)氫存在，而當(dāng)溫度高于25vtk時

8、， b 中無液態(tài)氫。到達(dá)到這一目的，mevv與 vb間應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系？已知25vtk時，液態(tài)氫的飽和蒸氣壓53.3 10vppa。3、已知室溫下壓強(qiáng)511.04 10ppa的氫氣體積是同質(zhì)量的液態(tài)氫體積的800 倍，試論證蒸氣壓溫度計中的液態(tài)氣不會溢出測溫泡b。五、 （20 分）一很長、很細(xì)的圓柱形的電子束由速度為v的勻速運(yùn)動的低速電子組成，電子3 在電子束中均勻分布，沿電子束軸線每單位長度包含n個電子，每個電子的電荷量為(0)e e，質(zhì)量為m。該電子束從遠(yuǎn)處沿垂直于平行板電容器極板的方向射向電容器，其前端（即圖中的右端）于 t=0 時刻剛好到達(dá)電容器的左極板。電容器的兩個極板上各開一個小孔

9、，使電子束可以不受阻礙地穿過電容器。兩極板a、b之間加上了如圖所示的周期性變化的電壓abv（ababvvv，圖中只畫出了一個周期的圖線），電壓的最大值和最小值分別為 v0和 v0，周期為t。若以表示每個周期中電壓處于最大值的時間間隔，則電壓處于最小值的時間間隔為t。已知的值恰好使在vab變化的第一個周期內(nèi)通過電容器到達(dá)電容器右邊的所有的電子，能在某一時刻tb形成均勻分布的一段電子束。設(shè)電容器兩極板間的距離很小，電子穿過電容器所需要的時間可以忽略，且206mvev，不計電子之間的相互作用及重力作用。1、滿足題給條件的和bt的值分別為= t，bt= t。2、試在下圖中畫出2tt那一時刻， 在02t

10、時間內(nèi)通過電容器的電子在電容器右側(cè)空間形成的電流i， 隨離開右極板距離x 的變化圖線， 并在圖上標(biāo)出圖線特征點的縱、橫坐標(biāo)（坐標(biāo)的數(shù)字保留到小數(shù)點后第二位）。取x正向為電流正方向。圖中0 x處為電容器的右極板 b 的小孔所在的位置，橫坐標(biāo)的單位0evsm。 （本題按畫出的圖評分，不須給出計算過程）六、 （22 分）零電阻是超導(dǎo)體的一個基本特征，但在確認(rèn)這一事實時受到實驗測量精確度的限制。為克服這一困難，最著名的實驗是長時間監(jiān)測浸泡在液態(tài)氦（溫度t=4.2k）中處于超導(dǎo)態(tài)的用鉛絲做成的單匝線圈（超導(dǎo)轉(zhuǎn)換溫度tc=7.19k ） 中電流的變化。 設(shè)鉛絲粗細(xì)均勻，4 初始時通有i=100a 的電流，

11、 電流檢測儀器的精度為1.0ima，在持續(xù)一年的時間內(nèi)電流檢測儀器沒有測量到電流的變化。根據(jù)這個實驗， 試估算對超導(dǎo)態(tài)鉛的電阻率為零的結(jié)論認(rèn)定 的 上限 為 多大 。設(shè) 鉛中 參 與導(dǎo) 電 的電 子數(shù) 密度2038.0010nm， 已知 電 子質(zhì) 量319.11 10mkg，基本電荷191.60 10ec。 （采用的估算方法必須利用本題所給出的有關(guān)數(shù)據(jù)）七、 （20 分）在地面上方垂直于太陽光的入射方向，放置一半徑r=0.10m、焦距 f=0.50m 的薄凸透鏡，在薄透鏡下方的焦面上放置一黑色薄圓盤（圓盤中心與透鏡焦點重合），于是可以在黑色圓盤上形成太陽的像。已知黑色圓盤的半徑是太陽像的半徑的

12、兩倍。圓盤的導(dǎo)熱性極好， 圓盤與地面之間的距離較大。設(shè)太陽向外輻射的能量遵從斯特藩玻爾茲曼定律：在單位時間內(nèi)在其單位表面積上向外輻射的能量為4wt，式中為斯特藩玻爾茲曼常量， t 為輻射體表面的的絕對溫度。對太而言，取其溫度35.50 10stc。大氣對太陽能的吸收率為0.40。又設(shè)黑色圓盤對射到其上的太陽能全部吸收，同時圓盤也按斯特藩玻爾茲曼定律向外輻射能量。如果不考慮空氣的對流，也不考慮雜散光的影響，試問薄圓盤到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)時可能達(dá)到的最高溫度為多少攝氏度？八、 （20 分）質(zhì)子數(shù)與中子數(shù)互換的核互為鏡像核，例如3he是3h的鏡像核，同樣3h是3he的鏡像核。已知3h和3he原子的質(zhì)量分別是

13、33.016050hmu和33.016029hemu，中子和質(zhì)子質(zhì)量分別是1.008665nmu和1.007825pmu，2931.51umevc，式中 c 為光速，靜電力常量21.44kmevfme，式中 e 為電子的電荷量。1、試計算3h和3he的結(jié)合能之差為多少mev 。2、已知核子間相互作用的“核力”與電荷幾乎沒有關(guān)系，又知質(zhì)子和中子的半徑近似相等，試說明上面所求的結(jié)合能差主要是由什么原因造成的。并由此結(jié)合能之差來估計核子半徑nr。3、實驗表明，核子可以被近似地看成是半徑nr恒定的球體；核子數(shù)a較大的原子核可以近似地被看成是半徑為r的球體。 根據(jù)這兩點， 試用一個簡單模型找出r與 a的

14、關(guān)系式； 利用本題第2 問所求得的nr的估計值求出此關(guān)系式中的系數(shù)；用所求得的關(guān)系式計算208pb核的半徑pbr。5 參考解答一、答案1. 14103.1 2. 31122kgms51.0610( 答51.0510也給 ) 3. 34t t二、 參考解答：1. 橢圓半長軸a等于近地點和遠(yuǎn)地點之間距離的一半，亦即近地點與遠(yuǎn)地點矢徑長度（皆指衛(wèi)星到地心的距離）nr與fr的算術(shù)平均值，即有nfnfnf111222arrhrhrhhr (1) 代入數(shù)據(jù)得43.194610akm (2) 橢圓半短軸b等于近地點與遠(yuǎn)地點矢徑長度的幾何平均值，即有n fbr r (3) 代入數(shù)據(jù)得41.942 10 kmb

15、 (4) 橢圓的偏心率abae22 (5) 代入數(shù)據(jù)即得0.7941e (6) 2. 當(dāng)衛(wèi)星在16 小時軌道上運(yùn)行時，以nv和fv分別表示它在近地點和遠(yuǎn)地點的速度，根據(jù)能量守恒，衛(wèi)星在近地點和遠(yuǎn)地點能量相等，有22nfnf1122gmmgmmmmrrvv (7) 式中m是地球質(zhì)量，g是萬有引力常量. 因衛(wèi)星在近地點和遠(yuǎn)地點的速度都與衛(wèi)星到地心6 的連線垂直，根據(jù)角動量守恒，有n nffmrmrvv (8) 注意到grgm2 (9) 由(7) 、(8) 、(9) 式可得fnnfn2rgrr rrv (10) nnfnfffn2rrgrrr rrvv (11) 當(dāng)衛(wèi)星沿16 小時軌道運(yùn)行時，根據(jù)題

16、給的數(shù)據(jù)有nnrrhffrrh由(11) 式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得f1.198vkm/s (12) 依題意， 在遠(yuǎn)地點星載發(fā)動機(jī)點火，對衛(wèi)星作短時間加速，加速度的方向與衛(wèi)星速度方向相同，加速后長軸方向沒有改變，故加速結(jié)束時，衛(wèi)星的速度與新軌道的長軸垂直，衛(wèi)星所在處將是新軌道的遠(yuǎn)地點. 所以新軌道遠(yuǎn)地點高度4ff5.0930 10hhkm ，但新軌道近地點高度2n6.00 10hkm.由(11) 式，可求得衛(wèi)星在新軌道遠(yuǎn)地點處的速度為f1.230vkm/s (13) 衛(wèi)星動量的增加量等于衛(wèi)星所受推力ft，有ffmf tvv (14) 由(12) 、(13) 、(14) 式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得t=21.5

17、10 s (約2.5分) (15) 這比運(yùn)行周期小得多. 3. 當(dāng)衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)行時，以r表示它所在處矢徑的大小，v表示其速度的大小，表示矢徑與速度的夾角，則衛(wèi)星的角動量的大小sin2lrmmv (16 ) 其中1sin2rv（17）是衛(wèi)星矢徑在單位時間內(nèi)掃過的面積，即衛(wèi)星的面積速度. 由于角動量是守恒的，故是恒量. 利用遠(yuǎn)地點處的角動量，得7 ff12r v (18) 又因為衛(wèi)星運(yùn)行一周掃過的橢圓的面積為sab (19) 所以衛(wèi)星沿軌道運(yùn)動的周期st(20) 由(18) 、(19) 、(20) 式得ff2 abtr v (21) 代入有關(guān)數(shù)據(jù)得45.67810ts ( 約 15 小時 46

18、 分) (22) 注： 本小題有多種解法. 例如，由開普勒第三定律，繞地球運(yùn)行的兩亇衛(wèi)星的周期t與t0之比的平方等于它們的軌道半長軸a與a0之比的立方，即2300tata若0a是衛(wèi)星繞地球沿圓軌道運(yùn)動的軌道半徑，則有202002gmmmaat得222032044tagmgr從而得2 aatrg代入有關(guān)數(shù)據(jù)便可求得(22) 式. 4. 在繞月圓形軌道上，根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律有2mm2mm2()gmmmrrt (23) 這里mmrrh是衛(wèi)星繞月軌道半徑，mm是月球質(zhì)量 . 由(23) 式和 (9) 式，可得23mm22m4rmmgr t (24) 代入有關(guān)數(shù)據(jù)得8 m0.0124mm(25)

19、 三、 參考解答：足球射到球門橫梁上的情況如圖所示（圖所在的平面垂直于橫梁軸線）. 圖中b表示橫梁的橫截面，o1為橫梁的軸線；11o o為過橫梁軸線并垂直于軸線的水平線；a表示足球，o2為其球心；o點為足球與橫梁的碰撞點，碰撞點o的位置由直線o1oo2與水平線11oo的夾角表示 . 設(shè)足球射到橫梁上時球心速度的大小為v0，方向垂直于橫梁沿水平方向，與橫梁碰撞后球心速度的大小為v，方向用它與水平方向的夾角表示如圖. 以碰撞點o為原點作直角坐標(biāo)系oxy，y軸與o2oo1重合 . 以表示碰前速度的方向與y軸的夾角，以表示碰后速度的方向與y軸( 負(fù)方向 ) 的夾角，足球被橫梁反彈后落在何處取決于反彈后

20、的速度方向，即角的大小 . 以fx表示橫梁作用于足球的力在x方向的分量的大小，fy表示橫梁作用于足球的力在yt表示橫梁與足球相互作用的時間，m表示足球的質(zhì)量，有x0 xxftmmvv (1) yy0yftmmvv (2)式中0 xv、0yv、xv和yv分別是碰前和碰后球心速度在坐標(biāo)系oxy中的分量的大小. 根據(jù)摩擦定律有xyff (3) 由（ 1）、（ 2）、（ 3）式得0 xxy0yvvvv (4) 根據(jù)恢復(fù)系數(shù)的定義有y0yevv（5）因0 x00ytanvv（6）9 xytanvv（7）由（ 4）、（ 5）、（ 6）、（ 7）各式得ee11tan1tan0（8）由圖可知（9）若足球被球門

21、橫梁反彈后落在球門線內(nèi)，則應(yīng)有90 (10) 在臨界情況下，若足球被反彈后剛好落在球門線上，這時90. 由（ 9）式得tan 90tan (11) 因足球是沿水平方向射到橫梁上的，故0，有ee11tan1tan1 (12) 這就是足球反彈后落在球門線上時入射點位置所滿足的方程 . 解（ 12）式得22211114tan2eeeee (13) 代入有關(guān)數(shù)據(jù)得tan1.6 (14) 即58 (15) 現(xiàn)要求球落在球門線內(nèi)，故要求58 (16) 四、 參考解答：1. 當(dāng)閥門 f關(guān)閉時，設(shè)封閉在m 和b中的氫氣的摩爾數(shù)為n1，當(dāng) b處的溫度為t 時，壓力表顯示的壓強(qiáng)為p，由理想氣體狀態(tài)方程，可知b和m

22、 中氫氣的摩爾數(shù)分別為rtpvnbb1(1) 10 0mm1rtpvn(2) 式中r為普適氣體恒量. 因1m1b1nnn(3) 解（ 1）、（ 2）、（ 3）式得1mbb011n rvtvpv t (4) 或1mbb0ptn rvpvv t(5) (4) 式表明，t1與p1成線性關(guān)系，式中的系數(shù)與儀器結(jié)構(gòu)有關(guān). 在理論上至少要測得兩個已知溫度下的壓強(qiáng)，作t1對p1的圖線，就可求出系數(shù). 由于題中己給出室溫t0時的壓強(qiáng)p0，故至少還要測定另一己知溫度下的壓強(qiáng)，才能定量確定t與p之間的關(guān)系式 . 2. 若蒸氣壓溫度計測量上限溫度vt時有氫氣液化，則當(dāng)b處的溫度vtt時， b、m 和e中氣態(tài)氫的總摩

23、爾數(shù)應(yīng)小于充入氫氣的摩爾數(shù). 由理想氣體狀態(tài)方程可知充入氫氣的總摩爾數(shù)0bme20pvvvnrt（6）假定液態(tài)氫上方的氣態(tài)氫仍可視為理想氣體，則b中氣態(tài)氫的摩爾數(shù)為vb2bvp vnrt（7）在（ 7）式中，已忽略了b中液態(tài)氫所占的微小體積. 由于蒸氣壓溫度計的其它都分仍處在室溫中，其中氫氣的摩爾數(shù)為me2m2e0p vvnnrt（8）根據(jù)要求有2b2m2e2nnnn（ 9）11 解（ 6）、（ 7）、（ 8）、（ 9）各式得bvv0v00vemvtpptptpvv (10) 代入有關(guān)數(shù)據(jù)得meb18vvv (11) 五、 答案與評分標(biāo)準(zhǔn)：159. 022122(3 分) 2 (2分) 2如圖

24、 (15 分. 代表電流的每一線段3 分，其中線段端點的橫坐標(biāo)占1 分，線段的長度占1 分，線段的縱坐標(biāo)占1 分) 六、 參考解答：如果電流有衰減，意味著線圈有電阻，設(shè)其電阻為r，則在一年時間t內(nèi)電流通過線圈因發(fā)熱而損失的能量為rtie2（ 1）以表示鉛的電阻率，s表示鉛絲的橫截面積，l 表示鉛絲的長度，則有slr（2）電流是鉛絲中導(dǎo)電電子定向運(yùn)動形成的，設(shè)導(dǎo)電電子的平均速率為v，根據(jù)電流的定義有is nev1 2 3 4 x/s i/neo 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 0.83 1.17 2.00 2.83 4.00 12 （3）所謂在持續(xù)一年的時間內(nèi)沒有觀測到電流的變化，并不等

25、于電流一定沒有變化，但這變化不i，即電流變化的上限為ma0.1i. 由于導(dǎo)電電子的數(shù)密度n是不變的，電流的變小是電子平均速率變小的結(jié)果，一年內(nèi)平均速率由v變?yōu)関-v，對應(yīng)的電流變化ines v（4）導(dǎo)電電子平均速率的變小，使導(dǎo)電電子的平均動能減少，鉛絲中所有導(dǎo)電電子減少的平均動能為221122kelsnmmvvvlsnmv v（5）ii ，vv，v的平方項已被略去.由（3）式解出v，（4）式解出v，代入（ 5）式得2klmiiene s (6) 鉛絲中所有導(dǎo)電電子減少的平均動能就是一年內(nèi)因發(fā)熱而損失的能量，即eek（7）由(1) 、(2) 、(6) 、(7) 式解得2m ine it（8）式中7365243600s=3.1510 st（9）在（ 8）式中代入有關(guān)數(shù)據(jù)得261.410 m(10) 所以電阻率為 0的結(jié)論在這一實驗中只能認(rèn)定到m104. 126 (11) 七、 參考解答 ：按照斯特藩 - 玻爾茲曼定律，在單位時間內(nèi)太陽表面單位面積向外發(fā)射的能量為4sswt(1)其中為斯特藩 - 玻爾茲曼常量，ts為太陽表面的絕對溫度. 若太陽的半徑為rs，則單位時間內(nèi)整個太陽表面向外輻射的能量為2sss4pr w (2) 13 單位時間內(nèi)通過以太陽為中心的任意一個球面的能量都是sp. 設(shè)太陽到地球的距離為rse， 考慮到地球周圍大氣的吸收，地面附近半徑為r的透鏡接收到的太陽輻射的