完全平方公式教案

1、完全平方公式（一） 教學目標 （一）教學知識點 1完全平方公式的推導及應用 2完全平方公式的幾何理解 （二）能力訓練要求 1使學生理解完全平方公式,掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特 征 ,并會用這兩個公式進行計算. 2重視學生對算理的理解，有意識地培養(yǎng)學生的思維條理性和表達能力 （三）情感與價值觀要求 在靈活應用公式的過程中激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和探索精神 教學重點 完全平方公式的推導過程、結(jié)構(gòu)特點、幾何解釋，靈活應用 教學難點 理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征并能靈活應用公式進行計算 教學方法 自主探索法 有了平方差公式的學習基礎(chǔ)，學生可以在教師引導下自主探索完全平方公式，最后達到靈活、準確

2、應用公式的目的 教具準備 投影片教學過程一.復習 1.敘述平方差公式的內(nèi)容并用字母表示. 2.用簡便方法計算 （1）103×97 （2）103 × 103 1.敘述平方差公式的內(nèi)容并用字母表示. 兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積, 等于這兩個數(shù)的平方差. 公式表示: (a+b) (a-b)=a2 b2 2.（1）103× 97=（100+3）（ 100-3） 二提出問題，創(chuàng)設(shè)情境 師請同學們探究下列問題： （出示投影片） 一位老人非常喜歡孩子每當有孩子到他家做客時，老人都要拿出糖果招待他們來一個孩子，老人就給這個孩子一塊糖，來兩個孩子，老人就給每個孩子兩塊塘， （1）

3、第一天有a個男孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （2）第二天有b個女孩去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （3）第三天這（a+b）個孩子一起去看老人，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （4）這些孩子第三天得到的糖果數(shù)與前兩天他們得到的糖果總數(shù)哪個多？多多少？為什么？ 生（1）第一天老人一共給了這些孩子a2糖 （2）第二天老人一共給了這些孩子b2糖 （3）第三天老人一共給了這些孩子（a+b）2糖 （4）孩子們第三天得到的糖塊總數(shù)與前兩天他們得到的糖塊總數(shù)比較，應用減法即： （a+b）2（a2+b2） 我們上一節(jié)學了平方差公式即（a+b）（a-b）=a2-b2，現(xiàn)在遇到了兩個數(shù)的

4、和的平方，這倒是個新問題師老師很欣賞你的觀察力，這正是我們這節(jié)課要研究的問題導入新課 師能不能將（a+b）2轉(zhuǎn)化為我們學過的知識去解決呢？ 生可以我們知道a2=a·a，所以（a+b）2=（a+b）（a+b），這樣就轉(zhuǎn)化成多項式與多項式的乘積了 師像研究平方差公式一樣，我們探究一下（a+b）2的運算結(jié)果有什么規(guī)律 （出示投影片） 計算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_； （2）（m+2）2=_； （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=_； （4）（m-2）2=_； （5）（a+b）2=_； （6）（a-b）2=_ 生甲（1）（p+1）2=（p

5、+1）（p+1）=p2+p+p+1=p2+2p+1 （2）（m+2）2=（m+2）（m+2）=m2+2m+m·2+2×2=m2+4m+4 （3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=p2+p·（-1）+（-1）·p+（-1）×（-1）=p2-2p+1 （4）（m-2）2=（m-2）（m-2）=m2+m·（-2）+（-2）·m+（-2）×（-2）=m2-4m+4 （5）（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2 （6）（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-

6、2ab+b2 生乙我還發(fā)現(xiàn)（1）結(jié)果中的2p=2·p·1，（2）結(jié)果中4m=2·m·2，（3）、（4）與（1）、（2）比較只有一次項有符號之差，（5）、（6）更具有一般性，我認為它可以做公式用 師大家分析得很好可以用語言敘述嗎？ 生兩數(shù)和（或差）的平方等于這兩數(shù)的平方和再加（或減）它們的積的2倍 生它是一個完全平方的形式，能不能叫完全平方公式呢？ 師很有道理它和平方差公式一樣，使整式運算簡便易行于是我們得到完全平方公式： 文字敘述：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍 符號敘述：（a+b）2=a2+2ab+b2 （a-b）2=

7、a2-2ab+b2 其實我們還可以從幾何角度去解釋完全平方差公式 （出示投影片）你能根據(jù)圖（1）和圖（2）中的面積說明完全平方公式嗎？ 生甲先看圖（1），可以看出大正方形的邊長是a+b 生乙還可以看出大正方形是由兩個小正方形和兩個矩形組成，所以大正方形的面積等于這四個圖形的面積之和 生丙陰影部分的正方形邊長是a，所以它的面積是a2；另一個小正方形的邊長是b，所以它的面積是b2；另外兩個矩形的長都是a，寬都是b，所以每個矩形的面積都是ab；大正方形的邊長是a+b，其面積是（a+b）2于是就可以得出：（a+b）2=a2+ab+b2這正好符合完全平方公式 生丁那么，我們可以用完全相同的方法來研究圖（

8、2）的幾何意義了 如圖（2）中，大正方形的邊長是a，它的面積是a2；矩形DCGE與矩形BCHF是全等圖形，長都是a，寬都是b，所以它們的面積都是a·b；正方形HCGM的邊長是b，其面積就是b2；正方形AFME的邊長是（a-b），所以它的面積是（a-b）2從圖中可以看出正方形AEMF的面積等于正方形ABCD的面積減去兩個矩形DCGE和BCHF的面積再加上正方形HCGM的面積也就是：（a-b）2=a2-2ab+b2這也正好符合完全平方公式 師數(shù)學源于生活，又服務于生活，于是我們可以進一步理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征現(xiàn)在，大家可以輕松解開課時提出的老人用糖招待孩子的問題了 （a+b）2-（a

9、2+b2） =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab于是得孩子們第三天得到的糖果總數(shù)比前兩天他們得到的糖果總數(shù)多2ab塊 應用舉例： 出示投影片：例1應用完全平方公式計算： （1）（4m+n）2 （2）（y-）2 （3）（-a-b）2 （4）（b-a）2 例2運用完全平方公式計算： （1）1032 （2）1992 分析：利用完全平方公式計算，第一步先選擇公式；第二步準確代入公式；第三步化簡 例1解： （1）（4m+n）2=（4m）2+2·4m·n+n2 （a+b）2=a2+2·a·b+b2 =16m2+8mn+n2 （2）方法一： （y-）2=y2-2&

10、#183;y·+（）2 （a-b）2=a2-2·a·b+b2 =y2-y+ 方法二：（y-）2 =y+（-）2=y2+2·y·（-）+（-）2 （a+b）2=a2+2·a·b+b2 =y2-y+ （3）（-a-b）2=（-a）2-2·（-a）·b+b2=a2+2ab+b2 （4）（b-a）2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 從（3）、（4）的計算可以發(fā)現(xiàn)： （a+b）2=（-a-b）2，（a-b）2=（b-a）2 例2解：（1）1032=（100+3）2 =1002+2×100×3+32 =10000+600+9 =10609 （2）1992=（200-1）2 =2002-2×200×1+12 =40000-400+1 =39601 師請同學們總結(jié)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征 生公式的左邊是一個二項式的完全平方；右邊是三項，其中有兩項是左邊二項式中每一項的平方而另一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍 師說得很好，我們還要正確理解公式中字母的廣泛含義：它可以是數(shù)字、字母或其他代數(shù)式，只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以運用這一公式 隨堂練習 課本P181練習1、