2021年高考數(shù)學(xué)專題分類匯編：平面向量(含答案)

1、平面向量15 （2021?上海）在 abc 中，d 為 bc 中點(diǎn)， e 為 ad 中點(diǎn)，則以下結(jié)論：存在 abc，使得0； 存在三角形abc，使得（+） ；它們的成立情況是（）a成立， 成立b成立， 不成立c不成立， 成立d 不成立， 不成立19 （2021?甲卷）已知向量 （ 3，1） ，（1，0） ，+k若，則 k29 （2021?浙江）已知平面向量，（）滿足 |1，| 2，?0， （） ?0記平面向量在，方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則x2+y2+z2的最小值是30 （2021?乙卷）已知向量（ 1，3） ，（ 3，4） ，若（ ），則 31 （2021?甲卷）若向量，

2、滿足 |3，|5，?1，則 |32 （2021?乙卷）已知向量（ 2，5） ，（ ，4） ，若，則 53 （2021?新高考） 在正三棱柱abc a1b1c1中，abaa11，點(diǎn) p 滿足+，其中 0，1， 0，1，則（）a當(dāng) 1 時(shí)， ab1p 的周長(zhǎng)為定值b當(dāng) 1 時(shí)，三棱錐pa1bc 的體積為定值c當(dāng) 時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)p，使得 a1pbpd當(dāng) 時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)p，使得 a1b平面 ab1p55 （2021?新高考）已知o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)p1（cos ， sin ） ，p2（cos ， sin ） ， p3（cos（ + ） ，sin（ + ） ） ，a（1，0） ，則（）a|b|c?

3、d?15 （2021?上海）在 abc 中，d 為 bc 中點(diǎn)， e 為 ad 中點(diǎn)，則以下結(jié)論：存在 abc，使得0； 存在三角形abc，使得（+） ；它們的成立情況是（）a成立， 成立b成立， 不成立c不成立， 成立d 不成立， 不成立【解答】 解：不妨設(shè)a（2x， 2y） ，b（ 1，0） ，c（1，0） ，d（0，0） ，e（x，y） ，（ 12x， 2y） ，（ x 1，y） ，若0，則（ 1+2x） （x1） 2y2 0，即（ 1+2x） （x1） 2y2，滿足條件的（x，y）存在，例如（0，） ，滿足上式，所以 成立；f 為 ab 中點(diǎn)，（+） 2，cf 與 ad 的交點(diǎn)即為重心

4、g，因?yàn)?g 為 ad 的三等分點(diǎn)，e 為 ad 中點(diǎn)，所以與不共線，即 不成立故選： b29 （2021?浙江）已知平面向量，（）滿足 |1，| 2，?0， （） ?0記平面向量在，方向上的投影分別為x， y，在方向上的投影為z，則x2+y2+z2的最小值是【解答】 解：令，因?yàn)椋剩?1，- 2）?（m，n） 0， m- 2n0，令，平面向量在，方向上的投影分別為x，y，設(shè)，則：，從而：，故，方法一：由柯西不等式可得，化簡(jiǎn)得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故 x2+y2+z2的最小值為方法二：則x2+y2+z2表示空間中坐標(biāo)原點(diǎn)到平面上的點(diǎn)的距離的平方，由平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到直線距離公式推廣得到的

5、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到平面距離公式可得：故答案為：30 （2021?乙卷）已知向量（ 1，3） ，（ 3，4） ，若（ ），則 【解答】 解：因?yàn)橄蛄浚?1，3） ，（ 3， 4） ，則 （ 13 ，34 ） ，又（ ），所以（ ） ?3（13 ）+4（34 ） 1525 0，解得 故答案為：31 （2021?甲卷）若向量，滿足 |3，|5，?1，則 |【解答】 解：由題意，可得，因?yàn)?|3，?1，所以，所以故答案為：32 （2021?乙卷）已知向量（ 2，5） ，（ ，4） ，若，則 【解答】 解：因?yàn)椋?2，5） ，（ ，4） ，所以 85 0，解得 故答案為：53 （2021?新高考） 在

6、正三棱柱abc a1b1c1中，abaa11，點(diǎn) p 滿足+，其中 0，1， 0，1，則（）a當(dāng) 1 時(shí)， ab1p 的周長(zhǎng)為定值b當(dāng) 1 時(shí)，三棱錐pa1bc 的體積為定值c當(dāng) 時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)p，使得 a1pbpd當(dāng) 時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)p，使得 a1b平面 ab1p【解答】 解：對(duì)于a，當(dāng) 1 時(shí)，+，即，所以，故點(diǎn) p 在線段 cc1上，此時(shí) ab1p 的周長(zhǎng)為ab1+b1p+ap，當(dāng)點(diǎn) p 為 cc1的中點(diǎn)時(shí)， ab1p 的周長(zhǎng)為，當(dāng)點(diǎn) p 在點(diǎn) c1處時(shí)， ab1p 的周長(zhǎng)為，故周長(zhǎng)不為定值，故選項(xiàng)a 錯(cuò)誤；對(duì)于 b，當(dāng) 1 時(shí)，即，所以，故點(diǎn) p 在線段 b1c1上，因?yàn)?b1c

7、1平面 a1bc，所以直線b1c1上的點(diǎn)到平面a1bc 的距離相等，又 a1bc 的面積為定值，所以三棱錐pa1bc 的體積為定值，故選項(xiàng)b 正確；對(duì)于 c，當(dāng) 時(shí)，取線段bc，b1c1的中點(diǎn)分別為m，m1，連結(jié) m1m，因?yàn)?，即，所以，則點(diǎn) p 在線段 m1m 上，當(dāng)點(diǎn) p 在 m1處時(shí)， a1m1 b1c1，a1m1b1b，又 b1c1b1bb1，所以 a1m1平面 bb1c1c，又 bm1? 平面 bb1c1c，所以 a1m1bm1，即 a1pbp，同理，當(dāng)點(diǎn)p 在 m 處， a1pbp，故選項(xiàng)c 錯(cuò)誤；對(duì)于 d，當(dāng) 時(shí)，取 cc1的中點(diǎn) d1，bb1的中點(diǎn) d，因?yàn)?，即，所以，則點(diǎn) p

8、 在線的 dd1上，當(dāng)點(diǎn) p 在點(diǎn) d1處時(shí)，取ac 的中點(diǎn) e，連結(jié) a1e，be，因?yàn)?be平面 acc1a1，又 ad1? 平面 acc1a1，所以 ad1be，在正方形acc1a1中， ad1a1e，又 bea1ee，be，a1e? 平面 a1be，故 ad1平面 a1be，又 a1b? 平面 a1be，所以 a1b ad1，在正方體形abb1a1中， a1bab1，又 ad1ab1a，ad1，ab1? 平面 ab1d1，所以 a1b平面 ab1d1，因?yàn)檫^定點(diǎn)a 與定直線a1b 垂直的平面有且只有一個(gè)，故有且僅有一個(gè)點(diǎn)p，使得 a1b平面 ab1p，故選項(xiàng)d 正確故選： bd55 （2021?新高考）已知o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)p1（cos ， sin ） ，p2（cos ， sin ） ， p3（cos（ + ） ，sin（ + ） ） ，a（1，0） ，則（）a|b|c?d?【解答】 解： p1（cos ， sin ） ，p2（ cos ， sin ） ， p3（cos（ + ） ，sin（ + ） ） ，a（1， 0） ，（ cos ，sin ） ，（ cos ， sin ） ，（ cos（ + ） ，sin（ + ） ） ，（ 1，0） ，則，則 |，故a 正確；，|，故 b錯(cuò)誤；1 cos