(完整版)東南大學(xué)08-09-3高等數(shù)學(xué)B期中試卷參考答案

1、共 4頁 第 1頁 0808- - 0909- - 3 3高數(shù) B B (期中)試卷參考答案09. 4. 09. 4. 1717 填空題(本題共 5 5 小題，每小題 4 4 分，滿分 2020 分) 設(shè)向量 a 1,1,5, b 8, 4,1，則a在b上的投影(a)b 1 ； 0 , (x, y) (0,0) (A)(A)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 (B)(B) (C)(C)不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在 (D)(D) 7 7.已知級數(shù) un條件收斂，則級數(shù) u2 n 1 n 1 2 2. 曲線 X2 3 2 y2 4 y z2 1 0 在yOz平面上的投影曲線為2y 4 10; x 0 3 3. 2 z(x,

2、y)是由方程y z xf (y )所確定的隱函數(shù), 其中f可微，則全微分 dz f dx 2xyf 】dy; 1 2xzf 1 2xzf 4 4. 級數(shù) tL enx的收斂域是(，0； n 5 5.設(shè) f (x) X3 1 (0 x )，而 S(x) bn sin nx ( n 1 x )，其中 2 1 28 bn f (x)sin nxdx, n 1,2, L，則 S 0 3 27 n 1 .單項(xiàng)選擇題(本題共 4 4 小題，每小題 4 4 分，滿分 1616 分) 6 6.函數(shù) f (x, y) 2xy 2, (x,y) x y ( ,。)在點(diǎn)(0,0)處 (A(A)發(fā)散 (B)條件收斂

3、(C(C)絕對收斂 (D(D)可能收斂可能發(fā)散 & &下列廣義積分中收斂的是 (A(A) e dx 1 xln x (B) dx e , x l n x C C (C(C) In x (D(D) 1 arcta nx dx 1 1連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在 不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在 x 3 2t 共 4頁 第 2頁 9 9 直線L1: y y 2 3t 與 L2 : x 1 z 2 4t (A A)平行 三. .計(jì)算下列各題 1010. 一直線過點(diǎn) (B B)垂直但不相交 ( (本題共 5 5 小題，每小題 8 8分, x 1 1,3)且與直線L:- 2 (C(C)垂直相交 滿分 4040

4、 分) ) (D(D)異面且不垂直 :3x 2y z Mo(2, 求此直線方程 解設(shè)所求直線方程為 y z 2相交，又平行于平面 41 9 m n 0 z 3 n 由該直線與平面 平行，得 由該直線與直線L共面，得 3l 解得I 11m, n 35m， 代入所求直線方程, 2m n x 2 11 2與 L2 :- 2 0 , y 1 z 3 1 35 . . 之間的距離d . . 3 1212. 1313. i j k 5 1 6 4 1 1 15, 4 1 1 2 2 3 2 2 3 求兩條直線 Li： 1 y z 解 25, 1 2x2 13x (n)( ，求 設(shè) f (x) 15 1).

5、 . f(x)衣 (1)n 0 7 2n 試求過直線 x 解設(shè)過直線 x 13x 15 2x 3 1 2(x 1) 丄 28 (x (n) 1)n , f (n)( 1) 1)nn! 7 2* 1 y 5y ，且與曲面 0 x2 2 y相切的平面方程. . y 5y z 的平面方程為(1 0 )x (1 5 )y z 2 3 0, 設(shè)切點(diǎn)為(X0,y,Z0), (1 )x (1 共 4頁 第 3頁 2x0 1 Zo 2 y0 1 5 2 2 xo y 5 )y。 1 z0 (1) 由(2 2), (3 3)解得 X。 1 2 ,y。 1 5 Y ,Zo (1 )2 (1 4 2 竺,代入)1

6、1) ，解 2x 4y z 5 0和8x 2y z 17 01414. 將 f(x) 1 x 在0, 上展成余弦級數(shù) 2 2 解 a0 0 (1 x)dx 2 ， an n 1,2,L , 1 4 1 2 cos(2 n 得 ，從而兩切平面方程分別為 1 1)x n 1 1, 2 0(1 x)cos nxdx 四(15)(15)(本題滿分 8 8 分)設(shè)ab 0, , f(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 2 (1 n 0, 1)n)， bV y 2 , ,f (ax, bx) ax, fx(ax,bx) bx，求 faX/bx) , fxy(ax,bx) , fyy(ax,bx). . 解 對f

7、 (ax, bx) ax的等號兩端關(guān)于 x求導(dǎo)，得afx bfy a , (1 1) 2 對fx(ax,bx) bx的等號兩端關(guān)于 x求導(dǎo)，得afxx bfxy 2bx , (2 2) 對)1 1)式的等號兩端關(guān)于 x求導(dǎo)，得a2f xx 2abfxy b fyy 0 , ( 3 3) 從)2 2), (3 3)及條件a2 x b22 y 0解得 fxy(ax, bx) 0, fxx(ax,bx) , fyy(ax,bx) a 2a x b x2n 五)1616)(本題滿分 8 8 分)求幕級數(shù) 丄的和函數(shù)，并指明收斂域 n 0(2 n)! x2n 2 共 4頁 第 4頁 S(0) 1,S(0) 0, S(x) 收斂. . 證易知 an是正數(shù)列，且 an an 1 an 2 0,所以an單調(diào)遞增， 故an an 1 an 2 2an 1， 從而an 1 1 an， .曰 3 是 an an 1 an 2 an 2 2 2 n 2 n 2 C 1 2 1 2 1 , 2 1 2 門 0 L ，n 3,4, L ， an 3 an 1 3 a n 2 3 a2 3 而級數(shù) n 2 2 收斂，由比較判別法得知 1 -收斂. n 1 3 n 1 an 解lim 竽lim n (2n 2)! x n x2 (2n 1)(2n 2) 0，