數學建模2-3-課件

1、中南大學數學與統計學院中南大學數學與統計學院第第2 2章章 2.5 求插值多項式的改進算法求插值多項式的改進算法 2.5.1 分段低次插值分段低次插值 例2.3.2、例2.4.1表明適當地提高插值多項式的次數，有可能提高計算結果的準確程度。但是決不可由此得出結論，認為插值多項式的次數越高越好。 例例2.5.1 對函數 先以 為節(jié)點作五次插值多項式 ， 再以 為節(jié)點作十次插值多項式 ， 并將曲線21( )( 11)125f xxx 21(0,1,5)5ixi i 11(0,1,10)5ixi i 5( )P x10( )Px51021( ),( ),( )( 1,1)125f xyP xyPx

2、xx 描繪在同一坐標系中。如圖2.5.1所示：圖圖 2.5.1 雖然在局部范圍中，例如在 區(qū)間中， 比 較好地逼近 ,但從整體上看， 并非處處都比 較好地逼近，尤其是在 區(qū)間的端點附近。進一步的分析表明，當 增大時，該函數在等距節(jié)點下的高次插值多項式 ，在 兩端會發(fā)生激烈的振蕩。這種現象稱為龍格（龍格（Runge)現象現象。這表明，在大范圍內使用高次插值，逼近的效果可能不理想。 另一方面，插值誤差除來自截斷誤差外，還來自初始數據的誤差和計算過程中的舍入誤差。插值次數越高，計算工作越大，積累誤差也可能越大。 因此，在實際計算中，常用分段低次插值進行計算，即把整個插值區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個小區(qū)

3、間上進行低次插值。 0.2,0.210( )Px5( )P x( )f x10( )Px5( )P x1,1n1,1( )yf x 例例2.5.2 當給定 個點 上的函數值 后，若要計算點 處函數值 的近似值，可先選取兩個節(jié)點 使 ，然后在小區(qū)間上作線性插值，即得 這種分段低次插值叫分段線性插值分段線性插值。在幾何上就是用折線代替曲線，如圖2.5.2所示。故分段線性插值又稱折線插值. 1n 01nxxx01nyyy1,iixxx( )f x1,iixx1,iixxx11111 ( )( )iiiiiiiixxxxf xP xyyxxxx圖圖2.5.2 類似地，為求 的近似值.也可選取距點最近的

4、三個節(jié)點 進行二次插值，即取 這種分段低次插值叫分段二次插值分段二次插值。在幾何上就是用分段拋物線代替曲線，故分段二次插值又稱分段拋物插值。為了保證 是距點最近的三個節(jié)點，（2.5.2）中 的可通過下面方法確定： 用圖表示為：11,iiixx xi01211211121122112jjjjnnnxijxnxxx xxxxxxxx11211( )( )()iijkk ij ikjj kxxf xP xyxx x11,iiixx x 2.5.2 三次樣條插值三次樣條插值 分段低次插值雖然具有計算簡單、穩(wěn)定性好、收斂性有保證且易在電子計算機上實現等優(yōu)點，但它只能保證各小段曲線在連接點上的連續(xù)性，卻不

5、能保證整條曲線的光滑性(如圖2.5.2中的折線)，這就不能滿足某些工程技術上的要求。 從二十世紀六十年代開始，首先由于航空、造船等工程設計的需要而發(fā)展起來的所謂樣條（Spline)的插值方法，既保留了分段低次插值多項式的各種優(yōu)點，又提高了插值函數的光滑性。今天，樣條插值方法已成為數值逼近的一個極其重要的分支，在許多領域里得到越來越廣泛的應用。 本節(jié)介紹應用最廣泛且具有二階連續(xù)導數的三次樣條插值函數三次樣條插值函數。 三次樣條插值函數的定義：三次樣條插值函數的定義：對于給定的函數表 其中 ，若函數 滿足： （1）在每個子區(qū)間 上是不高于三次的多項式； （2） 在 上連續(xù)； （3）滿足插值條件 則

6、稱 為函數關于節(jié)點 的三次樣條插值。 邊界條件問題的提出與類型邊界條件問題的提出與類型 注注：單靠一張函數表是不能完全確定一個三次樣條插值函數的。 事實上，由條件（1）知，三次樣條插值函數 是一個分段三次多項式，若用 表示它在第 個子區(qū)間 上的表達式，則形如： 這里有四個待定系數 。子區(qū)間共有 個，確定 需要確定 個待定系數。01na xxxb ( )S x1,(1,2,)iixxin( ),( ),( )S x S x Sx , a b( )(0,1, )iiS xy in( )S x01,nx xx( )S x( )S xi1,iixx2301231( ),iiiiiiiSxaa xa x

7、a xxxx(0,1,2,3)ijaj n( )S x4n 另一方面，要求分段三次多項式 及其導數 在整個插值區(qū)間 上連續(xù)，只要在各子區(qū)間的端點 連續(xù)即可。故由條件（2），（3）可得待定系數應滿足的 個方程為:(2.5.3) 由此可以看出，要確定個待定系數還缺少兩個條件，這兩個條件通常在插值區(qū)間 的邊界點 處給出，稱為邊界條件邊界條件。邊界條件的類型很多，常見的有：( )S x( ),( )S x Sx ,a b(1,2,1)ix in42n(0)(0)(1,2,.,1)(0)(0)(1,2,.,1)(0)(0)(1,2,.,1)( )(0,1,., )iiiiiiiiS xS xinS xS

8、 xinSxSxinS xyin,a b,a b （1）給定一階導數值 （2）給定二階導數值 特別地， 稱為自然邊界條件自然邊界條件，滿足自然邊界條件的三次樣條插值函數稱為自然樣條插值函數自然樣條插值函數。 （3）當 是周期為 的函數時，則要求 及其導數都是以 為周期的函數，相應的邊界條件為 三次樣條插值函數的求法三次樣條插值函數的求法 雖然可以利用方程組（2.5.3）和邊界條件求出所有待定系數 ，從而得到三次樣條插值函數 在各個子區(qū)間 的表達式 。但是，這種做法的計算工作量大，不便于實際應用。下面介紹一種簡便的方法。00(),()nnS xy S xy00(),()nnSxy Sxy0()(

9、)0nSxSx( )f xba( )S xba00(0)(0),(0)(0)nnS xS xSxSxija( )S x1,iixx( )iS x 設在節(jié)點 處 的二階導數為 因為在子區(qū)間 上 是不高于三次的多項式，其二階導數必是線性函數（或常數）。于是，有 記 則有 連續(xù)積分兩次得： (2.5.3)ix( )S x( )(0,1, )iiSxM in1,iixx( )( )iS xS x11111( ),iiiiiiiiiiixxxxSxMMxxxxxxx1iiihxx11( )iiiiiiixxxxSxMMhh33111()()( )66iiiiiiiiiixxxxS xMMA xxBhh

10、其中 為積分常數。利用插值條件 易得： 將它們代入（2.5.3），整理得（2.5.4） 綜合以上討論可知，只要確定 這 個值，就可定出三次樣條插值函數。,iiA B11(),( )iiiiiiS xyS xy112111( )()61( )6iiiiiiiiiiyyA xMMhB xyMh3322111111()()( )()()6666(,1,2, ) iiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxMxxMxxS xMMyhyhhhhhxxxin(0,1, )iM in1n3322111111()()( )()()6666(,1,2, ) iiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxMxx

11、MxxS xMMyhyhhhhhxxxin 為了求出 ，利用一階函數在子區(qū)間連接點上連續(xù)的條件即 （2.5.5） 得 （2.5.6） 故（2.5.7） 將（2.5.6）中的 改為 ，即得 在子區(qū)間 上的表式 ，并由此得： （2.5.8）(0,1, )iM in1(0)(0)(0)(0)iiiiiiS xS xSxSx 221122iiiiiixxxxSxMMhh 11063iiiiiiiiiyyhhSxMMhi1i( )S x1 ,iix x1( )iSx111111036iiiiiiiiiyyhhSxMMh 將（2.5.7）、（2.5.8）代入(2.5.5)整理后得 兩邊同乘以 ，即得方程組

12、 若記 (2.5.9)1111111636iiiiiiiiiiiiihhhhyyyyMMMhh16iihh111111111621,2,1iiiiiiiiiiiiiiiiihhyyyyMMMinhhhhhhhh111111,16,1,2,1iiiiiiiiiiiiiiiihhhhhhgfx xfxxhhin 可得則所得方程組可簡寫成 即 （2.5.10） 這是一個含有 個未知數、 個方程的線性方程組。要確定 的值，還需用到邊界條件。 在第(1)種邊界條件下，由于 和 已知，可以得到包含 另外兩個線性方程。由(2.5.6)知， 在子區(qū)間上的導數為：1121,2,1iiiiiiMMMg in101

13、12121223212111222nnnnnnMMMgMMMgMMMg1n1niM0oSxynnSxyiM( )S x01,xx 221010110110111226xxxxyyhSxMMMMhhh 故由條件 立即可得 即 （2.5.11） 同理，由條件 ，可得（2.5.12） 將(2.5.10)、(2.5.11)、(2.5.12)合在一起，即得確定 的線性方程組： 00Sxy10110010126yyhhyMMMh 100101162yyMMyhhnnSxy1162nnnnnnnyyMMyhh01,nMMM （2.5.13） 其中 （2.5.14） 在第(2)種邊界條件下，由 ， 已知，在方

14、程組(2.5.14)中實際上只包含有 個未知數，并且可以改寫成： 0011111111212212nnnnnnMgMgMgMg0010116,6,nnnnngfx xyhgyfxxh000MSxynnnMSxy1n 在第(3)種邊界條件下由 ，直接可得 （2.5.16） 由條件 可得 注意到 和 ，上式整理后得：1111 02222222211112222nnnnnnnnnMgyMgMgMgy000nSxSx0nMM000nSxSx10111010112626nnnnnnnnyyhyyhhhMMMMMMhh0nyy0nMM（2.5.15） 若記 則所得方程可簡寫成：（2.5.17） 將(2.5

15、.10)(2.5.16)(2.5.17)合在一起，即得確定 的線形方程組： （2.5.18）101111111162nnnnnnnnnhyyyyhMMMhhhhhhhh1011116,1,nnnnnnnnnnnhhgf xxf xxhhhhhh 112nnnnnMMMg12,nM MM111222211112222nnnnnnnnMgMgMgMg 利用線性代數知識，可以證明方程組(2.5.13)、(2.5.15)及(2.5.18)的系數矩陣都是非奇異的，從而都有唯一確定的解。 針對不同的邊界條件，解相應的方程組(2.5.13)、(2.5.15)或(2.5.18)，求出的值，將它們代入（2.5.

16、4），就可以得到在各子區(qū)間上的表達式。綜上分析，有 定理定理2.5.1 對于給定的函數表 滿足第（1）或第（2）或第（3）種邊界條件的三次樣條插值函數是存在且唯一的。 三次樣條插值函數的具體求解過程在下面的例子中給出了詳細的說明。 例例2.5.3 已知函數的函數值如下 在區(qū)間 上求三次樣條插值函數 ，使它滿足邊界條件： 解：先根據給定數據和邊界條件算出 ，寫出確定 的線性方程組。在本例中，給出的是第（1）種邊界條件，確定 的線性方程組，形如（2.5.13）。 由所給函數表知： 于是由 的算式（2.5.9）知： 1.5,2( )S x( 1.5)0.75,(2)14SS,iiig iM(0,1,

17、2,3)iMi 1230112231.511,0.75 ,2,8hhhf x xf x xf x x, ,(1,2,1)iiig in 1212120.6 ,0.5 ,0.4 ,0.5 ,6.6 ,18gg 由第（1）邊界條件下 與 的計算公式（2.5.14）知： 故確定 與 的方程組為： （2.5.19） 然后解所得方程組，得到 在各節(jié)點 上的值 。在本例中，解（2.5.19）得：0gng001033231366,6,36gfxxygyfxxhh 012,MM M3M0123210060.620.406.600.520.518001236MMMM( )SxixiM01235,4,4,16MM

18、MM 最后將所得 代入（2.5.4），即得 在各子區(qū)間上的表達式 。 由（2.5.4）知， 在 上的表達式為： 在本例中，將 代入，整理后得 同理可得： iM( )S x( )(1,2, )iS xin( )S x01,xx 3310220011101011111116666xxxxMxxxxMSxMMyhyhhhhh0101011.5,0,0.125,1,5,4xxyyMM 321( )21 1.5,0S xxxx 22( )210,1Sxxx323( )24631,2Sxxxxx 故所求三次樣條插值函數為： 第（1）邊界條件下計算三次樣條插值函數 在 處函數值的程序框圖如圖2.5.4。 3223221( 1.50)21(01)2463 (12)xxxS xxxxxxx(