數(shù)學(xué)建模2-3-課件

1、中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院第第2 2章章 2.5 求插值多項式的改進算法求插值多項式的改進算法 2.5.1 分段低次插值分段低次插值 例2.3.2、例2.4.1表明適當(dāng)?shù)靥岣卟逯刀囗検降拇螖?shù)，有可能提高計算結(jié)果的準(zhǔn)確程度。但是決不可由此得出結(jié)論，認為插值多項式的次數(shù)越高越好。 例例2.5.1 對函數(shù) 先以 為節(jié)點作五次插值多項式 ， 再以 為節(jié)點作十次插值多項式 ， 并將曲線21( )( 11)125f xxx 21(0,1,5)5ixi i 11(0,1,10)5ixi i 5( )P x10( )Px51021( ),( ),( )( 1,1)125f xyP xyPx

2、xx 描繪在同一坐標(biāo)系中。如圖2.5.1所示：圖圖 2.5.1 雖然在局部范圍中，例如在 區(qū)間中， 比 較好地逼近 ,但從整體上看， 并非處處都比 較好地逼近，尤其是在 區(qū)間的端點附近。進一步的分析表明，當(dāng) 增大時，該函數(shù)在等距節(jié)點下的高次插值多項式 ，在 兩端會發(fā)生激烈的振蕩。這種現(xiàn)象稱為龍格（龍格（Runge)現(xiàn)象現(xiàn)象。這表明，在大范圍內(nèi)使用高次插值，逼近的效果可能不理想。 另一方面，插值誤差除來自截斷誤差外，還來自初始數(shù)據(jù)的誤差和計算過程中的舍入誤差。插值次數(shù)越高，計算工作越大，積累誤差也可能越大。 因此，在實際計算中，常用分段低次插值進行計算，即把整個插值區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個小區(qū)

3、間上進行低次插值。 0.2,0.210( )Px5( )P x( )f x10( )Px5( )P x1,1n1,1( )yf x 例例2.5.2 當(dāng)給定 個點 上的函數(shù)值 后，若要計算點 處函數(shù)值 的近似值，可先選取兩個節(jié)點 使 ，然后在小區(qū)間上作線性插值，即得 這種分段低次插值叫分段線性插值分段線性插值。在幾何上就是用折線代替曲線，如圖2.5.2所示。故分段線性插值又稱折線插值. 1n 01nxxx01nyyy1,iixxx( )f x1,iixx1,iixxx11111 ( )( )iiiiiiiixxxxf xP xyyxxxx圖圖2.5.2 類似地，為求 的近似值.也可選取距點最近的

4、三個節(jié)點 進行二次插值，即取 這種分段低次插值叫分段二次插值分段二次插值。在幾何上就是用分段拋物線代替曲線，故分段二次插值又稱分段拋物插值。為了保證 是距點最近的三個節(jié)點，（2.5.2）中 的可通過下面方法確定： 用圖表示為：11,iiixx xi01211211121122112jjjjnnnxijxnxxx xxxxxxxx11211( )( )()iijkk ij ikjj kxxf xP xyxx x11,iiixx x 2.5.2 三次樣條插值三次樣條插值 分段低次插值雖然具有計算簡單、穩(wěn)定性好、收斂性有保證且易在電子計算機上實現(xiàn)等優(yōu)點，但它只能保證各小段曲線在連接點上的連續(xù)性，卻不

5、能保證整條曲線的光滑性(如圖2.5.2中的折線)，這就不能滿足某些工程技術(shù)上的要求。 從二十世紀六十年代開始，首先由于航空、造船等工程設(shè)計的需要而發(fā)展起來的所謂樣條（Spline)的插值方法，既保留了分段低次插值多項式的各種優(yōu)點，又提高了插值函數(shù)的光滑性。今天，樣條插值方法已成為數(shù)值逼近的一個極其重要的分支，在許多領(lǐng)域里得到越來越廣泛的應(yīng)用。 本節(jié)介紹應(yīng)用最廣泛且具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的三次樣條插值函數(shù)三次樣條插值函數(shù)。 三次樣條插值函數(shù)的定義：三次樣條插值函數(shù)的定義：對于給定的函數(shù)表 其中 ，若函數(shù) 滿足： （1）在每個子區(qū)間 上是不高于三次的多項式； （2） 在 上連續(xù)； （3）滿足插值條件 則

6、稱 為函數(shù)關(guān)于節(jié)點 的三次樣條插值。 邊界條件問題的提出與類型邊界條件問題的提出與類型 注注：單靠一張函數(shù)表是不能完全確定一個三次樣條插值函數(shù)的。 事實上，由條件（1）知，三次樣條插值函數(shù) 是一個分段三次多項式，若用 表示它在第 個子區(qū)間 上的表達式，則形如： 這里有四個待定系數(shù) 。子區(qū)間共有 個，確定 需要確定 個待定系數(shù)。01na xxxb ( )S x1,(1,2,)iixxin( ),( ),( )S x S x Sx , a b( )(0,1, )iiS xy in( )S x01,nx xx( )S x( )S xi1,iixx2301231( ),iiiiiiiSxaa xa x

7、a xxxx(0,1,2,3)ijaj n( )S x4n 另一方面，要求分段三次多項式 及其導(dǎo)數(shù) 在整個插值區(qū)間 上連續(xù)，只要在各子區(qū)間的端點 連續(xù)即可。故由條件（2），（3）可得待定系數(shù)應(yīng)滿足的 個方程為:(2.5.3) 由此可以看出，要確定個待定系數(shù)還缺少兩個條件，這兩個條件通常在插值區(qū)間 的邊界點 處給出，稱為邊界條件邊界條件。邊界條件的類型很多，常見的有：( )S x( ),( )S x Sx ,a b(1,2,1)ix in42n(0)(0)(1,2,.,1)(0)(0)(1,2,.,1)(0)(0)(1,2,.,1)( )(0,1,., )iiiiiiiiS xS xinS xS

8、 xinSxSxinS xyin,a b,a b （1）給定一階導(dǎo)數(shù)值 （2）給定二階導(dǎo)數(shù)值 特別地， 稱為自然邊界條件自然邊界條件，滿足自然邊界條件的三次樣條插值函數(shù)稱為自然樣條插值函數(shù)自然樣條插值函數(shù)。 （3）當(dāng) 是周期為 的函數(shù)時，則要求 及其導(dǎo)數(shù)都是以 為周期的函數(shù)，相應(yīng)的邊界條件為 三次樣條插值函數(shù)的求法三次樣條插值函數(shù)的求法 雖然可以利用方程組（2.5.3）和邊界條件求出所有待定系數(shù) ，從而得到三次樣條插值函數(shù) 在各個子區(qū)間 的表達式 。但是，這種做法的計算工作量大，不便于實際應(yīng)用。下面介紹一種簡便的方法。00(),()nnS xy S xy00(),()nnSxy Sxy0()(

9、)0nSxSx( )f xba( )S xba00(0)(0),(0)(0)nnS xS xSxSxija( )S x1,iixx( )iS x 設(shè)在節(jié)點 處 的二階導(dǎo)數(shù)為 因為在子區(qū)間 上 是不高于三次的多項式，其二階導(dǎo)數(shù)必是線性函數(shù)（或常數(shù)）。于是，有 記 則有 連續(xù)積分兩次得： (2.5.3)ix( )S x( )(0,1, )iiSxM in1,iixx( )( )iS xS x11111( ),iiiiiiiiiiixxxxSxMMxxxxxxx1iiihxx11( )iiiiiiixxxxSxMMhh33111()()( )66iiiiiiiiiixxxxS xMMA xxBhh

10、其中 為積分常數(shù)。利用插值條件 易得： 將它們代入（2.5.3），整理得（2.5.4） 綜合以上討論可知，只要確定 這 個值，就可定出三次樣條插值函數(shù)。,iiA B11(),( )iiiiiiS xyS xy112111( )()61( )6iiiiiiiiiiyyA xMMhB xyMh3322111111()()( )()()6666(,1,2, ) iiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxMxxMxxS xMMyhyhhhhhxxxin(0,1, )iM in1n3322111111()()( )()()6666(,1,2, ) iiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxMxx

11、MxxS xMMyhyhhhhhxxxin 為了求出 ，利用一階函數(shù)在子區(qū)間連接點上連續(xù)的條件即 （2.5.5） 得 （2.5.6） 故（2.5.7） 將（2.5.6）中的 改為 ，即得 在子區(qū)間 上的表式 ，并由此得： （2.5.8）(0,1, )iM in1(0)(0)(0)(0)iiiiiiS xS xSxSx 221122iiiiiixxxxSxMMhh 11063iiiiiiiiiyyhhSxMMhi1i( )S x1 ,iix x1( )iSx111111036iiiiiiiiiyyhhSxMMh 將（2.5.7）、（2.5.8）代入(2.5.5)整理后得 兩邊同乘以 ，即得方程組

12、 若記 (2.5.9)1111111636iiiiiiiiiiiiihhhhyyyyMMMhh16iihh111111111621,2,1iiiiiiiiiiiiiiiiihhyyyyMMMinhhhhhhhh111111,16,1,2,1iiiiiiiiiiiiiiiihhhhhhgfx xfxxhhin 可得則所得方程組可簡寫成 即 （2.5.10） 這是一個含有 個未知數(shù)、 個方程的線性方程組。要確定 的值，還需用到邊界條件。 在第(1)種邊界條件下，由于 和 已知，可以得到包含 另外兩個線性方程。由(2.5.6)知， 在子區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)為：1121,2,1iiiiiiMMMg in101

13、12121223212111222nnnnnnMMMgMMMgMMMg1n1niM0oSxynnSxyiM( )S x01,xx 221010110110111226xxxxyyhSxMMMMhhh 故由條件 立即可得 即 （2.5.11） 同理，由條件 ，可得（2.5.12） 將(2.5.10)、(2.5.11)、(2.5.12)合在一起，即得確定 的線性方程組： 00Sxy10110010126yyhhyMMMh 100101162yyMMyhhnnSxy1162nnnnnnnyyMMyhh01,nMMM （2.5.13） 其中 （2.5.14） 在第(2)種邊界條件下，由 ， 已知，在方

14、程組(2.5.14)中實際上只包含有 個未知數(shù)，并且可以改寫成： 0011111111212212nnnnnnMgMgMgMg0010116,6,nnnnngfx xyhgyfxxh000MSxynnnMSxy1n 在第(3)種邊界條件下由 ，直接可得 （2.5.16） 由條件 可得 注意到 和 ，上式整理后得：1111 02222222211112222nnnnnnnnnMgyMgMgMgy000nSxSx0nMM000nSxSx10111010112626nnnnnnnnyyhyyhhhMMMMMMhh0nyy0nMM（2.5.15） 若記 則所得方程可簡寫成：（2.5.17） 將(2.5

15、.10)(2.5.16)(2.5.17)合在一起，即得確定 的線形方程組： （2.5.18）101111111162nnnnnnnnnhyyyyhMMMhhhhhhhh1011116,1,nnnnnnnnnnnhhgf xxf xxhhhhhh 112nnnnnMMMg12,nM MM111222211112222nnnnnnnnMgMgMgMg 利用線性代數(shù)知識，可以證明方程組(2.5.13)、(2.5.15)及(2.5.18)的系數(shù)矩陣都是非奇異的，從而都有唯一確定的解。 針對不同的邊界條件，解相應(yīng)的方程組(2.5.13)、(2.5.15)或(2.5.18)，求出的值，將它們代入（2.5.

16、4），就可以得到在各子區(qū)間上的表達式。綜上分析，有 定理定理2.5.1 對于給定的函數(shù)表 滿足第（1）或第（2）或第（3）種邊界條件的三次樣條插值函數(shù)是存在且唯一的。 三次樣條插值函數(shù)的具體求解過程在下面的例子中給出了詳細的說明。 例例2.5.3 已知函數(shù)的函數(shù)值如下 在區(qū)間 上求三次樣條插值函數(shù) ，使它滿足邊界條件： 解：先根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊界條件算出 ，寫出確定 的線性方程組。在本例中，給出的是第（1）種邊界條件，確定 的線性方程組，形如（2.5.13）。 由所給函數(shù)表知： 于是由 的算式（2.5.9）知： 1.5,2( )S x( 1.5)0.75,(2)14SS,iiig iM(0,1,

17、2,3)iMi 1230112231.511,0.75 ,2,8hhhf x xf x xf x x, ,(1,2,1)iiig in 1212120.6 ,0.5 ,0.4 ,0.5 ,6.6 ,18gg 由第（1）邊界條件下 與 的計算公式（2.5.14）知： 故確定 與 的方程組為： （2.5.19） 然后解所得方程組，得到 在各節(jié)點 上的值 。在本例中，解（2.5.19）得：0gng001033231366,6,36gfxxygyfxxhh 012,MM M3M0123210060.620.406.600.520.518001236MMMM( )SxixiM01235,4,4,16MM

18、MM 最后將所得 代入（2.5.4），即得 在各子區(qū)間上的表達式 。 由（2.5.4）知， 在 上的表達式為： 在本例中，將 代入，整理后得 同理可得： iM( )S x( )(1,2, )iS xin( )S x01,xx 3310220011101011111116666xxxxMxxxxMSxMMyhyhhhhh0101011.5,0,0.125,1,5,4xxyyMM 321( )21 1.5,0S xxxx 22( )210,1Sxxx323( )24631,2Sxxxxx 故所求三次樣條插值函數(shù)為： 第（1）邊界條件下計算三次樣條插值函數(shù) 在 處函數(shù)值的程序框圖如圖2.5.4。 3223221( 1.50)21(01)2463 (12)xxxS xxxxxxx(