第2講leslie矩陣模型（精編版）

1、 leslie 矩陣模型本節(jié)將以種群為例， 考慮種群的年齡結(jié)構(gòu)， 種群的數(shù)量主要由總量的固有增長率決定， 但是不同年齡結(jié)構(gòu)動物的繁殖率和死亡率有著明顯的不同， 為了更精確地預測種群的增長，在此討論按年齡分組的種群增長預測模型，這個向量形式的差分方程是leslie在 20 世紀40 年代用來描述女性人口變化規(guī)律的，雖然這個模型僅考慮女性人口的發(fā)展變化，但是一般男女人口的比例變化不大。假設女性最大年齡為s歲，分s歲為n個年齡區(qū)間：ninisnsiti,2, 1,)1(年 齡屬 于it的 女 性 稱為 第i組 ，設 第i組 女性 人 口 數(shù)目 為),2, 1(nixi，稱tnxxxx),(21為女性

2、人口年齡分布向量， 考慮x隨kt的變化情況，每隔ns年觀察一次，不考慮同一時間間隔內(nèi)的變化 （即將時間離散化）。設初始時間為0t，nksttk0時間的年齡分布向量為tknkkkxxxx),()()(2)(1)(，這里只考慮由生育、老化和死亡引起的人口演變，而不考慮遷移、戰(zhàn)爭、意外災難等社會因素的影響。設第i組女性的生殖率（已扣除女嬰的死亡率）為ia（第i組每位女性在ns年中平均生育的女嬰數(shù)，0ia） ，存活率ib（第i組女性在ns年仍活著的人數(shù)與原來人數(shù)之比，10ib） ，死亡率ib1，假設ia，ib在同一時間間隔內(nèi)保持不變，這個數(shù)據(jù)可由人口統(tǒng)計資料獲得。kt時 第 一 組 女 性 的 總 數(shù)

3、)(1kx是1kt時 各 組 女 性 （ 人 數(shù) 為nixki,2, 1,)1(）所生育的女嬰的總數(shù)，可以由下式表示：)1()1(22)1(11)(1knnkkkxaxaxaxkt時第1i組（1i）女性人數(shù))(1kix是1kt時第i組女性經(jīng)ns年存活下來的人數(shù)，可以由下式表示：1,2, 1,1)(1nixbxkiiki用矩陣將上兩式表示為：1131211121121321000000000knkkknnnknkkkxxxxbbbaaaaxxxx記：000000000121121nnnbbbaaaal，knkkkkxxxxx321)(，則有)0()(xlxkk稱l為leslie矩陣，由上式可算出

4、kt時間各年齡組人口總數(shù)、 人口增長率以及各年齡組人口占總?cè)丝诘陌俜直取＠?leslie模型分析人口增長， 發(fā)現(xiàn)觀察時間充分長后人口增長率和年齡分布結(jié)構(gòu)均趨于一個穩(wěn)定狀態(tài)，這與矩陣l的特征值和特征向量有關(guān)。矩陣l有唯一的單重正特征值1，對應的特征向量為：tnnbbbbbbx), , 1(111212121111若1是矩陣l的正特征值， 則l的任一個（實的或者復的） 特征值都滿足：1若矩陣l的第一行有兩個順序元素0,1iiaa，則l的正特征值是嚴格優(yōu)勢特征值這種要求在人口模型中是能保證的，所以l矩陣必有嚴格優(yōu)勢特征值。若矩陣l有嚴格優(yōu)勢特征值1，對應特征向量為1x，則：11)(limcxxkk

5、k這表明時間kt充分長后，年齡分布向量趨于穩(wěn)定，即各年齡組人數(shù))(kix占總數(shù)nikix1)(的百分比幾乎等于特征向量1x中相應分量占分量總和的百分比。同時kt充分大后，人口增長率)()()1(kikikixxx趨于11，或說11時，人口遞增；11時，人口遞減；11時，人口總數(shù)穩(wěn)定不變。例 1 加拿大人口數(shù)量預測問題為了研究加拿大的人口年齡結(jié)構(gòu)，對加拿大的人口進行數(shù)據(jù)統(tǒng)計，1965 年的統(tǒng)計資料如下表所示（由于大于50歲的婦女生育者極少，故只討論 050歲之間的人口增長問題）表 1 加拿大人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)年齡組 i年齡區(qū)間iaib10,5)25,10)310,15)415,20)520,25)62

6、5,30)730,35)835,40)940,45)1045,50)分析：由上表得到加拿大人口的leslie矩陣l如下所示，求解特征方程，098700.0000000000099184.0000000000099460.0000000000099621.0000000000099694.0000000000099729.0000000000099802.0000000000099820.0000000000099651.000240.002826.010459.022259.036399.044791.028608.005861.000024.00l可以得到l矩陣的特征值：0763. 1和特征

7、向量：tx2104.0,2294.0 ,2489.0 ,2694.0,2910.0,3141.0,3390.0,3656.0,3942.0,4257.0通過上述過程大家可以發(fā)現(xiàn)，一旦l矩陣的維數(shù)過大，那么求解特征方程將是一個非常復雜的過程，運用matlab 求解程序如下：clear alll=zeros(10,10);l(1,:)=0,;l(2,1)=;l(3,2)=;l(4,3)=;l(5,4)=;l(6,5)=;l(7,6)=;l(8,7)=;l(9,8)=;l(10,9)=;v,d=eig(l);a1=d(1,1);a2=v(:,1);a3=v(:,1)./sum(v(:,1);pie(a3)legend(0,5),5,10),10,15),15,20),20,25),25,30),30,35),35,40),40,45),45,50)結(jié)果：14%13%12%11%10%9%9%8%7%7%0,5)5,10)10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)40,45)45,50)圖 1 加拿大人口結(jié)構(gòu)示意圖由l矩陣的特性可知： 當時間充分長后， 年齡分布向量趨于穩(wěn)定，即各年齡組人