隨機(jī)過(guò)程的譜分析實(shí)用教案

1、3.1 隨機(jī)過(guò)程的譜分析3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程功率譜密度的性質(zhì)3.3 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)(hnsh)之間的 關(guān)系3.4 離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度3.5 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的互譜密度3.6 白噪聲第1頁(yè)/共52頁(yè)第一頁(yè)，共52頁(yè)。本章要解決本章要解決(jiju)的的問(wèn)題問(wèn)題 v隨機(jī)隨機(jī)(su j)信號(hào)是否也可以應(yīng)用頻域分析方法信號(hào)是否也可以應(yīng)用頻域分析方法? v傅里葉變換能否應(yīng)用于隨機(jī)傅里葉變換能否應(yīng)用于隨機(jī)(su j)信號(hào)？信號(hào)？ v相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系 v功率譜的應(yīng)用功率譜的應(yīng)用 v采樣定理采樣定理 v白噪聲的定義白噪聲的定義 第2頁(yè)/共52頁(yè)第二頁(yè)，共52頁(yè)。3

2、.1 隨機(jī)過(guò)程(guchng)的譜分析3.1.1 簡(jiǎn)單回顧3.1.2 隨機(jī)過(guò)程(guchng)的功率譜密度3.1.3 功率譜密度與復(fù)頻率面第3頁(yè)/共52頁(yè)第三頁(yè)，共52頁(yè)。3.1.1 3.1.1 簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單(jindn)(jindn)回顧回顧1 付氏變換付氏變換(binhun)設(shè)非隨機(jī)信號(hào)設(shè)非隨機(jī)信號(hào)x(t)是時(shí)間是時(shí)間t的非周期實(shí)函數(shù)的非周期實(shí)函數(shù)(hnsh)，且，且x(t) 滿足滿足 在在 范圍內(nèi)滿足狄利赫利條件范圍內(nèi)滿足狄利赫利條件 )(tx),( 絕對(duì)可積，即絕對(duì)可積，即 )(txdttx)(信號(hào)信號(hào) 的總能量有限，即的總能量有限，即 )(txdttx2)(有限個(gè)極值有限個(gè)極值有限個(gè)斷點(diǎn)

3、有限個(gè)斷點(diǎn)斷點(diǎn)為有限值斷點(diǎn)為有限值 （3.1.1）（3.1.2）第4頁(yè)/共52頁(yè)第四頁(yè)，共52頁(yè)。則則 的傅里葉變換存在，即的傅里葉變換存在，即 )(txdtetxXtjX)()( 稱為稱為(chn wi) 的反變換，即的反變換，即 deXtxtjX)(21)(稱稱 為為 的頻譜密度，也簡(jiǎn)稱為頻譜。的頻譜密度，也簡(jiǎn)稱為頻譜。)(XX包含：振幅(zhnf)譜 相位譜)(tx)(tx)(XX（3.1.3）（3.1.4）第5頁(yè)/共52頁(yè)第五頁(yè)，共52頁(yè)。2 帕塞瓦爾等式帕塞瓦爾等式(dngsh)dtdeXtxdttxtjX)(21)()(2dtdetxXtjX)()(21dXXXX)()(21*dX

4、X2)(21dXdttxX22)(21)(即即能量能量(nngling)譜密譜密度度（3.1.5）第6頁(yè)/共52頁(yè)第六頁(yè)，共52頁(yè)。)(tx 隨機(jī)過(guò)程由于持續(xù)(chx)期為無(wú)限長(zhǎng)，所以它的傅里葉變換不存在。但是，樣本 的功率卻是有限的，即有TTTdttxTQ2)(21lim3.1.2 隨機(jī)過(guò)程的功率隨機(jī)過(guò)程的功率(gngl)譜譜密度密度 因此，研究(ynji)隨機(jī)過(guò)程的功率譜是有意義的。（3.1.6）第7頁(yè)/共52頁(yè)第七頁(yè)，共52頁(yè)。截取截取(jiq)函函數(shù)數(shù) TtTttxtxT0)()(（3.1.7）圖3.1 及其截取(jiq)函數(shù))(tx第8頁(yè)/共52頁(yè)第八頁(yè)，共52頁(yè)。當(dāng)當(dāng)T為有限為有限

5、(yuxin)值時(shí)，值時(shí)， 的傅里葉變換存在的傅里葉變換存在 )(txTdtetxTXtjTX)(),(TTtjdtetx)(（3.1.8）deTXtxtjXT),(21)(（3.1.9）第9頁(yè)/共52頁(yè)第九頁(yè)，共52頁(yè)。dTXdttxXTT22),(21)(也應(yīng)滿足(mnz)帕賽瓦等式，即)(tx用2T除上式等號(hào)的兩端(lin dun)，可以得到dTXTdttxTXTT22),(41)(21對(duì)上式兩端取集合(jh)平均，可得dTXTEdttxTEXTT22),(41)(21（3.1.10）（3.1.11）第10頁(yè)/共52頁(yè)第十頁(yè)，共52頁(yè)。令令 ，取極限，交換求數(shù)學(xué)期望和積分的次序，可得，取

6、極限，交換求數(shù)學(xué)期望和積分的次序，可得 T dTTXEdttXETXTTTT2),(lim21)(21lim22 功率功率(gngl)Q )( XS非負(fù)存在(cnzi) dSdttXETQXTTT )(21)(21lim2（3.1.12）（3.1.13）第11頁(yè)/共52頁(yè)第十一頁(yè)，共52頁(yè)。兩個(gè)兩個(gè)(lin )結(jié)論：結(jié)論： )(2tXEAQ1 .21lim.TAT表示表示(biosh)時(shí)時(shí)間平均間平均 若過(guò)程若過(guò)程(guchng)為廣義平穩(wěn)平穩(wěn)為廣義平穩(wěn)平穩(wěn))0()()(22XRtXEtXEAQ dSQX)(212式中式中（3.1.14）（3.1.15）第12頁(yè)/共52頁(yè)第十二頁(yè)，共52頁(yè)。注

7、意：注意：（1）Q為確定性值，不是為確定性值，不是(b shi)隨隨機(jī)變量機(jī)變量)( XS（2） 為確定性實(shí)函數(shù)。為確定性實(shí)函數(shù)。對(duì)于(duy)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則有dStXEX)(21)(2（3.1.16）第13頁(yè)/共52頁(yè)第十三頁(yè)，共52頁(yè)。功率譜密度：功率譜密度： 描述了隨機(jī)過(guò)程描述了隨機(jī)過(guò)程X(t)的的 功率在各個(gè)不同頻率上的分布功率在各個(gè)不同頻率上的分布 稱為稱為隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)的功率譜密度。的功率譜密度。 )( XS)( XS對(duì)對(duì) 在在X(t)的整個(gè)頻率范圍內(nèi)積的整個(gè)頻率范圍內(nèi)積分，便可得到分，便可得到X(t)的功率。的功率。 )( XS第14頁(yè)/共52頁(yè)第十四頁(yè)，共52頁(yè)。例

8、：設(shè)隨機(jī)過(guò)程例：設(shè)隨機(jī)過(guò)程 ，其中，其中(qzhng) 皆是實(shí)常數(shù)，皆是實(shí)常數(shù)， 是服從是服從 上均勻分布的隨機(jī)變上均勻分布的隨機(jī)變量，求隨機(jī)過(guò)程量，求隨機(jī)過(guò)程 的平均功率。的平均功率。 )cos()(0tatX0和a），（20)(tX)(cos)(0222taEtXE)22cos(1 202taEdtaa)22cos(2220202220022)22sin(22taa解：解：taa0222sin2不是寬平穩(wěn)的不是寬平穩(wěn)的)(tX（3.1.17）第15頁(yè)/共52頁(yè)第十五頁(yè)，共52頁(yè)。)(2tXEAQ2)2sin2(212022limadttaaTTTT（3.1.18）第16頁(yè)/共52頁(yè)第十六頁(yè)

9、，共52頁(yè)。 在系統(tǒng)分析的某些應(yīng)用中，用復(fù)頻率往往在系統(tǒng)分析的某些應(yīng)用中，用復(fù)頻率往往(wngwng)更為方便。更為方便。一般的方法是，用復(fù)變量一般的方法是，用復(fù)變量 來(lái)代替原來(lái)來(lái)代替原來(lái)(yunli)的的實(shí)變量實(shí)變量 。3.1.3 功率功率(gngl)譜密度和復(fù)頻率面譜密度和復(fù)頻率面 第17頁(yè)/共52頁(yè)第十七頁(yè)，共52頁(yè)。js0js js)(sSX)(XS9104)(242XS例：例：910)4()(242ssssSXjs)3)(3)(1)(1()2)(2(ssssss2-23-3-11j0；（3.1.19）（3.1.20）圖圖3.2 3.2 功率功率(gngl)(gngl)譜密度的零、極譜

10、密度的零、極點(diǎn)圖點(diǎn)圖第18頁(yè)/共52頁(yè)第十八頁(yè)，共52頁(yè)。3.2 平穩(wěn)平穩(wěn)(pngwn)隨機(jī)過(guò)程功率譜密度隨機(jī)過(guò)程功率譜密度的性質(zhì)的性質(zhì) 3.2.1 3.2.1 功率譜密度功率譜密度(md)(md)的性質(zhì)的性質(zhì)3.2.2 3.2.2 譜分解定理譜分解定理第19頁(yè)/共52頁(yè)第十九頁(yè)，共52頁(yè)。3.2.1 功率譜密度功率譜密度(md)的性質(zhì)的性質(zhì) 1. 功率譜密度為非負(fù)的功率譜密度為非負(fù)的,即即 0)(XS證明證明(zhngmng)：TTXESXTX2),(lim)(20),(2TXX0)(XS2. 功率譜密度是功率譜密度是 的實(shí)函數(shù)的實(shí)函數(shù) （3.2.1）因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi) (yn wi)

11、是是 的實(shí)函數(shù)，故的實(shí)函數(shù)，故 亦必為亦必為 的實(shí)函數(shù)。的實(shí)函數(shù)。2),(TXX)(XS第20頁(yè)/共52頁(yè)第二十頁(yè)，共52頁(yè)。3 對(duì)于實(shí)隨機(jī)對(duì)于實(shí)隨機(jī)(su j)過(guò)程來(lái)說(shuō)，功率譜密度是過(guò)程來(lái)說(shuō)，功率譜密度是 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，即即)()(XXSS證明：證明：)( txT是是t的實(shí)函數(shù)時(shí)，其頻譜滿足的實(shí)函數(shù)時(shí)，其頻譜滿足*)(),(dtetxTXtjTXdtetxtjT)(dtetxtjT)()(),(TXX),(),(),(*2TXTXTXXXX),(),(TXTXXX),(),(*TXTXXX2),(TXXTTXESXTX2),(lim)(2)()(XXSS又又（3.2.2）第21頁(yè)/共5

12、2頁(yè)第二十一頁(yè)，共52頁(yè)。4 功率功率(gngl)譜密度可譜密度可積，即積，即 dSX)(證明證明(zhngmng)：對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，有：對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，有： dStXEX)(21)(2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的均方值有限平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的均方值有限dSX)( 上式說(shuō)明上式說(shuō)明(shumng)(shumng)功率譜密度函數(shù)曲線下功率譜密度函數(shù)曲線下面的總面積（即隨機(jī)過(guò)程的全部功率）等于過(guò)程的面的總面積（即隨機(jī)過(guò)程的全部功率）等于過(guò)程的均方值。均方值。（3.2.3）第22頁(yè)/共52頁(yè)第二十二頁(yè)，共52頁(yè)。3.2.2 譜分解譜分解(fnji)定理定理 1. 譜分解譜分解(fnji) 在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中有一大類過(guò)

13、程，它們的功在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中有一大類過(guò)程，它們的功率譜密度為率譜密度為 的有理函數(shù)。在實(shí)際中，許多隨的有理函數(shù)。在實(shí)際中，許多隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度都滿足這一條件。即使不機(jī)過(guò)程的功率譜密度都滿足這一條件。即使不滿足，也常常可以用有理函數(shù)來(lái)逼近滿足，也常常可以用有理函數(shù)來(lái)逼近 。這時(shí)這時(shí) 可以表示可以表示(biosh)為兩個(gè)多項(xiàng)式之比，為兩個(gè)多項(xiàng)式之比，即即 )( XS)( XS第23頁(yè)/共52頁(yè)第二十三頁(yè)，共52頁(yè)。 其中其中M0， ，求過(guò)程的功率譜密度。，求過(guò)程的功率譜密度。 AeRX)(0 解：應(yīng)將積分按解：應(yīng)將積分按 和和 分成兩部分進(jìn)行分成兩部分進(jìn)行 deAedeAeSjjX00)(0)

14、(0)()(jeAjeAjjjjA11222A第42頁(yè)/共52頁(yè)第四十二頁(yè)，共52頁(yè)。第43頁(yè)/共52頁(yè)第四十三頁(yè)，共52頁(yè)。例：設(shè)例：設(shè) 為隨機(jī)相位隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)相位隨機(jī)過(guò)程其中，其中， 為實(shí)常數(shù)為實(shí)常數(shù) 為隨機(jī)相位，在為隨機(jī)相位，在 均均勻分布。可以推導(dǎo)勻分布。可以推導(dǎo)(tudo)出這個(gè)過(guò)程為廣義平出這個(gè)過(guò)程為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，自相關(guān)函數(shù)為穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，自相關(guān)函數(shù)為 求求 的功率譜密度的功率譜密度 。)(tX)cos()(0tAtX0,A)2 , 0()cos(2)(02ARX)(XS)(tX第44頁(yè)/共52頁(yè)第四十四頁(yè)，共52頁(yè)。解：注意解：注意(zh y)此時(shí)此時(shí) 不是有限值，不是有限值

15、，即不可積，因此即不可積，因此 的付氏變換不存在，需的付氏變換不存在，需要引入要引入 函數(shù)。函數(shù)。 dRX )()( XRdeAdeRSiiXX)cos(2)()(02deeeAjjj22002)2)(cos(000jjeedeeeAjjj）（0042)()(2002A)(2(00je第45頁(yè)/共52頁(yè)第四十五頁(yè)，共52頁(yè)。 上式表示的功率(gngl)集中在處，功率(gngl)譜密度為在處的函數(shù)。22A22AO00)(XS)(XS第46頁(yè)/共52頁(yè)第四十六頁(yè)，共52頁(yè)。)( XR由于實(shí)平穩(wěn)過(guò)程x(t)的自相關(guān)函數(shù)(hnsh) 是實(shí)偶函數(shù)(hnsh)，功率譜密度也一定是實(shí)偶函數(shù)(hnsh)。有時(shí)

16、我們經(jīng)常利用只有正頻率部分的單邊功率譜。 （3.3.10）第47頁(yè)/共52頁(yè)第四十七頁(yè)，共52頁(yè)。第48頁(yè)/共52頁(yè)第四十八頁(yè)，共52頁(yè)。例：設(shè)隨機(jī)過(guò)程例：設(shè)隨機(jī)過(guò)程 ,其中其中 皆為常數(shù)，皆為常數(shù)， 為具有為具有(jyu)功率譜密度功率譜密度 的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。求的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。求過(guò)程過(guò)程 的功率譜密度。的功率譜密度。 ttaXtY0sin)()(0,a)(tX)(XS)(tY解：解： )()(),(tYtYEttRY)(sin)(sin)(00ttaXttaXE)2cos()cos(20002ttRaXdettRASjYY),()(deRajX02cos)(2)()(4002XXSSa第49頁(yè)/共52頁(yè)第四十九頁(yè)，共52頁(yè)。 下表給出了平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程、自相關(guān)函數(shù)下表給出了平穩(wěn)隨機(jī)