不定積分的計(jì)算

1、整理課件不定積分的計(jì)算不定積分的計(jì)算一、第一換元積分法一、第一換元積分法二、第二換元積分法二、第二換元積分法三、分部積分法三、分部積分法整理課件問題問題cos2xdx 解決方法解決方法利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的逆運(yùn)算，設(shè)置利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的逆運(yùn)算，設(shè)置中間變量中間變量. .過程過程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx xCx2cos2sin21 說明結(jié)果正確說明結(jié)果正確一、第一換元積分法一、第一換元積分法整理課件( ( )( )fxx dx ,ux對(duì)于形如對(duì)于形如的積分，設(shè)的積分，設(shè)( ( )( )( )fxx dxFxC( ( )( )( )

2、( ( )( )FxCFxxfxx ( )f ux及如果如果 ( ),f u duF uC+連續(xù)，且連續(xù)，且則則該積分法可由下面的逆運(yùn)算證明該積分法可由下面的逆運(yùn)算證明這種積分方法也叫做這種積分方法也叫做“”。整理課件定理定理1( ( )( )( )( ( ).fxx dxf u duFxC可導(dǎo)可導(dǎo), 則有換元公式則有換元公式設(shè)設(shè) f (u)具有原函數(shù)具有原函數(shù) F (u), u = (x) 連續(xù)連續(xù)dxxg)(如何應(yīng)用上述公式來求不定積分如何應(yīng)用上述公式來求不定積分? ? 則使用此公式的關(guān)鍵在于將則使用此公式的關(guān)鍵在于將 ( )( )fxx dx化為化為的形式，的形式，,)(dxxg假設(shè)要求

3、假設(shè)要求所以，第一類換元積分法也稱為湊微分法所以，第一類換元積分法也稱為湊微分法.整理課件例例1 求求 1.21dxx解解 u = 2x + 1, du=d(2x + 1) = 2dx, 則則 111112(21)21221221dxdxdxxxx112duu1ln |2uC1ln |21|.2xC想到公式想到公式duuln uC注意換回原變量注意換回原變量整理課件例例2 求求 2sin.xx dx221sinsin22xx dxxxdx1sin2udu1cos.2uC 解：解：則則2,2uxduxdx21cos.2xC 想到公式想到公式sindu ucosuC 整理課件 這種換元法又稱為湊微

4、分法或配元法這種換元法又稱為湊微分法或配元法, 即引進(jìn)即引進(jìn)一個(gè)新變量以代替原來的變量一個(gè)新變量以代替原來的變量, 對(duì)于變量代換熟練對(duì)于變量代換熟練以后以后, 可以不寫出中間變量可以不寫出中間變量 u. 例例1 求求 1.21dxx解法二：解法二：111(21)21221dxdxxx1ln |21|.2xC整理課件例例3 求求 1sin.xdxx一般地一般地, 有有 1sinxdxx解解1()2().fx dxfx dxx2cos.xC 12dxdxx2 sinxdx12 sin2xdxx整理課件例例4 求求 tan.xdxsintancosxxdxdxx解解ln cos.xC cot xdx

5、類似類似?dcotxxsinsindxxln sin xCcossinxdxx1cos ,cosdxx cossindxxdx 1sin,cosx dxx 1lnduuCu整理課件例例5 求求 2sincos.xxdx2sincosxxdx解解31sin.3xCsin(cos )(cos ) cos ;x fx dxfx dx cos(sin )(sin ) sin .x fx dxfx dx一般地一般地, 有有 sincosdxxdx2sinsinxdx323uu duC整理課件例例6 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin24sincoscosxxxdx )(sin

6、)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 說明說明: :當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)( (如正弦函數(shù)和余如正弦函數(shù)和余弦函數(shù)弦函數(shù)) )相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分. .sincosdxxdx )(sincossin42xxdx整理課件例例7 求求 3sin.xdx3sin xdx解解2(cos1) cosxdx2coscoscosxdxdx31coscos.3xxC2sinsinxxdx2sincosxdx cossindxxdx 323uu duC整理課件例例8 求

7、求 211xxxxedxdxeee解211 ()xxdeearctan.xeC()().xxxxe f edxf ede1.xxdxee一般地一般地, 有有 xxdee dx211arctanduuuC整理課件例例9 求求 一般地一般地, 有有 .2 lndxxx2 lndxxx解1ln ln.2xC1(ln )(ln ) ln .fx dxfx dxx1(ln )2lndxx1lndxdxx1lnduuCu整理課件),(212xdxdx ,ln1xddxx),1(12xddxx,21xddxx,xxdedxe,cossinxdxdx第一類換元法在積分學(xué)中是經(jīng)常使用的，不過第一類換元法在積分學(xué)

8、中是經(jīng)常使用的，不過如何適當(dāng)?shù)剡x擇變量代換，卻沒有一般的法則可如何適當(dāng)?shù)剡x擇變量代換，卻沒有一般的法則可循這種方法的特點(diǎn)是湊微分，要掌握這種方法，需循這種方法的特點(diǎn)是湊微分，要掌握這種方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式，例如要熟記一些函數(shù)的微分公式，例如等等，并善于根據(jù)這些微分公式，從被積表達(dá)式中等等，并善于根據(jù)這些微分公式，從被積表達(dá)式中拼湊出合適的微分因子拼湊出合適的微分因子整理課件例例10 求求 221.dxax2222111 ( )dxdxxaxaa解1arctan.xCaa211( )1 ( )xdxaaa211arctanduuuC1xddxaa整理課件例例11 求求 221(0).

9、dxaax2221111 ( )dxdxaxaxa解21( )1 ( )xdaxaarcsin.xCa211arcsinduuuC1xddxaa整理課件例例12 求求 .(12ln )dxxx(1 ln )dxxx解1ln 12ln.2xC1(ln )12lndxx11(2ln1)2 12lndxx1lnduuCu1lndxdxx整理課件例例13 求求 2331.xx dx2331xx dx解3322(1).3xC 1322(1)3xx dx1332(1)1xdx 1332(1)xdx132223u duuC整理課件例例14 求求 22.dxxa22()()dxdxxaxa xa解解111()

10、2dxa xaxa111()2dxdxaxaxa111()()2d xad xaaxaxa1(lnln)2xaxaCa1ln.2xaCaxa整理課件例例15 求求 2sin.xdx21 cos2sin2xxdxdx解解1(cos2)2dxxdx11cos2(2 )24dxxdx11sin2.24xxC11cos222dxxdx整理課件xxtansec解解xxdsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxxCxxtansecln類似可得類似可得xxdcscCxxcotcscln例例16. 求sec d .x x整理課件

11、小結(jié)小結(jié)積分常用技巧積分常用技巧:(1) 分項(xiàng)積分分項(xiàng)積分:(2) 降低冪次降低冪次:(3) 統(tǒng)一函數(shù)統(tǒng)一函數(shù): 利用三角公式利用三角公式 ; 湊微分法（陪元方法）湊微分法（陪元方法）(4) 巧妙換元或配元。巧妙換元或配元。等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx利用積化和差利用積化和差; 分式分項(xiàng)等分式分項(xiàng)等;利用倍角公式利用倍角公式 , 如如整理課件作業(yè)作業(yè)P155 1 (1)-(18)整理課件二、第二換元積分法二、第二換元積分法 0,xtt且 f x dx設(shè)設(shè)將積分將積分 化為化為 ( )( )ftdtF tC ,ftdt 1( )

12、,f x dxFxC+若若則則若對(duì)結(jié)論作復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算，則可知其正確性。若對(duì)結(jié)論作復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算，則可知其正確性。整理課件例例1 1 求求1.1dxx解解,tx令令2,xt2,dxtdt11dxx21tdtt1 121tdtt 121dxdtt2ln 1.ttC則則于是于是2ln 1.xxC整理課件例例2 2 求求解解.11dxex xet 1令令21,xet則,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 11111ln1ln1ln1tttCCt .11ln2Cxex ,1ln2 tx11ln11xxeCe整理課件說明說明當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或

13、兩種以上的根式根式 時(shí)，可采用令時(shí)，可采用令 （其中（其中 為各根指數(shù)的為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)） lkxx,ntx n例例3 3 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 整理課件三、三、分部積分法分部積分法由導(dǎo)數(shù)公式由導(dǎo)數(shù)公式vuvuuv )(積分得積分得:xvuxvuuvdd分部積分公式分部積分公式xvuuvxvudd或或uvvuvudd 分部積分法一般用于是解決分部積分法一般用于是解決兩種不同類型函數(shù)乘積

14、兩種不同類型函數(shù)乘積的不定積分問題的的不定積分問題的.整理課件例例1. 求求.dlnxxx解解: 令令,ln xu vx 則則1,dudxx221xv 原式原式 =xx ln212xxd21Cxxx2241ln21uv dxuvu vdx 分析：分析：被積函數(shù)被積函數(shù) xlnx 是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的乘積是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的乘積, 采用分部積分采用分部積分.整理課件例例2 2 求積分求積分.cos xdxx解（一）解（一）令令,cosxu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222顯然，顯然， 選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.vu ,解（二）解（二）

15、令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 分析：分析：被積函數(shù)被積函數(shù) xcosx 是冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積是冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積, 采用分部積分采用分部積分.uv dxuvu vdx整理課件(1) v要容易求出要容易求出; (2)要要比比vduudv容易積出容易積出. ddudvuvvduuvxuvuv x或分部積分公式運(yùn)用成敗的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇分部積分公式運(yùn)用成敗的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇, u v, u v一般來說，一般來說， 選取的原則是：選取的原則是：整理課件 解題技巧：解題技巧： 分部積分法求不定積分的關(guān)鍵是分部

16、積分法求不定積分的關(guān)鍵是要確定要確定u，由計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)，可以得出以下順序：，由計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)，可以得出以下順序：“（反三角函數(shù)）、（反三角函數(shù)）、（對(duì)數(shù)函數(shù)）、（對(duì)數(shù)函數(shù)）、（冪函（冪函數(shù)）、數(shù)）、（指數(shù)函數(shù)）、（指數(shù)函數(shù)）、（三角函數(shù)）（三角函數(shù)）” ，當(dāng)兩，當(dāng)兩種不同類型函數(shù)相乘求積分時(shí)，按以上順序，排序種不同類型函數(shù)相乘求積分時(shí)，按以上順序，排序在前的函數(shù)作為在前的函數(shù)作為u.即即 把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積 , 按按 “ 反對(duì)冪指三反對(duì)冪指三” 的順序的順序, 前者為前者為 后者為后者為u.v整理課件例例3. 求求.darccosxx解解: 令令,arccosxu

17、1 v, 則則,211xuxv 原式原式 =xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1 (222121xxxxarccosCx 21uv dxuvu vdx整理課件例例4 求求 arctan.xxdx解解 設(shè)設(shè) u = arctanx, v= x, 則則 21arctanarctan()2xxdxxdx22211arctan22 1xxxdxx22111arctan1221xxdxx211 (1)arctan.22xxxC“ 反對(duì)冪指三反對(duì)冪指三”前者為前者為 后者為后者為u.vuv dxuvu vdx2211,12dudx vxx整理課件例例5 求求 ln.xdx解解 設(shè)設(shè) u

18、 = lnx, dv = dx, 則則 1,dudx vxxln xdx于于是是“ 反對(duì)冪指三反對(duì)冪指三”前者為前者為 后者為后者為u.vuv dxuvu vdx11x nxxdxxlnxxxC整理課件例例6 求求 2sin.xxdx22sin( cos )xxdxx dx2cos2 cosxxxxdx 2cos2sinxxxdx2cos2( sinsin)xxxxxdx 2cos2 sin2cos.xxxxxC 設(shè)設(shè) u = x 2, , 則則 du = 2xdx, v = - -cosx, 于是于是解：解：sinvx=uv dxuvu vdx整理課件例例7 求求 sin.xexdxsins

19、inxxexdxxde解解sincosxxexexdxsincosxxexxdesincossin.xxxexexexdx 上式最后一項(xiàng)正好是所求積分上式最后一項(xiàng)正好是所求積分, 移到等式左邊然后除移到等式左邊然后除以以2, 可知可知 e x sinx 的一個(gè)原函數(shù)為的一個(gè)原函數(shù)為1(sincos ),2xexx1sin(sincos ).2xxexdxexxC于于是是uv dxuvu vdx整理課件說明說明:分部積分題目的主要類型分部積分題目的主要類型:1) 直接分部化簡積分直接分部化簡積分 ;2) 分部產(chǎn)生循環(huán)式分部產(chǎn)生循環(huán)式 , 由此解出積分式由此解出積分式 ;(注意注意: 兩次分部選擇

20、的兩次分部選擇的 u , v 函數(shù)類型要一致函數(shù)類型要一致 , 解出積分后加解出積分后加 C )整理課件不定積分計(jì)算練習(xí)題不定積分計(jì)算練習(xí)題51.d.xex12.d.12xx-13.d.lnxxx2114.sind.xxx728.tansecd.xx x()22arctan6.d.1xxx+arcsin2107.d.1xxx-25.d.23xxx-整理課件19.12dxx+()arctan11.1xdxxx+4110.dxxx+14.arcsin d.x x12.sin d.xx x2ln16.d.xxx15.ln d.x x13.d.xxex-整理課件例例1 求求.231dxx duu 1211ln2uC1ln 32.2xC解解: 令令32 ,ux則則d2d