材料力學(xué)能量法ppt課件

1、材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件1一、外力功與應(yīng)變能一、外力功與應(yīng)變能 1、外力功、外力功W載荷在其作用點(diǎn)位移上所作的功。載荷在其作用點(diǎn)位移上所作的功。 (1 1) 常力作功常力作功FAFBD DW=FD DMq qW=Mq qM彈性固體的應(yīng)變能彈性固體的應(yīng)變能材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件2D D FD DFdDF對于一般彈性體對于一般彈性體0dWDDFFD D圖下方面積圖下方面積(2 2) 靜載作功靜載作功 靜載靜載是指從零開始逐漸地、緩慢地加載到彈性是指從零開始逐漸地、緩慢地加載到彈性體上的載荷，體上的載荷，靜載作功屬于變力作功。靜載作功屬于變力作功。材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理

2、課件3對于線彈性體對于線彈性體DFFD12DWF 2、應(yīng)變能應(yīng)變能Ve e彈性體因變形而儲存的能量，稱為應(yīng)變能。彈性體因變形而儲存的能量，稱為應(yīng)變能。 由能量守恒定律，儲存在彈性體內(nèi)的應(yīng)變能由能量守恒定律，儲存在彈性體內(nèi)的應(yīng)變能Ve e在數(shù)值上等于外力所作的功在數(shù)值上等于外力所作的功W。（忽略能量損失）。（忽略能量損失）即即 Ve e =WF為廣義力，為廣義力，D D為與力對應(yīng)的廣義位移。為與力對應(yīng)的廣義位移。材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件4二、線彈性體的應(yīng)變能二、線彈性體的應(yīng)變能1、軸向拉壓、軸向拉壓FFD DlD Dl22N1222F lF lVWF lEAEAeD FN為變量時(shí)為變量

3、時(shí)2N( )d2lFxVxEAelFFllEAD F材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件5Me2 2、扭、扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)j jj jMeMe22eePP1222M lT lVWMGIGIejT為變量時(shí)為變量時(shí)2P( )d2lTxVxGIeePM lGIj材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件63 3、平面彎曲、平面彎曲ddMxEIq橫力彎曲時(shí)忽略剪力對應(yīng)變能的影響橫力彎曲時(shí)忽略剪力對應(yīng)變能的影響，如矩形截面，當(dāng)，如矩形截面，當(dāng)l /b=10時(shí)，剪力的應(yīng)變能只占彎矩應(yīng)變能的時(shí)，剪力的應(yīng)變能只占彎矩應(yīng)變能的3。1ddMxEIq純彎曲純彎曲21dd22MxVWMEIeq2( )d2lMxVxEIe橫力彎曲橫力彎

4、曲M(x)為變量為變量MMdqdx材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件7 應(yīng)變能應(yīng)變能Ve e是內(nèi)力（是內(nèi)力（FN、T、M）的二次）的二次函數(shù)，應(yīng)變能一般不符合疊加原理。但若幾函數(shù)，應(yīng)變能一般不符合疊加原理。但若幾種載荷只在本身的變形上作功，而在其它載種載荷只在本身的變形上作功，而在其它載荷引起的變形上不作功，則應(yīng)變能可以疊加。荷引起的變形上不作功，則應(yīng)變能可以疊加。材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件8D DF從零逐漸增加到最終值，從零逐漸增加到最終值，變形亦緩慢增加最終值。變形亦緩慢增加最終值。F 一、能量法一、能量法 利用能量原理解決力學(xué)問題的方法。利用能量原理解決力學(xué)問題的方法。 可用來求

5、解變形、靜不定、動(dòng)載荷、穩(wěn)定等問題?？捎脕砬蠼庾冃巍㈧o不定、動(dòng)載荷、穩(wěn)定等問題。 第十章第十章 能量法能量法10.1 10.1 概概 述述二、外力功與應(yīng)變能二、外力功與應(yīng)變能1、外力功、外力功W載荷在其作用點(diǎn)位移上所作的功，屬于載荷在其作用點(diǎn)位移上所作的功，屬于變力作功變力作功。材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件9彈性體因載荷引起的變形而儲存的能量。彈性體因載荷引起的變形而儲存的能量。2、應(yīng)變能、應(yīng)變能三、功能原理三、功能原理?xiàng)l條 件：（件：（1）彈性體（線彈性、非線彈性）彈性體（線彈性、非線彈性） （2）靜載荷）靜載荷 可忽略彈性體變形過程中的可忽略彈性體變形過程中的 能量損失。能量損失。原

6、原 理：外力功全部轉(zhuǎn)化成彈性體的應(yīng)變能。理：外力功全部轉(zhuǎn)化成彈性體的應(yīng)變能。 Ve e = W材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件10 x解：解：建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系求外力功求外力功W 和應(yīng)變能和應(yīng)變能Ve ewA12AWFw222 300d() d226llMxFxxF lVEIEIEIe2 3126AF lFwEI3( )3AFlwEI列彎矩方程列彎矩方程 M =Fx （ 0 x l ）lFBA已知：已知：EI = 常數(shù)，用功能原理常數(shù)，用功能原理計(jì)算計(jì)算A點(diǎn)的撓度。點(diǎn)的撓度。 僅僅只能求力作用點(diǎn)與力相對應(yīng)的位移，僅僅只能求力作用點(diǎn)與力相對應(yīng)的位移，其它位移的求解有待進(jìn)一步研究功能原理。其它

7、位移的求解有待進(jìn)一步研究功能原理。材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件11圖示對稱結(jié)構(gòu)，各桿抗拉剛度圖示對稱結(jié)構(gòu)，各桿抗拉剛度EA均相等。均相等。由平衡方程，通過功能原理導(dǎo)出變形幾由平衡方程，通過功能原理導(dǎo)出變形幾何方程；由平衡方程結(jié)合功能原理求出何方程；由平衡方程結(jié)合功能原理求出各桿內(nèi)力。各桿內(nèi)力。FABCDl解：解：A點(diǎn)的位移等于點(diǎn)的位移等于桿的變形桿的變形D Dl3。由功能原理有由功能原理有 （1）311223311()22F lF lFlFlDD DD由平衡方程和對稱條件有由平衡方程和對稱條件有 （2）1212FFll D D，132cosFFF（3）（2）、（）、（3）代入（）代入（1

8、）得）得31cosllD D變形幾何方程變形幾何方程D Dl1D Dl32223312coscosFlF lF lF lFEAEAEAEA（1）考慮物理方程得）考慮物理方程得（2）、（）、（3）代入上式并化簡得得）代入上式并化簡得得231cosFF幾何方程幾何方程和物理方和物理方程的聯(lián)立程的聯(lián)立材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件12Fi 為集中力，為集中力，D Di為該力作用點(diǎn)沿力方向的線位移；為該力作用點(diǎn)沿力方向的線位移；Fi為力偶，則為力偶，則D Di為該力偶作用面內(nèi)沿力偶轉(zhuǎn)向的角為該力偶作用面內(nèi)沿力偶轉(zhuǎn)向的角位移（轉(zhuǎn)角）。位移（轉(zhuǎn)角）。D Di 簡稱為與力簡稱為與力Fi (相相)對應(yīng)的位

9、移。對應(yīng)的位移。10.2 10.2 互等定理互等定理Fi 廣義力（集中力，力偶）廣義力（集中力，力偶）D Di 廣義位移（線位移，角位移）廣義位移（線位移，角位移）一、外力功的計(jì)算一、外力功的計(jì)算材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件13對于一般彈性體對于一般彈性體0dWDDFFD D 圖下方面積圖下方面積 靜載是指從零開始逐漸地、緩慢地加載到彈性靜載是指從零開始逐漸地、緩慢地加載到彈性體上的載荷，靜載作功屬于變力作功。體上的載荷，靜載作功屬于變力作功。外力功屬于靜載作功。外力功屬于靜載作功。D D FD DFdDF對于線彈性體對于線彈性體DFFD D12DWFF為廣義力，為廣義力，D D為廣義位

10、移。為廣義位移。材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件14 外力功的數(shù)值與加載順序無關(guān)，外力功的數(shù)值與加載順序無關(guān)， 只與載荷與位移的最終數(shù)值有關(guān)。只與載荷與位移的最終數(shù)值有關(guān)。加載順序：加載順序： F1, F2, Fi， F2, F1, Fj， 不同時(shí)加載，加載順不同時(shí)加載，加載順序不同，外力功不變。序不同，外力功不變。 二、外力功與變形能的特點(diǎn)二、外力功與變形能的特點(diǎn) 如果外力功和變形能與加載順序有關(guān)，會出現(xiàn)如果外力功和變形能與加載順序有關(guān)，會出現(xiàn)什么結(jié)果？什么結(jié)果？ 按一種順序加載，按另一種順序卸載，能量還按一種順序加載，按另一種順序卸載，能量還能守恒么？能守恒么？反證法！反證法！材料力學(xué)材

11、料力學(xué) 整理課件整理課件15F1F2F2F1先加先加F1后加后加F2先加先加F2后加后加F1不同加載次序外力功均相同，若按比例同時(shí)加載，不同加載次序外力功均相同，若按比例同時(shí)加載，外力同時(shí)達(dá)到最終值，即外力同時(shí)達(dá)到最終值，即比例加載比例加載，外力功不變。，外力功不變。材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件16即即 D D1= d d11F1+d d12F2+ +d d1iFi + +d d1nFnD Di= d di1F1+d di2F2+ +d diiFi + +d dinFn其中其中d dij 是與載荷無關(guān)的常數(shù)。是與載荷無關(guān)的常數(shù)。注意：各載荷和位移都是指最終值，所以是常數(shù)。注意：各載荷和位

12、移都是指最終值，所以是常數(shù)。三、克拉貝依?。ㄈ⒖死愐缆。–lapeyron)原理原理線彈性體上，作用有載荷線彈性體上，作用有載荷F1, ,F2 , , Fi, , Fn與外力方向相應(yīng)的位移為與外力方向相應(yīng)的位移為D D1, , D D2, , D Di, , D Dn 由由線彈性體線彈性體的疊加原理，各位移是載荷的線性函數(shù)的疊加原理，各位移是載荷的線性函數(shù)材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件17設(shè)各外載荷有一增量，于是位移亦有一增量。載荷設(shè)各外載荷有一增量，于是位移亦有一增量。載荷在位移增量上所作的元功為：在位移增量上所作的元功為： dW=F1*dD D1*+Fi*dD Di*+Fn*dD

13、Dn* =l lF1d(lDlD1)+l lFid(lDlDi)+l lFnd(lD(lDn) =(F1D D1+FiD Di+FnD Dn)l)ldl l外力作的總功為：外力作的總功為：1110111(+ ) d111+ 22212iinniinnniiiWFFFFFFFDDDll DDD D材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件18設(shè)各外載荷按相同的比例，從零開始緩慢增加到最設(shè)各外載荷按相同的比例，從零開始緩慢增加到最終值。即任一時(shí)刻各載荷的大小為：終值。即任一時(shí)刻各載荷的大小為：F1*=l lF1, , F2*=l lF2 , , Fi*=l lFi , ,Fn*=l lFn 其中其中 l

14、l從從0緩慢增加到緩慢增加到1，說明加載完畢。，說明加載完畢。加載過程中加載過程中 ，任一時(shí)刻的位移為：，任一時(shí)刻的位移為：D D1*= d d11F1* +d d12 F2 * + +d d1iFi * +d d1nFn *=lDlD1D Di*= d di1F1 * +d di2 F2 * + +d diiFi * +d dinFn *= lD lDi注意：帶星號上標(biāo)的載荷和位移都是中間值，所注意：帶星號上標(biāo)的載荷和位移都是中間值，所以是變數(shù)，隨著以是變數(shù)，隨著l l的變化而變化。的變化而變化。材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件19112niiiVWFeD 線彈性體線彈性體的外力功或變形能

15、等于每一外力與其的外力功或變形能等于每一外力與其對應(yīng)位移乘積之半的總和。對應(yīng)位移乘積之半的總和。F1F2FiD D1D D2D Di圖示撓曲線為所有力共同作用下的撓曲線，各點(diǎn)圖示撓曲線為所有力共同作用下的撓曲線，各點(diǎn)位移都不是單個(gè)力引起的，是位移都不是單個(gè)力引起的，是所有力共同作用下所有力共同作用下的位移的位移。D D1既有既有F1的作用，也有的作用，也有F2 ， Fi 的作用。的作用。所以所以Clapeyron原理不符合疊加原理。原理不符合疊加原理。材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件20注注 意意1、Clapeyron原理只適用于線彈性，小變形體；原理只適用于線彈性，小變形體； 2、D Di

16、 盡管是盡管是Fi 作用點(diǎn)的位移，但它不只是作用點(diǎn)的位移，但它不只是Fi 一一 個(gè)力引起的，而是所有力共同作用的結(jié)果，即個(gè)力引起的，而是所有力共同作用的結(jié)果，即 它是它是 i 點(diǎn)實(shí)際的點(diǎn)實(shí)際的總位移總位移；3、D Di 是是Fi 對應(yīng)的位移，對應(yīng)的位移，F(xiàn)i為集中力，為集中力，D Di則為線位則為線位 移，移，F(xiàn)i為集中力偶，為集中力偶，D Di則為角位移；則為角位移； 4、Fi D Di 為正時(shí)，表明為正時(shí)，表明Fi作正功，作正功，D Di 與與Fi 方向方向 （或轉(zhuǎn)向）相同；為負(fù)則表示（或轉(zhuǎn)向）相同；為負(fù)則表示D Di 與與Fi 方向方向 （或轉(zhuǎn)向）相反。（或轉(zhuǎn)向）相反。材料力學(xué)材料力學(xué)

17、整理課件整理課件21據(jù)據(jù)Clapeyron原理，原理，微段微段dx上上dxTFNM()N222NP111ddddd222ddd222VWFlMTFxMxTxEAEIGIeqjD 組合變形組合變形整個(gè)桿件的應(yīng)變能為整個(gè)桿件的應(yīng)變能為( )( )( )222NPddd222lllFxMxTxVxxxEAEIGIe材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件22位移位移命名命名位移位移D D的第一個(gè)下標(biāo)表示某點(diǎn)處的位移，的第一個(gè)下標(biāo)表示某點(diǎn)處的位移，第二個(gè)下標(biāo)表示由那點(diǎn)的力引起的位移。第二個(gè)下標(biāo)表示由那點(diǎn)的力引起的位移。FiijD DiiD DjiFjijD DijD DjjD Dii和和 D Dij第一個(gè)下

18、標(biāo)第一個(gè)下標(biāo)i表示表示i點(diǎn)的位移，第二個(gè)下標(biāo)點(diǎn)的位移，第二個(gè)下標(biāo)i和和j分別表示分別表示是由是由i點(diǎn)和點(diǎn)和j點(diǎn)的力引起的位移，點(diǎn)的力引起的位移， D Dji和和 D Djj亦可以類推得到。亦可以類推得到。四、功的互等定理四、功的互等定理(線彈性體線彈性體)材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件2312iiiWFD12jjjiijFFDD先加先加Fi后加后加FjjFiiD DiiD Dji外力功為外力功為 外力功外力功W 與加載順序無關(guān)，改變加載與加載順序無關(guān)，改變加載順序可得到相同的外力功。順序可得到相同的外力功。D DiiFiD DijD DjiD DiFiOD DjFjOFjD DjjFjD

19、DijD Djj材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件24先加先加FjjFjiD DijD Djj外力功為外力功為12jjjWF D后加后加Fi12iiijjiFFD D先加先加Fi 后加后加Fj外力功為外力功為1122iiijjjiijWFFFDDDWW iijjjiFFD DD DiFiOD DjFjOFjD DjjD DijD DiiFiD DjiFiD DiiD Dji材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件251122iiijjjiijWFFFD D DiijjjiFFD D11112222iiijjjiijiijFFFFD D D D11112222iiijjjiijjjiFFFFD D D

20、 D11()()22iiiijjjjjiFFD DD DClapeyron原理原理1122iijjFFD D外力功和變形能不符合疊加原理外力功和變形能不符合疊加原理材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件26線彈性體線彈性體上甲力在乙力引起的位移上作的功，等于上甲力在乙力引起的位移上作的功，等于乙力在甲力引起的位移上作的功。一般地，乙力在甲力引起的位移上作的功。一般地，第一組第一組力在第二組力引起的相應(yīng)位移上所作的功，等于第力在第二組力引起的相應(yīng)位移上所作的功，等于第二組力在第一組力引起的相應(yīng)位移上所作的功。二組力在第一組力引起的相應(yīng)位移上所作的功。FiijD DiiD DjiFjijD DijD

21、Djj功的互等定理功的互等定理注：力系、位移均為廣義的。注：力系、位移均為廣義的。iijjjiFFD D材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件27抗彎剛度為抗彎剛度為EI的簡支梁承受均布載荷的簡支梁承受均布載荷q，已知其跨中撓度，已知其跨中撓度 ，如圖所示。試用功的互等定理求該梁承受跨中，如圖所示。試用功的互等定理求該梁承受跨中載荷載荷F時(shí)，梁撓曲線與原始軸線所圍成的面積。時(shí)，梁撓曲線與原始軸線所圍成的面積。 CqlwEI45=384解：設(shè)第一組力為解：設(shè)第一組力為F，梁上各點(diǎn)的撓度為，梁上各點(diǎn)的撓度為w(x)。撓曲線與原始軸線圍成的面積撓曲線與原始軸線圍成的面積 ( )dwlAw xx第二組力第

22、二組力q作用時(shí)，它在梁跨中引起的撓度為作用時(shí)，它在梁跨中引起的撓度為wC 。 45384CwFwFlAqEI d( )CwlFwq x w xqA由功的互等定理由功的互等定理材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件28 裝有尾頂針的工件可簡化為靜不定梁。試?yán)没サ榷ɡ硌b有尾頂針的工件可簡化為靜不定梁。試?yán)没サ榷ɡ砬笄驝處的約束力。處的約束力。ABCFal解：解除解：解除C處約束的工件可處約束的工件可簡化為懸臂梁，簡化為懸臂梁，F(xiàn)、FC作為作為第一組力。懸臂梁在第一組力。懸臂梁在C處加處加單位力單位力1作為第二組力。作為第二組力。FCABC1alwBwC()2323()326Bla aala awE

23、IEIEI33ClwEI第一組力在第二組力引起的位移上所作的功等于第一組力在第二組力引起的位移上所作的功等于第二組第二組力在第一組力引起的位移上所作的功為零（力在第一組力引起的位移上所作的功為零（C為鉸支）為鉸支）。0BCCFwF w()2332CFaFlal材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件29圖示靜不定結(jié)構(gòu)由于鉸鏈圖示靜不定結(jié)構(gòu)由于鉸鏈A的裝配誤差，使的裝配誤差，使A，B兩點(diǎn)分別兩點(diǎn)分別有位移有位移d dA 和和d dB 。在結(jié)構(gòu)。在結(jié)構(gòu)A點(diǎn)的新位置（無裝配應(yīng)力位置）點(diǎn)的新位置（無裝配應(yīng)力位置）重新安裝鉸鏈后，重新安裝鉸鏈后， 在在B點(diǎn)作用一向下的載荷點(diǎn)作用一向下的載荷 F，求此時(shí)鉸，求此

24、時(shí)鉸鏈鏈A的約束力（設(shè)結(jié)構(gòu)保持線彈性）。的約束力（設(shè)結(jié)構(gòu)保持線彈性）。 ABd dAd dBFABFAFA1解：第一種情況下，解：第一種情況下，A處的約束力為處的約束力為FA1， 第二種情況下，第二種情況下，A處的約束力為處的約束力為FA。由功的互等定理有由功的互等定理有100AABAFFFddAABFFdd材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件30 若若 Fi = Fj =F則則 D Di j = D Dj i線彈性體上作用在線彈性體上作用在 j 處的一個(gè)力引起處的一個(gè)力引起 i 處的處的位移，等于它作用在位移，等于它作用在 i 處引起處引起 j 處的位移。處的位移。五、位移互等定理五、位移互等

25、定理功的互功的互等定理等定理iijjjiFFD DlbhFFlbhFF圖示桿件在中央受一對大小相等，方向相反的力作用，材料處于線彈性圖示桿件在中央受一對大小相等，方向相反的力作用，材料處于線彈性狀態(tài)，求桿件的伸長狀態(tài)，求桿件的伸長D Dl。解：沿桿件軸線加相同的一對力解：沿桿件軸線加相同的一對力FhFhhEEbhbED FlhbED D 下圖中下圖中材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件31D D i j =D D j iFijD Dij力力F作用在作用在 j點(diǎn)點(diǎn)FijD Dji力力F作用在作用在 i點(diǎn)點(diǎn)位移互位移互等定理等定理材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件32位移互等定理位移互等定理 單位力

26、單位力FiD Di j =FjD Dj id d i j =d d j i1ijd dij單位力單位力1作用在作用在 j點(diǎn)點(diǎn)1ijd dji單位力單位力1作用在作用在 i點(diǎn)點(diǎn)若若 Fi = Fj =1(無量綱無量綱) 稱為單位力稱為單位力材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件33位移互等定理位移互等定理注意：注意：(功、位移功、位移)互等定理只適用于線彈性小變形體?；サ榷ɡ碇贿m用于線彈性小變形體。 作用在作用在j 處的處的單位力單位力引起引起 i 處的位移，處的位移，等于作用在等于作用在 i 處的處的單位力單位力引起引起 j 處的位移。處的位移。d d i j = d d j iAB1llAB12

27、2BABlEIdq1力力22ABAlwEId1力力d dBAd dAB材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件34廣義力廣義力1作用在中點(diǎn)作用在中點(diǎn)ABC1q qAClABC1wCAl廣義力廣義力1作用在端點(diǎn)作用在端點(diǎn)216ACAClEIdq216CACAlwEId材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件35關(guān)于互等定理關(guān)于互等定理q q BA = q qAB材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件36關(guān)于互等定理關(guān)于互等定理FiA =Mq qAi功的互等功的互等材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件37討論討論百分表百分表 懸臂梁受力如圖示?，F(xiàn)用百分表測量懸臂梁受力如圖示?，F(xiàn)用百分表測量 梁在各處的撓度，請?jiān)O(shè)計(jì)一

28、實(shí)驗(yàn)方案。梁在各處的撓度，請?jiān)O(shè)計(jì)一實(shí)驗(yàn)方案。移動(dòng)百分表？移動(dòng)百分表？固定百分表？固定百分表？關(guān)于互等定理關(guān)于互等定理百分表固定在百分表固定在B處，移動(dòng)載荷。處，移動(dòng)載荷。材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件38dFD DWCFFDW0dFCCVWFD顯然顯然 余功余功 WC = WC ( F ) 余能余能 VC = VC ( F )FD圖上方面積圖上方面積一、余功及余能一、余功及余能10.3 10.3 余能定理與卡氏定理余能定理與卡氏定理定義與外力功及應(yīng)變定義與外力功及應(yīng)變能互補(bǔ)的余功及余能能互補(bǔ)的余功及余能余功和余能均為余功和余能均為廣義載荷的函數(shù)。廣義載荷的函數(shù)。材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整

29、理課件39D D1D D2D DiF1F2Fi二、余能定理二、余能定理 設(shè)任意彈性體（可以是非線性彈性體，）上設(shè)任意彈性體（可以是非線性彈性體，）上作用廣義載荷作用廣義載荷 F1，F(xiàn)2， Fi , 對應(yīng)點(diǎn)的位移為對應(yīng)點(diǎn)的位移為 D D1，D D2， D Di ， 無剛性位移。無剛性位移。余能余能 VC = VC ( F1，F(xiàn)2 Fi ) 是載荷的函數(shù)。是載荷的函數(shù)。如果只有廣義載荷如果只有廣義載荷 Fi 有一個(gè)增量有一個(gè)增量dFi , 余功增量為余功增量為 dWC = D D i dFi材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件40FdFD DdWC D D余能增量為余能增量為ddCCiiVVFFdd

30、CiiiiVFFFDCiiVFD dWC = dVC 余能（余能（Crotti-Engesser）定理）定理 彈性體彈性體（線性和非線性）（線性和非線性）某載荷作用點(diǎn)處的某載荷作用點(diǎn)處的位移，等于彈性體的余能對該載荷的一階偏導(dǎo)數(shù)。位移，等于彈性體的余能對該載荷的一階偏導(dǎo)數(shù)。材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件41Di為正，表示位移方向（轉(zhuǎn)向）和力為正，表示位移方向（轉(zhuǎn)向）和力Fi 的方向的方向（轉(zhuǎn)向）一致，反之，則相反。（轉(zhuǎn)向）一致，反之，則相反。iiVFeD CiiVFD 線彈性體線彈性體某外力作用點(diǎn)處沿力作用方向某外力作用點(diǎn)處沿力作用方向的位移等于結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能對該力的偏導(dǎo)數(shù)。的位移等于結(jié)構(gòu)的

31、應(yīng)變能對該力的偏導(dǎo)數(shù)。對線彈性體對線彈性體 Ve e = VC三、卡氏第二定理三、卡氏第二定理D D FVe eVC意大利工程師意大利工程師 阿爾伯托阿爾伯托卡斯提格里安諾卡斯提格里安諾 (Alberto Castigliano， 18471884)材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件42注意注意1、卡氏第二定理只適用于線彈性小變形體；、卡氏第二定理只適用于線彈性小變形體； 2、所求位移處必須要有與位移對應(yīng)的廣義、所求位移處必須要有與位移對應(yīng)的廣義 力作用；力作用；3、所求位移處廣義力必須與其它載荷所求位移處廣義力必須與其它載荷F1， F2， Fi ，要用不同的符號加以區(qū)別；要用不同的符號加以區(qū)

32、別；4、靜定結(jié)構(gòu)的約束力要表示為所有各外載荷、靜定結(jié)構(gòu)的約束力要表示為所有各外載荷 的函數(shù)。的函數(shù)。材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件43注意注意5、若構(gòu)件不同兩點(diǎn)、若構(gòu)件不同兩點(diǎn)i、j處的兩個(gè)載荷符號處的兩個(gè)載荷符號F 相同，則令相同，則令i處處F=Fi 、j處處F=Fj ；若只求某點(diǎn)處位移，該點(diǎn)處載荷在若只求某點(diǎn)處位移，該點(diǎn)處載荷在求約束力求約束力前前必須與其它各處載荷用不同的符號區(qū)別！必須與其它各處載荷用不同的符號區(qū)別！ddddjiijijFVVFVFFFFFeee D D 材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件446、若所求位移處無外載荷作用，、若所求位移處無外載荷作用，則人則人 為附加一

33、個(gè)與所求位移對應(yīng)的載荷為附加一個(gè)與所求位移對應(yīng)的載荷， 計(jì)算系統(tǒng)在原載荷和附加載荷共同計(jì)算系統(tǒng)在原載荷和附加載荷共同 作用下的應(yīng)變能，作用下的應(yīng)變能，應(yīng)變能對附加載應(yīng)變能對附加載 荷求完偏導(dǎo)數(shù)后，再令附加載荷為荷求完偏導(dǎo)數(shù)后，再令附加載荷為 零零，即可求得該處的位移。，即可求得該處的位移。注意注意材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件45對線彈性桿系結(jié)構(gòu)對線彈性桿系結(jié)構(gòu)( )( )( )( )( )( )NNpdddiiiillliFxFxM xM xT xT xxxxEAFEVFIFGIFeD ( )( )( )222NPddd222lllFxMxTxVxxxEAEIGIe（對線彈性結(jié)構(gòu)）卡氏定

34、理的應(yīng)用（對線彈性結(jié)構(gòu)）卡氏定理的應(yīng)用計(jì)算載荷作用點(diǎn)的位移；計(jì)算載荷作用點(diǎn)的位移；計(jì)算無載荷作用點(diǎn)的位移，此時(shí)需在所求點(diǎn)沿計(jì)算無載荷作用點(diǎn)的位移，此時(shí)需在所求點(diǎn)沿 所求方向加一虛力，求導(dǎo)后再令虛力為零；所求方向加一虛力，求導(dǎo)后再令虛力為零；計(jì)算兩點(diǎn)相對位移，可在此兩點(diǎn)分別加一等值計(jì)算兩點(diǎn)相對位移，可在此兩點(diǎn)分別加一等值 反向共線力，求導(dǎo)后再令其為零；反向共線力，求導(dǎo)后再令其為零；同樣可以計(jì)算角位移及相對角位移。同樣可以計(jì)算角位移及相對角位移。材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件46軸線為水平面內(nèi)四分之一圓周的曲桿如圖所示，在自由端軸線為水平面內(nèi)四分之一圓周的曲桿如圖所示，在自由端B作用豎直載荷作

35、用豎直載荷F。設(shè)。設(shè)EI和和GIp已知，試用卡氏定理求截面已知，試用卡氏定理求截面B在在豎直方向的位移。豎直方向的位移。解：在極坐標(biāo)系中截面解：在極坐標(biāo)系中截面mn上的上的彎矩和扭矩分別為：彎矩和扭矩分別為：()sin1 cosqq，MFRTFR2200p( d )( d )BMMTTRREIFGIFqqD 由卡氏定理由卡氏定理()23232200P33P11sind1 cosd(38)44FRFREIGIFRFREIGIq qqq材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件47解：解：(1)求求A點(diǎn)撓度點(diǎn)撓度梁的彎矩方程為梁的彎矩方程為 M =Fx （0 xl）0dlAVMMwxFEIFe01()()

36、dlFxxxEI3( )3FlEI 線彈性材料懸臂梁受力如圖，線彈性材料懸臂梁受力如圖，已知載荷已知載荷F，剛度，剛度EI及及l(fā) 。用用卡氏定理求：卡氏定理求：(1)加力點(diǎn)加力點(diǎn)A處的撓度；處的撓度；(2)梁中點(diǎn)梁中點(diǎn)B處的撓度。處的撓度。FxABC2l2l材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件48 在在B處施加與所求處施加與所求撓度方撓度方向相同的力向相同的力F1 , ,彎矩方程為彎矩方程為F1M1=Fx （0 xl /2）21()()22llMFxF xxl 1122202111ddlllBVMMMMwxxFEIFEIFe121() () d22llllFxF xxxEIF1=0(2)求梁中點(diǎn)

37、求梁中點(diǎn)(非加載點(diǎn)非加載點(diǎn))B的撓度的撓度FxABC2l2l材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件4935( )48FlEI21()d2lllFx xxEI說明說明 結(jié)果為正，表明結(jié)果為正，表明B點(diǎn)位移方向與虛力點(diǎn)位移方向與虛力F1一致一致, 即向下。即向下。 虛力虛力F1應(yīng)在彎矩求完偏導(dǎo)以后再令其為零。應(yīng)在彎矩求完偏導(dǎo)以后再令其為零。 虛力的符號應(yīng)與其它力的符號有所區(qū)別，否虛力的符號應(yīng)與其它力的符號有所區(qū)別，否 則會得出錯(cuò)誤的結(jié)果。則會得出錯(cuò)誤的結(jié)果。121() () d22llllFxF xxxEIF1=0材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件502223311002 32212dd23312()

38、2324318llFFVxxxxEIFF lFkkEIke( )342439CVFlFwFEIke解：系統(tǒng)變形能解：系統(tǒng)變形能C截面的撓度截面的撓度抗彎剛度為抗彎剛度為EI的梁，的梁，B端端彈簧剛度為彈簧剛度為k，試用卡氏，試用卡氏定理求力定理求力F作用點(diǎn)的撓度。作用點(diǎn)的撓度。 3l2 3lABCkFxx1材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件51解：求解：求A處撓度時(shí)處撓度時(shí) 令令A(yù)處集中力處集中力qa=F ，其它不變，其它不變M(x)=Fxqx2 / 2qa20daAVMMwxFEIFe2420123()()d( )224aqxqaqaxqaxxEIEI彎矩對彎矩對F 求完偏導(dǎo)求完偏導(dǎo)后，再用

39、后，再用qa 代回代回F 如何用卡氏定理求如何用卡氏定理求A端的撓度和轉(zhuǎn)角？端的撓度和轉(zhuǎn)角？qqa2qaaAx材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件52求求A處轉(zhuǎn)角時(shí)令處轉(zhuǎn)角時(shí)令 A處集中力偶處集中力偶 qa2=M1M(x)=qaxqx2 / 2M1011daAVMMxMEIMeq232015()( 1)d23aqxqaqaxqaxEIEI( )qqa2qaaAx材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件5322NN12112221.365mm1313ni iiyiiiVF lFFlFlFE AFEAEAeD 用幾何法求解需作變形圖，借助幾何關(guān)系求位移。本題用幾何法求解需作變形圖，借助幾何關(guān)系求位移。本題

40、求鉛直位移，直接用卡氏定理求解較簡，若求水平位移用卡求鉛直位移，直接用卡氏定理求解較簡，若求水平位移用卡氏定理較麻煩，可用莫爾定理求解較方便。氏定理較麻煩，可用莫爾定理求解較方便。圖示結(jié)構(gòu)已知圖示結(jié)構(gòu)已知F=35kN，d1=12mm，d2=15mm，E=210GPa。求求A點(diǎn)的垂直位移。點(diǎn)的垂直位移。 C B450 3001m A0.8m F解：由平衡方程求得兩桿的軸力分別為解：由平衡方程求得兩桿的軸力分別為N1N2221313FFFF，N1N2221313FFFF ，對對F求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件54車床主軸如圖所示，其抗彎剛度車床主軸如圖所示，其抗彎剛度EI可視為常量

41、。試求在載荷可視為常量。試求在載荷F作用下截面作用下截面B的轉(zhuǎn)角。的轉(zhuǎn)角。a4aABCFx2ABCFMx1解：解：在截面在截面B處附加力偶矩處附加力偶矩M并求支座約束力并求支座約束力 FA4AFaMFa列外伸梁各段的彎矩方程列外伸梁各段的彎矩方程及其對及其對M的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 111()4AFaMM xF xxa 11( )4M xxMa AB段段 22)(FxxM2()0M xMCB段段 求截面求截面B的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 根據(jù)卡氏定理，截面根據(jù)卡氏定理，截面B的轉(zhuǎn)角為的轉(zhuǎn)角為 材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件550|( )( )dMBlM xM xxEIMq 41210120200()()11(

42、)|d()|daaMMM xM xM xxM xxEIMEIM24111014()()d0443axFaFaxxEIaaEI111()4AFaMM xF xxa 11()4M xxMa AB段段 22)(FxxM2()0M xMCB段段 a4aABCF按疊加原理，外伸梁可轉(zhuǎn)化為簡支梁在按疊加原理，外伸梁可轉(zhuǎn)化為簡支梁在B處受力偶處受力偶MB=Fa作用，由卡氏定理有作用，由卡氏定理有4aAB MBBBVMeqx40( )daBM xMxEIM4021() ()d44(4 )433aBBMxxxEIaaMaFaEIEI 材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件56aABCFDaaF外伸梁受兩個(gè)大小均為外

43、伸梁受兩個(gè)大小均為F的集中力作用，梁的的集中力作用，梁的EI及及a已知，已知，求求D的撓度。的撓度。解：解：求支座約束力，令求支座約束力，令D點(diǎn)的點(diǎn)的載荷為載荷為F1，這時(shí)支座約束力為，這時(shí)支座約束力為 11322ABFFFFFF，F(xiàn)AFBF1=列出剛架各段的彎矩方程及其對列出剛架各段的彎矩方程及其對F1的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)x1x2x3AC段段111111( )22AFFxMM xF xxF ，CB段段11222221()()222AFFFFaxMM xF axFxaxF ，DB段段31 331()MM xFxxF ，計(jì)算計(jì)算D點(diǎn)撓度點(diǎn)撓度1322233300113()()d()()d( )|24

44、aaDFFVaxFawFxxFxxxFEIEIe材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件57彎曲剛度均為彎曲剛度均為EI的靜定組合梁的靜定組合梁 ABC，在，在 AB段上受均段上受均布載荷布載荷q作用，梁材料為線彈性體。試用卡氏第二定作用，梁材料為線彈性體。試用卡氏第二定理求梁中間鉸理求梁中間鉸B兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角。兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角。 ABCqll解：解：在中間鉸在中間鉸B兩側(cè)兩側(cè) 虛設(shè)一對外力偶虛設(shè)一對外力偶MB。MBMB各約束力如圖各約束力如圖 222BqlM BMqllBMlx122111( )222BBqxqlMM xqlxMlAB段彎矩方程段彎矩方程CB段彎矩方程段彎矩方程x222()B

45、MM xxl 材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件58由卡氏第二定理得由卡氏第二定理得0( )( )dBlBM xM xxEIMqD MB2211122()222()BBBqxqlMM xqlxMlM xM xl 2231111017()(2)d2224lqxxqlqlqlxxEIlEI 結(jié)果符號為正，說明相對轉(zhuǎn)角結(jié)果符號為正，說明相對轉(zhuǎn)角D Dq qB B的轉(zhuǎn)向與圖中虛加外的轉(zhuǎn)向與圖中虛加外力偶力偶MB的轉(zhuǎn)向一致。的轉(zhuǎn)向一致。按照疊加原理，相對轉(zhuǎn)角按照疊加原理，相對轉(zhuǎn)角D Dq qB等于懸臂梁等于懸臂梁B的轉(zhuǎn)角及的轉(zhuǎn)角及B的撓的撓度引起的度引起的BC轉(zhuǎn)角的和。轉(zhuǎn)角的和。ABCqll334786

46、24BBBwqlqlqllEIlEIEIqqD若計(jì)算懸臂梁的轉(zhuǎn)角和撓度會更簡單。若計(jì)算懸臂梁的轉(zhuǎn)角和撓度會更簡單。材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件59FRFj jR(1-cosj j )彎曲剛度彎曲剛度為為EI的等截面開口圓環(huán)受的等截面開口圓環(huán)受一對集中力一對集中力F作用，環(huán)的材料為線彈作用，環(huán)的材料為線彈性的。試用卡氏第二定理求圓環(huán)的性的。試用卡氏第二定理求圓環(huán)的張開位移張開位移D D和相對轉(zhuǎn)角和相對轉(zhuǎn)角q q 。解：張開位移解：張開位移)cos1 ()()cos1 ()(jjjjRFMFRM()033201( )2( )( d )231 cosd()MVMRFEIFFFRREIEIejj

47、jjj D FRFj jR(1-cosj j )M1M1求相對轉(zhuǎn)角求相對轉(zhuǎn)角q q，虛加一對力偶虛加一對力偶M1。 1( )(1 cos )MFRMjj1220001( )( )22d2(1 cos )dMMMFRFRREIMEIEIjjqjjj材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件60說明下圖中說明下圖中的含義的含義VFe討討 論論12VFe D DD D1D D2FF材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件61若僅求若僅求D D1 1或或D D2 2又如何計(jì)算？又如何計(jì)算？先計(jì)算先計(jì)算A、B支座約束力；支座約束力；再令再令C 處處F=FC ，或，或D處處F=FD ;分段列彎矩方程；分段列彎矩方程；由

48、卡氏定理求由卡氏定理求D D1 1或或D D2 2 。方方法法一一先令先令C 處處F=FC ，或，或D處處F=FD ;再計(jì)算再計(jì)算A、B支座約束力；支座約束力；分段列彎矩方程；分段列彎矩方程；由卡氏定理求由卡氏定理求D D1 1或或D D2 2 。方方法法二二D D1D D2FFFFABCD材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件62解：解：求支座約束力求支座約束力 由圖可知，由圖可知，A、D點(diǎn)載荷同為點(diǎn)載荷同為F，為便于區(qū)分，為便于區(qū)分起見，令起見，令A(yù)點(diǎn)載荷為點(diǎn)載荷為F1，D點(diǎn)載荷點(diǎn)載荷為為F2，這時(shí)支座約束力為，這時(shí)支座約束力為 2221FFqlFE12()GxFFF1222GyFFqlF試用

49、卡氏定理求圖所示剛架試用卡氏定理求圖所示剛架A點(diǎn)的水點(diǎn)的水平位移，設(shè)各桿抗彎剛度均為平位移，設(shè)各桿抗彎剛度均為EI。（計(jì)算中可略去軸力和剪力的影響）（計(jì)算中可略去軸力和剪力的影響）Fqll2l2l2FFlABCDEGl2l2l2F2F1lABCDEGqFEFGyFGx列出剛架各段的彎矩方程及其列出剛架各段的彎矩方程及其對對F1的偏導(dǎo)數(shù)。由于是求的偏導(dǎo)數(shù)。由于是求A點(diǎn)的點(diǎn)的水平位移，則應(yīng)該對該位移方水平位移，則應(yīng)該對該位移方向的力向的力F1求偏導(dǎo)數(shù)。求偏導(dǎo)數(shù)。 材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件630M01FMED段段 12xFM 01FMDC段段 21222212222FFqllMxFqx22

50、1xFMCB段段 ()313212xFlxFFM21lFMAB段段 12()G xFFF1222G yFFqlF1222EFFqlFl2l2l2F2F1lABCDEGqFEFGyFGxx1x2x3x4()421xFFM41xFMGA段段 計(jì)算計(jì)算A點(diǎn)水平位移點(diǎn)水平位移 注意求完導(dǎo)后，可令注意求完導(dǎo)后，可令F1=F2=F。根據(jù)卡氏定理。根據(jù)卡氏定理A點(diǎn)水平位移為點(diǎn)水平位移為 ( )( )1dDAlMxMxxEIF()3203222220d21d22221xlFxEIxxqxFlxqlEIllEIFl63材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件64 所求位移處載荷要在求支所求位移處載荷要在求支座約束力前

51、與其它載荷區(qū)分座約束力前與其它載荷區(qū)分所求位移處若無載荷作用要所求位移處若無載荷作用要人為附加一個(gè)載荷，彎矩求人為附加一個(gè)載荷，彎矩求完偏導(dǎo)后再令附加載荷為零。完偏導(dǎo)后再令附加載荷為零。 卡氏定理計(jì)算卡氏定理計(jì)算位移的不便之處？位移的不便之處？如何消除消除不便之處？如何消除消除不便之處？材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件65iiVFeD以彎矩為例，探討彎矩對某廣義力求偏導(dǎo)的含義。以彎矩為例，探討彎矩對某廣義力求偏導(dǎo)的含義。式中式中M(x)是是所有載荷共同作用下所有載荷共同作用下的彎矩方程。的彎矩方程。線彈性小變形情況下，內(nèi)力符合疊加原理。線彈性小變形情況下，內(nèi)力符合疊加原理。M(x) = M(

52、F1 ， F2 ， Fi ， Fn ) =M1(x) + + Mi(x) + Mn(x)其中其中Mi(x) 是是Fi 單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)時(shí)引起的彎矩單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)時(shí)引起的彎矩對線彈性桿系結(jié)構(gòu)對線彈性桿系結(jié)構(gòu)( )( )( )222NPddd222lllFxMxTxVxxxEAEIGIe( )( )dliM xM xxEIF 材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件66111222( )( )( )( )( )( )iiiMxF MxMxF MxMxF Mx其中其中 是是Fi =1，即，即i處單獨(dú)處單獨(dú)作用一個(gè)單位力作用一個(gè)單位力時(shí)引起的彎矩。時(shí)引起的彎矩。( )iM x因?yàn)橐驗(yàn)镸i(x) 是是Fi 單獨(dú)

53、作用于結(jié)構(gòu)時(shí)引起的彎矩單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)時(shí)引起的彎矩于是于是( )(00)( )(010)iiiMxMFM xM，111( )( )( )( )iiiM xMxMxFMFM x ( )( )iiM xMxF( )M x簡記為簡記為所以所以材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件67( )( )( )( )ddlliM xM xM x M xxxEIFEI 是所求位移處是所求位移處單獨(dú)作用單獨(dú)作用一個(gè)與一個(gè)與位移對應(yīng)的位移對應(yīng)的單位力單位力時(shí)引起的彎矩時(shí)引起的彎矩( )M x莫爾莫爾積分積分若若K 處無載荷作用，處無載荷作用，附加一個(gè)載荷附加一個(gè)載荷FK ，附加載荷后的彎矩附加載荷后的彎矩*( )( )k

54、MM xF M xKKVFeD( )( )*dlKMxMxxEIFFk =0即無論所求位移處是否有載荷，只要在原結(jié)構(gòu)即無論所求位移處是否有載荷，只要在原結(jié)構(gòu)單獨(dú)單獨(dú)加一個(gè)加一個(gè)與所求位移對應(yīng)的單位力，單位力作用下求得的內(nèi)力方程與所求位移對應(yīng)的單位力，單位力作用下求得的內(nèi)力方程便是原所有載荷作用下的內(nèi)力方程對廣義力的偏導(dǎo)數(shù)。便是原所有載荷作用下的內(nèi)力方程對廣義力的偏導(dǎo)數(shù)。材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件68一、虛位移一、虛位移D D虛位移虛位移約束允許的（滿足約束條件）；約束允許的（滿足約束條件）；滿足連續(xù)條件的滿足連續(xù)條件的 ； 在平衡位置上增加的（不是唯一的）；在平衡位置上增加的（不是唯一

55、的）；任意微小位移。任意微小位移。真實(shí)位移真實(shí)位移AB10.4 10.4 虛功原理虛功原理材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件69（1） 可以是與真實(shí)位移有關(guān)的位移，也可以與真可以是與真實(shí)位移有關(guān)的位移，也可以與真實(shí)位移無關(guān)；實(shí)位移無關(guān)； 虛位移虛位移真實(shí)位移真實(shí)位移虛位移與真實(shí)位移無關(guān)虛位移與真實(shí)位移無關(guān)AB（2）可以是真實(shí)位移的增量；）可以是真實(shí)位移的增量；（3）可以是另外一個(gè)與之相關(guān)系統(tǒng)的真實(shí)位移；可以是另外一個(gè)與之相關(guān)系統(tǒng)的真實(shí)位移；材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件70w1(x)可作為集中力作用下的虛位移，可作為集中力作用下的虛位移，w2(x)也可作為分布載荷作用下的虛位移。也可作為分

56、布載荷作用下的虛位移。w1(x)w2(x) 總之，虛位移是指有可能發(fā)生的無限小位移總之，虛位移是指有可能發(fā)生的無限小位移, 它與載荷無必然關(guān)系。因此，它不是唯一的。它與載荷無必然關(guān)系。因此，它不是唯一的。虛位移過程中，物體原有外力和內(nèi)力保持不變。虛位移過程中，物體原有外力和內(nèi)力保持不變。 “虛位移虛位移” 一詞，用以區(qū)別物體自身原有外力引一詞，用以區(qū)別物體自身原有外力引 起的真實(shí)位移。起的真實(shí)位移。材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件71式中式中D Di是與是與Fi對應(yīng)的虛位移。對應(yīng)的虛位移。二、虛功二、虛功W力在虛位移上所作的功力在虛位移上所作的功。 一般計(jì)算虛功是在一個(gè)平衡力系上給一個(gè)一般計(jì)

57、算虛功是在一個(gè)平衡力系上給一個(gè)虛位移，這時(shí)各力作功是常力作功，因此虛位移，這時(shí)各力作功是常力作功，因此iiWFD三、虛變形能三、虛變形能Ve e* 彈性體在虛位移過程中增加的變形能。彈性體在虛位移過程中增加的變形能。其數(shù)值等于內(nèi)力虛功其數(shù)值等于內(nèi)力虛功材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件72dqFNFNd() lDMMdxdxTdjNd()ddVFlMTeqjD四、變形體虛功原理四、變形體虛功原理 處于平衡狀態(tài)的變形體在虛位移中，處于平衡狀態(tài)的變形體在虛位移中，外力所作的虛功等于彈性體的虛變形能。外力所作的虛功等于彈性體的虛變形能。材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件73F1FiF2 D D1 D

58、 D2 D Di以梁為例以梁為例變形體虛功原理變形體虛功原理()()NdddiilFFlMTqjD D（1）虛功原理與材料性能無關(guān)）虛功原理與材料性能無關(guān) 適用線彈性、非線彈性材料；適用線彈性、非線彈性材料；（2）不要求結(jié)構(gòu)位移與力呈線性關(guān)系）不要求結(jié)構(gòu)位移與力呈線性關(guān)系 也適用位移與力呈非線性的結(jié)構(gòu)。也適用位移與力呈非線性的結(jié)構(gòu)。材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件74以梁為例證明功的互等定理以梁為例證明功的互等定理i1D DiF1i2D DiF2ikFikD D第一組力第一組力j1D DjF1j2D DjF2jkFjkD D第二組力第二組力第二組力引起的變形第二組力引起的變形作為第一組力的虛

59、位移作為第一組力的虛位移Njd()ddjiijijilFFlMTqjD D第一組力引起的變形第一組力引起的變形作為第二組力的虛位移作為第二組力的虛位移由虛功原理由虛功原理Nd()ddijijijijlFFlMTqjD D材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件75FNFNd() lDNdd()FxlEADdqMMdxddM xEIqdxTdjPddT xGIjNNNpNd()dd()dd()ddjjjijijijiiijijijiFMTFlMTFMTxEAEIGIFlMTqjqjD D得到功的互等定理。得到功的互等定理。材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件7610.5 10.5 單位載荷法與莫爾積分單

60、位載荷法與莫爾積分一、單位載荷法一、單位載荷法1、用途：計(jì)算任意點(diǎn)處位移（廣義）、用途：計(jì)算任意點(diǎn)處位移（廣義）2、方法：利用虛功原理、方法：利用虛功原理 第一步第一步 構(gòu)造一虛力狀態(tài)：構(gòu)造一虛力狀態(tài)： （1）去掉結(jié)構(gòu)全部載荷；）去掉結(jié)構(gòu)全部載荷； （2）在結(jié)構(gòu)所求位移處施加一個(gè)對應(yīng)的）在結(jié)構(gòu)所求位移處施加一個(gè)對應(yīng)的 單位力（無量綱）；單位力（無量綱）； （3）計(jì)算結(jié)構(gòu)只在此單位力作用下各截）計(jì)算結(jié)構(gòu)只在此單位力作用下各截 面的內(nèi)力面的內(nèi)力 。NFMT，材料力學(xué)材料力學(xué) 整理課件整理課件77D D原載荷作用下的實(shí)際位移狀態(tài)原載荷作用下的實(shí)際位移狀態(tài) 作為單位力作用下的虛位移作為單位力作用下的虛