高等數(shù)學(xué)微分方程學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1高等數(shù)學(xué)微分方程高等數(shù)學(xué)微分方程第一頁(yè)，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十五分。解解)(xyy 設(shè)所求曲線為設(shè)所求曲線為 xdxy22,1 yx時(shí)時(shí)其中其中,2Cxy 即即, 1 C求得求得.12 xy所求曲線方程為所求曲線方程為1. 微分方程的基本概念微分方程的基本概念P294-1第1頁(yè)/共21頁(yè)第二頁(yè)，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十五分。例例 2 2 列列車(chē)車(chē)在在平平直直的的線線路路上上以以 2 20 0 米米/ /秒秒的的速速度度行行駛駛, ,當(dāng)當(dāng)制制動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)列列車(chē)車(chē)獲獲得得加加速速度度4 . 0 米米/ /秒秒2 2, ,問(wèn)問(wèn)開(kāi)開(kāi)始始制制動(dòng)動(dòng)后后多多少少時(shí)時(shí)間間列列車(chē)車(chē)才才能能停停住??？以以及

2、及列列車(chē)車(chē)在在這這段段時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)行行駛駛了了多多少少路路程程？解解)(,tssst 米米秒鐘行駛秒鐘行駛設(shè)制動(dòng)后設(shè)制動(dòng)后,20, 0,0 dtdsvst時(shí)時(shí)14 . 0Ctdtdsv 2122 . 0CtCts P294-2第2頁(yè)/共21頁(yè)第三頁(yè)，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十五分。代入條件后知代入條件后知0,2021 CC,202 . 02tts ,204 . 0 tdtdsv故故),(504 . 020秒秒 t列列車(chē)車(chē)在在這這段段時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)行行駛駛了了).(5005020502 . 02米米 s開(kāi)始制動(dòng)到列車(chē)完全停住共需開(kāi)始制動(dòng)到列車(chē)完全停住共需第3頁(yè)/共21頁(yè)第四頁(yè)，編輯于星期三：七點(diǎn) 四

3、十五分。微分方程微分方程: :凡表示未知函數(shù)、凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分及自變量之間的導(dǎo)數(shù)或微分及自變量之間關(guān)系的方程叫關(guān)系的方程叫微分方程微分方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì): : 聯(lián)系自變量聯(lián)系自變量, ,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)些導(dǎo)數(shù)( (或微分或微分) )之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式. .第4頁(yè)/共21頁(yè)第五頁(yè)，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十五分。微分方程的階微分方程的階: : 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的階階數(shù)稱之?dāng)?shù)稱之. .分類分類1 1

4、: : 常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. ., 0),( yyxF一階一階微分方程微分方程);,(yxfy 高階高階( (n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy分類分類2:2:第5頁(yè)/共21頁(yè)第六頁(yè)，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十五分。分類分類3 3: : 線性線性與與非線性非線性微分方程微分方程. .),()(xQyxPy ; 02)(2 xyyyx分類分類4 4: : 單個(gè)微分方程與微分方程組單個(gè)微分方程與微分方程組. . ,2,23zydxdzzydxdy第6頁(yè)/共21頁(yè)第七頁(yè)，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十五分。微分方程的解微分

5、方程的解: :代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之. . ,)(階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)上有上有在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè)nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn微分方程的解的分類：微分方程的解的分類：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常數(shù)微分方程的解中含有任意常數(shù), ,且任意常且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同. .第7頁(yè)/共21頁(yè)第八頁(yè)，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十五分。(2)(2)特解特解: : 確定了通解中任意常數(shù)以后的解確定了通解中任意常數(shù)以后的解. ., yy 例例;xCey 通解通解, 0 yy;co

6、ssin21xCxCy 通解通解解的圖象解的圖象: : 微分方程的積分曲線微分方程的積分曲線. .通解的圖象通解的圖象: : 積分曲線族積分曲線族. .初始條件初始條件: : 用來(lái)確定任意常數(shù)的條件用來(lái)確定任意常數(shù)的條件. .第8頁(yè)/共21頁(yè)第九頁(yè)，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十五分。過(guò)定點(diǎn)的積分曲線過(guò)定點(diǎn)的積分曲線; 00),(yyyxfyxx一階一階:二階二階: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線過(guò)定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問(wèn)題初值問(wèn)題: : 求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題. .第9頁(yè)/共21

7、頁(yè)第十頁(yè)，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十五分。例例 3 3 驗(yàn)證驗(yàn)證:函數(shù)函數(shù)ktCktCxsincos21 是微分是微分方程方程0222 xkdtxd的解的解. 并求滿足初始條件并求滿足初始條件0,00 ttdtdxAx的特解的特解.解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表達(dá)式代入原方程的表達(dá)式代入原方程和和將將xdtxdP297-3第10頁(yè)/共21頁(yè)第十一頁(yè)，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十五分。. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx

8、 , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解為所求特解為.cosktAx 第11頁(yè)/共21頁(yè)第十二頁(yè)，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十五分。答案：不是所有的微分方程都存在通解。答案：不是所有的微分方程都存在通解。22210 400,0yyyyyy 例例如如方方程程 和和 都都不不存存在在實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)解解，而而方方程程 只只有有解解 。以上三個(gè)方程，有的沒(méi)有實(shí)函數(shù)解；有的有解，但解中不含任意常數(shù)。所以，上述三個(gè)方程都不存在通解以上三個(gè)方程，有的沒(méi)有實(shí)函數(shù)解；有的有解，但解中不含任意常數(shù)。所以，上述三個(gè)方程都不存在通解。第12頁(yè)/共21頁(yè)第十三頁(yè)，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十五分。答：微分方程

9、的通解不一定包含它所有的解。答：微分方程的通解不一定包含它所有的解。2240 )0yyyxcy 例例如如方方程程 有有通通解解 （，但但它它不不能能包包含含方方程程的的解解。特殊的：未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)為特殊的：未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)為1的線性的線性微分方程的通解能包含所有的解。微分方程的通解能包含所有的解。第13頁(yè)/共21頁(yè)第十四頁(yè)，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十五分。微分方程；微分方程；微分方程的階；微分方程的階；微分方程的解；微分方程的解；通解通解; ;初始條件；初始條件；特解；特解；初值問(wèn)題；初值問(wèn)題；積分曲線積分曲線本節(jié)基本概念：本節(jié)基本概念：第14頁(yè)/共21頁(yè)第十五頁(yè)，編輯于星

10、期三：七點(diǎn) 四十五分。思考題思考題 函函數(shù)數(shù)xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解?第15頁(yè)/共21頁(yè)第十六頁(yè)，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十五分。思考題解答思考題解答,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxeexey23 中不含任意常數(shù)中不含任意常數(shù),故為微分方程的故為微分方程的特特解解.第16頁(yè)/共21頁(yè)第十七頁(yè)，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十五分。三三、設(shè)設(shè)曲曲線線上上點(diǎn)點(diǎn)),(yxP處處的的法法線線與與x軸軸的的交交點(diǎn)點(diǎn)為為Q, ,且且線線段段PQ被被y軸軸平平分分, ,試試寫(xiě)寫(xiě)出出該該曲曲線線所所滿滿足足的的微微分分方方程程. .一、一、 填空題填空題:

11、: 1 1、022 yxyyx是是_階微分方程；階微分方程；2 2、022 cQdtdQRdtQdL是是_階微分方程；階微分方程；3 3、 2sin dd是是_階微分方程；階微分方程；4 4、一個(gè)二階微分方程的通解應(yīng)含有、一個(gè)二階微分方程的通解應(yīng)含有_個(gè)任意常數(shù)個(gè)任意常數(shù) . .二、確定函數(shù)關(guān)系式二、確定函數(shù)關(guān)系式)sin(21CxCy 所含的參數(shù)所含的參數(shù), ,使使 其滿足初始條件其滿足初始條件1 xy, ,0 xy. .練練 習(xí)習(xí) 題題第17頁(yè)/共21頁(yè)第十八頁(yè)，編輯于星期三：七點(diǎn) 四十五分。四四、已已知知函函數(shù)數(shù)1 xbeaeyxx, ,其其中中ba ,為為任任意意常常 數(shù)數(shù), ,試試求求函函數(shù)數(shù)所所滿滿足足的的微微分分方方程程 . .第