高等數(shù)學(xué)微分方程學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1高等數(shù)學(xué)微分方程高等數(shù)學(xué)微分方程第一頁，編輯于星期三：七點 四十五分。解解)(xyy 設(shè)所求曲線為設(shè)所求曲線為 xdxy22,1 yx時時其中其中,2Cxy 即即, 1 C求得求得.12 xy所求曲線方程為所求曲線方程為1. 微分方程的基本概念微分方程的基本概念P294-1第1頁/共21頁第二頁，編輯于星期三：七點 四十五分。例例 2 2 列列車車在在平平直直的的線線路路上上以以 2 20 0 米米/ /秒秒的的速速度度行行駛駛, ,當(dāng)當(dāng)制制動動時時列列車車獲獲得得加加速速度度4 . 0 米米/ /秒秒2 2, ,問問開開始始制制動動后后多多少少時時間間列列車車才才能能停停住?。恳砸约?/p>

2、及列列車車在在這這段段時時間間內(nèi)內(nèi)行行駛駛了了多多少少路路程程？解解)(,tssst 米米秒鐘行駛秒鐘行駛設(shè)制動后設(shè)制動后,20, 0,0 dtdsvst時時14 . 0Ctdtdsv 2122 . 0CtCts P294-2第2頁/共21頁第三頁，編輯于星期三：七點 四十五分。代入條件后知代入條件后知0,2021 CC,202 . 02tts ,204 . 0 tdtdsv故故),(504 . 020秒秒 t列列車車在在這這段段時時間間內(nèi)內(nèi)行行駛駛了了).(5005020502 . 02米米 s開始制動到列車完全停住共需開始制動到列車完全停住共需第3頁/共21頁第四頁，編輯于星期三：七點 四

3、十五分。微分方程微分方程: :凡表示未知函數(shù)、凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分及自變量之間的導(dǎo)數(shù)或微分及自變量之間關(guān)系的方程叫關(guān)系的方程叫微分方程微分方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 實質(zhì)實質(zhì): : 聯(lián)系自變量聯(lián)系自變量, ,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)些導(dǎo)數(shù)( (或微分或微分) )之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式. .第4頁/共21頁第五頁，編輯于星期三：七點 四十五分。微分方程的階微分方程的階: : 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的階階數(shù)稱之?dāng)?shù)稱之. .分類分類1 1

4、: : 常微分方程常微分方程, , 偏微分方程偏微分方程. ., 0),( yyxF一階一階微分方程微分方程);,(yxfy 高階高階( (n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy分類分類2:2:第5頁/共21頁第六頁，編輯于星期三：七點 四十五分。分類分類3 3: : 線性線性與與非線性非線性微分方程微分方程. .),()(xQyxPy ; 02)(2 xyyyx分類分類4 4: : 單個微分方程與微分方程組單個微分方程與微分方程組. . ,2,23zydxdzzydxdy第6頁/共21頁第七頁，編輯于星期三：七點 四十五分。微分方程的解微分

5、方程的解: :代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之. . ,)(階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)上有上有在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè)nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn微分方程的解的分類：微分方程的解的分類：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常數(shù)微分方程的解中含有任意常數(shù), ,且任意常且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同. .第7頁/共21頁第八頁，編輯于星期三：七點 四十五分。(2)(2)特解特解: : 確定了通解中任意常數(shù)以后的解確定了通解中任意常數(shù)以后的解. ., yy 例例;xCey 通解通解, 0 yy;co

6、ssin21xCxCy 通解通解解的圖象解的圖象: : 微分方程的積分曲線微分方程的積分曲線. .通解的圖象通解的圖象: : 積分曲線族積分曲線族. .初始條件初始條件: : 用來確定任意常數(shù)的條件用來確定任意常數(shù)的條件. .第8頁/共21頁第九頁，編輯于星期三：七點 四十五分。過定點的積分曲線過定點的積分曲線; 00),(yyyxfyxx一階一階:二階二階: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問題初值問題: : 求微分方程滿足初始條件的解的問題求微分方程滿足初始條件的解的問題. .第9頁/共21

7、頁第十頁，編輯于星期三：七點 四十五分。例例 3 3 驗證驗證:函數(shù)函數(shù)ktCktCxsincos21 是微分是微分方程方程0222 xkdtxd的解的解. 并求滿足初始條件并求滿足初始條件0,00 ttdtdxAx的特解的特解.解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表達(dá)式代入原方程的表達(dá)式代入原方程和和將將xdtxdP297-3第10頁/共21頁第十一頁，編輯于星期三：七點 四十五分。. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx

8、 , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解為所求特解為.cosktAx 第11頁/共21頁第十二頁，編輯于星期三：七點 四十五分。答案：不是所有的微分方程都存在通解。答案：不是所有的微分方程都存在通解。22210 400,0yyyyyy 例例如如方方程程 和和 都都不不存存在在實實函函數(shù)數(shù)解解，而而方方程程 只只有有解解 。以上三個方程，有的沒有實函數(shù)解；有的有解，但解中不含任意常數(shù)。所以，上述三個方程都不存在通解以上三個方程，有的沒有實函數(shù)解；有的有解，但解中不含任意常數(shù)。所以，上述三個方程都不存在通解。第12頁/共21頁第十三頁，編輯于星期三：七點 四十五分。答：微分方程

9、的通解不一定包含它所有的解。答：微分方程的通解不一定包含它所有的解。2240 )0yyyxcy 例例如如方方程程 有有通通解解 （，但但它它不不能能包包含含方方程程的的解解。特殊的：未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)為特殊的：未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)為1的線性的線性微分方程的通解能包含所有的解。微分方程的通解能包含所有的解。第13頁/共21頁第十四頁，編輯于星期三：七點 四十五分。微分方程；微分方程；微分方程的階；微分方程的階；微分方程的解；微分方程的解；通解通解; ;初始條件；初始條件；特解；特解；初值問題；初值問題；積分曲線積分曲線本節(jié)基本概念：本節(jié)基本概念：第14頁/共21頁第十五頁，編輯于星

10、期三：七點 四十五分。思考題思考題 函函數(shù)數(shù)xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解?第15頁/共21頁第十六頁，編輯于星期三：七點 四十五分。思考題解答思考題解答,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxeexey23 中不含任意常數(shù)中不含任意常數(shù),故為微分方程的故為微分方程的特特解解.第16頁/共21頁第十七頁，編輯于星期三：七點 四十五分。三三、設(shè)設(shè)曲曲線線上上點點),(yxP處處的的法法線線與與x軸軸的的交交點點為為Q, ,且且線線段段PQ被被y軸軸平平分分, ,試試寫寫出出該該曲曲線線所所滿滿足足的的微微分分方方程程. .一、一、 填空題填空題:

11、: 1 1、022 yxyyx是是_階微分方程；階微分方程；2 2、022 cQdtdQRdtQdL是是_階微分方程；階微分方程；3 3、 2sin dd是是_階微分方程；階微分方程；4 4、一個二階微分方程的通解應(yīng)含有、一個二階微分方程的通解應(yīng)含有_個任意常數(shù)個任意常數(shù) . .二、確定函數(shù)關(guān)系式二、確定函數(shù)關(guān)系式)sin(21CxCy 所含的參數(shù)所含的參數(shù), ,使使 其滿足初始條件其滿足初始條件1 xy, ,0 xy. .練練 習(xí)習(xí) 題題第17頁/共21頁第十八頁，編輯于星期三：七點 四十五分。四四、已已知知函函數(shù)數(shù)1 xbeaeyxx, ,其其中中ba ,為為任任意意常常 數(shù)數(shù), ,試試求求函函數(shù)數(shù)所所滿滿足足的的微微分分方方程程 . .第