不動點迭代法非線性方程求解

1、MATLAB程序設(shè)計實踐課程考核1、編程實現(xiàn)以下科學(xué)計算算法，并舉一例應(yīng)用之。（參考書籍精通MATLAB科學(xué)計算，王正林等著，電子工業(yè)出版社，2009年） “不動點迭代法非線性方程求解”2、編程解決以下科學(xué)計算問題。 7.某工廠2005年度各季度產(chǎn)值（單位：萬元）分別為：450.6、395.9、410.2、450.9，試?yán)L制折線圖和餅圖，并說明圖形的實際意義。 8.根據(jù)繪制平面曲線，并分析參數(shù)對其形狀的影響。 2.按要求對指定函數(shù)進(jìn)行插值和擬合。 （1）按表6.4用3次樣條方法插值計算范圍內(nèi)整數(shù)點的正弦值和范圍內(nèi)整數(shù)點的正切值，然后用5次多項式擬合方法計算相同的函數(shù)值，并將兩種計算結(jié)果進(jìn)行比較

2、。表6.4 特殊角的正弦與正切值表（度）015304560759000.25880.50000.70710.86600.96591.000000.26790.57741.00001.73203.7320 （2）按表6.5用3次多項式方法插值計算1100之間整數(shù)的平方根。表6.5 1100內(nèi)特殊值的平方根表149162536496481100123456789101、不動點迭代非線性方程求解解：算法說明：在Matlab中編程實現(xiàn)不動點迭代法的函數(shù)為StablePoint功能：用不動點迭代法求函數(shù)的一個零點。調(diào)用格式：root,n=StablePoint(f,x0,eps)。其中，f為函數(shù)名；x0

3、為初始迭代向量；eps為根的精度；root為求出的函數(shù)零點；n為迭代步數(shù)。流程圖： 輸入?yún)?shù)f，x0，eps迭代算根比較精度是否符合要求輸出根值和迭代步數(shù)否是不動點迭代法的MATLAB程序代碼：function root,n=StablePoint(f,x0,eps)%用不動點迭代法求函數(shù)f的一個零點%初始迭代量：x0%根的精度：eps%求出的函數(shù)零點：root%迭代步數(shù)：nif(nargin=2) eps=1.0e-4;end tol=1;root=x0;n=0;while(tol>eps) n=n+1; r1=root; root=subs(sym(f),findsym(sym(f)

4、,r1)+r1; %迭代的核心公式 tol=abs(root-r1);end實例：采用不動點迭代法求方程的一個根。流程圖：開始確定函數(shù)和參數(shù)代入公式輸出結(jié)果解：在MATLAB命令窗口中輸入程序代碼：>>r,n=StablePoint('1/sqrt(x)+x-2',0.5)結(jié)果輸出：r = 0.3820n = 4從計算結(jié)果可以看出，經(jīng)過四步迭代，得出方程的一個根為0.3820 2.編程解決以下科學(xué)計算問題7、某工廠2005年度各季度產(chǎn)值（單位：萬元）分別為450.6, 395.9， 410.2， 450.9，試?yán)L制折線圖和餅圖，并說明圖像的實際意義。解：流程圖：用s

5、ubplot首先對對作圖區(qū)域分區(qū)根據(jù)圖線類型選擇函數(shù)：折線圖用plot餅狀圖用pie輸入數(shù)據(jù)；圖像用title標(biāo)注輸出圖像源程序代碼：%折線圖subplot(1,2,1)plot(450.6,395.9,410.2,450.9)title('2005年度各季度產(chǎn)值-折線圖');%餅狀圖subplot(1,2,2) pie(450.6,395.9,410.2,450.9,1:4,'第一季度','第二季度','第三季度','第四季度')title('2005年度各季度產(chǎn)值-餅圖')從折線圖可以看出該工廠

6、效益變化趨勢，效益在第二季度最低隨后逐漸提高，并在第四季度恢復(fù)到第一季度的水平；從餅狀圖可以看出各個季度該工廠效益的比例關(guān)系。從這兩個圖可以合理安排工廠的生產(chǎn)計劃。8.根據(jù)繪制平面曲線，并分析參數(shù)對其形狀的影響。流程圖：定義符號變量a x y和函數(shù)eq；設(shè)置變參量aa（實數(shù)矩陣）n為矩陣的列數(shù)；for i=1:neq1=subs(eq,a,aa(i);并用ezplot繪制隱函數(shù)圖形設(shè)置圖像坐標(biāo)范圍和間隔時間依次作圖syms a x yeq=1/a2*x2 +y2/(25-a2)-1;aa=0.5:0.5:3.5,5/sqrt(2),3.6:0.5:6.6;m,n=size(aa);for i=

7、1:neq1=subs(eq,a,aa(i);ezplot(eq1,-20 20)drawnowaxis(-20 20 -10 10)pause(0.5)end時，隨著a增大曲線形狀由長軸在y軸的橢圓逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閳A（此時）；時a繼續(xù)增大曲線形狀由圓轉(zhuǎn)變?yōu)殚L軸在x軸的橢圓；a>5時曲線變?yōu)殡p曲線。2.按要求對指定函數(shù)進(jìn)行插值和擬合。 （1）按表6.4用3次樣條方法插值計算范圍內(nèi)整數(shù)點的正弦值和范圍內(nèi)整數(shù)點的正切值，然后用5次多項式擬合方法計算相同的函數(shù)值，并將兩種計算結(jié)果進(jìn)行比較。表6.4 特殊角的正弦與正切值表（度）015304560759000.25880.50000.70710.866

8、00.96591.000000.26790.57741.00001.73203.7320流程圖：開始輸入已知的數(shù)據(jù)表作為樣本；設(shè)置插值節(jié)點針對不同的方法選用相應(yīng)的函數(shù)及格式將已知數(shù)據(jù)和插值節(jié)點代入求得插值節(jié)點處的函數(shù)值A(chǔ)正弦值算法：x=0:pi/12:pi/2;y=0 0.2588 0.5000 0.7071 0.8660 0.9659 1.0000;xi=0:pi/180:pi/2;%三次樣條差值yi=interp1(x,y,xi,'spline')%五次多項式擬合A=polyfit(x,y,5);yj=polyval(A,xi)運(yùn)行結(jié)果：yi = Columns 1 thr

9、ough 11 0 0.0175 0.0349 0.0524 0.0698 0.0872 0.1045 0.1219 0.1392 0.1564 0.1737 Columns 12 through 22 0.1908 0.2079 0.2249 0.2419 0.2588 0.2756 0.2923 0.3090 0.3255 0.3420 0.3583 Columns 23 through 33 0.3746 0.3907 0.4067 0.4226 0.4384 0.4540 0.4695 0.4848 0.5000 0.5150 0.5299 Columns 34 through 44

10、0.5446 0.5592 0.5736 0.5878 0.6018 0.6157 0.6293 0.6428 0.6561 0.6691 0.6820 Columns 45 through 55 0.6947 0.7071 0.7193 0.7313 0.7431 0.7547 0.7660 0.7771 0.7880 0.7986 0.8090 Columns 56 through 66 0.8191 0.8290 0.8387 0.8480 0.8571 0.8660 0.8746 0.8829 0.8910 0.8987 0.9062 Columns 67 through 77 0.9

11、135 0.9204 0.9271 0.9335 0.9396 0.9454 0.9510 0.9563 0.9612 0.9659 0.9703 Columns 78 through 88 0.9744 0.9782 0.9817 0.9849 0.9878 0.9904 0.9927 0.9946 0.9963 0.9977 0.9987 Columns 89 through 91 0.9995 0.9999 1.0000yj = Columns 1 through 11 0.0000 0.0174 0.0349 0.0523 0.0697 0.0871 0.1045 0.1218 0.1

12、391 0.1564 0.1736 Columns 12 through 22 0.1908 0.2079 0.2249 0.2419 0.2588 0.2756 0.2924 0.3090 0.3256 0.3420 0.3584 Columns 23 through 33 0.3746 0.3907 0.4067 0.4226 0.4384 0.4540 0.4695 0.4848 0.5000 0.5150 0.5299 Columns 34 through 44 0.5446 0.5592 0.5736 0.5878 0.6018 0.6157 0.6293 0.6428 0.6561

13、 0.6691 0.6820 Columns 45 through 55 0.6946 0.7071 0.7193 0.7313 0.7431 0.7547 0.7660 0.7771 0.7880 0.7986 0.8090 Columns 56 through 66 0.8191 0.8290 0.8386 0.8480 0.8571 0.8660 0.8746 0.8829 0.8910 0.8988 0.9063 Columns 67 through 77 0.9135 0.9205 0.9272 0.9336 0.9397 0.9455 0.9510 0.9563 0.9612 0.

14、9659 0.9703 Columns 78 through 88 0.9743 0.9781 0.9816 0.9848 0.9877 0.9902 0.9925 0.9945 0.9962 0.9975 0.9986 Columns 89 through 910.9994 0.9998 1.0000通過比較，兩種方法得到的結(jié)果近似相等。B正切值算法：x=0:pi/12:5*pi/12;y=0 0.2679 0.5774 1.0000 1.7320 3.7320;xi=0:pi/180:5*pi/12;%三次樣條差值yi=interp1(x,y,xi,'spline')%五次

15、多項式擬合A=polyfit(x,y,5);yj=polyval(A,xi)運(yùn)行結(jié)果：yi = Columns 1 through 11 0 0.0184 0.0365 0.0545 0.0724 0.0902 0.1079 0.1255 0.1431 0.1607 0.1784 Columns 12 through 22 0.1961 0.2138 0.2317 0.2497 0.2679 0.2863 0.3048 0.3236 0.3427 0.3620 0.3817 Columns 23 through 33 0.4017 0.4221 0.4429 0.4641 0.4858 0.5

16、079 0.5305 0.5537 0.5774 0.6017 0.6266 Columns 34 through 44 0.6520 0.6780 0.7046 0.7317 0.7593 0.7876 0.8163 0.8456 0.8754 0.9058 0.9367 Columns 45 through 55 0.9681 1.0000 1.0325 1.0658 1.1003 1.1364 1.1743 1.2145 1.2572 1.3028 1.3516 Columns 56 through 66 1.4041 1.4604 1.5211 1.5863 1.6565 1.7320

17、 1.8131 1.9002 1.9936 2.0937 2.2008 Columns 67 through 76 2.3152 2.4374 2.5675 2.7060 2.8532 3.0095 3.1752 3.3506 3.5361 3.7320yj = Columns 1 through 11 -0.0000 0.0235 0.0454 0.0658 0.0850 0.1032 0.1206 0.1375 0.1540 0.1701 0.1862 Columns 12 through 22 0.2022 0.2183 0.2345 0.2511 0.2679 0.2851 0.302

18、8 0.3208 0.3394 0.3585 0.3781 Columns 23 through 33 0.3982 0.4188 0.4400 0.4616 0.4838 0.5065 0.5297 0.5533 0.5774 0.6020 0.6270 Columns 34 through 44 0.6524 0.6783 0.7047 0.7315 0.7588 0.7867 0.8150 0.8440 0.8736 0.9039 0.9351 Columns 45 through 55 0.9670 1.0000 1.0341 1.0693 1.1060 1.1442 1.1841 1

19、.2259 1.2699 1.3162 1.3652 Columns 56 through 66 1.4171 1.4723 1.5310 1.5935 1.6604 1.7320 1.8087 1.8910 1.9793 2.0742 2.1762 Columns 67 through 762.2860 2.4040 2.5310 2.6677 2.8147 2.9727 3.1427 3.3253 3.5214 3.7320通過比較知，角度較小時五次多項式算得的值較大，角度增大則兩種方法得到的結(jié)果近似相等。 （2）按表6.5用3次多項式方法插值計算1100之間整數(shù)的平方根。表6.5 110

20、0內(nèi)特殊值的平方根表14916253649648110012345678910x=1 4 9 16 25 36 49 64 81 100;y=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10;xi=1:100;f=interp1(x,y,xi,'cubic')結(jié)果：f = Columns 1 through 11 1.0000 1.3729 1.7125 2.0000 2.2405 2.4551 2.6494 2.8292 3.0000 3.1636 3.3186 Columns 12 through 22 3.4661 3.6069 3.7422 3.8729 4.0000 4.1237 4.2435 4.3599 4.4730 4.5832 4.6907 Columns 23 through 33 4.7958 4.8988 5