《高等數(shù)學(xué)》電子課件（同濟(jì)第六版）：第七章 第6節(jié) 高階線性微分方程

1、1高階線性微分方程第六節(jié)一一. 二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二二. 二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)三、小結(jié)及作業(yè)2第六節(jié)第六節(jié) 高階線性微分方程高階線性微分方程一階線性方程)()(xQyxPy其通解為yxdxPe)(CxdexQxdxP)()(xdxPe)(xdexQxdxP)()(xdxPeC)(非齊次方程特解齊次方程通解推廣高階線性微分方程情形Yy3二階線性微分方程二階線性微分方程)()()(xfyxQdxdyxPdxyd22時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階線性齊次微分方程二階線性齊次微分方程時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階線性非齊次微分方程二階線性非齊次

2、微分方程n階線性微分方程階線性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 4 )()(2xyxQ0定理得證定理得證 .一一. 二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理定理 1 若函數(shù))(,)(21xyxy是二階線性齊次方程)()()(10 yxQyxPy的兩個(gè)解, 則)()(2211xyCxyCy也是該方程的解.疊加原理證證: 將)()(2211xyCxyCy代入方程左邊 , 得 )(11 xyC)(22xyC )()(11xyCxP)(22xyC )( )(11xyCxQ)(22xyC )(11xyC)()(1xyxP )()(1xyxQ )(22x

3、yC)()(2xyxP說(shuō)明說(shuō)明: 解中形式上含有兩個(gè)任意常數(shù)時(shí)不一定是通解解中形式上含有兩個(gè)任意常數(shù)時(shí)不一定是通解例如,)(1xy是齊次方程的解 ,)(2)(12xyxy也是齊次方程的解 ,)()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解 .但是5定義定義: 設(shè))(,)(,)(21xyxyxyn是定義在區(qū)間 I 上的 n 個(gè)函數(shù), 若存在不全為不全為 0 的常數(shù)nkkk,21使得當(dāng)Ix時(shí)有0)()()(2211xykxykxyknn則稱(chēng)這 n個(gè)函數(shù)在區(qū)間I 上線性相關(guān)線性相關(guān) , 否則稱(chēng)為線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).例如例如 ,xx22sin,cos,1在 ( , ) 上都有0sincos

4、122xx故在任何區(qū)間 I 上都線性相關(guān)線性相關(guān) ;又如又如 ,12xx若在某區(qū)間 I 上02321xkxkk則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn) ,321,kkk必需全為 0 ,可見(jiàn)故2,1xx在任何區(qū)間 I 上都 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān) .6兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的上線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的充要條件充要條件)(,)(21xyxy線性相關(guān)存在不全為 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 無(wú)妨設(shè))01k)(,)(21xyxy線性無(wú)關(guān))()(21xyxy常數(shù)思考思考: 若)(, )(21xyxy中有一個(gè)恒為 0 , 則)(, )(21

5、xyxy必線性相關(guān)相關(guān)7定理定理 2 若)(,)(21xyxy是二階線性齊次方程(1)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特解 , 則)()(2211xyCxyCy是該方程的例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy xysin2且xyytan12常數(shù)則方程的通解為xCxCysincos21通解.)()()(10 yxQyxPy8二二. 二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu))(* xy是二階非齊次方程的一個(gè)特解 , )(*)(xyxYy是相應(yīng)齊次方程(2)的通解.定理定理 3 設(shè))()()()(2xfyxQyxPy )(xY則是非齊次方程的通解 .證證: 將)(*)(xyxYy代入方程左端 , 得

6、)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(xf0)(xf故)(*)(xyxYy是非齊次方程的解 , 又Y 中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù) , 從而也是通解 .例如, 方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21對(duì)應(yīng)齊次方程0 yy有通解因此該方程的通解為xxCxCysincos21)*( )(yYxQ9定理定理 4 設(shè))(*xyk分別是方程的特解 , 則是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1*的特解 .)()()(1xfyxQyxPynkk )(, )(, )(21xyxyxyn設(shè)是對(duì)應(yīng)齊次方程的 n 個(gè)線性)

7、(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn無(wú)關(guān)的特解 , 定理定理 5 ( 推廣 ) 給定 n 階非齊次線性方程)()()() 1(1)(xfyxPyxPynnn)(xY)(* xy是非齊次方程的特解 , 則非齊次方程的通解為),2, 1(nk)(* xy101例例.)(,)(,)(的特解的特解求該方程滿足求該方程滿足解解有兩個(gè)特有兩個(gè)特已知已知2000024422212 yyxeyeyyxyxyxx:解解,是是兩兩線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的解解2221xxxeyey方程的通解方程的通解2221xxxeCeCy2000)(,)(yy由由特解特解22xxey 11321,yyy設(shè)線性無(wú)關(guān)函數(shù)

8、都是二階非齊次線性方程)()()(xfyxQyxPy 的解 , 21,CC是任意常數(shù) , 則該方程的通解是 ( ) .;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC;)1()(3212211yCCyCyCDD例例2 .提示提示:3231,yyyy都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解, 且線性無(wú)關(guān), 因?yàn)榧僭O(shè)它們線性相關(guān) , 則有kyyyy3231即0) 1(321ykyky從而推出321,yyy線性相關(guān) , 與已知條件矛盾.12三、小結(jié)主要內(nèi)容主要內(nèi)容線性方程解的結(jié)構(gòu)；線性方程解的結(jié)構(gòu)；線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)；線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)；五個(gè)定理五個(gè)定理13

9、33167P習(xí)題習(xí)題).)()(,),)()()(5424310865114一、一、 驗(yàn)證驗(yàn)證21xey 及及22xxey 都是方程都是方程0)24(42 yxyxy的解的解, ,并寫(xiě)出該方程的通并寫(xiě)出該方程的通解解 . .二、二、 證明下列函數(shù)是相應(yīng)的微分方程的通解證明下列函數(shù)是相應(yīng)的微分方程的通解: :1 1、),(ln212221是任意常數(shù)是任意常數(shù)ccxxcxcy 是方程是方程 0432 yyxyx的通解；的通解；2 2、),(2)(12121是任意常數(shù)是任意常數(shù)cceececxyxxx 是是 方程方程xexyyyx 2的通解的通解 . .練練 習(xí)習(xí) 題題 15三三、已已知知xexy )(1是是齊齊次次線線性性方方程程02)12()12( yyxyx的的一一個(gè)個(gè)解解, ,求求此此方方程程的的通通解解 . .四四、已已知知齊齊次次線線性性方方程