空間向量與立體幾何專題

1、實(shí)用文檔空間向量與立體幾何專題利用空間向量解決立體幾何中位置關(guān)系平行，垂直，角度問題，距離問題（體積），探索性問題等。1. 正方形 adef 與梯形 abcd 所在平面互相垂直，,/ /adcd abcd ab,2,4adcd，點(diǎn) m是 ec中點(diǎn). （i ）求證：bm平面adef；（ii ）求bm與平面bde所成角的正弦值. 答案及解析：1. （1）設(shè)n為de的中點(diǎn)，因?yàn)閙是ec的中點(diǎn)，,21,/dcmndcmn,21,/cdabcdab因此mnab/，所以四邊形abmn是平行四邊形，-4分,/ anbm因?yàn)?，平?adefbm，平面 adefan./adefbm平面-6 分（2）因?yàn)辄c(diǎn)m是e

2、c中點(diǎn)，所以221cdedemss. ， -7分正方形adef與梯形abcd所在平面互相垂直，bcedadedabcded,平面因?yàn)?deadcdad，且de與cd相交于 dcdead平面, ,/,/cdeabcdab平面b到面dem的距離2ad -8分. 又cbeedbcbdbccdbdbc,4,22是直角三角形，則32debs-9分設(shè)m到面dem的距離h，實(shí)用文檔23131hhsadsvvdebdemdembdebm由.-10分524212122ecbm，-11分所以bdebm與平面所成角的正弦值為51052sinbmh-12分2. 如圖 , 三棱柱abc-a1b1c1的所有棱長均為2,

3、底面abc側(cè)面aa1b1b, 01160 ,aa bp為cc1的中點(diǎn) ,11aba bo. (1) 證明：ab1平面a1op. (2) 若m是棱ac上一點(diǎn) , 且滿足045mop, 求二面角1mbba的余弦值 . 答案及解析：2. 解： (1) 取的中點(diǎn)，連接，易證為平行四邊形，從而 . 由底面?zhèn)让?，底面?zhèn)让妫酌?，所以?cè)面，即側(cè)面，又側(cè)面，所以，又側(cè)面為菱形，所以，從而平面，因?yàn)槠矫妫?. (2) 由(1) 知，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 . 因?yàn)閭?cè)面是邊長為2 的菱形，且，所以，實(shí)用文檔得 . 設(shè)，得，所以，所以 . 而 . 所以，解得 . 所以， . 設(shè)平面的法向量，由得

4、，取 . 而側(cè)面的一個(gè)法向量. 設(shè)二面角的大小為 . 則3. 如圖，在rtabc中，3bcab，點(diǎn)e、f分別在線段ab和ac上，且bcef /，將aef沿ef折起到pef的位置，使得二面角befp的大小為 60. （）求證：pbef；（）當(dāng)點(diǎn)e為線段 ab的靠近 b點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，求pc與平面 pef所成角的正弦值 . 答案及解析：3. 證明：（）, 3bcabbcefabbc/,abef, 翻折后垂直關(guān)系沒變，仍有beefaeef,pbeef面pbef實(shí)用文檔（）beefaeef,peb是二面角 p-ef-b 的平面角，60peb，又 pe=2,be=1,由余弦定理得pb=3, ebbcpb

5、ebpbpeebpb,222兩兩垂直 . 以 b為原點(diǎn)， bc所在直線為x軸， be所在直線為y軸，建立如圖直角坐標(biāo)系. 則 p(0,0,3),c(3,0,0),e(0,1,0),f(2,1,0). )3, 1 ,2(),3, 1 ,0(pfpe設(shè)平面 pef的法向量),(zyxn由,00pfnpen可得),1 ,3,0(n41|sin),3,0 ,3(pcnpcnpc. 故 pc與平面 pef所成的角的正弦值為14. 4. 如圖，在圓錐po中，已知2po，o的直徑ab=2，點(diǎn)c在底面圓周上，且30cab，d為ac的中點(diǎn)（）證明：od平面pbc；（）證明：平面pac平面pod；（）求二面角a-

6、pc-o的正弦值 . 實(shí)用文檔答案及解析：4. 證明：（）d為ac的中點(diǎn)，o為o的圓心 , 則odbc, 2 分bc平面pbc，od平面pbc， 4分od平面pbc。 5 分證明：（）ocoa，d是ac的中點(diǎn)，odac. 又po底面aco,底面o，poac， 7 分odopo,pood,平面pod，ac平面pod, 9 分ac平面pac, 平面pac平面pod； 10 分（）由（）知，平面pod平面pac，在平面pod中，過o作pdoh于h，則oh平面pac。過h作hqpc, 垂足為q, 連結(jié)oq，則由三垂線定理得oqpc, hqo是二面角apco的平面角 . 12 分在podrt中，3222

7、412122odpoodpooh, 在rtpdc中 , 可求得23hq, 在rtoqh中,2263oqohhq, sin33ohhqooq. 即二面角apco的正弦值為33 15 分實(shí)用文檔5. 如圖，在四棱錐p-abcd中，pd平面abcd，四邊形abcd是菱形，2ac，32bd，且ac，bd交于點(diǎn)o，e是pb上任意一點(diǎn)（1）求證：deac；（2）若e為pb的中點(diǎn)，且二面角a-pb-d的余弦值為721，求ec與平面pab所成角的正弦值5. （ 1）因?yàn)?dp 平面 abcd ，所以 dp ac ，因?yàn)樗倪呅蝍bcd為菱形，所以bd ac ，又 bd pd=d ， ac 平面 pbd ，因?yàn)?

8、de ? 平面pbd ， ac de （4 分）（2）連接 oe ，在 pbd中， eo pd ，所以 eo 平面 abcd ，分別以oa ，ob ，oe所在直線為x 軸， y 軸， z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，（5 分）設(shè) pd=t，則 a（1，0，0）， b（0，3，0）， c（ 1， 0，0），e（0，0，）， p（ 0，3，t ）設(shè)平面 pab的一個(gè)法向量為n（x，y，z），則錯(cuò)誤！未找到引用源。，令 錯(cuò)誤！未找到引用源。，實(shí)用文檔得)32, 1 ,3(tn，平面 pbd的法向量m（1，0，0），因?yàn)槎娼莂pb d的余弦值為 錯(cuò)誤！未找到引用源。，所以 錯(cuò)誤！未找到引用源。

9、，所以 錯(cuò)誤！未找到引用源。或錯(cuò)誤！未找到引用源。（舍），（9 分）則錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。，ec與平面 pab所成角的正弦值為7426.如圖，在四棱錐p-abcd中，已知pa平面abcd，且四邊形abcd為直角梯形，2abc=bad，2paad，1abbc，點(diǎn)m，e分別是pa，pd的中點(diǎn)（i ）求證：ce平面pab；（ii ）點(diǎn)q是線段bp上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線cq與dm所成角最小時(shí)，求線段bq的長答案及解析：6. ( ) 證明：連接bm，me，因?yàn)辄c(diǎn)m，e分別是pa，pd的中點(diǎn)，所以12mead，me/ad，所以bc/me，bcme，所以四邊形bcem為平行四邊形，所以ce/b

10、m3 分又因?yàn)閎m平面pab，ce平面pab，實(shí)用文檔所以ce/ 平面pab 4 分( )解：如圖，以a為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系oxyz，則(1,0,0)b，(1,1,0)c，(0,2,0)d，(0,0,2)p，(0,0,1)m5 分所以( 1,0,2)bp，(0,2,1)dm，設(shè)(,0,2 )bqbp，01， 6 分又(, 1,2 )cqcbbq，所以22(1)cos,515cq dm 7 分設(shè)1t， 則1t，1,2t，所以2224cos,5 5106tcq dmtt，2241cos,61055cq dmtt，當(dāng)且僅當(dāng)156t，即15l =時(shí)，|cos,|cq dm取得最大值，即直線cq與d

11、m所成角取得最小值，此時(shí)1555bqbp= 10 分7. 如圖 , 在梯形abcd中,abcd,2addccb, 。60abc, 平面acef平面abcd, 四邊形acef是矩形 ,2ae. 。實(shí)用文檔(1) 求證 : bc平面acef；。 (2) 求二面角b-ef-d的余弦值 . 7. （ 1）在梯形abcd 中，/ /abcd，2addccb, 。60abc四邊形 abcd是等腰梯形，且120,30dcbdacdca90dcadcbacbbcac又平面acfe平面abcd，交線為ac，bc平面acfe（2）由 (1) 知, 以點(diǎn)c為原點(diǎn)，cfcbca,所在直線為坐標(biāo)軸, 建立空間直角坐標(biāo)系

12、, 則)0,0 ,0(c,(0, 2,0),(23,0,0),( 3,1,0),(0,0, 2),(23,0, 2)badfe，在平面bef中，(23,2,2),(23,0,0)befeuuu ruuu r設(shè)其法向量為1( , , )nx y zur，則112 32202 30nbexyznfexu r uuu ru r uuu r，令1y，則1z. 故平面bef的一個(gè)法向量為1(0,1,1)nur. 在平面def中，(23,0,0)feuu u r，1(3,1,2),2dfcfcdcfbauuu ruu u ruu u ruuu ru u u r設(shè)其法向量為2( , , )nx y zuu

13、r，則223202 30nbfxyznfexuu r u uu ruu r u uu r，令2y，則1z. 故平面def的一個(gè)法向量為2(0, 2,1)nu u r. 由12110cos,1025n nu r uu r, 知二面角defb的余弦值為1010. 實(shí)用文檔8. 如圖，已知三棱柱abc-a1b1c1，側(cè)面bcc1b1底面abc.( ) 若m，n分別是ab，a1c的中點(diǎn)，求證：mn平面bcc1b1；( ) 若三棱柱abc-a1b1c1的各棱長均為2，側(cè)棱bb1與底面abc所成的角為60，問在線段a1c1上是否存在一點(diǎn)p，使得平面b1cp平面acc1a1?若存在，求c1p與pa1的比值，

14、若不存在，說明理由8. 解： (1) 證明：連接ac1，bc1，則ac1a1cn，annc1，因?yàn)閍mmb，所以mnbc1. 又bc1? 平面bcc1b1，所以mn平面bcc1b1. 實(shí)用文檔(2) 作b1obc于o點(diǎn)，連接ao，因?yàn)槠矫鎎cc1b1底面abc，所以b1o平面abc，以o為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則a(0 ，3，0) ，b( 1，0,0) ，c(1,0,0)，b1(0,0 ，3) 由1aa1cc1bb，可求出a1(1 ，3，3) ，c1(2,0 ，3) ，設(shè)點(diǎn)p(x，y，z) ，11ac1a p. 則p (1+1，33，3) ，cp (1，33，3) ，1cb( 1

15、,0 ，3) 設(shè)平面b1cp的法向量為n1(x1，y1，z1) ，由.0, 0111cbncpn得.03, 03)33(zxzyx令z11，解得n1(3，11， 1). 同理可求出平面acc1a1的法向量n2(3，1， 1) 由平面b1cp平面acc1a1，得n1n20，即 31110，解得3，所以a1c13a1p，從而c1ppa12. 實(shí)用文檔9. 如圖，在四棱錐p-abcd中，底面abcd是平行四邊形，pa平面abcd，點(diǎn)m，n分別為bc， pa的中點(diǎn)，且1abac，2ad. （1）證明：mn平面pcd；（2）設(shè)直線ac與平面pbc所成角為，當(dāng)在(0,)6內(nèi)變化時(shí)，求二面角p-bc-a的取

16、值范圍 . 9.(1) 取 pd得中點(diǎn) q,連接 nq,cq, 因?yàn)辄c(diǎn) m,n分別為 bc,pa的中點(diǎn)，,21,/cmadnqcmadnqcqmncqnm/為平行四邊形，四邊形，pcdmnpcdcqpcdmn面面面又/,，(2) 連接 pm,因?yàn)?, 1 adacab,點(diǎn) m為 bc的中點(diǎn)，則, ,bcpmabcdpabcam則面又的平面角，設(shè)為為二面角abcppma，以 ab,ac,ap所在的直線分別為x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 a(0， 0，0) ， b(1，0，0) ，c(0，1，0),m(02121，),p(tan2200 ，) ，設(shè)平面 pbc的一個(gè)法向量為n=

17、(x,y,z),則由0, 0pmnbcn，0tan2221210zyxyx可取實(shí)用文檔60,sin22tan221sin2cancan22sin0,21sin0amh, 0044pbca，即二面角取值范圍為（， ）.10. 直三棱柱abc-a1b1c1中，abac，2ab，4ac12aa，bddc. （1）若1，求直線db1與平面a1c1d所成角的正弦值；（2）若二面角b1- a1c1-d的大小為60，求實(shí)數(shù)的值 . 10. 解：分別以ab，ac，1aa所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 則(0,0,0)a，(2,0,0)b，(0,4,0)c，1(0,0, 2)a，1(2,0, 2)b，1(0,4,2)c（1）當(dāng)1時(shí)，d為bc的中點(diǎn)，所以d為bc的中點(diǎn)，所以(1,2,0)d，1(1 , 2,2)db，11(0,4,0)ac，1(1 ,