2010年小學(xué)畢業(yè)總復(fù)習(xí)例題選講

1、三、例題選講例1 圖65中的幾何體是一個(gè)正方體，圖66是這個(gè)正方體的一個(gè)平面展開圖，圖67（a）、（b）、（c）也是這個(gè)正方體的平面展開圖，但每一展開圖上都有四個(gè)面上的圖案沒畫出來，請(qǐng)你給補(bǔ)上。分析與解：從圖65和圖66中可知： 與；與；與互相處于相對(duì)面的位置上。只要在圖67（a）、（b）、（c）三個(gè)展開圖中，判定誰與誰處在互為對(duì)面的位置上，則標(biāo)有數(shù)字的四個(gè)空白面上的圖案便可以補(bǔ)上。先看圖67中的（a），仔細(xì)觀察可知，1與4，3與處在互為對(duì)面的位置上。再看圖67中的（b），同上，1與3，2與處在互為對(duì)面的位置上。最后再看圖67中的（c），同上，1與，2與4處在互為對(duì)面的位置上。圖67（a）、（

2、b）、（c）標(biāo)有數(shù)字的空白面上的圖案見圖68中的（a）、（b）、（c）。例2 圖69中的幾何體是一個(gè)長方體，四邊形APQC是長方體的一個(gè)截面（即過長方體上四點(diǎn)A、P、Q、C的平面與長方體相交所得到的圖形），P、Q分別為棱A1B1、B1C1的中點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)诖碎L方體的平面展圖上，標(biāo)出線段AC、CQ、QP、PA來。分析與解：只要能正確畫出圖69中長方體的平面展開圖，問題便能迎刃而解。圖610中的粗實(shí)線，就是題目中所要標(biāo)出的線段AC、CQ、QP、PA。例3 在圖611中，M、N是圓柱體的同一條母線上且位于上、下底面上的兩點(diǎn)，若從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N，沿怎么樣的路線路程最短？分析與解：沿圓柱體的母線MN

3、將圓柱的側(cè)面剪開鋪平，得出圓柱的側(cè)面展開圖，見圖612，從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N點(diǎn)。實(shí)際上是從側(cè)面展開圖的長方形的一個(gè)頂點(diǎn)M到達(dá)不相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)N。而兩點(diǎn)間以線段的長度最短。所以最短路線就是側(cè)面展開圖中長方形的一條對(duì)角線，見圖612和圖613。例4 圖614中的幾何體是一棱長為4厘米的正方體，若在它的各個(gè)面的中心位置上，各打一個(gè)直徑為2厘米，深為1厘米的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少（=3.14）？分析與解：因?yàn)檎襟w的棱長為2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方體沒有被打透。這一來打孔后所得幾何體的表面積，等于原來正方體的表面積，再加上六個(gè)完全一樣的圓柱的側(cè)面積、這六個(gè)圓柱的高為1

4、厘米，底面圓的半徑為1厘米。正方體的表面積為42×6=96（平方厘米）一個(gè)圓柱的側(cè)面積為2×1×1=6.28（平方厘米）幾何體的表面積為96+6.28×6=133.68（平方厘米）答：（略）例5 圖615是由18個(gè)邊長為1厘米的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積是多少？分析與解：從圖615中可以看出，18個(gè)小正方體一共擺了三層，第一層2個(gè)，第二層7個(gè)，因?yàn)?8-7-2=9，所以第三層擺了9個(gè)。另外，上、下兩個(gè)面的表面積是相同的，同樣，前、后；左、右兩個(gè)面的表面積也是分別相同的。因?yàn)樾≌襟w的棱長是1厘米，所以上面的表面積為12×9=9（平

5、方厘米）前面的表面積為12×8=8（平方厘米）左面的表面積為12×7=7（平方厘米）幾何體的表面積為9×2+8×2+7×2=答：（略）例6 圖616中所示圖形，是一個(gè)底面直徑為20厘米的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6厘米，高20厘米的一個(gè)圓錐體鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米？（=3.14）分析與解：因?yàn)椴ＡП菆A柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實(shí)際是一個(gè)小圓柱，這個(gè)圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為20厘米的圓，它的體積正好等于圓錐體鉛錘的體積，這個(gè)小圓柱的高就是水面下降的高度。因?yàn)閳A錐形鉛錘的體

6、積為設(shè)水面下降的高度為x，則小圓柱的體積為x（20÷2）2×x=100x（立方厘米）所以有下列方程：60=100x，解此方程得：x=0.6（厘米）答：鉛錘取出后，杯中水面下降了0.6厘米。例7橫截面直徑為2分米的一根圓鋼，截成兩段后，兩段表面積的和為75.36平方分米，求原來那根圓鋼的體積是多少（=3.14）？分析與解：根據(jù)圓柱體的體積公式，體積=底面積×高。假設(shè)圓鋼長為x，因?yàn)閷A鋼截成兩段后，兩段表面積的和，等于圓鋼的側(cè)面積加上四個(gè)底面圓的面積，所以有下面式子：2×（2÷2）×x+4×（2÷2）2 =2x+4根

7、據(jù)題目中給出的已知條件，可得下面方程：2x+4=75.36解方程：圓鋼的體積為×（2÷2）2×1031.4（立方分米）答：（略）。例8 一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為10厘米、圓心角為216°的扇形，求此圓錐的體積是多少（=3.14）？分析與解：要想求出圓錐的體積，就要先求出它的底面圓的半徑與高。按題意畫圖617。在圖617中，字母R、h分別表示底面圓的半徑和圓錐體的高，根據(jù)弧長公式：弧長=2R×n÷360（這里R是圓的半徑，n為弧所對(duì)圓心角的度數(shù)），便可求出弧長來。這個(gè)弧長就是底面圓的周長，再利用周長公式，就可求出底面圓的半徑R。

8、另外從圖617中可以看出：圓錐的高、母線、底面圓的半徑正好構(gòu)成一個(gè)直角三角形，利用勾股定理便可求出圓錐的高h(yuǎn)。所以 2R=12，得R=6（厘米）在直角三角形中，根據(jù)勾股定理有：102=h2+R2，即h2=102-R2 =100-36=64，h=8（厘米）答：（略）例9 圖618中的圖形是一個(gè)正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點(diǎn)?，F(xiàn)在沿三角形GFH所在平面鋸掉正方體的一個(gè)角，問鋸掉的這塊的體積是原正方體體積的幾分之幾？分析與解：因?yàn)殇彽舻氖橇⒎襟w的一個(gè)角，所以HA與AG、AF都垂直。即HA垂直于三角形AGF所在的立方體的上底面，實(shí)際上鋸掉的這個(gè)角，是以三角形AGF為底面，H為頂點(diǎn)的

9、一個(gè)三棱錐，如果我們假設(shè)正方體的棱長為a，則正方體的體積為a3。三棱錐的底面是直角三角形AGF，而角FAG為90°，G、F又分別為AD、而三棱錐的體積等于底面積與高的乘積再除以3，所以鋸掉的那一角的體積為答：（略）例10 圖619是一個(gè)里面裝有水的三棱柱封閉容器，圖620是這個(gè)三棱柱的平面展開圖。當(dāng)以A面作為底面放在桌面上時(shí)，水高2厘米，如果以B面與C面分別作為底面放在桌面上時(shí)，水面高各為多少厘米？分析與解：我們先求以A面作為底面放在桌面上時(shí)容器內(nèi)的水的體積。此時(shí)水的體積，與以梯形FJQP為底面、JI為高的棱柱的體積相等。棱柱的體積等于底面積乘以高，從圖620可以看出，此棱柱的高JI

10、為12厘米，梯形FJQP的下底FJ為3厘米，高QJ為2厘米。因?yàn)镻TJQ是個(gè)長方形，所以QJ=PT=2厘米，而Q點(diǎn)是GJ的中點(diǎn)，PQ平行于FJ，這樣可以推算出QP為FJ的一半，為1.5厘米，這一來梯形FJQP的面積為以C面為底面時(shí)，水的體積與以C（即三解形EHI）為底面，高為某數(shù)值此時(shí)水面的高度為：54÷6=9（厘米）以B面作為底面時(shí)，原來以A面為底面時(shí)不裝水的那一部分，現(xiàn)在應(yīng)裝水，原來裝水的某一部分現(xiàn)在應(yīng)空出來，下面來討論這兩份之間的數(shù)量關(guān)系。為方便起見，我們把C面適當(dāng)放大成圖621，在圖621中，因?yàn)镻Q平行于FJ，PT垂直于FJ，所以JQPT是一長方圖6ZI形，故JQ、PT、Q

11、G的長都是2厘米，TJ、PQ的長為1.5厘米，因?yàn)镕J長為3厘米，所以FT的長也為1.5厘米，這一來三角形FPT與PQG的形狀一樣，面積相等。這便說明原來以三角形PFT為底面，JI為高的裝水的棱柱的體積，與現(xiàn)在以三角形PQG為底面，JI為高裝水的棱柱的體積是相等的。所以以B面為底面時(shí)，水面的高度等于PQ的長度，即水面高為1.5厘米。答：（略）第八講 比和比例關(guān)系比和比例，是小學(xué)數(shù)學(xué)中的最后一個(gè)內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)更多數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ).有了“比”這個(gè)概念和表達(dá)方式，處理倍數(shù)、分?jǐn)?shù)等問題，要方便靈活得多.我們希望，小學(xué)同學(xué)學(xué)完這一講，對(duì)“除法、分?jǐn)?shù)、比例實(shí)質(zhì)上是一回事，但各有用處”有所理解.

12、這一講分三個(gè)內(nèi)容：一、比和比的分配；二、倍數(shù)的變化；三、有比例關(guān)系的其他問題.一、比和比的分配最基本的比例問題是求比或比值.從已知一些比或者其他數(shù)量關(guān)系，求出新的比.例1 甲、乙兩個(gè)長方形，它們的周長相等.甲的長與寬之比是32，乙的長與寬之比是75.求甲與乙的面積之比.解：設(shè)甲的周長是2.甲與乙的面積之比是答：甲與乙的面積之比是864875.作為答數(shù)，求出的比最好都寫成整數(shù).例2 如右圖，ABCD是一個(gè)梯形，E是AD的中點(diǎn)，直線CE把梯形分成甲、乙兩部分，它們的面積之比是107.求上底AB與下底CD的長度之比.解：因?yàn)镋是中點(diǎn)，三角形CDE與三角形CEA面積相等.三角形ADC與三角形ABC高相

13、等，它們的底邊的比ABCD=三角形ABC的面積三角形ADC的面積 =（10-7）（7×2）= 314.答：ABCD=314.兩數(shù)之比，可以看作一個(gè)分?jǐn)?shù)，處理時(shí)與分?jǐn)?shù)計(jì)算幾乎一樣.三數(shù)之比，卻與分?jǐn)?shù)不一樣，因此是這一節(jié)講述的重點(diǎn).例3 大、中、小三種杯子，2大杯相當(dāng)于5中杯，3中杯相當(dāng)于4小杯.如果記號(hào)表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求與之比.解：大杯與中杯容量之比是52=104，中杯與小杯容量之比是43，大杯、中杯與小杯容量之比是1043.=（10×2+4×3+3×4）（10×5+4×4+3×3）=4475.答：兩者容量

14、之比是4475.把52與43這兩個(gè)比合在一起，成為三樣?xùn)|西之比1043，稱為連比.例3中已告訴你連比的方法，再舉一個(gè)更一般的例子.甲乙=35，乙丙=74，35=3×75×7=2135，74=7×54×5=3520，甲乙丙=213520.花了多少錢？解：根據(jù)比例與乘法的關(guān)系，連比后是甲乙丙=2×163×163×2=324863.答：甲、乙、丙三人共花了429元.例5 有甲、乙、丙三枚長短不相同的釘子，甲與乙，而它們留在墻外的部分一樣長.問：甲、乙、丙的長度之比是多少？解：設(shè)甲的長度是6份.x=54.乙與丙的長度之比是而甲與乙的

15、長度之比是 65=3025. 甲乙丙=302526.答：甲、乙、丙的長度之比是302526.于利用已知條件65，使大部分計(jì)算都整數(shù)化.這是解比例和分?jǐn)?shù)問題的常用手段.例6 甲、乙、丙三種糖果每千克價(jià)分別是22元、30元、33元.某人買這三種糖果，在每種糖果上所花錢數(shù)一樣多，問他買的這些糖果每千克的平均價(jià)是多少元？解一：設(shè)每種糖果所花錢數(shù)為1，因此平均價(jià)是答：這些糖果每千克平均價(jià)是27.5元.上面解法中，算式很容易列出，但計(jì)算卻使人感到不易.最好的計(jì)算方法是，用22，30，33的最小公倍數(shù)330，乘這個(gè)繁分?jǐn)?shù)的分子與分母，就有：事實(shí)上，有稍簡捷的解題思路.解二：先求出這三種糖果所買數(shù)量之比.不妨

16、設(shè)，所花錢數(shù)是330，立即可求出，所買數(shù)量之比是甲乙丙=151110.平均數(shù)是（15+11+10）÷3=12.單價(jià)33元的可買10份，要買12份，單價(jià)是下面我們轉(zhuǎn)向求比的另一問題，即“比的分配”問題，當(dāng)一個(gè)數(shù)量被分成若干個(gè)數(shù)量，如果知道這些數(shù)量之比，我們就能求出這些數(shù)量.例7 一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子與分母之和是100.如果分子加23，分母加32，解：新的分?jǐn)?shù)，分子與分母之和是（10+23+32），而分子與分母之比23.因此例8 加工一個(gè)零件，甲需3分鐘，乙需3.5分鐘，丙需4分鐘，現(xiàn)有1825個(gè)零件要加工，為盡早完成任務(wù)，甲、乙、丙應(yīng)各加工多少個(gè)？所需時(shí)間是多少？解：三人同時(shí)加工，并且同一時(shí)

17、間完成任務(wù)，所用時(shí)間最少，要同時(shí)完成，應(yīng)根據(jù)工作效率之比，按比例分配工作量.三人工作效率之比是他們分別需要完成的工作量是所需時(shí)間是700×3=2100分鐘）=35小時(shí) .答：甲、乙、丙分別完成700個(gè)，600個(gè)，525個(gè)零件，需要35小時(shí).這是三個(gè)數(shù)量按比例分配的典型例題.例9 某團(tuán)體有100名會(huì)員，男會(huì)員與女會(huì)員的人數(shù)之比是1411，會(huì)員分成三個(gè)組，甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多.各組男會(huì)員與女會(huì)員人數(shù)之比是：甲：1213，乙：53，丙：21，那么丙有多少名男會(huì)員？解：甲組的人數(shù)是100÷2=50（人）.乙、丙兩組男會(huì)員人數(shù)是 56-24=32 （人）.答：丙組有12

18、名男會(huì)員.上面解題的最后一段，實(shí)質(zhì)上與“雞兔同籠”解法一致，可以設(shè)想，“兔例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程長之比依次是123.小龍走各段路程所用時(shí)間之比依次是456.已知他上坡時(shí)速度為每小時(shí)3千米，路程全長50千米.問小龍走完全程用了多少時(shí)間？解一：通常我們要求出小龍走平路與下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.上坡、平路、下坡的速度之比是走完全程所用時(shí)間答：小龍走完全程用了10小時(shí)25分.上面是通常思路下解題.123計(jì)算中用了兩次，似乎重復(fù)計(jì)算，最后算式也頗費(fèi)事.事實(shí)上，靈活運(yùn)用比例有簡捷解法.解二：全程長是上坡這一段長的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的時(shí)設(shè)小龍走完全

19、程用x小時(shí).可列出比例式 二、比的變化已知兩個(gè)數(shù)量的比，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)量發(fā)生增減變化后，當(dāng)然比也發(fā)生變化.通過變化的描述，如何求出原來的兩個(gè)數(shù)量呢？這就是這一節(jié)的內(nèi)容.例11 甲、乙兩同學(xué)的分?jǐn)?shù)比是54.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，則他們的分?jǐn)?shù)比是57.甲、乙原來各得多少分？解一：甲、乙兩人的分?jǐn)?shù)之和沒有變化.原來要分成5+4=9份，變化后要分成5+7=12份.如何把這兩種分法統(tǒng)一起來？這是解題的關(guān)鍵.9與12的最小公倍數(shù)是36，我們讓變化前后都按36份來算.54=（5×4）（4×4）=2016.57=（5×3）（7×3）=1521.甲少得22.

20、5分，乙多得22.5分，相當(dāng)于20-15=5份.因此原來甲得22.5÷5×20=90（分），乙得 22.5÷5×16=72（分）.答：原來甲得90分，乙得72分.我們?cè)俳榻B一種能解本節(jié)所有問題的解法，也就是通過比例式來列方程.解二：設(shè)原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根據(jù)得分變化，可列出比例式.（5x-22.5）（4x+22.5）=57即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）15x=12×22.5 x=18.甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.解：其他球的數(shù)量沒有改變.增加8個(gè)紅球后，紅球與

21、其他球數(shù)量之比是5（14-5）=59.在沒有球增加時(shí)，紅球與其他球數(shù)量之比是1（3-1）=12=4.59.因此8個(gè)紅球是5-4.5=0.5（份）.現(xiàn)在總球數(shù)是答：現(xiàn)在共有球224個(gè).本題的特點(diǎn)是兩個(gè)數(shù)量中，有一個(gè)數(shù)量沒有變.把12寫成4.59，就是充分利用這一特點(diǎn).本題也可以列出如下方程求解：（x+8）2x=59.例13 張家與李家的收入錢數(shù)之比是85，開支的錢數(shù)之比是83，結(jié)果張家結(jié)余240元，李家結(jié)余270元.問每家各收入多少元？解一：我們采用“假設(shè)”方法求解.如果他們開支的錢數(shù)之比也是85，那么結(jié)余的錢數(shù)之比也應(yīng)是85.張家結(jié)余240元，李家應(yīng)結(jié)余x元.有240x=85，x=150（元）

22、.實(shí)際上李家結(jié)余270元，比150元多120元.這就是85中5份與83中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出答：張家收入720元，李家收入450元.解二：設(shè)張家收入是8份，李家收入是5份.張家開支的3倍與李家開支的8倍的錢一樣多.畫示意圖：張家開支的3倍是（8份-240）×3.李家開支的8倍是（5份-270）×8.從圖上可以看出5×8-8×3=16份，相當(dāng)于 270×8-240×3=1440（元）.因此每份是1440÷16=90（元）.張家收入是90×8=720（元），李家收入是9

23、0×5=450（元）.本題也可以列出比例式：（8x-240）（5x-270）=83.然后求出x.事實(shí)上，解方程求x的計(jì)算，與解二中圖解所示是同一回事，圖解有算術(shù)味道，而且一些數(shù)量關(guān)系也直觀些.例14 A和B兩個(gè)數(shù)的比是85，每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，求這兩個(gè)數(shù).解：減少相同的數(shù)34，因此未減時(shí)，與減了以后，A與B兩數(shù)之差并沒有變，解題時(shí)要充分利用這一點(diǎn).85，就是8份與5份，兩者相差3份.減去34后，A是B的2倍，就是21，兩者相差1.將前項(xiàng)與后項(xiàng)都乘以3，即21=63，使兩者也相差3份.現(xiàn)在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是342=17.A數(shù)是17

24、×8=136，B數(shù)是17×5=85.答：A，B兩數(shù)分別是136與85.本題也可以用例13解一“假設(shè)”方法求解，不過要把減少后的21，改寫成84.例15 小明和小強(qiáng)原有的圖畫紙之比是43，小明又買來15張.小強(qiáng)用掉了8張，現(xiàn)有的圖畫紙之比是52.問原來兩人各有多少張圖畫紙？解一：充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性.4+3=7，5+2=7，15-8=7.原來總數(shù)分成7份，變化后總數(shù)仍分成7份，總數(shù)多了7張，因此，新的1份=原來1份+1原來4份，新的5份，5-4=1，因此新的1份有15-1×4=11（張）.小明原有圖畫紙11×5-15=40（張），小強(qiáng)原有圖畫紙11&#

25、215;2+8=30（張）.答：原來小明有40張，小強(qiáng)有30張圖畫紙.解二：我們也可采用例13解一的“假設(shè)”方法.先要將兩個(gè)比中的前項(xiàng)化成同一個(gè)數(shù)（實(shí)際上就是通分）43=201552=208.但現(xiàn)在是208，因此這個(gè)比的每一份是當(dāng)然，也可以采用實(shí)質(zhì)上與解方程完全相同的圖解法.解三：設(shè)原來小明有4“份”，小強(qiáng)有3“份”圖畫紙.把小明現(xiàn)有的圖畫紙張數(shù)乘2，小強(qiáng)現(xiàn)有的圖畫紙張數(shù)乘5，所得到的兩個(gè)結(jié)果相等.我們可以畫出如下示意圖：從圖上可以看出，3×5-4×2=7（份）相當(dāng)于圖畫紙15×2+8×5=70（張）.因此每份是10張，原來小明有40張，小強(qiáng)有30張.例

26、11至15這五個(gè)例題是同一類型的問題.用比例式的方程求解沒有多大差別.用算術(shù)方法，卻可以充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性，找到較簡捷的解法，也啟示一些隨機(jī)應(yīng)變的解題思路.另外，解方程的代數(shù)運(yùn)算，對(duì)小學(xué)生說來是超前的，不容易熟練掌握.例13的解一，也是一種通用的方法.“假設(shè)”這一思路是很有用的，希望讀者能很好掌握，靈活運(yùn)用.從課外的角度，我們更應(yīng)啟發(fā)小同學(xué)善于思考，去找靈巧的解法，這就要充分利用數(shù)據(jù)的特殊性.因此我們總是先講述靈巧的解法，利于心算，促進(jìn)思維.例16 粗蠟燭和細(xì)蠟燭長短一樣.粗蠟燭可以點(diǎn)5小時(shí)，細(xì)蠟燭可以點(diǎn)4小時(shí).同時(shí)點(diǎn)燃這兩支蠟燭，點(diǎn)了一段時(shí)間后，粗蠟燭長是細(xì)蠟燭長的2倍.問這兩支蠟燭點(diǎn)

27、了多少時(shí)間？我們把問題改變一下：設(shè)細(xì)蠟燭長度是2，每小時(shí)點(diǎn)等需要時(shí)間是答：這兩支蠟燭點(diǎn)了3小時(shí)20分.把細(xì)蠟燭的長度和每小時(shí)燒掉的長度都乘以2，使原來要考慮的“2倍”變成“相等”，思考就簡捷了.解這類問題這是常用的技巧.再請(qǐng)看一個(gè)稍復(fù)雜的例子.例17 箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數(shù)是白球數(shù)的3倍多2只.每次從箱子里取出7只白球，15只紅球，經(jīng)過若干次后，箱子里剩下3只白球，53只紅球，那么，箱子里原來紅球數(shù)比白球數(shù)多多少只？解：因?yàn)榧t球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以對(duì)3倍的白球，每次取15只，最后應(yīng)剩51只.因?yàn)榘浊蛎看稳?只，最后剩下3只，所以對(duì)3倍的白球，每次取

28、7×321只，最后應(yīng)剩 3×3 9只.因此.共取了（51- 3×3）÷（7×3-15） 7（次）.紅球有 15×7 53 158（只）.白球有 7×7352（只）.原來紅球比白球多 158-52106（只）.答：箱子里原有紅球數(shù)比白球數(shù)多106只.三、比例的其他問題 ，這里必須用分?jǐn)?shù)來說，而不能用比.實(shí)際上它還是隱含著比例關(guān)系：（甲-7）乙= 23.因此，有些分?jǐn)?shù)問題，就是比例問題.加33張，他們兩人取的畫片一樣多.問這些畫片有多少張？答：這些畫片有261張.解：設(shè)最初的水量是1，因此最后剩下的水是樣重，就有因此原有水的重量

29、是答：容器中原來有8.4千克水.例18和例19，通常在小學(xué)數(shù)學(xué)中，叫做分?jǐn)?shù)應(yīng)用題.“比”有前項(xiàng)和后項(xiàng)，當(dāng)兩項(xiàng)合在一起寫成一個(gè)分?jǐn)?shù)后，才便于與其他數(shù)進(jìn)行加、減運(yùn)算.這就是把比（或除法）寫成分?jǐn)?shù)的好處.下面一個(gè)例題卻是要把分?jǐn)?shù)寫成比，計(jì)算就方便些.例20 有兩堆棋子， A堆有黑子 350個(gè)和白子500個(gè)， B堆有黑子 堆中拿到 A堆黑子、白子各多少個(gè)？子100個(gè)，使余下黑子與白子之比是（40-100）10031.再要從 B堆拿出黑子與白子到A堆，拿出的黑子與白子數(shù)目也要保持31的比.現(xiàn)在 A堆已有黑子 350 100 450個(gè)），與已有白子500個(gè)，相差從B堆再拿出黑子與白子，要相差50個(gè)，又要符

30、合31這個(gè)比，要拿出白子數(shù)是50÷（3-1）25（個(gè)）.再要拿出黑子數(shù)是 25×3 75（個(gè)）.答：從B堆拿出黑子 175個(gè)，白子25個(gè).人，問高、初中畢業(yè)生共有多少人？解一：先畫出如下示意圖：6-51，相當(dāng)于圖中相差 17-125（份），初中總?cè)藬?shù)是 5×630份，因此，每份人數(shù)是520÷（30-17）= 40（人）.因此，高、初中畢業(yè)生共有40×（1712） 1160（人）.答：高、初中畢業(yè)生共1160人.計(jì)算出每份是例21與例14是完全一樣的問題，解一與例14的解法也是一樣的.（你是否發(fā)現(xiàn)？）解二是通常分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解法，顯然計(jì)算不如解一簡

31、便.例18，19，20，21四個(gè)例題說明分?jǐn)?shù)與比例各有好處，你是否從中有所心得？當(dāng)然關(guān)鍵還是在于靈活運(yùn)用.下的錢共有多少元？解：設(shè)鋼筆的價(jià)格是1.這樣就可以求出，鋼筆價(jià)格是張剩下的錢數(shù)是李剩下的錢數(shù)答：張、李兩人剩下的錢共28元.題中有三個(gè)分?jǐn)?shù)，但它們比的基準(zhǔn)是不一樣的.為了統(tǒng)一計(jì)算單位，設(shè)定鋼筆的價(jià)格為1.每個(gè)人原有的錢和剩下的錢都可以通過“1”統(tǒng)一地折算.解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，設(shè)定統(tǒng)一的計(jì)算單位是常用的解題技巧.作為這一講最后的內(nèi)容，我們通過兩個(gè)例題，介紹一下“混合比”.用100個(gè)銀幣買了100頭牲畜，問豬、山羊、綿羊各幾頭？這是十八世紀(jì)瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉（17071783）提出的問題.們?cè)O(shè)1頭豬

32、和5頭綿羊?yàn)锳組，3頭山羊和2頭羊綿為B組.A表示A組的數(shù)，B表示B組的數(shù)，要使（1 5）× A（3 2）× B100，或簡寫成 6A5B100.就恰好符合均價(jià)是1.類似于第三講雞兔同籠中例17，很明顯，A必定是5的整數(shù)倍.A5， B 4， 6×5 5×450，50是 100的約數(shù)，符合要求.A5，豬 5頭，綿羊 25頭，B=4，山羊12頭，綿羊8頭.豬山羊綿羊=512（258）.現(xiàn)在已把15和32兩種比，組合在一起通常稱為混合比.要注意，這樣的問題常常有多種解答.A= 5， B14或 A15，B2才能產(chǎn)生解答，相應(yīng)的豬、山羊、綿羊混合比是54253或1

33、5679.答：有三組解答.買豬、山羊、綿羊的頭數(shù)是10，24，66；或者5，42，53；或者15，6，79.求混合比是一種很實(shí)用的方法，對(duì)數(shù)學(xué)有興趣的小學(xué)同學(xué)，學(xué)會(huì)這種方法是有好處的，會(huì)增加靈活運(yùn)用比例的技巧.通常求混合比可列下表：下面例題與例23是同一類型，但由于題目的條件，解法上稍有變化.例24 某商品76件，出售給33位顧客，每位顧客最多買三件，買 1件按定價(jià)，買2件降價(jià) 10，買 3件降價(jià) 20.最后結(jié)算，平均每件恰好按原定價(jià)的 85出售，那么買3件的顧客有多少人？解：題目已給出平均數(shù) 85，可作比較的基準(zhǔn).1人買3件少 5×3；1人買2件多 5×2；1人買1件多

34、15 ×1.1人買3件與1人買1件成A組，即按11比例，2人買3件與3人買2件成B組，即按23的比例.A組是2人買4件，每人平均買2件.B組是5人買12件，每人平均買2.4件.現(xiàn)在已建立了一個(gè)雞兔同籠型問題：總腳數(shù)76，總頭數(shù)33，兔腳數(shù)2.4，雞腳數(shù)2.B組人數(shù)是（76-2×33）÷（24-2） 25（人），A組人數(shù)是 33-258（人），其中買 3件4人，買 1件4人.10 4 14（人）.答：買3件的顧客有14位.建立兩種比的A組和B組，與例23的解題思路完全一致，只是后面解法稍有不同.因?yàn)閷?duì)A組和B組，不僅要從人數(shù)考慮滿足2A+5B33，還要從買的件數(shù)考慮

35、滿足 4A12B76.這已完全確定了A組和B組的數(shù)，不必再求混合比第一講 行程問題走路、行車、一個(gè)物體的移動(dòng)，總是要涉及到三個(gè)數(shù)量：距離走了多遠(yuǎn)，行駛多少千米，移動(dòng)了多少米等等；速度在單位時(shí)間內(nèi)（例如1小時(shí)內(nèi)）行走或移動(dòng)的距離；時(shí)間行走或移動(dòng)所花時(shí)間.這三個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，可以用下面的公式來表示：距離=速度×時(shí)間很明顯，只要知道其中兩個(gè)數(shù)量，就馬上可以求出第三個(gè)數(shù)量.從數(shù)學(xué)上說，這是一種最基本的數(shù)量關(guān)系，在小學(xué)的應(yīng)用題中，這樣的數(shù)量關(guān)系也是最常見的，例如總量=每個(gè)人的數(shù)量×人數(shù).工作量=工作效率×時(shí)間.因此，從行程問題入手，掌握一些處理這種數(shù)量關(guān)系的思路

36、、方法和技巧，就能解其他類似的問題.當(dāng)然，行程問題有它獨(dú)自的特點(diǎn)，在小學(xué)的應(yīng)用題中，行程問題的內(nèi)容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學(xué)，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)、物理的學(xué)習(xí)中，也是一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.因此，我們非常希望大家能學(xué)好這一講，特別是學(xué)會(huì)對(duì)一些問題的思考方法和處理技巧.這一講，用5千米/小時(shí)表示速度是每小時(shí)5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米一、追及與相遇有兩個(gè)人同時(shí)在行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過了一些時(shí)間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問題”.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的距離，也就是要計(jì)算兩人走的距離之差.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時(shí)間內(nèi)，甲走

37、的距離-乙走的距離= 甲的速度×時(shí)間-乙的速度×時(shí)間=（甲的速度-乙的速度）×時(shí)間.通常，“追及問題”要考慮速度差.例1 小轎車的速度比面包車速度每小時(shí)快6千米，小轎車和面包車同時(shí)從學(xué)校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，當(dāng)面包車到達(dá)城門時(shí)，小轎車已離城門9千米，問學(xué)校到城門的距離是多少千米？解：先計(jì)算，從學(xué)校開出，到面包車到達(dá)城門用了多少時(shí)間.此時(shí)，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時(shí)，因此所用時(shí)間=9÷61.5（小時(shí)）.小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，面包車到達(dá)時(shí)，小轎車離城門9千米，說明小轎車的

38、速度是面包車速度是 54-648（千米/小時(shí)）.城門離學(xué)校的距離是48×1.572（千米）.答：學(xué)校到城門的距離是72千米.例2 小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問家到公園多遠(yuǎn)？解一：可以作為“追及問題”處理.假設(shè)另有一人，比小張?jiān)?0分鐘出發(fā).考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時(shí)間是50 ×10÷（75- 50） 20（分鐘）?因此，小張走的距離是75× 20 1500（米）.答：從家到公園的距離是1500米.還有一種不少人采用的方法.家到公園的距離是一種解法好不好，首先是“易于思考”，其

39、次是“計(jì)算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢？對(duì)不同的解法進(jìn)行比較，能逐漸形成符合你思維習(xí)慣的解題思路.例3 一輛自行車在前面以固定的速度行進(jìn)，有一輛汽車要去追趕.如果速度是30千米/小時(shí)，要1小時(shí)才能追上；如果速度是 35千米/小時(shí)，要 40分鐘才能追上.問自行車的速度是多少？解一：自行車1小時(shí)走了30×1-已超前距離，自行車40分鐘走了自行車多走20分鐘，走了因此，自行車的速度是 答：自行車速度是20千米/小時(shí).解二：因?yàn)樽飞纤钑r(shí)間=追上距離÷速度差1小時(shí)與40分鐘是32.所以兩者的速度差之比是23.請(qǐng)看下面示意圖：馬上可看出前一速度差是15.自行車速度是35- 15

40、20（千米/小時(shí)）.解二的想法與第二講中年齡問題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？解：畫一張簡單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44（千米）.而爸爸騎的距離是 4 8 12（千米）.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 12÷43（倍）.按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×324（千米）.但事實(shí)上，爸

41、爸少用了8分鐘，騎行了41216（千米）.少騎行24-168（千米）.摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.881632.答：這時(shí)是8點(diǎn)32分.下面講“相遇問題”.小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么甲走的距離+乙走的距離=甲的速度×時(shí)間+乙的速度×時(shí)間=（甲的速度+乙的速度）×時(shí)間.“相遇問題”，常常要考慮兩人的速度和.例5 小張從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇？解：走同樣長的距離，小張花費(fèi)的時(shí)間

42、是小王花費(fèi)時(shí)間的 36÷123（倍），因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說，在同一時(shí)間內(nèi)，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小張走了1段，小張花費(fèi)的時(shí)間是36÷（31）9（分鐘）.答：兩人在9分鐘后相遇.例6 小張從甲地到乙地，每小時(shí)步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時(shí)步行4千米.兩人同時(shí)出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點(diǎn)1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.解：畫一張示意圖離中點(diǎn)1千米的地方是A點(diǎn)，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相遇，小張比小王多走了

43、2千米小張比小王每小時(shí)多走（5-4）千米，從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是2÷（5-4）2（小時(shí)）.因此，甲、乙兩地的距離是（5 4）×218（千米）.本題表面的現(xiàn)象是“相遇”，實(shí)質(zhì)上卻要考慮“小張比小王多走多少？”豈不是有“追及”的特點(diǎn)嗎？對(duì)小學(xué)的應(yīng)用題，不要簡單地說這是什么問題.重要的是抓住題目的本質(zhì)，究竟考慮速度差，還是考慮速度和，要針對(duì)題目中的條件好好想一想.千萬不要“兩人面對(duì)面”就是“相遇”，“兩人一前一后”就是“追及”.例7 甲、乙兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，6小時(shí)后相遇于C點(diǎn).如果甲車速度不變，乙車每小時(shí)多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則

44、相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)12千米；如果乙車速度不變，甲車每小時(shí)多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)16千米.求A，B兩地距離.解：先畫一張行程示意圖如下設(shè)乙加速后與甲相遇于D點(diǎn)，甲加速后與乙相遇于E點(diǎn).同時(shí)出發(fā)后的相遇時(shí)間，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5千米，因此，不論在D點(diǎn)相遇，還是在E點(diǎn)相遇，所用時(shí)間是一樣的，這是解決本題的關(guān)鍵.下面的考慮重點(diǎn)轉(zhuǎn)向速度差.在同樣的時(shí)間內(nèi)，甲如果加速，就到E點(diǎn)，而不加速，只能到 D點(diǎn).這兩點(diǎn)距離是 12 16 28（千米），加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時(shí).因此，在D點(diǎn)（或E點(diǎn)）相遇所用時(shí)間是

45、28÷5 5.6（小時(shí)）.比C點(diǎn)相遇少用 6-5.60.4（小時(shí)）.甲到達(dá)D，和到達(dá)C點(diǎn)速度是一樣的，少用0.4小時(shí)，少走12千米，因此甲的速度是12÷0.430（千米/小時(shí)）.同樣道理，乙的速度是16÷0.440（千米/小時(shí)）.A到 B距離是（30 40）×6 420（千米）.答： A，B兩地距離是 420千米.很明顯，例7不能簡單地說成是“相遇問題”.例8 如圖，從A到B是1千米下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是2.5千米上坡路.小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時(shí)，平路速度都是4千米/小時(shí)，上坡速度都是2千米/小時(shí).問：（1）小張和小王

46、分別從A， D同時(shí)出發(fā)，相向而行，問多少時(shí)間后他們相遇？（2）相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當(dāng)某一個(gè)人達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，另一人離終點(diǎn)還有多少千米？解：（1）小張從 A到 B需要 1÷6×60 10（分鐘）；小王從 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60 25（分鐘）；當(dāng)小王到達(dá) C點(diǎn)時(shí)，小張已在平路上走了 25-1015（分鐘），走了因此在 B與 C之間平路上留下 3- 1 2（千米）由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時(shí)間是2 ÷（4 4）×60 15（分鐘）.從出發(fā)到相遇的時(shí)間是25 15 40 （分鐘）.（2）相遇后，小王再走30分鐘

47、平路，到達(dá)B點(diǎn)，從B點(diǎn)到 A點(diǎn)需要走 1÷2×60=30分鐘，即他再走 60分鐘到達(dá)終點(diǎn).小張走15分鐘平路到達(dá)D點(diǎn)，45分鐘可走小張離終點(diǎn)還有2.5-1.5=1（千米）.答：40分鐘后小張和小王相遇.小王到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，小張離終點(diǎn)還有1千米.二、環(huán)形路上的行程問題人在環(huán)形路上行走，計(jì)算行程距離常常與環(huán)形路的周長有關(guān).例9 小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.（1）小張和小王同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？（2）小張和小王同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王

48、？解：（1 ）75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個(gè)周長的行程.小張的速度是500÷1.25-180=220（米/分）.（2）在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈（一個(gè)周長），因此需要的時(shí)間是500÷（220-180）12.5（分）.220×12.5÷5005.5（圈）.答：（1）小張的速度是220米/分；（2）小張跑5.5圈后才能追上小王.例10 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走，他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)6O米.求這個(gè)圓的周長.解：第一次相遇，兩

49、人合起來走了半個(gè)周長；第二次相遇，兩個(gè)人合起來又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個(gè)人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時(shí)兩人合起來所走的行程是第一次相遇時(shí)合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的3倍，即A到D是80×3240（米）.240-60=180（米）.180×2360（米）.答：這個(gè)圓的周長是360米.在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時(shí)極為類似，因此也歸入這一節(jié).例11 甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回）.在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千

50、米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少？解：畫示意圖如下：如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時(shí)間是40×3÷602（小時(shí)）.從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了6×2-210（千米）.小王已走了 62=8（千米）.因此，他們的速度分別是小張 10÷25（千米/小時(shí)），小王 8÷2=4（千米/小時(shí)）.答：小張和小王的速度分別是5千米/小時(shí)和4千米/小時(shí).例12 小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回），他們?cè)陔x甲村3.5

51、千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？解：畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了3.5×310.5（千米）.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5-28.5（千米）.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離（322）倍的行程.其中張走了3.5×724.5（千米），24.5=8.58.57.5（千米）.就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1（千米）.答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.下面仍回到環(huán)

52、行路上的問題.例13 繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行.小王以4千米/小時(shí)速度每走1小時(shí)后休息5分鐘；小張以6千米/小時(shí)速度每走50分鐘后休息10分鐘.問：兩人出發(fā)多少時(shí)間第一次相遇？解：小張的速度是6千米/小時(shí)，50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時(shí)間與行程列出下表：121527比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時(shí)10分至3小時(shí)15分之間.出發(fā)后2小時(shí)10分小張已走了此時(shí)兩人相距24-（811）=5（千米）.由于從此時(shí)到相遇已不會(huì)再休息，因此共同走完這5千米所需時(shí)間是5÷（46）0.5（小時(shí)）.2小時(shí)10分再加上半小時(shí)是2小時(shí)40分.答：他們

53、相遇時(shí)是出發(fā)后2小時(shí)40分.例14 一個(gè)圓周長90厘米，3個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓周分成三等分，3只爬蟲A，B，C分別在這3個(gè)點(diǎn)上.它們同時(shí)出發(fā)，按順時(shí)針方向沿著圓周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬蟲出發(fā)后多少時(shí)間第一次到達(dá)同一位置？解：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時(shí)候能到達(dá)同一位置.開始時(shí)，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C（5-3）厘米0.30÷（5-3）15（秒）.因此15秒后B與C到達(dá)同一位置.以后再要到達(dá)同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90÷（5-3）45（秒）.B與C到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是15，105，

54、150，195，再看看A與B什么時(shí)候到達(dá)同一位置.第一次是出發(fā)后30÷（10-5）=6（秒），以后再要到達(dá)同一位置是A追上B一圈.需要90÷（10-5）18（秒），A與B到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是6，24，42，78，96，對(duì)照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲到達(dá)同一位置.答：3只爬蟲出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置.請(qǐng)思考， 3只爬蟲第二次到達(dá)同一位置是出發(fā)后多少秒？例15 圖上正方形ABCD是一條環(huán)形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時(shí)，在BC上的速度是120千米/小時(shí)，在CD上的速度是60千米/小時(shí)，在DA上的速度是80千米/小時(shí).從CD上一點(diǎn)P，同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點(diǎn)相遇.如果從PC中點(diǎn)M，同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB上一點(diǎn)N處相遇.求解：兩車同時(shí)出發(fā)至相遇，兩車行駛的時(shí)間一樣多.題中有兩個(gè)“相遇”，解題過程就是時(shí)間的計(jì)算.要計(jì)算方便，取什么作計(jì)算單位是很重要的.設(shè)汽車行駛CD所需時(shí)間是1.根據(jù)“走同樣距離，時(shí)間與速度成反比”，可得出分?jǐn)?shù)計(jì)算總不太方便，把這些所需時(shí)間都乘以24.這樣，汽車行駛CD，BC，AB，AD所需時(shí)間分別是2