晉江二中高二年段研究性課題《斐波那契數(shù)列》

1、晉江二中高二年段研究性課題斐波那契數(shù)列這個數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。1 .斐波那契數(shù)列定義：斐波那契數(shù)列指的是這樣一個數(shù)列1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,377 ,610 , 987 , 1597 , 2584 , 4181 ,6765 , 10946 , 17711 , 28657 , 463682. 斐波那契數(shù)列由來：斐波那契數(shù)列，也叫兔子數(shù)列，黃金分割數(shù)列，它的發(fā)明者，是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契(Leonardo FibOnacci ),生于公元1170年，卒于1250年，籍貫是比薩。他被人 稱作比薩的列昂納

2、多”。1202年，他撰寫了算盤全書( Liber AbaCCi ) 一書。他是第一 個研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業(yè)團(tuán)體聘任為外交領(lǐng)事，派駐地點(diǎn)相當(dāng)于今日的阿爾及利亞地區(qū)，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導(dǎo)下研究數(shù)學(xué)。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯等地研究數(shù)學(xué)。斐波那契數(shù)列又因數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入， 故又稱為兔子數(shù)列一般而言，兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力，一對 兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔子都不死，那 么一年以后可以繁殖多少對兔子？我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一

3、對兩個月后，生下一對小兔對數(shù)共有兩對三個月以后，老兔子又生下一對，因?yàn)樾⊥米舆€沒有繁 殖能力，所以一共是三對依次類推可以列出下表:經(jīng)過月數(shù)0 123456789101112幼仔對數(shù)101123581321345589成兔對數(shù)01123581321345589144總體對數(shù)1123581321345589144233幼仔對數(shù)=前月成兔對數(shù)成兔對數(shù)=前月成兔對數(shù)+前月幼仔對數(shù)總體對數(shù)=本月成兔對數(shù)+本月幼仔對數(shù)可以看出幼仔對數(shù)、成兔對數(shù)、總體對數(shù)都構(gòu)成了一個數(shù)列。這個數(shù)列有關(guān)十分明顯 的特點(diǎn)，那是：前面相鄰兩項(xiàng)之和，構(gòu)成了后一項(xiàng)。3. 身邊的斐波那契數(shù)列（1）數(shù)學(xué)中的斐波那契數(shù)列【楊輝三角】將楊輝

4、三角左對齊，成如圖所示排列，將同一斜行的數(shù)加起來， 即得一數(shù)列1、1、2、3、5、8、F 112 3 5 8【臺階】有一段樓梯有 10級臺階，規(guī)定每一步只能跨一級或兩級，要登上第10級臺階有幾種不同的走法？這就是一個斐波那契數(shù)列：登上第一級臺階有一種登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有三種登法；登上四級臺階，有五種登法每5個連續(xù)的數(shù)中有且只有-個被5整除，每6個連續(xù)的數(shù)中有且只有-個被8整除，每7個連續(xù)的數(shù)中有且只有-個被13整除，每8個連續(xù)的數(shù)中有且只有-個被21整除，每9個連續(xù)的數(shù)中有且只有-個被34整除，（2）自然界中斐波那契數(shù)列【樹枝的生長】斐波那契數(shù)列在自然科學(xué)的其他分支

5、，有許多應(yīng)用。例如，樹木的生長，由【花瓣數(shù)目】其中百合花花瓣數(shù)目為3,梅花5瓣，飛燕草8瓣，萬壽菊13瓣，向日葵21或34瓣，雛菊有34,55和89三個數(shù)目的花瓣。髯案錢蘭洋繫荊祐）（5） 蝴蝶蘭（5）于新生的枝條，往往需要一段休息”時間，供自身生長，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以后長出一條新枝；第二年新枝休息”老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與休息"過一年的枝同時萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則次年休息”這樣，一株樹木各個年份的枝椏數(shù)，便構(gòu)成斐波那契數(shù)列。這個規(guī)律，就是生物學(xué)上著名的魯?shù)戮S格定律這些植物懂得斐波那契數(shù)列嗎？應(yīng)該并非如此，它們只是按照自然的規(guī)律才進(jìn)化成這樣。這似

6、乎是植物排列種子的 優(yōu)化方式”它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當(dāng)，不 至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子的生長方式也是如此，對于許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程中一直都能最佳地利用空間_（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來，而不是一下子同時出現(xiàn)的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應(yīng)該是 222.5度，這個角度稱為 黃金角度”因?yàn)樗驼麄€圓周 360度之 比是黃金分割數(shù)0.618033989的倒數(shù),而這種生長方式就決定了斐波那契螺旋的產(chǎn)生。 向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時能達(dá)到89 ,甚至144條。1992年，兩位法國科學(xué)家通過對花

7、瓣形成過程的計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)，證實(shí)了在系統(tǒng)保持最低能量的狀態(tài)下，花朵會求證：F F2 . F10 11F7證明：Fix,F2 y,F3 Fi F2 Xy, F4 F2 F3 X 2y 【黃金分割】從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值會越來越趨近于黃金分割比例06181÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666.，3÷5=0.6，5+8=0.625，55÷ 89=0.617977 ， 144÷ 233=0.618025 46368÷ 75025=0.6180339886 .Iimn1Gnlim(1nGn 1 )記 lim Gn

8、代 1 1 A nA解得A=1.52求證：lim GnlimFn1 5nnFn 12證明：Q丄1Fn 1FnFn 11 Fn 11 GGnFnFnFnFnFn 1【平方與前后項(xiàng)】從第二項(xiàng)開始，每個 奇數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積少 1 ,每個偶數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積多 10X00 3=9 X *t M "【個位循環(huán)】 斐波那契數(shù)列的個位數(shù)：一個11235,83145,94370,77415,6178538190,60步的循環(huán)9875,27965,16730,33695,49325,729105. 斐波那契數(shù)列的公式【遞推公式】F1 1,F2 1,Fn Fn IFn 2( n2)噺公

9、式】Fny)n,n N5解法一:先求満足遞推關(guān)系(1)的等比數(shù)列Ig仃其中益乂旳嚴(yán)*于是變弗為aqnwl S + «i " 31 即 i = + 】.即 =亠T * 可見+摘足條件（t）ft¾ 比數(shù)列有兩個可能的公比gl =和刖如果等比數(shù)列和滿足條件6匸勵匸X則公比為1 既 不等于虹也不警于務(wù)因此不可能満足條件（1） 但½, 將偶足條件的兩個等比數(shù)列山刊門昭 與b*.心廣，IiS項(xiàng)相加樹到數(shù)列kn - 毎 + fis I 幸 I + b* Z + ? * 1 + 21 I q""1 + vft"1 則數(shù)列O）仍然摘足條件如果

10、堆運(yùn)當(dāng)選擇便門二門 =1.011a + = 1JL 01 ÷ I 1則IGI就符合雯波那契數(shù)列IFJ所滿足的所有條件”容易軒 出曲足蓋件的蜚波那製數(shù)列I!J½-的-因此用足條件 竹）的s 6決定的數(shù)列（2）就捷所求的斐波那輕數(shù)刊*由于叭®已知,所以可以將條件3）看成訓(xùn)"為未 知數(shù)的二元一比方程S8,解之得“ 9匕丄"盲】二如.Qi IglQi-中從而 FB - £3 I"'1 + bqt12'（巒亠 聊"（ gJi -如由于 ¢1 +- 1S1 - 1 S IqJpl LIqi =GiI又 q2 L t «7st -(Lr1 , 2, 3, 5 , 8, 13所以，登上十級，有 89種走法。【拋硬幣】一枚均勻的硬幣擲10次，問不連續(xù)出現(xiàn)正面的可能情形有多少種？一妝蛹勻觀市舞丄口次n不崖續(xù)岀現(xiàn)InEj的惜況荷幾種T - ftfJ:吐垃見正面LD次：1神=A出現(xiàn)正面1 =3 0種:+-l出現(xiàn)IE面2 = 56種J “岀現(xiàn)止缶 3 rX. Crs? St W 7屮注見IF面耳浹？ C；=藥種；l岀于見正面于次