固體物理習題及答案

1、固體物理第一章習題及參考答案1題圖 11 表示了一個由兩種元素原子構成的二維晶體，請分析并找出其基元，畫出其布喇菲格子，初基元胞和ws 元胞，寫出元胞基矢表達式。解：基元為晶體中最小重復單元，其圖形具有一定任意性（不唯一）其中一個選擇為該圖的正六邊形。把一個基元用一個幾何點代表，例如用b 種原子處的幾何點代表 （格點） 所形成的格子即為布拉菲格子。初基元胞為一個晶體及其空間點陣中最小周期性重復單元，其圖形選擇也不唯一。其中一種選法如圖所示。ws 也如圖所示。左圖中的正六邊形為慣用元胞。2.畫出下列晶體的慣用元胞和布拉菲格子，寫出它們的初基元胞基矢表達式，指明各晶體的結構及兩種元胞中的原子個數和

2、配位數。(1) 氯化鉀（ 2）氯化鈦（3）硅（4）砷化鎵（5）碳化硅（ 6）鉭酸鋰（7）鈹（8）鉬（9）鉑解：名稱分子式結構慣用元胞布拉菲格子初基元胞中原子數慣用元胞中原子數配位數氯化鉀kcl nacl 結構教材圖 117（b）教材 fcc圖 112 2 8 6 氯化鈦ticl 氯化銫結構圖 118 s.c 2 2 8 硅si 金剛石圖 119 f.c.c 2 8 4 砷化鎵gaas 閃鋅礦圖 120 f.c.c 2 8 4 碳化硅sic 閃鋅礦圖 120 f.c.c 2 8 4 鉭酸鋰litao3鈣鈦礦圖 1-21 s.c 5 5 2.6.12 鈹be hcp 圖 124 簡單六角2 6 1

3、2 鉬mo bcc b.c.c 1 2 8 鉑pt fcc f.c.c 1 4 12 基矢表示式參見教材（1 5） 、 （16） 、 （17）式。11.對于六角密積結構，初基元胞基矢為1a=jia3(2jiaa3(22求其倒格子基矢，并判斷倒格子也是六角的。解：j正空間倒空間ji i (a) (b) 由倒格基失的定義，可計算得3212aab=a2)31(jijiaaab31(22132kcaab22213正空間二維元胞（初基）如圖（a）所示，倒空間初基元胞如圖（b）所示（1）由21bb 、組成的倒初基元胞構成倒空間點陣，具有c6操作對稱性，而c6對稱性是六角晶系的特征。（2）由21aa 、構成

4、的二維正初基元胞，與由21bb 、構成的倒初基元胞為相似平行四邊形，故正空間為六角結構，倒空間也必為六角結構。12用倒格矢的性質證明，立方晶格的（hcl）晶向與晶面垂直。證：由倒格矢的性質，倒格矢321blbkbhghkl垂直于晶面（h、k、l） 。由晶面向定義（ h、k、l）晶向，可用矢量a表示。a321alakah，倒格基矢的定義)(2321aab)(2132aab)(2213aab在立方晶格中，可取321aaa、相互垂直且321aaa,則可得知11|ba,22|ba, 33|ba, 且1b=|2b|=3b設iiab=m（為常值，且有量綱，即不為純數）則malakahmgh k l）321

5、(a則h k lg與a平行。證畢若以上正、倒基矢，換為正、倒軸矢，以上證明仍成立，則可用于fcc 和 bcc 晶格。13.若軸矢cba、構成簡單正交系，證明。晶面族（h、k、l）的面間距為2222)()()(1clbkahhkld證 1：把原點選在該面族中任意一晶面上任一點，設相鄰晶面分別與正交系cba、交于lckbha、處，同一晶面族中，相鄰晶面的面間矩相同，故只要求得原點與相鄰晶面的距離即可。由平面的截距式方程，可把該晶面方程寫為；1lckbhazyx又由點面間矩離的公式，可求得原點與該晶面的距離d=222)()()(1clbkah由該式可知，面指數（h、k、l）為小值的晶面族，面間距d

6、大， ，面間距d 大，則相鄰二個面上的原子間的作用力就小，致使沿著該方向容易解理（劈裂）。證 2：若正空間基矢為簡單正交，由倒格基矢的定義jjba=2ij，則對應的倒格基矢321bbb、也構成正交系。晶面族（ h k l）對應的倒格矢321blbkbhghkl因為321bbb、相互正交。所以hklg2232221)()()(lbkbhb=(22222)()()()321alakah（注：這里aa、1ba2ca3）由倒格矢的性質dhkl=322)()()(12321alakahhklgthe end 16、用 x 光衍射對al 作結構分析時，測得從(111)面反射的波長為1.54? 反射角為=1

7、9.20求面間距d111。解：由布拉格反射模型，認為入射角反射角由布拉格公式2dsin =d=sin2n對主極大取 n=1 d=02.19sin254.1=2.34(? ) 17試說明： 1勞厄方程與布拉格公式是一致的；2勞厄方程亦是布里淵區(qū)界面方程；解： 1由坐標空間勞厄方程：2)(0kkrl與正倒格矢關系2hlkr比較可知：若0kkkh成立即入射波矢0k，衍射波矢k之差為任意倒格矢hk，則k方向產生衍射光，0kkkh式稱為倒空間勞厄方程又稱衍射三角形。k khk0 現(xiàn)由倒空間勞厄方程出發(fā)，推導blagg 公式，彈性散射0kk由倒格子性質，倒格矢hk垂直于該晶面族。所以，hk的垂直平分面必與

8、該晶面族平行。由圖可得知： |hk| 2ksin sin4 (a) 又若 |hk| 為該方向的最短倒格矢，由倒格矢性質有：|hk| d2若hk不是該方向最短倒格失，由倒格子周期性 |hk| n|hk| d2.n （b）比較（ a） 、 （ b）二式可得 2dsinn即為 blagg 公式。2 、倒空間勞厄方程hkkk0又稱衍射三角形，由上圖可知因為是彈性散射 |k| |0k| 該衍射三角形為等腰三角形，hk又為倒格矢，即hk二端均為倒格點。所以，入射波從任一倒格點出發(fā)，若指到任一倒格矢的中垂直面上時，才有可能滿足衍射三角形，又由布里淵區(qū)邊界的定義，可知，布里淵區(qū)邊界即為倒格矢中垂直面，所以原命

9、題成立。18在圖 149（b）中，寫出反射球面p、q兩點的倒格矢表達式以及所對應的晶面指數和衍射面指數。解：由圖149（b）所示，1b,2b0p 倒格矢 31b2b對應的衍射晶面指數（3， 1）化為（ 3，1）0q 倒格矢 21b對應衍射晶面指數（2， 0）化為（ 1， 0）19求金剛石的幾何結構因子，并討論衍射面指數與衍射強度的關系。解：每個慣用元胞中有八個同類原子，其坐標為000, 21210, 21021, 02121414141, 434341, 434143, 414343結構因子shkl)(2lwkvhuief=)()()()(21lkhihlilkikhieeeef)33()33

10、()33(222lkhilkhilkhieee前四項為fcc 的結構因子，用ff表示從后四項提出因子)(2lkhieshkl ff)()()()(12lkilhikhilkhieeeefff+ff)(2lkhieff1+)(2lkhie衍射強度i2hkls2h k ls)()(22211lkhilkhifeef=)()(2222lkhilkhifeef用尤拉公式2hklsf2)(2cos12lkhf討論1. 當 h、k、l 為奇異性數（奇偶混雜）時ff=0 所以2hkls0 2當 h、 k、l 為全奇數時22232)4(22fffsflkh3當 h、k、l 全為偶數，且h+k+l 4n (n

11、為任意整數 ) 2222.64164) 11(2fffsflkh當 h.k,l 全為偶數，但h+k+l4n 則 h+k+l 2(2n+1) 0)11(222.fslkh補充 1.說明幾何結構因子sh和坐標原點選取有關，但衍射譜線強度和坐標選擇無關。解：幾何結構因子shrsief式中： f 為元胞內第個原子的散射因子。r為元胞內第個原子的位矢若新坐標系相對原坐標系有一位移r則)(rrsihefs shrsie由于一般rsie1 所以nhss即幾何結構因子與坐標原點選取有關。而衍射譜線強度正比與幾何結構因子模的平方i22)(hhhrsihrsihhsssesess（所以譜線強度與坐標原點選取無關。

12、固體物理 第二章 習題及參考答案1已知某晶體兩相鄰原子間的互作用能可表示成nmrbraru)(1) 求出晶體平衡時兩原子間的距離；(2) 平衡時的二原子間的結合能；(3) 若取 m=2,n=10,兩原子間的平衡距離為3?,僅考慮二原子間互作用則離解能為4ev，計算 a 及 b 的值；（4）若把互作用勢中排斥項b/rn改用玻恩梅葉表達式exp(-r/p), 并認為在平衡時對互作用勢能具有相同的貢獻，求n 和 p 間的關系。解： (1)平衡時010100nmrbnramrru得ambnrmn0mnambnr1)(0(2)平衡時把 r0表示式代入u(r) u(r0)=mnnmnmambnbambna

13、)()(=mnmnmnmnnmmnbamnabnm)()(（3）由 r0表示式得：81)5(10310ab若理解為互作用勢能為二原子平衡時系統(tǒng)所具有的能量，由能量最小原理，平衡時系統(tǒng)能量具有極小值， 且為負值； 離解能和結合能為要把二原子拉開，外力所作的功， 為正值， 所以，離解能結合能互作用勢能，由u(r)式的負值，得101021019)103()103(106.14ba化簡為80101039104.6ba略去第二項a=5.76 102上式代入a 值得b=7.55 10-75(4)由題意得ex (-r0/ )br-n* ln r0/ =lnbnlnr0nlnror0/ lnb/0lnln0r

14、nbr又解： *式兩邊對r0求導，得：/ex (-r0/ ) bnr-n+1, 與*式比較得：n/r0 =1/得： r0 = n2.n 對離子組成的nacl 晶體相互作用勢能為rerbnrun024)(1)證明平衡原子間距為nebrn20104(2)證明平衡時的互作用勢能為)11(4)(0020nrneru(3)若試驗試驗測得nacl 晶體的結合能為765kj/mol, 晶格常數為5.63 10-10m，計算 nacl晶體的排斥能的冪指數n，已知 nacl 晶體的馬德隆常數是1.75 證：（1）2021)1(4)(reenbndrdun)4(1202nrbnren令00rrdrdu得20104

15、ebnrn證畢（2）把以上結果代入u(r)式，并把r 取為 r01120112020)(4)()(402440nnebnebnebnebnru= n)11(4002nre若認為結合能與互作用能符號相反，則上式乘“”證畢（3）由（ 2）之結論整理可得)(400022rurenenn式中阿氏常數n6.0 1023電子電量e=1.6 10-19庫侖真空介電常數0=8.85 10-12法/米若題中r0為異種原子的間矩，r00.5 5.63 1010m u(r0)=-765000j/mol （平衡時互作用勢能取極小值，且為負，而結合能為正值）馬德隆常數=1.75 2000)(411enrurn8.811

16、3823510121056.275.1100.61065,71082.21085.814.343如果把晶體的體積寫成vnr3式中 n 是晶體中的粒子數；r 是最近鄰粒子間距；是結構因子，試求下列結構的值(1) fcc (2) bcc (3) nacl (4) 金剛石解：取一個慣用元胞來考慮結構v0n0 r0fcc a3 4 a2222bcc a32 a232334nacl a38 2a1 金剛石a38 a4323384證明：由兩種離子組成的，間矩為r0的一維晶格的馬德隆常數 ln 2 . 證：由馬德隆常數的定義jja1其中同號離子取“” ，異號離子取“” 。若以一正離子為參考點，則2 ( 1+

17、1/3 +1/5+ .+121n+ .) （1/2 + 1/4 + .+n21+ ）(a) 又由冪級數的展開式ln(1+x) = x 22x+.)1.(43143nxxxnn(b) 令 x=1 則（ b）式即為（ a）式括號中的式子所以=2ln(1+1)=2ln2 證畢晶格振動部分習題及參考解答9.設有一雙子鏈最近鄰原子間的力常數為和 10 ，兩種原子質量相等，且最近鄰距離為a/2，求在 q=0,q=a處的(q).并定性畫出色散曲線。m m 10m m _ 22aa解：已知21)cos2(1212221212qamma(1) 21)cos2(12122212120amm(2) 由題意21011

18、0代入（ 1）式得21)cos20100(111222qamma=21)cos20101(11qamm=21)cos20101(11qam當 q=0 時0)1111(02mqa當 q=a時mmaqa2)911(2把2=101=10 代入（ 2）式得21)cos20101(1120qam當 q=0 時mq22020時aqmaq202010.設三維晶格的光學格波在q=0 的長波極限附近有i(q)=0aq2（a0） ，求證光學波頻率分布函數 (格波密度函數 )為： g()=)1(31si24v2321)(0aii0g()=0 i0 證：由格波密度函數的定義已知，對一支格波在di區(qū)間格波數為g (i)

19、di=qddviii3)2(在長波極限下等頻率面為球面則g(i)di=dqqv234)2(當i0時因為q2aqi)(0aqqi)(0dq=2121)(2)(0qaqdii所以g(i)=2121)(214)2(003iiaav=2321204)(avi由模式密度的物理意義，取其絕對值而當i0時因為i0aq2所以 aq2=0i又因為a 0 q20 (因為 q 本身為實數 ) 所以上式右邊必滿足0i即不存在i0的格波則則g(i)=0 又因為三維晶體中共要有3（s1）支光學格波所以光學波頻率分布函數為：g2321203314)()(avisii0g()=0 011求一維單原子鏈的格波密度函數；若用德拜

20、模型，計算系統(tǒng)的零點能。解： (1)設一維單原子鏈長lna，a 為原子間距， n 為原子數，在aqa區(qū)域內 q 只能取 n 個值， dq 間距內的格波數為f(q)dq=dqldqnadqan222色散關系為2sin4qam(1) )cos1(22qam=22m(1-cosqa) (2) 其中m=21)4(m由于對應于q, 取相同的值， （色散關系的對稱性 ，則 d 區(qū)間的格波數為g()d 2dqdnaddqna2(3) 由色散關系（ 2）可得：2 d =22amsinqa dq qaaqaadqdmm222cos14sin4=222ma代入 (3)可得：g()=222mn(4) (2)在德拜模

21、型下，色散關系為線性pq pdqd代入 (3)式得；g()=pplna(5) 則零點能為：e零dldgpdd221)(00=pdl42(6) 又因為nldldgpdpdd00)(得：nldp(7) 代入（ 6）式得：e零=anqknndbd44412 試用平均聲子數n（1)1kte證明： 對單式格子， 波長足夠長的格波平均能量為kt；當 tqd時，大約有多少模式被激發(fā)？并證明此時晶體比熱正比于(3)dqt。解：單式格子僅有聲學格波，而對聲學波波長入足夠長，則很低對滿足tkb1的格波把tbkwe泰勒展開，只取到一次項tbkwe1（1tkwb） 1tkwb，平均聲子數n（1)1kte，所以wtkn

22、b而屬于該格波的聲子能量為當 td時，可使用德拜模型，格波密度函數為教材（372）g(w)=23223v只有tkb的格波才能激發(fā)，已激發(fā)的格波數可表示為：dgatbk)(0332)(2tkvb由上已知，此時格波平均能量為kbt 則晶格熱容可表示為tktkvtcbbv)(232333242tvkb把（ 375）式31)6(2vnd及dbdqk代入整理為：cv12nkb3)(dqt所以晶格比熱正比于（3)dqt得證13.對于金剛石、zns、單晶硅、金屬cu、一維三原子晶格，分別寫出(1) 初基元胞內原子數；(2). 初基元胞內自由度數(3).格波支數 ; (4). 聲學波支數(5).光學波支數解：

23、金剛石zns si cu 一維三原子晶格初基元胞內原子數2 2 2 1 3 初基元胞內自由度數6 6 6 3 3 格波支數6 6 6 3 3 聲學波支數3 3 3 3 1 光學波支數3 3 3 0 2 14.證明在極低溫度下，一維單式晶格的熱容正比于t . 證：在極低溫度下，可用德拜模型，q 點密度為2lgd區(qū)間格波數為g()d2dlddqlwqdw12所以格波密度函數g()l只有tkb的格波才能被激發(fā)，已激發(fā)的格波數為；atkldgbtkb)(0由第 12 題已證，在極低溫度下，一維單式格子主要是長聲波激發(fā)對滿足kt1 的格波能量為kbt。則晶格熱容為tlktktlktcbbbv22即熱容正

24、比于t。15.nacl 和 kcl 具有相同的晶體結構。其德拜溫度分別為320k 和 230k。kcl 在 5k 時的定容熱容量為3.810-2j.mol-1.k-1，試計算nacl 在 5k 和 kcl 在 2k 時的定容熱容量。解：設 nacl 和 kcl 晶體所包含的初基元胞數相等，均為n，td，可用德拜模型（德拜溫度分別為nacl320k，kcl 230k）利用cv=qnk(2403)1()xxdedxexqttdqtqd1. 積分上限近似可取為、則有154)1(2240 xxedxex34)(512dbvqtnkc對 kcl ：t5k 時cv3.8x10-2當 t 2k 時23311

25、024.012588.325vvcc(j.mol-1.k-1) 對 nacl：t=5k 時3310311311)320()230(8.3)()(2xddvvqqcc 1.41x10-2(j.mol-1.k-1) 固體物理晶體缺陷習題參考解答1.設 uf為費侖克爾缺陷形成能證明在溫度t 時，達到熱平衡的晶體中費侖克爾缺陷的數目為：nfn n1eufkbt2式中 n 和 n分別為晶體的原子格點總數和間隙位置數，解：已知n：晶體的原子格點數，n：間隙位置數ufu1+u其中 u1：空位形成能u：填隙缺陷形成能可知，溫度為t 時，某一格點上形成空位的幾率為nneukbt11(1) 某一間隙位置上形成填隙

26、原子的幾率為nneukbt1(2) 費侖克爾缺陷是形成填隙原子一空位對，即n1n=uf 其幾率為 (1)(2): tbkennnn)u1u(111又 u1+u1=ufnf=nn1eufkbt22.已知某晶體肖特基缺陷的形成能是1ev，問溫度從t290k 到 t1000k 時，肖特基缺陷增大多少倍？解：由式n1=neukbt11n2=neukbt12=nn21=eukbtt12111()=)11(121ttbkue代入數據： u11ev 1.60 10-19(j) t1=290kkb=1.3810-23(j/k) t2=1000k =exp1 60101 38101290110001923.ex

27、p(28.4)= 2.1(倍) the end 3.已知銅金屬的密度為8.93g/cm3，原子量為63.54，它在 1000k 及 700k 時自擴散系數分別為 1.6510-11及 3.431015 cm2/s，又知空位鄰近的原子跳入空位必須克服的勢壘高度為0.8ev。試求(1) 1000k 及 700k 的銅金屬中的空位濃度，(設自擴散完全由空位機制所引起)。(2) 已知形成一個填隙原子所需要的能量約為4ev，結算接近熔點1300k 時填隙原子的濃度及空位的濃度。解：(1)由教材 (4-41)式，在空位機制中d1d01e- e1/kbt e1=u1+e1由題意已知t1000 時d11.65

28、10-11 t1=700k 時d1=3.4310-15代入上式得：d1d01e- e1/kbt (1) d1=d01e- e1/kbt(2) (1)/(2) 得：ddeekb111170011000()代入數據得：4.81103=41029.4bkeekb1.3810-23(j/k) 兩邊取自然對數得：8.478e13.111019e1=2.7261019（j）=1.70ev (1ev1.6010-19j) u1=e1e1=1.700.8=0.9ev=1.44610-19j 又由空位濃度：nn11eukbt1t=1000k 時10001038.110446.1112319enn=e-10.52

29、.75105 t=700k 時nn11=3.06107(2) t=1300k 時，空位濃度nn113.1110-4e24ev n2間隙數填隙原子濃度：22nn=tbkue2= e41 6101 381013001923.3.2110164.求體心立方、面心立方六角密集三種晶體的伯格斯矢量的濃度和方向。解：伯格斯矢量又稱滑移矢量b ，其模為滑移方向的平衡原子間距，方向為滑移方向。由教材 p117 f.c.c 的滑移方向為 b =)(2jiab.c.c 的滑移方向為 baijk2()5.已知余誤差函數erf(z) 在 z 很小時， （z 0.5） 可以近似地寫為erf(z), 現(xiàn)將一硅片置于130

30、0的鋁蒸汽中，使鋁擴散進入硅片。如果要求硅片距表面的0.01cm 深處的濃度是表面濃度的 35%,問擴散需多長的時間？鋁在硅中的擴散系數由題圖41 給出。解：由式 (4-34) c=co1-erf(z)由題意0.35=ccd t010 012.dt =1020 652.=7.710-3dt=0.59 10-4 由圖可查得，t13000c1573k 時 lnd 10(cm2/s) d0.4510-4t=0 59100 451044. 1.3 第五章金屬自由電子論1電子在每邊長為l 的方盒子中運動，試用索末菲量子自由電子模型和周期性邊界條件求出它的最低的四個能級的所有波函數，繪出這四個能級的能量和

31、簡并度。解：由教材（ 518）式.電子能量不考慮 .nxnynz0. e0 的情況，則最小能量分別對應于：（ nx、ny、nz）為（ 1,0,0） (0,1,0) (0,0,1) 簡并度： 3 （1,1,0） ,(1,0,1) (0,1,1) 簡并度： 3 （ 1,1,1）簡并度： 1 2222222zyxnnnlme22122lme 222222lme （ 2,0,0） ， （0,2,0） ， （0,0,2）簡并度： 3 波函數分別為：ee1 ee2ee3ee4 2限制在邊長為二維正方行勢阱中的n 個自由電子，電子能量為（與第六章16 題相同）試求： （1）能量從e de 之間的狀態(tài)數（2）

32、t0 時費米能量的表示式解： （1）解 1：在二維情況下，每個k 點在倒二維空間占的面積為（2/l）2, k 點面密度為323223lme 422224lme rkirkiyxelel31231111rkiyel3131rkkjkiyyel)(3231rjkikiyxel)(3211rkkjkizxel)(3221rkizel23431)(2).(222yxyxkkmkke22)2(lrkkjkikizyxel)(3311rjkirikiyxelel2342)2(3411,1考慮電子自旋，在k 單位面積內電子態(tài)總數為(電子態(tài)密度 ) 對題示的電子，等能面為園，k 空間半徑為22|mek的園內電

33、子態(tài)數目為態(tài)密度de 間隔的電子狀態(tài)數dzgde 解 2：(2) t=0 時電子把 e 0 v 0 這樣兩塊金屬中的電子分別具有附加的靜電勢能為 -ev 0 它們發(fā)射的電子數分別變成平衡時由此得ev ev所以接觸電勢差 vv（ 1/e ） （ ）( 注意 v表面原子數，在近鄰近似下，所以可以以方便為原則選擇邊界條件，可使用玻恩卡曼周期邊界條件，而且使用玻恩卡曼周期邊界條件給出了較多的信息，對后續(xù)的討論帶來方便。若采取零邊界條件，原則上講也是允許的，但不能給出有用的信息。5. 一維單原子鏈色散關系是怎樣的？相速度vp等于什幺？=4212mqasinvp=q6. 一維格波波矢q 的的取值范圍是什幺

34、？q 在第一 b、z 內取值數是多少？q的取值范圍：為保證唯一性，g 在第一 b.z 內取值，即aqaq在第一 b.z 內取值數為n（初基元胞數） 。7 一維格波波矢q 有哪些特點？q不連續(xù)（準連續(xù)） ；均勻分布；密度n al228. 一維雙原子鏈的色散關系是怎樣的？2121222121212mmqa(cos)9. 在三維晶體中，格波獨立的q點數，聲學波支數，光學波支數，格波總支數分別等于多少？獨立的 q點數晶體的初基元胞數n；格波個數 晶體原子振動自由度數，3ns 個；格波支數 3s （初基元胞內原子振動的自由度數）其中3 支聲學波， 3(s-1) 支光學波。10. 定性地講，聲學波和光學波

35、分別描述了晶體原子的什幺振動狀態(tài)？定性地講，聲學波描述了元胞質心的運動，光學波描述了元胞內原子的相對運動。描述元胞內原子不同的運動狀態(tài)是二支格波最重要的區(qū)別。11. 格波模式密度g()的定義是什幺，g()是如何表示的？模式密度g()的定義：單位頻率間隔的格波數。g=giii 為格波支號；對每支格波)()2(3qdsvgiqi面等12.在一般情況下，求解格波模式密度g()的困難是什幺？在一般情況下，求解格波模式密度g()的困難往往是并不知道色散關系iq()，所以無法求出iq()的梯度，另外若等 面的形狀不規(guī)則，它的積分也不好求出。13. 晶格振動的色散曲線有哪些對稱性？(1) iq() =inq

36、g()(2) iq() =()q(3) 還具有與晶體結構相同的對稱性。14. 討論晶格振動的系統(tǒng)能量時為什幺要引入簡正坐標qq(t)？為了消去交叉項，便于數學處理和看出物理意義(簡諧格波間相互獨立)。15. 討論晶格振動時，進行了量子力學修正，引入了量子諧振子的能量表示，在此過程中，把什幺能量表示為諧振子的能量？把一個格波的能量表示為一個量子諧振子能量，而不是把任一個原子的振動能量表示為一個諧振子能量。16. 什么叫聲子？聲子是量子諧振子的能量量子17. 討論晶格振動時的量子力學修正體現(xiàn)在什幺地方？體現(xiàn)在把諧振子能量用量子諧振子能量表示。并不是體現(xiàn)在引入格波，格波用諧振子等效，q不連續(xù)等方面。

37、18 聲子有哪些性質？(1) 聲子是量子諧振子的能量量子；(2) 3ns 格波與 3ns 個量子諧振振子一一對應；(3) 聲子為玻色子；(4) 平衡態(tài)時聲子是非定域的；(5) 聲子是準粒子遵循能量守恒321準動量選擇定則)(321hgqqq(6) 非熱平衡態(tài)，聲子擴散伴隨著熱量傳導；(7) 平均聲子數11ktwen19.什么是晶格振動的einsten 模型和 debye 模型？einsten 模型：設晶體中所有原子獨立地以相同頻率e振動。debye 模型：設晶體為各向同性連續(xù)彈性媒質,晶體中只有3 支聲學波。20. 解釋二模型與實驗結果比較的原因。（重點）分別討論在高溫、 低溫條件下實驗結果和

38、兩個模型計算結果的異同，參見教材相應章節(jié)。21. 有人定性地認為，德拜溫度d是經典概念與量子概念解釋比熱的分界線，你的看法如何？德拜頻率dg()的最高頻率；愛因斯坦頻率eg( )中最可幾頻率；德拜溫度d與德拜頻率d相對應。d成為經典概念與量子概念解釋比熱的分界線，是因為經典理論認為：諧振子能量按自由度均分即認為所有波格均激發(fā)，而當 td時，出現(xiàn)格波凍結，按經典理論處理造成較大的誤差，而當 td時，不出現(xiàn)格波凍結，按經典理論處理造成的誤差也就相對較小了。22. 熱膨脹系數v是如何表示的？v=k vcv式中：格林愛森系數；k：體彈性模量；v：晶體體積；cv：晶體的熱容23. 熱傳導系數（熱導率是如

39、何表示的？=13c v lv式中： cv:單位體積熱容；v:聲子平均速率；l：聲子平均自由程。24. 什幺叫 n 過程和 u 過程？以三聲子過程為例：321)(321hgqqqgh=0 n 過程gh0 u 過程25. 為什幺說光學支一般對熱導貢獻??？因為：(1)溫度不太高時 (td)光學支先凍結，對cv貢獻小(2)光學支v小，v的物理意義是聲子運動的平均速率，而聲子的運動攜帶著能量的傳播， 因此v的意義應與能量傳播的速度相對應，能速 vg=ddq, 光學支色散曲線 q 平坦， vg較小，即v較小。(3)光學支小的 q 大，易于發(fā)生u 過程，而 u 過程將造成熱阻。26. 有人說，熱容cv是聲子

40、密度的度量，你的看法如何？由熱膨脹系數v.熱導率的表示式可知v cv cv，而由v、的物理意義可知，v、均應與聲子密度相關，考察v、 的表示式，只有認為cv 表示聲子的密度，所以在相同溫度下，認為熱容cv是晶體中聲子密度的度量是可以的。27. 為什幺說“晶格振動”理論是半經典理論？首先只能求解牛頓方程，并引入了格波，而且每個格波的能量可用諧振子能量來表示。之后進行了量子力學修正，量子力學修正體現(xiàn)在諧振子能量不用經典諧振子能量表示式，而用量子諧振子能量表示式。28簡述晶格振動理論中簡諧近似的成功之處和局限性。答：成果地得出格波（聲學格波、光學格波）及其相應的色散曲線，引入了聲子，并成果地解釋了熱

41、容。其局限性主要表現(xiàn)為不能解釋熱膨脹、熱傳導等現(xiàn)象。29. 什么是聲子的準動量？為什么稱它們是“準”動量，而不直接稱為動量？答：聲子是準粒子，1q 是聲子的準動量。準動量1q 具有動量的量綱，但聲子間相互作用滿足準動量選擇定則)(321hgqqq其中 gh是晶體的任意倒格矢。第四部分固體能帶論1. 固體能帶論的兩個基本假設是什么? 答： (1) 絕熱近似，原子實的影響用周期勢場等效，把多體問題化為多電子問題。 (2) 單電子近似，把其余電子對某一電子作用也用等效的平均勢場表示，把多電子問題簡化為單電子問題。2. 固體能帶論的基本思路是怎樣的？答：用絕熱近似和單電子近似，把原子實及其它電子的影響

42、用等效的周期勢場)(rv來表示，進而求解s方程，并用量子力學的微擾論求出固體中電子的波函數和能量。關鍵是等效的周期勢場)(rv該如何表示。3. 固體中電子狀態(tài)的主要特征有哪些？答：用周期勢場)(rv等效相互作用之后(1) 由孤立原子的能級變成固體的能帶；（2）出現(xiàn)電子的共有化； (3) 由周期邊界條件波矢k取值不連續(xù)klnblnblnb112233其中l(wèi)1,l2,l30， 1,2,n1,n2,n3為a1、 a2、 a3方向初基元胞數。4. 什么叫 bloch 定理？答：晶體中的電子波函數是由晶格周期性調制的調幅平面波，即：(k. r ) u(k. r )ei kr u(k. r ) u(kr,

43、rn)另一種表示：（kr,rn）rkie(k r,)5. 由 bloch 定理有哪些結論和推論？答:(1) a.(kr.)2代表電子出現(xiàn)的幾率，具有正晶格周期性。 b.但(k r.) 本身不具有正晶格周期性。c.(k r.) 本身具有倒格子周期性(k r.) ( kgrn,) gn：任意倒格矢(2) a. 能量具有倒格子周期性即 en(k)=e(kgn).b. 因電子能量為物理的實在，也具有正晶格周期性。c. 同一能帶對k 0 的點具有反對稱性，e( k ) e(- k )d.e( k ) 具有與正晶格相同的對稱性。6在第一 b、z 內波矢k的取值，k點數，k點密度。答： k ln11blnb

44、lnb1222333，第一 b .z 內獨立的k點數為 n（初基元胞數） ，每個k點在倒空間所占體積為 (2)3/v, k 點密度為v()237能態(tài)密度d是如何定義的？答：對給體積的晶體，單位能量間隔的電子狀態(tài)數。(1) 若能帶不交疊：ee+de二等能面間電子狀態(tài)數dz=2v()23dkeededzd(en)de， d=dzde223vdsekeekn()()等面 (2)若能帶交疊 d(e)=nd(en)8. 試計算自由電子的能態(tài)密度d 。解： emk222等能面為球面得 d2123)2(222emvdedz但并不能說e 電子數9. 特魯多模型及其成功與不足之處有哪些？假設： (1) 價電子構

45、成“自由電子氣”，無規(guī)則熱運動與原子實碰撞，滿足經典的玻爾茲曼分布；(2)兩次碰撞間，電子不受力的作用，電子能量只有動能；(3) 電子與原子實的碰撞過程用平均自由程l和平均自由時間等自由氣體熱運動的術語表征。成功之處：較好地解釋了金屬的導電、熱導現(xiàn)象。不足： (1) 忽略了原子實周期勢場和電子間的相作用。 (2)不能正確解釋金屬的比熱。10. 特魯多模型的“自由電子氣”與無限大真空中自由電子能量有何異同？答：相同之處：均設勢場v( r )=0 則 emk222不同之處： 特魯多模型中的自由電子氣，除假設的與原子實碰撞外，還要受到邊界的反射，由周期邊界條件k不連續(xù)。11. 索末菲的“自由電子費米

46、氣”模型與特魯多模型的異同。答：相同之處： (1)v(r )=cons (可假設為零 )(2) 碰撞圖象（3）在晶體邊界均碰撞( 散射 ) （4）滿足周期邊界條件。不同之處：索末菲模型 (1) 求解 s方程，而不是牛頓方程；(2) 滿足費米狄拉克分布，而不是經典的玻氏分布；(3) 滿足泡利不相容原理。12. 費米分布函數的表示式和物理意義是什么？若能量為e的狀態(tài)是電子可以占據的狀態(tài)，則在熱平衡條件下，電子占據該狀態(tài)的幾率：f(e,t)=11)(tkeebfe式中 ef稱為費米能級， eef時， f=12所以 ef是標志電子在能級上填充水平的重要參量。ex: 若 ef處在允許帶中，該晶體是導體還

47、是絕緣體？導體。13. 電子密度分布的意義是什么？溫度 t 時，能量e附近單位能量間隔的電子數。(e，t)=d(e)f(e，t) 系統(tǒng)中電子總數 n 0d(e)f(e ，t)de14. 什么叫費米面？費米面：在k空間 eef的等能面。費米半徑kf: 在設 v( r ) 常數的模型中 e=mk222等能面為球面則 ef=mkf222, kf稱費米波矢，費米半徑。費米速度f: 若認為電子的費米能全為動能 ef=122mf費米溫度tf: 若設 ef=kbtf tf稱為費米溫度。15. 簡述無限大真空自由電子，晶體中特魯多模型，索未菲模型，近自由電子模型的關系。答：無限大空間邊界條件周期性)1(2)s

48、方 程泡 利 不 相 容費 米 分 布(3)周期勢場微擾(4) k為連續(xù)自由電子氣取分離值k自由電子費米氣近自由電子16. 按 n.f.e 模型，晶體中的能隙是如何解釋的？答：能隙 2 vn vn為 v( r ) 的展開系數，能隙為不同電荷分布的勢能差。電子分布分別為：- sim2ax cos2ax 17. 按近自由電子模型能求解哪些問題，近自由電子近似的零級近似如何?。克饕苡嬎隳男┪锢砹?？答：零級近似為無限大真空中自由電子，故它適用于金屬中的價電子，利用 n.f.e 模型主要可計算禁帶寬度。18. 按緊束縛模型能求解哪些問題，緊束縛近似的零級近似如何?。克饕苡嬎隳男┪锢砹?？答：為孤立

49、原子中的電子狀態(tài)的組合，故它主要適用于絕緣體，主要可計算s帶的能帶寬度。19. 什么叫接觸電勢差？答：任意兩種不同的物質a.b 相接觸可能產生電荷，并分別產生電勢va、vb這種電勢稱為接觸電勢，其差稱為接觸電勢差。20. 產生接觸電勢差的原因是什么？答：二種不同材料的逸出功，費米能級不同，在緊密接觸之后二種材料的費米能級將取齊，導致接觸勢壘和接觸電勢差，關鍵理解二種材料緊密接觸后費米能級要取齊的原因。 ex：t 0，各材料ef1、 ef2之下的能級均填滿，又是緊密接觸，若ef1 ef2. 則電子自發(fā)地從“ 1”流相向“ 2” ，直至電子填充取平，其物理意義即為ef1=ef2。21. 兩塊同種金屬的溫度不同，接觸后溫度未達到相等前，是否存在電勢差?為什么？答: 兩塊同種金屬，溫度分別為t1和 t2，且 t1t2在這種情況下，溫度為t1的金屬中有較多的電子的處于高于溫度平衡時的費米能級e0f的狀態(tài)兩塊金屬接觸后，系