貝葉斯決策分析培訓(xùn)教材

1、第十章 貝葉斯決策分析n第一節(jié) 引言n第二節(jié) 貝葉斯Bayes定理n第三節(jié) 貝葉斯分析過程第一節(jié) 引言一、問題的提出n在實(shí)際進(jìn)行決策時(shí)，我們一直強(qiáng)調(diào)要調(diào)查研究，注意預(yù)測，以掌握機(jī)會(huì)，制訂對策，明確結(jié)果，改進(jìn)決策過程，提高決策水平。n但在實(shí)際工作中，既有未掌握必要信息就匆忙作出決策的現(xiàn)象發(fā)生，也有為一點(diǎn)小事就四出調(diào)研的情況存在。前者忽略了信息對決策的價(jià)值，后者又沒有注意到獲取信息本身也有個(gè)經(jīng)濟(jì)性問題。那么，怎么權(quán)衡新信息帶來的價(jià)值是否能補(bǔ)償為其支出的費(fèi)用呢？n貝葉斯決策原理為我們提供了解決策這類問題的手段。n例：二、貝葉斯決策分析的類型n1.驗(yàn)前分析n在驗(yàn)前分析中，決策者要詳細(xì)列出各種狀態(tài)及其概

2、率，各種方案及其與狀態(tài)組合的條件值，決策者根據(jù)這些信息對各方案進(jìn)行評價(jià)和選擇。n當(dāng)時(shí)間、人力和財(cái)力不允許搜集更完備的信息時(shí)，決策者就常常進(jìn)行驗(yàn)前分析。n2.后驗(yàn)預(yù)分析n有時(shí)由于決策的重要性而且時(shí)間許可，要求決策者在搜集和分析追加信息之前，暫緩作出決策。企業(yè)必須為這些信息付出代價(jià)，而這些信息又幾乎不可能完全準(zhǔn)確。n這種對驗(yàn)前概率分布要否采取一些方法、途徑和手段以獲取新信息來進(jìn)行修正，其效果如何，是否值得等一系列分析就稱為后驗(yàn)預(yù)分析。n3.驗(yàn)后分析n根據(jù)預(yù)后驗(yàn)分析，如果認(rèn)為采集信息和進(jìn)行調(diào)查研究是值得的，那么就應(yīng)該決定去做這項(xiàng)工作。n驗(yàn)后分析就是根據(jù)實(shí)際發(fā)生的調(diào)查結(jié)果的信息修正驗(yàn)前概率的方法。n4

3、.序貫分析n含有多階段的信息搜集和數(shù)值計(jì)算的決策情況，屬于序貫分析的范圍。n序貫分析包括一系列的先驗(yàn)分析和預(yù)后驗(yàn)分析，采集新的信息和作出后驗(yàn)分析和決策。第二節(jié) 貝葉斯(Bayes)定理一、條件概率和乘法公式n條件概率的定義：n設(shè)A與B是基本空間中的兩個(gè)事件，且P(B)0，在事件B已發(fā)生條件下事件A的條件概率P(A|B)定義為：P(AB)/P(B)，即：)()()|(BPABPBAPn乘法公式：n對任意兩個(gè)事件A與B，有：nP(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)n對任意三個(gè)事件A1，A2，A3，有：nP(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)n依次可以推廣

4、到四個(gè)或更多的事件上去。二、全概率公式n設(shè)B1、B2、Bn是基本空間中的一個(gè)互不相容的完備事件集，則對中任一事件A，有：niiiniiBPBAPABPAP11)()|()()(三、貝葉斯定理n貝葉斯定理主要用來研究事物發(fā)生的原因，即要知道在A發(fā)生的條件下，某個(gè)“原因”Bi發(fā)生的概率。這個(gè)概率又稱驗(yàn)后概率。n貝葉斯定理：n設(shè)B1，B2，Bn是一組互斥的完備事件集，即所有Bi互不相容，Bi=，且P(Bi)0，則對任一事件有：niiiiiiiBAPBPBAPBPAPABPABP1)|()()|()()()()|(其中：P(Bi)為試驗(yàn)前就已知道了的概率，稱為驗(yàn)前概率或先驗(yàn)概率；P(A)為邊際概率，它

5、按全概率公式求得；P(Bi|A)表示試驗(yàn)發(fā)生后，由于事件A發(fā)生而引起B(yǎng)i發(fā)生的條件概率，它是對先驗(yàn)概率P(Bi)的一種修正，故稱驗(yàn)后概率或修正概率。例：一批產(chǎn)品來自三個(gè)工廠，通過調(diào)查得知：其中甲廠產(chǎn)品合格率為95%，乙廠產(chǎn)品合格率為80%，丙廠產(chǎn)品合格率為65%。這批產(chǎn)品中有60%來自甲廠，30%來自乙廠，余下10%來自丙廠。1.求這批產(chǎn)品的合格率。2.若抽查出一產(chǎn)品為合格品，求這個(gè)產(chǎn)品來自甲廠的概率。解：1.記事件A=“產(chǎn)品合格”，B1=“產(chǎn)品來自甲廠”，B2=“產(chǎn)品來自乙廠”，B3=“產(chǎn)品來自丙廠”。則據(jù)已知條件可知：P(A|B1)=0.95 P(A|B2)=0.80 P(A|B3)=0.

6、65P(B1)=0.60 P(B2)=0.30 P(B3)=0.10則由全概率公式可知：875. 010. 065. 030. 080. 060. 095. 0)|()()|()()|()()(332211BAPBPBAPBPBAPBPAP2.由貝葉斯公式可得：6514. 0875. 060. 095. 0)()|()()|(111APBAPBPABP同理可計(jì)算得：P(B2|A)=0.2743 P(B3|A)=0.0743第三節(jié) 貝葉斯分析過程n引：如前所述，貝葉斯分析包括四種類型。但在實(shí)際的貝葉斯決策過程中，并不一定全部包括這四種類型的分析，一般情況是，進(jìn)行驗(yàn)前分析，后驗(yàn)預(yù)分析和驗(yàn)后分析。n

7、如果調(diào)查經(jīng)費(fèi)可以忽略，則只需要進(jìn)行驗(yàn)前分析和驗(yàn)后分析，在時(shí)間、人力和財(cái)力不允許搜集更完備的住處或者這種搜集沒有必要時(shí)，則常常只進(jìn)行驗(yàn)前分析。一、先驗(yàn)分析應(yīng)用n例1(見課本P329）n某工廠要研究開發(fā)一種新型童車，首要的問題是要研究這種新產(chǎn)品的銷路及競爭者的情況。經(jīng)過必要的風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)后，他們估計(jì)出：n當(dāng)新產(chǎn)品銷路好時(shí)，采用新產(chǎn)品可盈利8萬元；不采用新產(chǎn)品而采用老產(chǎn)品時(shí)，則因其他競爭者會(huì)開發(fā)新產(chǎn)品而使老產(chǎn)品滯銷，工廠可能虧損4萬元。n當(dāng)新產(chǎn)品銷路不好時(shí)，采用新品就要虧損3萬元，當(dāng)不采用新產(chǎn)品時(shí)就有可能用更多的資金來發(fā)展老產(chǎn)品可獲利10萬元。n現(xiàn)確定銷路好的概率為0.6，銷路差的概率為0.4。123銷

8、路好(0.6）銷路差(0.4)銷路好(0.6）銷路差(0.4)8-3-4103.61.6采用新產(chǎn)品不采用新產(chǎn)品3.6以期望作為標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)選擇行動(dòng)方案“采用新產(chǎn)品”。二、后驗(yàn)預(yù)分析n后驗(yàn)預(yù)分析的目的，是要確定在采取最后行動(dòng)之前是否值得去搜集附加信息(調(diào)查或抽樣)。n具體步驟：n1.根據(jù)決策問題過去有關(guān)的資料或某些途徑得到的類似資料擬定搜集新息的新決策方案，通常在驗(yàn)前分析結(jié)論的基礎(chǔ)上畫出新支路。n2.根據(jù)全概率公式求有關(guān)的邊際概率，并根據(jù)貝葉斯定理修正先驗(yàn)概率，由此得出的后驗(yàn)概率就是新決策支路的概率分布。n3.計(jì)算新決策支路的期望值。n4.權(quán)衡新方案最終的期望值、先驗(yàn)分析的結(jié)論和搜集新信息所必須支出

9、的費(fèi)用，再進(jìn)行選擇得出結(jié)論。n例：接前例（見P330）。n根據(jù)以往市場調(diào)查經(jīng)驗(yàn)，調(diào)查結(jié)果的準(zhǔn)確程度見下表： Z1 （銷路好） Z2 （銷路差） Z3 （不確定）Q1(銷路好) 0.80.100.10Q2(銷路差) 0.100.750.15調(diào)查結(jié)果條件概率P（Zj|Qi)自然狀態(tài)銷路好銷路差P(Q1)=0.6P(Q2)=0.4調(diào)查為好z1調(diào)查為差z2調(diào)查為不確定z3調(diào)查為好z1調(diào)查為差z2調(diào)查為不確定z3P(Z1|Q1)=0.8P(Z2|Q1)=0.1P(Z3|Q1)=0.1P(Z1|Q2)=0.10P(Z2|Q2)=0.75P(Z3|Q2)=0.15P(Q1)P(Z1|Q1)=P(Z1Q1)=

10、0.48P(Q1)P(Z2|Q1) =P(Z2Q1)=0.06P(Q1)P(Z3|Q1) =P(Z3Q2)=0.06P(Q2)P(Z1|Q2)= P(Z1Q2)=0.04P(Q2)P(Z1|Q2) =P(Z2Q2)=0.30P(Q2)P(Z1|Q2) =P(Z3Q2)=0.06根據(jù)上圖可計(jì)算各狀態(tài)的全概率為：12. 0)()()(36. 0)()()(52. 0)()()(231332212221111QZPQZPZPQZPQZPZPQZPQZPZP計(jì)算修正概率：50. 0)|(50. 0)|(833. 0)|(167. 0)|(:077. 052. 004. 0)()()|(923. 052

11、. 048. 0)()()|(323122211121211111ZQPZQPZQPZQPZPZQPZQPZPZQPZQP同理可得123銷路好(0.6）銷路差(0.4)8-33.6不調(diào)查采用新產(chǎn)品調(diào)查3.6456789101112z1Z2z3d1d2d1d2d1d2Q1(0.923)Q2(0.077)Q1(0.923)Q2(0.077)Q1(0.167)Q2(0.833)Q1(0.167)Q2(0.833)Q1(0.50)Q2(0.50)Q1(0.50)Q2(0.50)8-3-4108-3-4108-34-107.153-2.92-1.167.662.53.07.1537.663.0(0.52

12、)(0.36)(0.12)6.84n從以上決策分析過程可知：n若不作進(jìn)一步調(diào)查研究，則采用方案1（即采用新產(chǎn)品）可獲期望利潤3.60萬元。n若進(jìn)一步調(diào)查研究，則可獲期望利潤值6.84 萬元。n當(dāng)調(diào)查研究的費(fèi)用小于6.84-3.60=3.24萬元時(shí)，作進(jìn)一步的調(diào)查研究是值得的。n3.24萬元為取得信息的價(jià)值，即信息價(jià)值。信息價(jià)值。n所謂信息價(jià)值：指利用取得的信息進(jìn)行決策所得到的期望值減去沒有這種情報(bào)而選取出的最優(yōu)方案的期望值。n完全信息：是指在進(jìn)行決策時(shí)，對于所有可能出現(xiàn)的自然狀態(tài)都可以提供完全確切的情報(bào)。n補(bǔ)充信息:是指通過各種手段如抽樣調(diào)查、咨詢等得到的 追加信息。n在進(jìn)行補(bǔ)充信息的調(diào)查之前

13、，還需要就是否值得進(jìn)一步收集補(bǔ)充信息的問題作出判斷，并選擇最佳的收集補(bǔ)充信息的方案。該環(huán)節(jié)稱為后驗(yàn)預(yù)分析后驗(yàn)預(yù)分析例2：某廠在考慮是否大批量投入投產(chǎn)一種新產(chǎn)品稅的決策，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，預(yù)計(jì)該產(chǎn)品大批量投入市場后有三種銷售遠(yuǎn)景，具體見下頁表。因虧損的先驗(yàn)概率較大，故該廠還要研究是否要采用“試銷法”進(jìn)行市場調(diào)查。經(jīng)財(cái)務(wù)部門預(yù)算，進(jìn)行一次試銷調(diào)查花費(fèi)60萬元。而試銷所得到的調(diào)查信息的可靠性是有限的，這有過去產(chǎn)品進(jìn)入市場的統(tǒng)計(jì)資料可供借鑒，見下頁表。試問在這種情況下是否值得應(yīng)用試銷的方式進(jìn)行市場調(diào)查。銷售遠(yuǎn)景j概率P(j)條件盈利(百萬元)10.251520.30130.45-6表1 大批量生產(chǎn)的銷售估

14、計(jì)1 (盈) 2(平) 3(虧)Z10.650.250.10Z20.250.450.15Z30.100.300.75市場實(shí)際情況條件概率P(zi| j)調(diào)查結(jié)果表2 過去試銷資料記錄12不投產(chǎn)1.51.進(jìn)行驗(yàn)前分析:大批量生產(chǎn)0151-6 1(0.25) 2(0.30) 3(0.45)1.352.進(jìn)行后驗(yàn)預(yù)分析:(1)按全概率公式求邊際概率，其計(jì)算公式為：4520. 0)(2650. 0)(:2825. 010. 045. 025. 030. 065. 025. 0)()()(:; 3 , 2 , 1, )()()(321111ZPZPZPPZPiZPPZPnjjjnjjiji同理可得故有(2

15、)按貝葉斯定理修正先驗(yàn)概率，其計(jì)算公式如下：575. 02825. 065. 025. 0)()()()(:; 3 , 2 , 1; 3 , 2 , 1,)()()()(111111ZPZPPZPjiZPZPPZPijijij故有同理可得：746. 0)(255. 0)(199. 0)(509. 0)(159. 0)(055. 0)(236. 0)(266. 0)(3323322213312112ZPZPZPZPZPZPZPZP3.進(jìn)行期望值計(jì)算及第二階段決策的選擇。計(jì)算過程及選擇結(jié)果見下頁圖。13不調(diào)查調(diào)查3.64567911z1Z2z3d1d2d1d2d1d27.9392.5190(0.2

16、825)(0.2650)(0.4525)2.91000151-6151-6151-6 1（0.575) 2（0.266) 3（0.159) 1（0.236) 2（0.509) 3（0.255) 1（0.055) 2（0.199) 3（0.746)7.9392.519-3.5422大批量生產(chǎn)1.35-0.64.作權(quán)衡分析。由于試銷調(diào)查所取得的信息的價(jià)值為：2.91-1.35=1.56(萬元）取得信息期望凈收益為：1.65-0.60=0.96(萬元）故可得出結(jié)論：應(yīng)采納試銷方案。如果調(diào)查結(jié)果為盈或平，就采用大批量生產(chǎn)的方案。如果調(diào)查結(jié)果為虧，則不投產(chǎn)。3.驗(yàn)后分析n驗(yàn)后分析是一種把調(diào)查信息和驗(yàn)前信

17、息結(jié)合起來以獲得各個(gè)事件(狀態(tài)）的修概率的方法。n一旦得到了可以利用的新信息，決策者就結(jié)合這些信息，計(jì)算備擇方案的期望值，選擇能取得最佳效益的行動(dòng)方案。n例如：在上例中，若這個(gè)工廠通實(shí)際的試銷活動(dòng)估計(jì)該產(chǎn)品的銷售遠(yuǎn)景為盈(Z1),那么該廠將在決策點(diǎn)4進(jìn)行決策，采用大批量生產(chǎn)方案，此時(shí)扣除已支付的60萬元調(diào)查經(jīng)費(fèi)后，仍可得到7.337萬元的期望收益，即7.937-0.6=7.337.4.序貫分析n貝葉斯序貫分析處理的是包含有多階段的信息搜集的決策計(jì)算的復(fù)雜問題，它涉及一系列的后驗(yàn)預(yù)分析或驗(yàn)后分析。n貝葉斯序貫分析可以為決策者考慮是否進(jìn)行多階段調(diào)查(或抽樣），以獲得更多的調(diào)查(或抽樣)信息來改進(jìn)決策過程而提供科學(xué)依據(jù)